2023-2024学年湖北省重点高中智学联盟高二上学期12月联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖北省重点高中智学联盟高二上学期12月联考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．复平面内复数的共轭复数为，若，则复数对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】首先分析题意，利用复数相关知识进行分析即可.
【详解】由于，对应的点为，在第一象限.
故选：A.
2．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A．B．
C．或D．与的位置关系不能判断
【答案】C
【分析】利用空间向量垂直的坐标表示计算即可.
【详解】易知，即的方向向量与平面的法向量垂直，
所以有或.
故选：C
3．已知抛物线（）上的点到焦点的距离为3，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】首先分析题意，根据抛物线定义解出方程即可.
【详解】抛物线的准线方程的为，由抛物线的定义可得，解得，
故选：B.
4．已知，，，的夹角为，则（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【分析】首先由数量积公式求得，又，代入求解即可.
【详解】因为，，，的夹角为，
所以，
解得，
，
故选：C.
5．是圆上的动点，若到两条直线：和：的距离之和与动点的位置无关，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图形，结合图形可知当圆位于直线与之间时即为所求，根据直线与圆相切时是临界值即可求解.
【详解】圆心坐标，圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，因为直线与直线平行，如图，
由图可知，当圆位于两直线与之间时，
点到直线和的距离之和与点的位置无关，
此时点到两直线和的距离之和即为与两平行直线间的距离，
当直线与圆相切时，，解得或（舍去），
所以，即实数的取值范围是.
故选：D.
6．已知，分别为双曲线：（，）的左右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由圆的性质可得，再结合求出，，利用双曲线定义可得离心率的值.
【详解】如图：
由圆的性质可得，
由于，所以，
，
所以，
结合双曲线的定义可知：，
所以.
故选：C.
7．已知点为椭圆（）的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出直线的斜率为，设，，再利用点差法求出直线的斜率为，利用斜率相等可得的值，从而得到椭圆方程.
【详解】
因为，，
所以直线的斜率为，
设，，则①，②，
①-②得：，
即，
因为是的中点，所以，，
所以，所以，
因为，所以，即，所以，
所以，所以，所以椭圆的方程为，
故选：D.
8．如图是四棱锥的平面展开图，四边形是矩形，，，，，，则在四棱锥中，与平面所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出直观图，证明出线面垂直，得到即为与平面所成角，求出各边长，求出正切值.
【详解】如图，四棱锥中，
由题意得，，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又四边形是矩形，所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
故即为与平面所成角，
其中，
，，
所以，
又，，由勾股定理得，
所以.
故选：D
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若事件和事件互斥，则
B．若事件和事件对立，则
C．若，则事件和事件独立
D．若三个事件、、两两独立，则
【答案】ABC
【分析】利用独立事件的概率公式相关知识，由于互斥事件的性质得A正确，相互独立事件基本知识可得B正确，对于D首先分析题意再进行公式运算即可得出答案.
【详解】对于A:由于互斥事件的性质得，若事件A,B互斥，则.故A正确.
对于B:由于相互独立事件基本知识可得：.故B正确.
对于C:由于，可得事件和事件独立.故C正确.
对于D:满足
所以事件A，B，C 两两独立，但是
故D 错误.故选D.
故选：ABC.
10．设、分别是双曲线：（）的左、右焦点，过作轴的垂线与交于、两点，若为正三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．双曲线的焦距为D．的内切圆与轴相切于点
【答案】BD
【分析】根据给定条件，求出，再逐项分析判断即得.
【详解】令双曲线：的半焦距为c，则，直线，
而双曲线实半轴长，由，得，即，
由为正三角形，得，又，解得，A错误，
，B正确；
显然，因此双曲线的焦距为，C错误；
令的内切圆与边相切的切点分别为，设点，
则，即有，解得，
因此的内切圆与轴相切于点，D正确.
故选：BD
11．在边长为2的正方体中，动点满足（），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线与所成的角为
B．三棱锥的体积为定值
C．若，则直线与平面所成的角为
D．若，则三棱锥的外接球的表面积为
【答案】BD
【分析】当时，确定与点重合，通过平移，找到两直线所成的角，放在三角形中求出，确定A的真假；确定三棱锥的底面积和高，求三棱锥的体积，确定B的真假；当时，为中点，根据已知求直线与平面所成的角，判断C的真假，求三棱锥外接球的半径，确定D的真假.
【详解】对A：当时，点与点重合，如图：
因为，所以（）就是直线与直线所成的角，连接，则为等边三角形，故，所以A错误；
对B：如图：
因为，平面，平面，所以：平面，所以：点到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
对C：当时，为中点，如图：
易证就是直线与平面的所成角.在直角中，，所以所求角不是，故C错误.
对D：因为为中点，如图：
易证，又，所以的中点即为三棱锥外接球的球心，所以外接球半径为，所以其外接球的表面积为：，故D正确.
故选：BD
12．已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线与轴的交点，，是抛物线上异于坐标原点的两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线过点，则
B．若直线过点，则的最小值为4
C．若直线过点，则直线，的斜率之和
D．若直线过点，则
【答案】BCD
【分析】A、C由直曲联立，由韦达定理得到；B由基本不等式得到；D讨论斜率存在与否，再由直曲联立，结合韦达定理和向量垂直的充分必要条件得到.
【详解】
A:设直线，联立方程组，
可得，且，则，故A不正确；
B: ,当且仅当时取等号；故B正确；
C：，
将代入可得，
原式，故C正确；
D：当斜率不存在的时候，直线方程为，交点坐标，
此时，，故；
当斜率存在的时候设为
，
则，
联立，得到，，
，
把代入得到


，
故，故D正确.
故选：BCD
【点睛】本题考查与抛物线的焦点弦相关问题，利用数形结合和韦达定理，还有基本不等式可求得.
A、C由直曲联立，由韦达定理得到；B由基本不等式得到；D讨论斜率存在与否，再由直曲联立，结合韦达定理和向量垂直的充分必要条件得到.
三、填空题
13．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
【答案】
【分析】利用向量在向量上的投影向量的定义求解.
【详解】解：因为平面向量，，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为：
，
故答案为：
14．已知样本，，，，的平均数为5，若，，，，的平均数为34．则样本，，，，的方差为 ．
【答案】9
【分析】由方差公式，结合题干的条件即可求解.
【详解】设数据的方差为 ，则
故答案为：9.
15．已知圆台上、下底而的圆的半径分别为3和6，该圆台的体积为，则该圆台的侧面积为 ．
【答案】
【分析】设圆台的高为，母线为，根据圆台的体积公式求出，从而求出母线，最后由侧面积公式计算可得.
【详解】设圆台的高为，母线为，则，解得，
所以，
则圆台的侧面积.
故答案为：
16．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题解决，如与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．依上思想，已知，，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据几何意义将转化为抛物线上的点到圆上点距离的最小值问题，借助导数求解即可.
【详解】化为，
可以转化为到的距离，
其中可以看成上一点，可以看成上一点，
最短距离可以转化为点到圆心的最短距离减半径.
则到圆心距离为，
令，，
令，则，则，
则单调递增，显然当时，，
所以当时，，当时，，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
所以当时，，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】将目标函数转化为抛物线点到圆上点距离最小值问题，借助圆心到抛物线上点距离最小值求解.
四、解答题
17．（1）已知抛物线（）的焦点坐标为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，求弦长；
（2）已知双曲线：（，）的实轴长为2，且它的渐近线与圆相切，求双曲线的焦点到渐近线的距离．
【答案】（1）；（2）2
【分析】（1）首先分析题意，利用抛物线基本定理，联立抛物线方程与直线进行分析.
（2）首先分析题意，先求出实轴长，再解出渐近线方程，进而求出双曲线的焦点到渐近线的距离为2.
【详解】（1）由抛物线（）的焦点为，得抛物线的方程为
直线过点且倾斜角为，则直线的方程为，
联立得：，
则
（2）双曲线的实轴长为
则双曲线：，则渐近线方程为：，
故，
故双曲线的渐近线方程为：，取右焦点为，
则双曲线的焦点到渐近线的距离为.
18．随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计该100名学生身高的80%分位数：
(2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，再从这6人中任选2人出来，求这2人来自不同小组的概率．
【答案】(1)，177.5
(2)
【分析】（1）利用频率分布直方图小长方形面积和的定义结合80%分位数的定义即可.
（2）先求出分层比，后依据古典概型的概率公式求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得．
身高在的人数占比为，身高在的人数占比为，
所以该100名学生身高的80%分位数落在内，可知恰好为区间的中点，
故该100名学生身高的80%分位数为177.5．
（2）组人数为，组人数为，组人数为，
由题意可知组抽取人数为，组抽取人数为，
组抽取人数为．
设抽取的人组为1，2，3，组为4，5，组为6，
共有15个基本事件，分别为，，，，，，，，，
，，，，，，故6人中任选2人的基本事件数为15，
则2人来自不同小组方法数为，，，，，，，，，，，共11种，
故这2人来自不同小组的概率．
19．如图：平行六面体中，，且，，记，，．
(1)将用，，表示出来，并求；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用向量线性运算可得，由向量数量积的定义和运算律得，由此可得结果；
（2）可知，，由数量积的运算律结合向量的夹角公式求异面直线夹角.
【详解】（1），
，，，，．
．
（2），
，
，，
．
异面直线与所成角的余弦值为.
20．圆过、两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)若直线在轴上的截距是轴上的截距的2倍，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)，，
【分析】（1）先求得两点，的中垂线方程，再与联立，求得圆心即可；
（2）先由直线且被圆截得的弦长为6，求得圆到直线的距离，再分截距为零和不为零求解.
【详解】（1）解：两点，的中垂线方程为：，
联立，解得圆心，
则，
故圆的方程为：；
（2）由直线且被圆截得的弦长为6，
故圆心到直线的距离为，
A．若直线过原点，可知直线的斜率存在，设直线为：，
，此时直线的方程为：
A．若直线不过原点，设直线为：，
，
此时直线的方程为：，
综上：直线的方程为：，，.
21．如图，为圆柱底面的直径，是圆柱底面的内接正三角形，和为圆柱的两条母线，且．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直和面面垂直的判定定理求解即可；
（2）利用空间向量求解即可.
【详解】（1）因为为圆柱底面的直径，所以．
因为为圆柱的母线，底面
故，又，平面,
故平面．
由和为圆柱的两条母线知四边形为矩形，
因此，故平面．
又因为平面，所以平面平面．
（2）由题意知，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，是圆柱底面的内接正三角形，
所以,且,
所以≌,
故，
所以，，
，，
过作，垂足为，
，，
故点的坐标为，
，
由平面，可设平面的法向量为，
设平面的法向量为，
由，，即，
令，解得
则，
设二面角的平面角为，
故二面角的正弦值为．
22．已知椭圆：（）的离心率，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作椭圆的两条互相垂直的弦、，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)过定点
【分析】（1）根据椭圆和离心率的定义求出椭圆方程；
（2）方法一：斜率不存在时，求出；存在时设：，直曲联立，利用韦达定理和直线过定点找到之间的关系，找到定点.
方法二：齐次化法.
【详解】（1），，
又，，
故椭圆的方程为
（2）
法一：当直线的斜率不存在时，
设，，
代入，得：（舍），
此时：
当直线的斜率存在时，设：，联立得：
，，
，，
，
，
代入整理得：，
，
当，此时：，过定点，舍去．
当，此时：，过定点
综上有，直线始终过定点
法二：利用齐次式：依题意可知：设：，
椭圆的方程为，，
则：，
即：
A：当，的斜率存在时，，
即：
，，
此时：，
即：，故，
此时直线是否过定点．
B：当，的斜率一个为0，另一个不存在时，不妨取，，
此时直线：，也过点，
综上有，直线始终过定点．
【点睛】本题考查椭圆性质的理解和定点问题.第一问直接利用椭圆的定义和性质解出即可；第二问可采用一般方法，注意斜率是否存在，设出直线方程，直曲联立，由韦达定理找到定点.也可采用齐次化法.