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2023-2024学年河北省张家口市张垣联盟高二上学期12月阶段测试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年河北省张家口市张垣联盟高二上学期12月阶段测试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知点在抛物线上，则点到抛物线的准线的距离为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】先根据点在抛物线上，求出；再根据抛物线的定义即可得出答案.
【详解】因为在抛物线上，
所以，解得，
故抛物线的准线为，
所以点到抛物线的准线的距离为.
故选：B.
2．已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．1B．-5C．1或-5D．1或-8
【答案】C
【分析】利用点到直线的距离求解.
【详解】因为两点到直线的距离相等，
所以或，
故选：C.
3．双曲线经过一､三象限的渐近线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得双曲线的渐近线，进而求得正确答案.
【详解】令，得，经过一､三象限的渐近线方程为，
其倾斜角为.
故选：B
4．若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】B
【分析】根据题意，由求解.
【详解】解：由题意得，
解得.
故选：B.
5．四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量的线性运算由表示求解.
【详解】解：由题意，
，
又，不共面，
则.
故选：A.
6．在抛物线上有三点.为其焦点，且为的重心，则（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】A
【分析】先根据为的重心，得；再设出的坐标，表示出的坐标，得；最后根据抛物线的定义即可得出结果.
【详解】
为的重心
故.
设抛物线上的点的坐标分别为
抛物线为其焦点
，
.
，即
点在抛物线上
，，，
.
故选：A.
7．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先利用作差法、中点坐标公式及斜率公式求出；再根据点斜式方程即可解答.
【详解】设，
则.
两式作差可得，
即.
又 是的中点，
则，
，即.
，
直线的方程为，即.
经检验，符合题意.
故弦所在直线的方程为：.
故选：B.
8．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出直线恒过的定点，根据斜率公式即可求解.
【详解】由直线，
变形可得，由，解得，
可得直线恒过定点，
则，
若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为.
故选：A.
二、多选题
9．对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向下，准线方程为
B．开口向下，焦点为
C．开口向左，焦点为
D．开口向左，准线方程为
【答案】AB
【分析】先化为标准方程，求得焦点坐标和准线方程即可判断.
【详解】由题设，抛物线可化为，
开口向下，焦点为，准线方程为.所以AB正确，CD错误.
故选：AB.
三、单选题
10．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，若椭圆上有4个点使得，则的离心率可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】设，则，根据，可得，结合基本不等式可得，结合离心率公式及已知条件即可得解.
【详解】设，依题意有①，
又，所以②，
易知，所以②除以①的平方得，，
所以，即或（舍去），当且仅当时取等号，
这时有2个点使得，故舍去，
又椭圆的离心率，所以.
故选：CD.
四、多选题
11．若是双曲线上一点，为的左､右焦点，则下列结论中正确的是（ ）
A．双曲线的实轴长为
B．若，则三角形的周长为
C．的最小值是
D．双曲线的焦点到渐近线的距离是2
【答案】BC
【分析】由双曲线方程可直接得到；由的关系和向量垂直得到，再确定周长即可；由双曲线的意义可直接确定C；由渐近线方程和点到直线的距离可确定D.
【详解】对于，由双曲线得，则，即，故双曲线实轴长为，故错误；
对于，由，即，设，因为，
则，所以，解得，则的周长为，故B正确；
对于，易知，故C正确；
对于，由选项知，双曲线焦点为，渐近线为，即，
所以焦点到渐近线的距离为，故错误.
故选：.
12．已知点分别在圆和圆上.则（ ）
A．的最小值为3
B．的最大值为8
C．若成为两圆的公切线，方程可以是
D．若成为两圆的公切线，方程可以是
【答案】BC
【分析】先判断两圆的位置关系；再结合图形即可判断选项A、B；采用验证法，根据圆心到直线的距离可判断选项C、D.
【详解】圆的圆心坐标，半径，
圆，即的圆心坐标，半径.
圆心距，所以两圆外离.
又在圆上，在圆上
则的最小值为，最大值为，故选项A错误，选项B正确；
因为到直线的距离，
M到直线的距离，
所以是两圆的公切线，故选项C正确；
因为到直线的距离，所以是圆的切线，
但到直线的距离，故选项D错误.
故选：BC.
五、填空题
13．双曲线的焦点为，点在双曲线上，若，则 .
【答案】21
【分析】先根据双曲线方程得；再根据双曲线的定义列出关系式求解即可.
【详解】由，得，得.
因为，
所以5或，
解得（舍去）或.
故答案为：21.
14．已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据两圆外切时半径与圆心的关系得出，即可得出，根据双曲线的定义得出点的轨迹为双曲线的上支，设出其方程为，根据双曲线的定义列式解出与，即可得出答案.
【详解】当圆与圆均外切时，，
所以，
则点的轨迹为双曲线的上支，设轨迹方程为，
则，
则，
所以轨迹方程为.
故答案为：.
15．已知抛物线，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上的另一点，则的坐标为 .
【答案】
【分析】由入射光线平行于轴得点坐标，再由反射光线过焦点，求出反射光线所在直线方程，与抛物线联立求出的坐标.
【详解】光线平行于轴,从点射入，则有，
根据抛物线性质，直线过抛物线焦点，抛物线的焦点为，
直线的斜率为，则直线的方程为，
代入抛物线的方程解得或，可得的坐标为.
故答案为：
16．几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段.某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】作出辅助线，根据二面角的大小得到，从而求出，得到离心率.
【详解】如图所示：切面与底面的二面角的平面角为，
故，
设圆半径为，则，
设椭圆的长轴长及短轴长分别为，故，
故，所以.
故答案为：
六、问答题
17．求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)经过点，且与双曲线具有相同的渐近线；
(2)与椭圆共焦点，且过点.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同渐近线的双曲线方程的关系设要求双曲线的标准方程为，即可代点求得，得出其方程.
（2）根据已知得出焦点坐标为，在轴上，设出所求方程，根据双曲线定义列式解出，即可得到答案.
【详解】（1）因为所求双曲线与双曲线具有相同的渐近线，
故设要求双曲线的标准方程为，
代入点，得，
则双曲线的方程为
（2）椭圆的焦点坐标为，在轴上.
所以设所求双曲线的方程为.
则，解得：，
即所求方程为：.
七、解答题
18．菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.
(1)求边所在直线的方程；
(2)求对角线所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据菱形的性质得；再根据相互平行直线斜率相等及斜率公式计算；最后利用点斜式方程即可解答.
（2）先求出线段的中点坐标及；再根据菱形性质、相互垂直直线斜率之间关系及点斜式方程即可解答.
【详解】（1）
由菱形的性质可知:.
边所在直线过点，点坐标为，
则.
又点坐标为，
边所在直线的方程为，即.
所以边所在直线的方程为.
（2），
线段的中点为，且.
由菱形的几何性质可知：且为的中点.
则.
所以对角线所在直线的方程为，
即.
所以对角线所在直线的方程为：.
八、问答题
19．数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，且的欧拉线的方程为，若外接圆圆心记为.
(1)求圆的方程；
(2)过点引圆的切线，求切线的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得线段AB的中垂线方程，再与欧拉线方程联立求得圆心即可；
（2）利用圆的切线长公式求解.
【详解】（1）因，则的中点为，
又，则的中垂线方程为.
将其与欧拉线方程联立有，解得
故的外心为，则外接圆半径为，
故圆的方程为.
（2）设切点为，由题有，
故切线的长.
九、解答题
20．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合.
(1)求的方程；
(2)若直线与相交于两点，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出双曲线的焦点坐标，即可确定抛物线焦点，求得p，即可求得答案；
（2）联立抛物线和直线方程，可得根与系数的关系式，利用弦长公式，即可求得答案.
【详解】（1）双曲线即，焦点坐标为，
又抛物线的焦点，
，即.
抛物线的方程为；
（2）将抛物线方程与直线方程联立得，消去，得，
，设，
则，
故
21．如图，四棱锥中，底面是矩形，，且.
(1)求证：平面；
(2)若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点满足条件，是上靠近点的三等分点.
【分析】（1）由已知条件可证明平面，故，同理可得，可得平面.
（2）建立空间直角坐标系，设，利用向量法求二面角的余弦值，解出得点的位置.
【详解】（1），，平面，，
故平面，平面，故，
同理可得，，平面，
故平面
（2）如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系.
则
设，则，
有，，
平面的一个法向量是，设平面的一个法向量是，
则，
取得，即
，解得，
即存在点满足条件，是上靠近点的三等分点.
22．以双曲线的顶点为焦点，离心率倒数的平方为离心率作一椭圆.
(1)求的标准方程；
(2)已知为的左焦点，过的直线与椭圆交于两点（在上方），且，若，求斜率的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由焦点坐标和离心率求椭圆标准方程；
（2）设直线的方程，与椭圆联立方程组，由结合韦达定理，把斜率表示为的的函数，利用单调性求取值范围.
【详解】（1）因为双曲线的顶点为，
所以椭圆的焦点为，
因为双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率为，
设椭圆的标准方程为：，
椭圆的焦距为，则，依题意，则，于是，
因为，所以，
故椭圆的标准方程为：.
（2）在椭圆中，，
过的直线与椭圆交于两点（在上方），且，，
当直线斜率不存在时，显然不成立.
当直线斜率存在时设方程为，，
由得①
联立消去得，
，
②
且③.
由①②得：，代入③中得：，
因为当时，不成立，
，
函数，
时，，
由，有，，则，
，，在上单调递减，
则有，得，
由在上方且，所以.
所以斜率的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
一、单选题
1．已知点在抛物线上，则点到抛物线的准线的距离为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】先根据点在抛物线上，求出；再根据抛物线的定义即可得出答案.
【详解】因为在抛物线上，
所以，解得，
故抛物线的准线为，
所以点到抛物线的准线的距离为.
故选：B.
2．已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．1B．-5C．1或-5D．1或-8
【答案】C
【分析】利用点到直线的距离求解.
【详解】因为两点到直线的距离相等，
所以或，
故选：C.
3．双曲线经过一､三象限的渐近线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得双曲线的渐近线，进而求得正确答案.
【详解】令，得，经过一､三象限的渐近线方程为，
其倾斜角为.
故选：B
4．若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】B
【分析】根据题意，由求解.
【详解】解：由题意得，
解得.
故选：B.
5．四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量的线性运算由表示求解.
【详解】解：由题意，
，
又，不共面，
则.
故选：A.
6．在抛物线上有三点.为其焦点，且为的重心，则（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】A
【分析】先根据为的重心，得；再设出的坐标，表示出的坐标，得；最后根据抛物线的定义即可得出结果.
【详解】
为的重心
故.
设抛物线上的点的坐标分别为
抛物线为其焦点
，
.
，即
点在抛物线上
，，，
.
故选：A.
7．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先利用作差法、中点坐标公式及斜率公式求出；再根据点斜式方程即可解答.
【详解】设，
则.
两式作差可得，
即.
又 是的中点，
则，
，即.
，
直线的方程为，即.
经检验，符合题意.
故弦所在直线的方程为：.
故选：B.
8．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出直线恒过的定点，根据斜率公式即可求解.
【详解】由直线，
变形可得，由，解得，
可得直线恒过定点，
则，
若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为.
故选：A.
二、多选题
9．对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向下，准线方程为
B．开口向下，焦点为
C．开口向左，焦点为
D．开口向左，准线方程为
【答案】AB
【分析】先化为标准方程，求得焦点坐标和准线方程即可判断.
【详解】由题设，抛物线可化为，
开口向下，焦点为，准线方程为.所以AB正确，CD错误.
故选：AB.
三、单选题
10．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，若椭圆上有4个点使得，则的离心率可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】设，则，根据，可得，结合基本不等式可得，结合离心率公式及已知条件即可得解.
【详解】设，依题意有①，
又，所以②，
易知，所以②除以①的平方得，，
所以，即或（舍去），当且仅当时取等号，
这时有2个点使得，故舍去，
又椭圆的离心率，所以.
故选：CD.
四、多选题
11．若是双曲线上一点，为的左､右焦点，则下列结论中正确的是（ ）
A．双曲线的实轴长为
B．若，则三角形的周长为
C．的最小值是
D．双曲线的焦点到渐近线的距离是2
【答案】BC
【分析】由双曲线方程可直接得到；由的关系和向量垂直得到，再确定周长即可；由双曲线的意义可直接确定C；由渐近线方程和点到直线的距离可确定D.
【详解】对于，由双曲线得，则，即，故双曲线实轴长为，故错误；
对于，由，即，设，因为，
则，所以，解得，则的周长为，故B正确；
对于，易知，故C正确；
对于，由选项知，双曲线焦点为，渐近线为，即，
所以焦点到渐近线的距离为，故错误.
故选：.
12．已知点分别在圆和圆上.则（ ）
A．的最小值为3
B．的最大值为8
C．若成为两圆的公切线，方程可以是
D．若成为两圆的公切线，方程可以是
【答案】BC
【分析】先判断两圆的位置关系；再结合图形即可判断选项A、B；采用验证法，根据圆心到直线的距离可判断选项C、D.
【详解】圆的圆心坐标，半径，
圆，即的圆心坐标，半径.
圆心距，所以两圆外离.
又在圆上，在圆上
则的最小值为，最大值为，故选项A错误，选项B正确；
因为到直线的距离，
M到直线的距离，
所以是两圆的公切线，故选项C正确；
因为到直线的距离，所以是圆的切线，
但到直线的距离，故选项D错误.
故选：BC.
五、填空题
13．双曲线的焦点为，点在双曲线上，若，则 .
【答案】21
【分析】先根据双曲线方程得；再根据双曲线的定义列出关系式求解即可.
【详解】由，得，得.
因为，
所以5或，
解得（舍去）或.
故答案为：21.
14．已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据两圆外切时半径与圆心的关系得出，即可得出，根据双曲线的定义得出点的轨迹为双曲线的上支，设出其方程为，根据双曲线的定义列式解出与，即可得出答案.
【详解】当圆与圆均外切时，，
所以，
则点的轨迹为双曲线的上支，设轨迹方程为，
则，
则，
所以轨迹方程为.
故答案为：.
15．已知抛物线，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上的另一点，则的坐标为 .
【答案】
【分析】由入射光线平行于轴得点坐标，再由反射光线过焦点，求出反射光线所在直线方程，与抛物线联立求出的坐标.
【详解】光线平行于轴,从点射入，则有，
根据抛物线性质，直线过抛物线焦点，抛物线的焦点为，
直线的斜率为，则直线的方程为，
代入抛物线的方程解得或，可得的坐标为.
故答案为：
16．几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段.某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】作出辅助线，根据二面角的大小得到，从而求出，得到离心率.
【详解】如图所示：切面与底面的二面角的平面角为，
故，
设圆半径为，则，
设椭圆的长轴长及短轴长分别为，故，
故，所以.
故答案为：
六、问答题
17．求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)经过点，且与双曲线具有相同的渐近线；
(2)与椭圆共焦点，且过点.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同渐近线的双曲线方程的关系设要求双曲线的标准方程为，即可代点求得，得出其方程.
（2）根据已知得出焦点坐标为，在轴上，设出所求方程，根据双曲线定义列式解出，即可得到答案.
【详解】（1）因为所求双曲线与双曲线具有相同的渐近线，
故设要求双曲线的标准方程为，
代入点，得，
则双曲线的方程为
（2）椭圆的焦点坐标为，在轴上.
所以设所求双曲线的方程为.
则，解得：，
即所求方程为：.
七、解答题
18．菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.
(1)求边所在直线的方程；
(2)求对角线所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据菱形的性质得；再根据相互平行直线斜率相等及斜率公式计算；最后利用点斜式方程即可解答.
（2）先求出线段的中点坐标及；再根据菱形性质、相互垂直直线斜率之间关系及点斜式方程即可解答.
【详解】（1）
由菱形的性质可知:.
边所在直线过点，点坐标为，
则.
又点坐标为，
边所在直线的方程为，即.
所以边所在直线的方程为.
（2），
线段的中点为，且.
由菱形的几何性质可知：且为的中点.
则.
所以对角线所在直线的方程为，
即.
所以对角线所在直线的方程为：.
八、问答题
19．数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，且的欧拉线的方程为，若外接圆圆心记为.
(1)求圆的方程；
(2)过点引圆的切线，求切线的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得线段AB的中垂线方程，再与欧拉线方程联立求得圆心即可；
（2）利用圆的切线长公式求解.
【详解】（1）因，则的中点为，
又，则的中垂线方程为.
将其与欧拉线方程联立有，解得
故的外心为，则外接圆半径为，
故圆的方程为.
（2）设切点为，由题有，
故切线的长.
九、解答题
20．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合.
(1)求的方程；
(2)若直线与相交于两点，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出双曲线的焦点坐标，即可确定抛物线焦点，求得p，即可求得答案；
（2）联立抛物线和直线方程，可得根与系数的关系式，利用弦长公式，即可求得答案.
【详解】（1）双曲线即，焦点坐标为，
又抛物线的焦点，
，即.
抛物线的方程为；
（2）将抛物线方程与直线方程联立得，消去，得，
，设，
则，
故
21．如图，四棱锥中，底面是矩形，，且.
(1)求证：平面；
(2)若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点满足条件，是上靠近点的三等分点.
【分析】（1）由已知条件可证明平面，故，同理可得，可得平面.
（2）建立空间直角坐标系，设，利用向量法求二面角的余弦值，解出得点的位置.
【详解】（1），，平面，，
故平面，平面，故，
同理可得，，平面，
故平面
（2）如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系.
则
设，则，
有，，
平面的一个法向量是，设平面的一个法向量是，
则，
取得，即
，解得，
即存在点满足条件，是上靠近点的三等分点.
22．以双曲线的顶点为焦点，离心率倒数的平方为离心率作一椭圆.
(1)求的标准方程；
(2)已知为的左焦点，过的直线与椭圆交于两点（在上方），且，若，求斜率的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由焦点坐标和离心率求椭圆标准方程；
（2）设直线的方程，与椭圆联立方程组，由结合韦达定理，把斜率表示为的的函数，利用单调性求取值范围.
【详解】（1）因为双曲线的顶点为，
所以椭圆的焦点为，
因为双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率为，
设椭圆的标准方程为：，
椭圆的焦距为，则，依题意，则，于是，
因为，所以，
故椭圆的标准方程为：.
（2）在椭圆中，，
过的直线与椭圆交于两点（在上方），且，，
当直线斜率不存在时，显然不成立.
当直线斜率存在时设方程为，，
由得①
联立消去得，
，
②
且③.
由①②得：，代入③中得：，
因为当时，不成立，
，
函数，
时，，
由，有，，则，
，，在上单调递减，
则有，得，
由在上方且，所以.
所以斜率的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
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