2023-2024学年湖南省永州市第一中学多校联考高二上学期12月月考试题数学含答案

这是一份2023-2024学年湖南省永州市第一中学多校联考高二上学期12月月考试题数学含答案，共13页。试卷主要包含了 已知直线 l， 已知抛物线 C等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1. 答题前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑, 如有改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案; 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 1+2i1−3i=
A. 12+12i
B. −12−12i
C. 12−12i
D. −12+12i
2. 已知集合 M=x∣lg2x<2,N=x∣x2−x−2<0, 则 M∩N=
A. 0,4
B. 0,2
C. −1,4
D. −1,2
3. 若直线经过 A1,0,B2,3 两点, 则直线 AB 的倾斜角为
A. 30∘
B. 45∘
C. 60∘
D. 135∘
4. 函数 fx=sinx1+csxx∈−π,π 的图象大致为
5. 如图, 边长为 2 的正方形 A'B'C'D' 是用斜二测画法得到的四边形 ABCD 的直观图,则四边形 ABCD 的面积为
A. 32
B. 62
C. 82
D. 42
6. 已知直线 l:y=kx−1 与圆 C:x−12+y−22=5 相交于 A,B 两点, 若 ∠ACB<90∘, 则实数 k的取值范围为
A. −53,53
B. −255,255
C. −155,155
D. −23,23
7. 已知 −π6,5π6 为函数 fx=csωx+φω>0 的零点, 且在区间 −π6,5π6 上 fx 有且仅有两条对称轴,则 ω⋅φ 可以是
A. 5π3
B. 7π3
C. 8π3
D. 10π3
8. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 上存在两点 A,B (异于原点 O ), 设直线 OA,OB,AB 的斜率分别为 k1,k2,k3, 若 k3=−2k1, 则 k2k1=
A. −34
B. −23
C. −12
D. −32
二、多项选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.
9. 某产品售后服务中心选取了 10 个工作日, 分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量 (单位:次)为: 6575737466231473130
则这组数据的
A. 众数是 31
B. 中位数是 40
C. 极差是 37
D. 10% 分位数是 30.5
10. 如图所示, 四边形 ABCD 为正方形, 平面 ABCD⊥ 平面 ABF,E 为 AB 的中点, AF⊥BF,AB= 2AF=2, 则下列结论正确的是
A. CA+CB=25
B. 直线 BC 到平面 ADF 的距离为 3
C. 异面直线 AD 与 FC 所成角的余弦值为 63
D. 直线 AC 与平面 BCF 所成角的正弦值为 12
11. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn, 公差为 d,a1<0, 若 a10+a15=a12, 则
A. 数列 an 是递增数列
B. a13 是数列 an 中的最小项
C. S12 和 S13 是数列 Sn 中的最小项
D. 满足 Sn<0 的 n 的最大值为 25
12. 已知焦点在 x 轴上, 对称中心为坐标原点的等轴双曲线 C 的实轴长为 22, 过 C 的右焦点 F, 斜率存在且不为零的直线 l 与 C 交于 A,B 两点, 点 B 关于 x 轴的对称点为 D, 则下列说法正确的是
A. 双曲线 C 的标准方程为 x22−y22=1
B. 若直线 l 的斜率为 2 , 则 AB=1023
C. 若点 B,A,F 依次从左到右排列, 则存在直线 l 使得 A 为线段 BF 的中点
D. 直线 AD 过定点 P1,0
三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 已知向量 a,b 的夹角的余弦值为 14,a=2,b=4, 则 a⋅b−a=________
14. 若空间向量 a=1,1,1,b=1,2,1,c=1,0,m 共面, 则实数 m=________
15. 已知数列 an 满足 a1=1,a2=2, 且 an+1=an+an+2, 则 a2029=________
16. 已知 P 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 上异于上下顶点的任意一点, O 为坐标原点, 过点 P 作圆 O:x2+y2=b2 的切线, 切点分别为 M,N, 若存在点 P 使得 ∠MPN=90∘, 则 C 的离心率的最小值为________
四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. (本小题满分 10 分)在 △ABC 中, 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且满足 b2ccsC+c2bcsB=ab2+ac2−a3.
(1) 求 A;
(2) 若 b+c=2, 求 a 的最小值.
18. (本小题满分 12 分)已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn, 正项等比数列 bn 的前 n 项和为 Tn,a1=2,b1=1,b3=3+a2.
(1) 若 b2=−2a4, 求数列 bn 的通项公式;
(2) 若 T3=13, 求 S3.
19. (本小题满分 12 分)已知 Px0,y0 是双曲线 C:x25−y2=1 上任意一点.
(1) 求证: 点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;
(2) 若点 A4,0, 求 PA 的最小值.
20. (本小题满分 12 分)如图, 在四棱锥 P−ABCD 中, AD⊥ 平面 PAB,AD//BC,PA⊥AB,E 为侧棱 PA 上一点, 平面 BCE 与侧棱 PD 交于点 F, 且 AB=BC=AE=12AD=2,DP 与底面 ABCD 所成的角为 45∘.
(1) 求证: F 为线段 PD 的中点;
(2) 求平面 PDC 与平面 PBC 的夹角的正弦值.
21. (本小题满分 12 分)给定数列 an, 若满足 a1=a(a>0 且 a≠1), 且对于任意的 m,n∈N∗, 都有 am+n=am⋅an, 则称 an 为“指数型数列”. 若数列 an 满足: a1=1,2an+1+an⋅an+1=an,an≠0.
(1) 判断数列 1+anan 是否为 “指数型数列” ? 若是, 给出证明; 若不是, 请说明理由;
(2) 若 bn=2nan⋅an+1, 求数列 bn 的前 n 项和 Tn.
22. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点为 F, 离心率为 12，点 A33,−112 在 C 上.
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 过点 T2a,0 作直线 l1 (直线 l1 的斜率不为 0 ) 与椭圆 C 相交于 M,N 两点, 过焦点 F 作与直线 l1 的倾斜角互补的直线 l2 与椭圆 C 相交于 P,Q 两点, 求 的值.2023 年下学期高二 12 月联考 - 数学参考答案、提示及评分细则
1.【答案】D
【解析】 1+2i1−3i=1+2i1+3i10=−12+12i. 故选 D.
2.【答案】B
【解析】 M=0,4,N=−1,2, 故 M∩N=0,2. 故选 B.
3.【答案】C
【解析】由直线经过 A1,0,B2,3 两点, 可得直线的斜率为 3−02−1=3, 设直线的倾斜角为 θ, 则 tanθ=3. 又 0∘≤θ<180∘, 所以 θ=60∘. 故选 C.
4.【答案】A
【解析】由 f−x=−fx 可知 fx 为奇函数, 故排除 C,D; 又当 x∈0,π 时, fx>0, 排除 B, 故选 A.
5.【答案】C
【解析】由直观图知: 在四边形 ABCD 中, AB=2, 且其对应高 ℎ=2O'D'=42, 所以四边形 ABCD 的面积为 2× 42=82. 故选 C.
6.【答案】C
【解析】过点 C 作 CH⊥AB, 垂足为 H, 由 ∠ACB<90∘, 可得 ∠ACH<45∘, 有 ∠HAC>45∘, 有 CHAC>22, 可得 CH>102, 有 2k2+1>102, 可得 −1557.【答案】A
【解析】由题意知 5π6−−π6=π=2πω, 因此 ω=2,f−π6=cs−π3+φ=0, 则 −π3+φ=π2+kπ,k∈Z,于是 φ=5π6+kπ,ω⋅φ=5π3+2kπ,k∈Z. 故选 A.
8.【答案】B
【解析】设点 A,B 的坐标分别为 y122p,y1,y222p,y2, 有 k1=2py1,k2=2py2,k3=y2−y1y222p−y122p=2py1+y2, 由 k3=−2k1, 有 2py1+y2=−2×2py1, 可得 y1y2=−23, 有 k2k1=2py22py1=y1y2=−23. 故选 B.
9.【答案】ACD
【解析】这组数据中 31 出现了 2 次, 出现次数最多, 因此众数是 31 , A 正确;从小到大排列 10 个数据分别为 30,31,31,37,40,46,47,57,62,67,第 5 位和第 6 位为 40 和 46 , 因此中位数是 43 , B 错误;最大值为 67 ,最小值为 30 ,因此极差为 67−30=37, C 正确; 10×10%=1 是整数, 10% 分位数应取第 1 位与第 2 位的平均值, 即 30 和 31 的平均值 30.5 , D 正确. 故选 ACD.
10.【答案】ACD
【解析】 CA+CB=2CE=212+22=25, 故 A 正确;易知 BC//AD,BC⊂⊂ 平面 ADF,AD⊂ 平面 ADF, 所以 BC// 平面 ADF, 由 AF⊥BF,AD⊥BF, 可知 BF⊥ 平面 ADF, 所以直线 BC 到平面 ADF 的距离为 BF=2, 故 B 错误;
异面直线 AD 与 FC 所成角即 BC 与 FC 所成角, 因此余弦值为 BCFC=63, 故 C 正确;易知 AF⊥ 平面 BCF, 即 ∠AFC=90∘, 故 AC 与平面 BCF 所成角的正弦值为 AFAC=12, 故 D 正确. 故选 ACD.
11.【答案】AC
【解析】因为 a10+a15=a12, 所以 a13=0, 即 a1+12d=0. 因为 a1=−12d<0, 所以 d>0, 数列 an 是递增数列,所以 A 正确;
因为数列 an 是递增数列, 所以最小项是首项 a1, 所以 B 错误;
因为 a1<0,a13=0,所以当 n=12 或 n=13 时, Sn 取最小值,所以 C 正确;
由不等式 Sn=dn2n−25<0, 可得 012.【答案】ABD
【解析】设双曲线 C 的标准方程为 x2m2−y2m2=1m>0, 由双曲线 C 的实轴长为 22, 可得 m=2, 可知双曲线 C的标准方程为 x22−y22=1, 故 A 正确;
由上知 F2,0, 则直线 l 的方程为 y=2x−2, 设 Ax1,y1,Bx2,y2, 则 Dx2,−y2, 联立方程 x22−y22=1,y=2x−2, 消去 y 整理得 3x2−16x+18=0, 有 x1+x2=163,x1x2=6, 可得 AB= 1+22×1632−4×6=1023, 故 B正确;
由 x1>2,x2<−2, 有 x2+22<1−22<2, 故不存在直线 l 使得 A 为线段 BF 的中点, 故 C 错误;
设直线 ι 的方程为 my=x−2, 联立方程 x22−y22=1my=x−2, 消去 x 整理得 m2−1y2+4my+2=0, 有 y1+y2= −4mm2−1,y1y2=2m2−1, 直线 AP 斜率为 y1x1−1=y1my1+1, 直线 DP 斜率为 −y2x2−1=−y2my2+1, 若直线 AD 过定点 P, 则 y1my1+1=−y2my2+1, 即 2my1y2+y1+y2=0, 经检验, 上述等式恒成立, 则直线 AD 过定点 P1,0, 故 D 正确. 故选 ABD.
13.【答案】 -2
【解析】 a⋅b−a=a⋅b−a2=2×4×14−22=−2.
14.【答案】1
【解析】由题可知 c=λa+μb, 即 1,0,m=λ1,1,1+μ1,2,1, 故 m=λ+μ=1.
15.【答案】1
【解析】因为 a1=1,a2=2, 且 an+1=an+an+2, 所以 a3=a2−a1=1,a4=a3−a2=−1,a5=a4−a3=−2,a6=a5 −a4=−1,a7=a6−a5=1,a8=a7−a6=2,⋯, 所以 an 是以 6 为周期的数列. 因为 2029=6×338+1, 所以 a2029=a1=1.
16.【答案】 22
【解析】当 ∠MPN=90∘ 时, 由于 M,N 为切点, 所以 OP=2b. 又因为点 P 在椭圆 C 上, 所以 b<2b≤a, 即 2b2≤a2, 解出 22≤e<1.
17.【答案】(1) 60∘ 21
【解析】(1) b2ccsC+c2bcsB=ab2+c2−a2=a⋅2bccsA
⇒bcsC+ccsB=2acsA, 即 sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsA,
即 sinA=2sinAcsA⇒csA=12⇒A=60∘;
(2) 由余弦定理有 a2=b2+c2−bc=b+c2−3bc≥b+c2−3⋅b+c22=1,
当且仅当 b=c=1 时取等号, 故 a 的最小值为 1 .
18.【答案】(1) bn=2n−1 (2) S3=18
【解析】(1) 设 an 的公差为 d,bn 的公比为 q,
由 b3=3+a2, 得 q2=5+d,
又 b2=−2a4, 得 q=−6d−4,
解得 d=−1136,q=−136 (舍去)或 d=−1,q=2,
因此数列 bn 的通项公式为 bn=2n−1;
(2) 由 b1=1,T3=13, 得 q2+q−12=0, 解得 q=3 或 -4 (舍),
当 q=3 时, 由 q2=5+d 得 d=4, 则 S3=3×2+3×22×4=18.
19.【答案】(1) 略 (2) 153
【解析】(1) 证明: 由已知可得 a=5,b=1, 所以双曲线的渐近线方程为 y=±15x,
点 Px0,y0 到直线 y=15x, 即直线 x−5y=0 的距离 d1=x0−5y06,
点 Px0,y0 到直线 y=−15x, 即直线 x+5y=0 的距离 d2=x0+5y06,
所以点 P 到双曲线 C 的两条浙近线的距离的乘积为
d1d2=x0−5y06⋅x0+5y06=x02−5y026,
又 Px0,y0 在双曲线 C 上, 所以 x025−y02=1, 所以 x02−5y02=5, 所以 d1d2=56 是一个常数;
(2) 解: 因为 x025−y02=1, 所以 y02=x025−1≥0, 解得 x0≤−5 或 x0≥5,
所以 PA2=x0−42+y02=x0−42+x025−1=65x02−8x0+15=65x0−1032+53,
当 x0=103 时, PA2 的最小值为 53, 所以 PA 的最小值为 153.
20.【答案】(1) 略 (2) 105
【解析】(1) 证明: 因为 AD⊥ 平面 PAB,PA,AB⊂ 平面 PAB, 所以 AD⊥AB,AD⊥PA,又因为 PA⊥AB, 且 AD∩AB=A, 所以 PA⊥ 平面 ABCD,∠PDA 为 DP 与平面 ABCD 所成的角,
由 ∠PDA=45∘, 有 PA=AD=4, 所以 E 为 PA 中点,
因为 AD//BC,BC⊄ 平面 ADP,AD⊂ 平面 ADP, 所以 BC// 平面 ADP,又因为 BC⊂ 平面 BCE, 平面 BCE∩ 平面 ADP=EF, 所以 BC//EF, 所以 EF//AD,所以 F 为线段 PD 的中点;
(2) 解: 由 (1) 可知 AD,AB,AP 两两垂直, 如图所示, 以 AD,AB,AP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.则 P0,0,4,D4,0,0,C2,2,0,B0,2,0,所以 PD=4,0,−4,CD=2,−2,0, 设平面 PDC 的法向量为 n1=x,y,z,则 n1⋅PD=x,y,z⋅4,0,−4=4x−4z=0,n1⋅CD=x,y,z⋅2,−2,0=2x−2y=0,
取 x=1, 得 n1=1,1,1,设平面 PBC 的法向量为 n2=a,b,c, 由 BC=2,0,0,BP=0,−2,4,则 n2⋅BC=2a=0,n2⋅BP=−2b+4c=0, 取 b=2, 得 n2=0,2,1,
所以 csn1,n2=33×5=155,
所以平面 PDC 与平面 PBC 的夹角的正弦值为 105.
21.【答案】(1) 数列 1+anan 为指数型数列, 证明略 (2) Tn=1−12n+1−1
【解析】(1) 由 an+1an+2an+1=an, 两边同时除以 an+1an 得 1+2an=1an+1,
所以 2+2an=1an+1+1, 且 1+a1a1=1+1a1=2,
所以 1+anan 是首项为 2 , 公比为 2 的等比数列, 所以 1+anan=2×2n−1=2n,
又 1+amam⋅1+anan=2m⋅2n=2m+n,
所以 1+am+nam+n=1+amam⋅1+anan, 所以数列 1+anan 为指数型数列;
(2) 由 (1) 知 1+anan=2n, 所以 an=12n−1,
故 bn=2nan⋅an+1=2n2n−12n+1−1=12n−1−12n+1−1,
所以 Tn=b1+b2+⋯+bn=1−13+13−17+17−115+⋯+12n−1−12n+1−1=1−12n+1−1.
22.【答案】(1) x24+y23=1 (2) 14
【解析】(1) 由 e=ca=12, 可得 a=2c,b=a2−c2=4c2−c2=3c,
可得椭圆 C 的方程为 x24c2+y23c2=1, 代人点 A 的坐标有 112c2+1112c2=1, 解得 c=1,
故椭圆 C 的标准方程为 x24+y23=1;
(2) 由 (1) 知 a=2, 点 T4,0, 当斜率不存在时, 直线 l1 为 x=4, 此时与椭圆 C 无交点,
设点 P,Q,M,N 的坐标分别 x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4, 直线 l2 的方程为 y=kx−1, 直线 l1 的方程为 y=−kx−4,
联立方程 x24+y23=1,y=kx−1, 消去 y 整理得 4k2+3x2−8k2x+4k2−12=0,
有 x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2−124k2+3,
联立方程 x24+y23=1,y=−kx−4, 消去 y 整理得 4k2+3x2−32k2x+64k2−12=0,
有 x3+x4=32k24k2+3,x3x4=64k2−124k2+3,
又由右焦点 F1,0, 有 PF⋅QFTM⋅TN=1+k2x1−1×1+k2x2−11+−k2x3−4×1+−k2x4−4=x1−1×x2−1x3−4×x4−4 =x1x2−x1+x2+1x3x4−4x3+x4+16,
对 x1,x2,x3,x4 消元, 可得到原式 =4k2−124k2+3−8k24k2+3+164k2−124k2+3−128k24k2+3+16=4k2−12−8k2+4k2+364k2−12−128k2+164k2+3=936=14,
故 PF⋅QFTM⋅TN 的值为 14.