微专题26　基本初等函数、函数与方程

这是一份微专题26　基本初等函数、函数与方程，共6页。试卷主要包含了已知函数f＝e－2，噪声污染问题越来越受到重视等内容，欢迎下载使用。

【真题体验】
1.(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为( )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
2.(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))，b＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))，c＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))，则( )
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
3.(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq \f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A.p1≥p2 B.p2>10p3
C.p3＝100p0 D.p1≤100p2
4.(2021·北京卷)已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论：
①若k＝0，则f(x)有两个零点；
②∃k<0，使得f(x)有一个零点；
③∃k<0，使得f(x)有三个零点；
④∃k>0，使得f(x)有三个零点.
以上正确结论的序号是________.
5.(2023·天津卷)若函数f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为________.
【热点突破】
热点一 基本初等函数的图象与性质
1.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0＜a＜1，a＞1两种情况，着重关注两个函数图象的异同.
2.幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1，2，3，eq \f(1,2)，－1五种情况.
例1 (1)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝
lgeq \f(1,b)x的图象可能是( )
(2)(2023·天津模拟)已知ea＝lg 2，b＝lg(ln 2)，c＝ln eq \f(1,2)，则a，b，c的大小关系是( )
A.cC.a规律方法 1.指数函数、对数函数的图象与性质会受底数a的影响，解决指数函数、对数函数问题时，首先要看底数a的取值范围.
2.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.
训练1 (1)(多选)(2023·邯郸模拟)已知函数f(x)＝lg2(x＋6)＋lg2(4－x)，则( )
A.f(x)的定义域是(－6，4)
B.f(x)有最大值
C.不等式f(x)<4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)
D.f(x)在[0，4]上单调递增
(2)(2023·日照模拟)对任意正实数a，记f(x)＝|lg x|在[a，＋∞)上的最小值为ma，g(x)＝sineq \f(πx,2)在[0，a]上的最大值为Ma，若Ma－ma＝eq \f(1,2)，则a的所有可能值为________.
热点二 函数的零点
判断函数零点个数的方法：
(1)利用零点存在定理判断；
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.
考向1 函数零点的判断
例2 (2023·赣州模拟)若函数f(x)＝x－eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)))，则方程f2(x)－f(x)－6＝0的实根个数为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
考向2 求参数值或取值范围
例3 (2023·广东名校联考)让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，法国欧赛尔人，著名数学家、物理学家.他发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的偶函数f(x)＝eq \f(π2,3)＋4eq \(∑,\s\up6(＋∞),\s\d4(n＝1)) eq \f(（－1）n,n2)cs nx满足f(2π－x)＝f(x)，且当x∈[0，π]时，有f(x)＝x2，已知函数g(x)＝f(x)－a(x＋π)有且仅有三个零点，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，－\f(π,6)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,6)))
考向3 零点的代数式问题
例4 (2023·武汉模拟)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋4x，x≤4，,|lg2（x－4）|，x>4，))关于x的方程f(x)＝t有四个实根x1，x2，x3，x4(x1规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
eq \x(直接法)—eq \x(利用零点存在定理构建不等式确定参数的取值范围)
eq \x(\a\al(分离,参数法))—eq \x(将参数分离，转化成求函数的值域问题)
eq \x(\a\al(数形,结合法))—eq \x(先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解)
训练2 (1)(2023·北京西城区模拟)设c∈R，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－c，x≥0，,2x－2c，x<0.)) 若f(x)恰有一个零点，则c的取值范围是( )
A.(0，1) B.{0}∪[1，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D.{0}∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
(2)(2023·深圳模拟)定义开区间(a，b)的长度为b－a.经过估算，函数f(x)＝eq \f(1,2x)－xeq \f(1,3)的零点属于开区间________(只要求写出一个符合条件，且长度不超过eq \f(1,6)的开区间).
(3)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|ln x|，x＞0，,－3x2－x，x≤0，))若函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)有三个不同的零点x1，x2，x3.则x1x2x3的值为________.
热点三 函数模型及其应用
应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键：
(1)一般程序：
eq \(――→,\s\up7(读题),\s\d5(文字语言))⇒eq \(――→,\s\up7(建模),\s\d5(数学语言))⇒eq \(――→,\s\up7(求解),\s\d5(数学应用))⇒eq \(――→,\s\up7(反馈),\s\d5(检验作答))
(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地写出相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.
例5 (2023·青岛统测)在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度v(单位：千米/秒)满足公式v＝wlneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))，其中M为火箭推进剂质量，m为去除推进剂后的火箭有效载荷质量(单位：吨)，w为火箭发动机喷流相对火箭的速度(单位：千米/秒 ).当M＝3m时，v＝5.544千米/秒.在保持w不变的情况下，若m＝25吨，假设要使v超过第一宇宙速度达到8千米/秒，则M至少约为(结果精确到1，参考数据：e2≈7.389，ln 2≈0.693)( )
A.135吨 B.160吨
C.185吨 D.210吨
规律方法 1.构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型；
(2)构建的函数模型有误；
(3)忽视函数模型中变量的实际意义.
2.解决新概念信息题的关键
(1)仔细审题，明确问题的实际背景，依据新概念进行分析；
(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.
训练3 (2023·南京调研)血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：S(t)＝S0eKt描述血氧饱和度S(t)随给氧时间t(单位：时)的变化规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数.已知S0＝60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间(单位：时)为( )
(精确到0.1，参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)
A.0.3 B.0.5
C.0.7 D.0.9
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40