微专题19　直线与圆

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高考定位 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.
【真题体验】
1.(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A.1 B.eq \r(2)
C.eq \r(3) D.2
2.(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( )
A.eq \f(1,2) B.－eq \f(1,2)
C.1 D.－1
3.(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A.1 B.eq \f(\r(15),4)
C.eq \f(\r(10),4) D.eq \f(\r(6),4)
4.(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为eq \f(8,5)”的m的一个值________.
5.(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________.
【热点突破】
热点一 直线的方程及应用
1.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2.两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0).
3.点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0).
例1 (1)已知直线l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
(2)(多选)已知直线l：eq \r(3)x－y＋1＝0，下面四个说法中正确的是( )
A.直线l的倾斜角为eq \f(π,6)；
B.若直线m：x－eq \r(3)y＋1＝0，则l⊥m；
C.点(eq \r(3)，0)到直线l的距离为2；
D.过点(2eq \r(3)，2)，并且与直线l平行的直线方程为eq \r(3)x－y－4＝0.
易错提醒 求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；求解两条直线平行问题时，要注意排除两条直线重合的情况.
训练1 (1)已知直线l1的方程为x＋ay－2＝0，直线l2的方程为2x－y＋1＝0.若l1⊥l2，则直线l1与l2的交点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(5,3))) B.(0，1)
C.(2，5) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(5,2)))
(2)(多选)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是( )
A.x－2y＋2＝0 B.2x－y－2＝0
C.2x＋3y－18＝0 D.2x－3y＋6＝0
热点二 圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为r＝eq \f(\r(D2＋E2－4F),2).
例2 (1)已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为( )
A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C.(x－1)2＋(y－1)2＝2D.(x－1)2＋(y＋1)2＝2
(2)(2023·威海模拟)在平面直角坐标系中，过A(－2，4)，B(2，6)，C(－1，－3)，D(2，－4)四点的圆的方程为________.
规律方法 求圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
训练2 (1)已知圆C与x轴的正半轴相切于点A，圆心在直线y＝2x上，若点A在直线x－y－4＝0的左上方且到该直线的距离等于eq \r(2)，则圆C的标准方程为( )
A.(x－2)2＋(y＋4)2＝4B.(x＋2)2＋(y＋4)2＝16
C.(x－2)2＋(y－4)2＝4D.(x－2)2＋(y－4)2＝16
(2)直线l过定点(1，－2)，过点P(－1，0)作l的垂线，垂足为M，已知点N(2，1)，则|MN|的最大值为________.
热点三 直线、圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.
判断方法：
(1)点线距离法(几何法).
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,（x－a）2＋（y－b）2＝r2，))消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.
2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.
考向1 直线与圆的位置关系
例3 (1)(多选)(2023·福州模拟)已知点M在直线l：y－4＝k(x－3)上，点N在圆O：x2＋y2＝9上，则下列说法正确的是( )
A.点N到l的最大距离为8
B.若l被圆O所截得的弦长最大，则k＝eq \f(4,3)
C.若l为圆O的切线，则k的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,24)))
D.若点M也在圆O上，则点O到l的距离的最大值为3
(2)(2023·北京房山区质检)已知圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，则圆心C的坐标为________；若直线l：x＋y＋m＝0与圆C交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数m＝________.
考向2 圆与圆的位置关系
例4 (1)(2023·山东部分校联考)圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，－eq \r(5)]B.[eq \r(5)，＋∞)
C.[－eq \r(5)，eq \r(5)]D.(－∞，－eq \r(5)]∪[eq \r(5)，＋∞)
(2)(多选)已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2－6x＋2y－40＝0，则( )
A.两圆相交B.公共弦长为4eq \r(10)
C.两圆相离D.公共弦长为2eq \r(10)
规律方法 1.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长eq \f(l,2)，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.
2.两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长.
训练3 (1)(2023·遂宁二诊)过直线l：x＋y－5＝0上的点作圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝6的切线，则切线段长的最小值为( )
A.eq \r(6) B.2eq \r(3)
C.eq \r(15) D.3eq \r(2)
(2)(多选)(2023·扬州调研)已知圆M：(x－3k)2＋(y－4k－2)2＝1＋k2，则下列四个说法中正确的有( )
A.若圆M与y轴相切，则k＝±eq \f(\r(2),4)
B.圆M的圆心到原点的距离的最小值为1
C.若直线y＝x平分圆M的周长，则k＝－2
D.圆M与圆(x－3k)2＋y2＝4k2可能外切
热点四 隐圆问题
在解决某些解析几何问题时，题设条件看似与圆毫无关系，但通过对题目条件的分析、转化后，会发现此问题与圆有关，进而利用圆的性质解题，一般我们称之为隐圆问题.
例5 (1)已知直线kx－y＋2k＝0与直线x＋ky－2＝0相交于点P，点A(4，0)，O为坐标原点，则tan∠OAP的最大值为( )
A.2－eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3)
C.1 D.eq \r(3)
(2)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是________.
规律方法 确定隐圆的几种方法：
(1)借助圆的定义；(2)借助距离的平方和为常数；(3)借助平面向量的数量积为定值；(4)借助距离比值为常数(eq \f(|PA|,|PB|)＝λ，λ>0且λ≠1，动点P的轨迹为阿波罗尼斯圆).
训练4 (多选)(2023·南京六校联考)在平面直角坐标系中，存在三点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足|PA|＝eq \r(2)|PB|，则( )
A.点P的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8
B.△PAB面积最大时|PA|＝2eq \r(6)
C.∠PAB最大时，|PA|＝2eq \r(6)
D.P到直线AC距离的最小值为eq \f(4\r(2),5)