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2024年高一上学期期末数学备考分类汇编（北京专用）专题05 函数零点及函数模型的应用解析
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这是一份2024年高一上学期期末数学备考分类汇编（北京专用）专题05 函数零点及函数模型的应用解析，共27页。试卷主要包含了”是“在，上存在零点”的，下列区间包含函数零点的为，已知函数，函数的零点所在的大致区间是，已知函数，其中且等内容，欢迎下载使用。
零点概念的理解
1．（2023春•东城区校级期末）已知函数，，，则“”是“函数有零点”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】方程的判别式为△．
若，则△，方程有根，即函数有零点；
反之，函数有零点，则方程有根，需△，不一定小于0．
“”是“函数有零点”的充分而不必要条件．
故选：．
2．（2021秋•西城区期末）已知函数的图象在区间，上连续不断，则“（1）（2）”是“在，上存在零点”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】由（1）（2）可知、（1）、（2）中至少有一个0或2正1负或2负1正，
由此可得在，上存在零点；
若在，上存在零点，（1）（2）不一定为0．
故选：．
3．（2023春•东城区校级期末）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是
A．B．C．D．
【解析】对于，，则函数不表示奇函数，故错误；
对于，由对勾函数的图象可知，函数在定义域内无零点，故错误；
对于，，函数是奇函数，
由，得，则，函数有零点，故正确；
对于，由幂函数的图象可知，该函数是定义域上的奇函数，但无零点，故错误．
故选：．
判断零点所在的区间
4．（2022秋•延庆区期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
A．B．C．D．
【解析】易得函数为减函数，
，
，
，
，，根据幂函数单调性可知，
，，
可得（3）（4），则函数包含零点的区间是．
故选：．
5．（2022秋•海淀区校级期末）下列区间包含函数零点的为
A．B．C．D．
【解析】函数是增函数，
经计算（1），（2），（1）（2），
故函数的零点所在区间为，
故选：．
6．（2022秋•顺义区期末）已知函数．在下列区间中，包含零点的是
A．B．C．D．
【解析】因为是上的增函数，是上的增函数，
函数是上的增函数，
又，（1），可得（1），
由零点判定定理可知：函数包含零点的区间是：．
故选：．
7．（2021秋•顺义区期末）函数的零点所在的大致区间是
A．B．C．D．
【解析】在上是增函数，
（1），（2），
（2）（1），根据零点存在性定理，可得函数的零点所在区间为．
故选：．
根据函数零点的分布求参数范围
8．（2022秋•东城区校级期末）设常数，函数，若函数在，时有零点，则实数的取值范围是 ．
【解析】，函数在，时有零点，
在，时有零点，
当时，无解，故，
令，，，则，，题意转化为在，时有解，
令，则在，上单调递增，
，，
，解得，即，，
故答案为：，．
9．（2022秋•房山区期末）已知函数，其中且．若关于的方程的解集有3个元素，则的取值范围为
A．B．C．D．
【解析】当时，则有无数解，不合题意；
当且时，，，方程至多有一解，不合题意；
当时，作出函数的大致图象，
要使关于的方程的解集有3个元素，
则，解得，
所以的取值范围为．
故选：．
10．（2022秋•西城区校级期末）已知函数，若方程的实根在区间，上，则的所有可能值是 ．
【解析】①由方程：，解得，故，
②由于方程，即方程且，分别作出左右两边函数的图象，
从图象上可得出：方程在区间和内各有一个实根，
下面证明：方程：在区间．和内各有一个实根函数，在区间和内各有一个零点，
函数在区间是增函数，又（1），（2），
即（1）（2），由零点存在性定理知，函数 在区间内仅有一个零点，
即方程： 在区间内有且仅有一个实根，
同理得方程在区间内有且仅有一个实根，
或1．
故答案为：，或1．
求函数零点或方程根的个数
11．（2023春•东城区校级期末）函数在区间内零点的个数为
A．0B．1C．2D．3
【解析】根据题意，函数在区间内零点的个数，
即函数与函数在区间内交点个数，
作图可得，这两个函数有2个交点，
即函数在区间内有2个零点．
故选：．
12．（2022秋•石景山区期末）已知函数，则的零点个数为
A．0B．1C．2D．3
【解析】函数的零点为方程的根，
函数与函数的图象如下：
所以函数与函数有两个交点，
所以方程有两个实数根，
所以函数有两个零点，
故选：．
13．（2023春•海淀区校级期末）函数的零点的个数为
A．0B．1C．2D．3
【解析】函数的零点的个数即为与的图像交点个数，
在同一坐标系内作出与的图像，如图：
，
由图可得：只有一个交点，即函数的零点的个数为1．
故选：．
14．（2021秋•朝阳区期末）已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若（1），则函数在区间内的零点个数至少为
A．1B．2C．3D．4
【解析】奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若（1），可知，
（2）（1），所以（1）（2），所以函数在之间至少一个零点，由奇函数的性质可知函数在之间至少一个零点，
所以函数在区间内的零点个数至少为3个．
故选：．
15．（2022秋•朝阳区期末）函数的零点的个数为
A．0B．1C．2D．3
【解析】作出的图像，如下图所示：
由图像易知，与轴有两个交点，所以零点的个数为2，
故选：．
16．（2022秋•朝阳区期末）已知函数，有如下四个结论：
①函数在其定义域内单调递减；
②函数的值域为；
③函数的图象是中心对称图形；
④方程有且只有一个实根．
其中所有正确结论的序号是
A．①②B．②③C．①③D．③④
【解析】的定义域为，
所以在上递增，①错误；
由于，
所以的值域为，②错误；
由于，
所以是奇函数，图象关于原点对称，③正确；
由得，
构造函数在上单调递增，
，
所以在上存在唯一零点，即方程有且只有一个实根，④正确．
所以正确结论的序号是③④．
故选：．
17．（2021秋•昌平区期末）已知函数．给出下面四个结论：
①的定义域是；
②是偶函数；
③在区间上单调递增；
④的图像与的图像有4个不同的交点．
其中正确的结论是
A．①②B．③④C．①②③D．①②④
【解析】对于①，，
的定义域为，故①正确，
对于②，，且定义域关于原点原点对称，
故为偶函数，故②正确，
对于③，，
（1），（2），故③错误，
对于④，由题意可得，，即，
当时，，解得或，
当时，，解得或，
综上所述，的图像与的图像有4个不同的交点，故④正确．
故选：．
根据函数零点的个数求参数范围
18．（2022春•北京期末）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是
A．B．，C．，D．，，
【解析】因为单调递增，先减后增，
故①，当时，有一个零点，当时，有一个零点，则要求，解得；
（2）当时，没有零点，当时，有两个零点，则要求或，
解得：；
综上：实数的取值范围是
故选：．
19．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数，方程有两个实数解，则的范围是 ．
【解析】函数的图象如图，
作出直线，观察图象，或时，直线与曲线有两个交点，故实数的取值范围是或．
故答案为：或．
20．（2022秋•怀柔区期末）已知函数，当时，则 ；若函数有三个零点，则实数的取值范围是 ．
【解析】时，，（3），故；
函数有三个零点，即为与的图象有三个不同交点，
首先在，上需先减后增，则满足①，
此时在上递减，故还需，
解得，结合①式得即为所求．
故答案为：．
21．（2021秋•怀柔区期末）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是
A．，B．C．D．，
【解析】函数，
由可得，
其图象如图所示，结合函数的图象可知，，
故选：．
22．（2022秋•大兴区期末）已知函数，若，则函数的值域为 ；若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 ．
【解析】函数，
若，则函数，
当时，单调递增，（1），故，
当时，，对称轴为，，故，
故的值域为，．
若函数恰有三个零点，
当时，令，解得，
此时函数有且只有1个零点，
则当时，函数必有2个零点，即在时有2个根．
设，
则在上有2个零点．
的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，
故在上单调递减，在上单调递增，
，
要使在上有2个零点，需，解得．
故．
故答案为：，；．
23．（2022秋•西城区校级期末）已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
【解析】方程有三个不同的实数根，即函数与函数的图象有三个交点，
作函数的图象如下图所示，
由图可知，．
故答案为：．
24．（2021秋•东城区校级期末）已知函数且关于的方程有四个不等实根，写出一个满足条件的值 ．
【解析】作出的图象，如图所示：
如图，当时，
，当且仅当时等号成立，
当时，，
要使方程有四个不等实根，只需使即可，
故答案为：2.2（答案不唯一）．
二次函数及幂函数模型的应用
25．（2023春•密云区期末）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间的关系为：，如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生成的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是 ．
【解析】由题意可知，，化简整理可得，，解得，
为正整数，
使工厂能够达成这个周创收目标，那么我的建议是该工厂在这周内生成的摩托车数量为51到59辆．
故答案为：该工厂在这周内生成的摩托车数量为51到59辆．
26．（2022秋•朝阳区期末）某厂以千克小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求，每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是
A．2千克小时B．3千克小时C．4千克小时D．6千克小时
【解析】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为：
，
令，则，
故当时，最大，此时．
故选：．
27．（2022秋•西城区期末）某商贸公司售卖某种水果．经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润（单位：元）与时间，，单位：天）之间的函数关系式为，且日销售量（单位：箱）与时间之间的函数关系式为．
（Ⅰ）求第几天的日销售利润最大？最大值是多少？
（Ⅱ）在未来的这20天中，在保证每天不赔本的情况下，公司决定每销售1箱该水果就捐赠元给“精准扶贫”对象，为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间的增大而增大，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）设第日的销售利润为，
则，
，，
当时，，
所以第10天的销售利润最大，最大值是1250元．
（Ⅱ）设捐赠之后第日的销售利润为，
则，
依题意，应满足以下条件：
①；
②，即；
③对于，均成立，即．
综上，且．
28．（2022秋•西城区校级期末）某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为，三月底测得治愈效果的普姆克系数为，治愈效果的普姆克系数（单位：与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．
（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
（2）求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：，．
【解析】（1）由题意知，时，；时，，
若选择函数模型，则，解得，，
所以；
若选择函数模型，则，解得，与相矛盾，舍去，
综上所述，
选择函数模型更合适，该函数模型为，，，且．
（2）当时，，
令，则，即，
因为，所以，
故治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是6月份．
指数函数模型的应用
29．（2021秋•房山区期末）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：与时间（单位：月）的关系为下列说法中正确的是
A．第5个月时，浮萍面积就会超过
B．浮萍面积每月的增长率不相等
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则
【解析】浮萍的面积（单位：与时间（单位：月）的关系为，
由图可得，函数过点，
故，
对于，第5个月时，浮萍面积为，没有超过，故错误，
对于，，
每月的增长率为2，故错误，
对于，第2个月增加了，第三个月增加了，故错误，
对于，浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，
，，，
，故正确．
故选：．
30．（2022秋•石景山区期末）中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感，已知室内的温度为，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为．与的函数关系式近似表示为，那么在室温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感（参考数据：，
A．8B．7C．6D．5
【解析】由题意降至时口感最佳，即，代入函数关系式即得，
即，两边同时取对数，得，
所以，
故选：．
31．（2022秋•通州区期末）中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔测量一次茶水温度，得到数据如下：
为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：
①，，，②，，．
选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为
（参考数据：，
A．B．C．D．
【解析】由表中数据可得，每分钟茶水的温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，
故选用模型①，更符合实际的模型，
将，代入可得，，解得，
故，
令，即，
故，即，
刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为．
故选：．
32．（2022秋•丰台区校级期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100 血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80 及以上认定为醉酒驾车，某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了0.6 ，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（参考数据：，
A．3B．4C．5D．7
【解析】经过小时后，体内的酒精含量为：，
只需，
，
他至少要经过4个小时后才能驾车．
故选：．
33．（2023春•朝阳区期末）某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的
A．B．C．D．．
【解析】由题意得，当时，，所以，
则当时，，
因为，所以，
即再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的．
故选：．
对数函数模型的应用
34．（2023春•密云区期末）单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度满足公式：．其中，分别为火箭结构质量和推进剂的质量．是发动机的喷气速度．已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为．则火箭发动机的喷气速度约为（参考数据：，，
A．B．C．D．
【解析】由题意可得，，且，
所以，
即，
所以，
即火箭发动机的喷气速度约为．
故选：．
35．（2023春•东城区期末）声压级是指以对数尺衡量有效声压相对于一个基准值的大小，其单位为（分贝）．人类产生听觉的最低声压为（微帕），通常以此作为声压的基准值．声压级的计算公式为：，其中是测量的有效声压值，声压的基准值，．由公式可知，当声压时，．若测得某住宅小区白天的值为，夜间的值为，则该小区白天与夜间的有效声压比为
A．B．10C．D．20
【解析】根据题意知，中，是测量的有效声压值，；
当声压时，，所以，所以，
白天的值为，夜间的值为，
则该小区白天与夜间的有效声压比为．
故选：．
36．（2022秋•丰台区期末）声音的等级（单位：与声音强度（单位：满足．火箭发射时，声音的等级约为；一般噪音时，声音的等级约为，那么火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的
A．倍B．倍C．倍D．倍
【解析】因为火箭发射时，声音的等级约为，
所以，解得；
因为一般噪音时，声音的等级约为，
所以，解得；
所以火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的倍．
故选：．
37．（2021秋•平谷区期末）函数的图象与函数的图象的交点个数为
A．0B．1C．2D．3
【解析】
解：在坐标系中，分别作出函数和的图象如图：
由图象可知两个函数图象的交点为2个．
故选：．
38．（2021秋•海淀区校级期末）已知函数，，若有（a）（b），则的取值范围是
A．B．C．，D．
【解析】由题意可得（a），（a）（b），故（b），即．
解得，
故选：．
39．（2022秋•通州区期末）已知函数，当方程有3个实数解时，的取值范围是 ．
【解析】方程有3个实数解，等价于函数的图象与直线有3个公共点，
因当时，在，上单调递减，在，上单调递增，，，当时，单调递增，取一切实数，
在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图：
由图象可知，当时，函数的图象及直线有3个公共点，方程有3个解，
所以的取值范围为，．
故答案为：，．
40．（2022秋•丰台区校级期末）定义域为的函数的图象关于直线对称，当，时，，且对任意，有，，则方程实数根的个数为
A．2024B．2025C．2026D．2027
【解析】对任意，有，
函数在，上以4为周期，
又函数的图象关于直线对称，当，时，，作出一个周期，的图象，如下图：
令，则，
方程，可化为，
对于与两个图象，
在轴右侧，由于，且在第一个周期有3个交点，后面每个周期有2个交点，最后个周期有1个交点，
共有个交点，
由对称性，且时，，
所求交点有．
故选：．
41．（2023春•朝阳区期末）已知定义在上的函数满足：
①；
②；
③当，时，
则函数在区间，上的零点个数为
A．3B．4C．5D．6
【解析】由可知，的图象关于点对称，
由可知，的图象关于直线对称，
又因为当，时，，
所以画出在区间，上的图象，如图所示：
函数在区间，上的零点个数，即为函数的图象与直线在区间，上的交点个数，
由图象可知，函数的图象与直线在区间，上的交点个数为4个．
故选：．
42．【多选】（2022秋•海淀区校级期末）定义域和值域均为，的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确有
A．方程有且仅有三个解
B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有八个解
D．方程有且仅有一个解
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，设，则由，即，当时，则有三个不同值，由于是减函数，所有三个解，正确；
对于，设，若，即，则，所以，因为，所以对应的解有3个，正确；
对于，设，若，即，或或，则，或，或，
因为，所以每个方程对应着三个解，所以共9个解，错误；
对于，设，若，即，所以，则，因为是减函数，所以方程只有1解，正确；
故选：．
43．（2022秋•海淀区校级期末）已知，给出下列四个结论：
①若（2），则或2；
②若，且，则；
③不存在正数，使得恰有1个零点；
④存在实数，使得恰有3个零点．
其中，所有正确结论的序号是 ．
【解析】对于①，由已知得，故，故或，故①对；
对于②，不妨设，则，因为，故，故，
同理时，也有相同结论，故②对；
对于③④，不管或，的图象形状一样，如图：
对于③，可看成与交点的个数问题，显然当足够大时，两函数图象只在上有一个交点，故③错误；
对于④，由于时，当足够趋近于1时，与的图象在上与都会产生两个交点，且两函数图象关于对称，故该题中与在上有一个交点，在产生两个交点，共三个交点，故④对．
故选：①②④．
44．（2022秋•昌平区期末）已知定义在上的函数，则的零点是 ；若关于的方程有四个不等实根，，，，则 ．
【解析】（1）令，，
解得或，
（2）证明：如图，要使有四个根，则，
令，
当，则，，
当，则，，
．
故答案为：1或4；16．
放置时间
0
1
2
3
4
5
茶水温度
85.00
79.00
73.60
68.74
64.37
60.43
零点概念的理解
1．（2023春•东城区校级期末）已知函数，，，则“”是“函数有零点”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】方程的判别式为△．
若，则△，方程有根，即函数有零点；
反之，函数有零点，则方程有根，需△，不一定小于0．
“”是“函数有零点”的充分而不必要条件．
故选：．
2．（2021秋•西城区期末）已知函数的图象在区间，上连续不断，则“（1）（2）”是“在，上存在零点”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】由（1）（2）可知、（1）、（2）中至少有一个0或2正1负或2负1正，
由此可得在，上存在零点；
若在，上存在零点，（1）（2）不一定为0．
故选：．
3．（2023春•东城区校级期末）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是
A．B．C．D．
【解析】对于，，则函数不表示奇函数，故错误；
对于，由对勾函数的图象可知，函数在定义域内无零点，故错误；
对于，，函数是奇函数，
由，得，则，函数有零点，故正确；
对于，由幂函数的图象可知，该函数是定义域上的奇函数，但无零点，故错误．
故选：．
判断零点所在的区间
4．（2022秋•延庆区期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
A．B．C．D．
【解析】易得函数为减函数，
，
，
，
，，根据幂函数单调性可知，
，，
可得（3）（4），则函数包含零点的区间是．
故选：．
5．（2022秋•海淀区校级期末）下列区间包含函数零点的为
A．B．C．D．
【解析】函数是增函数，
经计算（1），（2），（1）（2），
故函数的零点所在区间为，
故选：．
6．（2022秋•顺义区期末）已知函数．在下列区间中，包含零点的是
A．B．C．D．
【解析】因为是上的增函数，是上的增函数，
函数是上的增函数，
又，（1），可得（1），
由零点判定定理可知：函数包含零点的区间是：．
故选：．
7．（2021秋•顺义区期末）函数的零点所在的大致区间是
A．B．C．D．
【解析】在上是增函数，
（1），（2），
（2）（1），根据零点存在性定理，可得函数的零点所在区间为．
故选：．
根据函数零点的分布求参数范围
8．（2022秋•东城区校级期末）设常数，函数，若函数在，时有零点，则实数的取值范围是 ．
【解析】，函数在，时有零点，
在，时有零点，
当时，无解，故，
令，，，则，，题意转化为在，时有解，
令，则在，上单调递增，
，，
，解得，即，，
故答案为：，．
9．（2022秋•房山区期末）已知函数，其中且．若关于的方程的解集有3个元素，则的取值范围为
A．B．C．D．
【解析】当时，则有无数解，不合题意；
当且时，，，方程至多有一解，不合题意；
当时，作出函数的大致图象，
要使关于的方程的解集有3个元素，
则，解得，
所以的取值范围为．
故选：．
10．（2022秋•西城区校级期末）已知函数，若方程的实根在区间，上，则的所有可能值是 ．
【解析】①由方程：，解得，故，
②由于方程，即方程且，分别作出左右两边函数的图象，
从图象上可得出：方程在区间和内各有一个实根，
下面证明：方程：在区间．和内各有一个实根函数，在区间和内各有一个零点，
函数在区间是增函数，又（1），（2），
即（1）（2），由零点存在性定理知，函数 在区间内仅有一个零点，
即方程： 在区间内有且仅有一个实根，
同理得方程在区间内有且仅有一个实根，
或1．
故答案为：，或1．
求函数零点或方程根的个数
11．（2023春•东城区校级期末）函数在区间内零点的个数为
A．0B．1C．2D．3
【解析】根据题意，函数在区间内零点的个数，
即函数与函数在区间内交点个数，
作图可得，这两个函数有2个交点，
即函数在区间内有2个零点．
故选：．
12．（2022秋•石景山区期末）已知函数，则的零点个数为
A．0B．1C．2D．3
【解析】函数的零点为方程的根，
函数与函数的图象如下：
所以函数与函数有两个交点，
所以方程有两个实数根，
所以函数有两个零点，
故选：．
13．（2023春•海淀区校级期末）函数的零点的个数为
A．0B．1C．2D．3
【解析】函数的零点的个数即为与的图像交点个数，
在同一坐标系内作出与的图像，如图：
，
由图可得：只有一个交点，即函数的零点的个数为1．
故选：．
14．（2021秋•朝阳区期末）已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若（1），则函数在区间内的零点个数至少为
A．1B．2C．3D．4
【解析】奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若（1），可知，
（2）（1），所以（1）（2），所以函数在之间至少一个零点，由奇函数的性质可知函数在之间至少一个零点，
所以函数在区间内的零点个数至少为3个．
故选：．
15．（2022秋•朝阳区期末）函数的零点的个数为
A．0B．1C．2D．3
【解析】作出的图像，如下图所示：
由图像易知，与轴有两个交点，所以零点的个数为2，
故选：．
16．（2022秋•朝阳区期末）已知函数，有如下四个结论：
①函数在其定义域内单调递减；
②函数的值域为；
③函数的图象是中心对称图形；
④方程有且只有一个实根．
其中所有正确结论的序号是
A．①②B．②③C．①③D．③④
【解析】的定义域为，
所以在上递增，①错误；
由于，
所以的值域为，②错误；
由于，
所以是奇函数，图象关于原点对称，③正确；
由得，
构造函数在上单调递增，
，
所以在上存在唯一零点，即方程有且只有一个实根，④正确．
所以正确结论的序号是③④．
故选：．
17．（2021秋•昌平区期末）已知函数．给出下面四个结论：
①的定义域是；
②是偶函数；
③在区间上单调递增；
④的图像与的图像有4个不同的交点．
其中正确的结论是
A．①②B．③④C．①②③D．①②④
【解析】对于①，，
的定义域为，故①正确，
对于②，，且定义域关于原点原点对称，
故为偶函数，故②正确，
对于③，，
（1），（2），故③错误，
对于④，由题意可得，，即，
当时，，解得或，
当时，，解得或，
综上所述，的图像与的图像有4个不同的交点，故④正确．
故选：．
根据函数零点的个数求参数范围
18．（2022春•北京期末）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是
A．B．，C．，D．，，
【解析】因为单调递增，先减后增，
故①，当时，有一个零点，当时，有一个零点，则要求，解得；
（2）当时，没有零点，当时，有两个零点，则要求或，
解得：；
综上：实数的取值范围是
故选：．
19．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数，方程有两个实数解，则的范围是 ．
【解析】函数的图象如图，
作出直线，观察图象，或时，直线与曲线有两个交点，故实数的取值范围是或．
故答案为：或．
20．（2022秋•怀柔区期末）已知函数，当时，则 ；若函数有三个零点，则实数的取值范围是 ．
【解析】时，，（3），故；
函数有三个零点，即为与的图象有三个不同交点，
首先在，上需先减后增，则满足①，
此时在上递减，故还需，
解得，结合①式得即为所求．
故答案为：．
21．（2021秋•怀柔区期末）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是
A．，B．C．D．，
【解析】函数，
由可得，
其图象如图所示，结合函数的图象可知，，
故选：．
22．（2022秋•大兴区期末）已知函数，若，则函数的值域为 ；若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 ．
【解析】函数，
若，则函数，
当时，单调递增，（1），故，
当时，，对称轴为，，故，
故的值域为，．
若函数恰有三个零点，
当时，令，解得，
此时函数有且只有1个零点，
则当时，函数必有2个零点，即在时有2个根．
设，
则在上有2个零点．
的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，
故在上单调递减，在上单调递增，
，
要使在上有2个零点，需，解得．
故．
故答案为：，；．
23．（2022秋•西城区校级期末）已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
【解析】方程有三个不同的实数根，即函数与函数的图象有三个交点，
作函数的图象如下图所示，
由图可知，．
故答案为：．
24．（2021秋•东城区校级期末）已知函数且关于的方程有四个不等实根，写出一个满足条件的值 ．
【解析】作出的图象，如图所示：
如图，当时，
，当且仅当时等号成立，
当时，，
要使方程有四个不等实根，只需使即可，
故答案为：2.2（答案不唯一）．
二次函数及幂函数模型的应用
25．（2023春•密云区期末）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间的关系为：，如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生成的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是 ．
【解析】由题意可知，，化简整理可得，，解得，
为正整数，
使工厂能够达成这个周创收目标，那么我的建议是该工厂在这周内生成的摩托车数量为51到59辆．
故答案为：该工厂在这周内生成的摩托车数量为51到59辆．
26．（2022秋•朝阳区期末）某厂以千克小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求，每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是
A．2千克小时B．3千克小时C．4千克小时D．6千克小时
【解析】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为：
，
令，则，
故当时，最大，此时．
故选：．
27．（2022秋•西城区期末）某商贸公司售卖某种水果．经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润（单位：元）与时间，，单位：天）之间的函数关系式为，且日销售量（单位：箱）与时间之间的函数关系式为．
（Ⅰ）求第几天的日销售利润最大？最大值是多少？
（Ⅱ）在未来的这20天中，在保证每天不赔本的情况下，公司决定每销售1箱该水果就捐赠元给“精准扶贫”对象，为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间的增大而增大，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）设第日的销售利润为，
则，
，，
当时，，
所以第10天的销售利润最大，最大值是1250元．
（Ⅱ）设捐赠之后第日的销售利润为，
则，
依题意，应满足以下条件：
①；
②，即；
③对于，均成立，即．
综上，且．
28．（2022秋•西城区校级期末）某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为，三月底测得治愈效果的普姆克系数为，治愈效果的普姆克系数（单位：与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．
（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
（2）求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：，．
【解析】（1）由题意知，时，；时，，
若选择函数模型，则，解得，，
所以；
若选择函数模型，则，解得，与相矛盾，舍去，
综上所述，
选择函数模型更合适，该函数模型为，，，且．
（2）当时，，
令，则，即，
因为，所以，
故治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是6月份．
指数函数模型的应用
29．（2021秋•房山区期末）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：与时间（单位：月）的关系为下列说法中正确的是
A．第5个月时，浮萍面积就会超过
B．浮萍面积每月的增长率不相等
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则
【解析】浮萍的面积（单位：与时间（单位：月）的关系为，
由图可得，函数过点，
故，
对于，第5个月时，浮萍面积为，没有超过，故错误，
对于，，
每月的增长率为2，故错误，
对于，第2个月增加了，第三个月增加了，故错误，
对于，浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，
，，，
，故正确．
故选：．
30．（2022秋•石景山区期末）中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感，已知室内的温度为，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为．与的函数关系式近似表示为，那么在室温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感（参考数据：，
A．8B．7C．6D．5
【解析】由题意降至时口感最佳，即，代入函数关系式即得，
即，两边同时取对数，得，
所以，
故选：．
31．（2022秋•通州区期末）中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔测量一次茶水温度，得到数据如下：
为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：
①，，，②，，．
选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为
（参考数据：，
A．B．C．D．
【解析】由表中数据可得，每分钟茶水的温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，
故选用模型①，更符合实际的模型，
将，代入可得，，解得，
故，
令，即，
故，即，
刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为．
故选：．
32．（2022秋•丰台区校级期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100 血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80 及以上认定为醉酒驾车，某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了0.6 ，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（参考数据：，
A．3B．4C．5D．7
【解析】经过小时后，体内的酒精含量为：，
只需，
，
他至少要经过4个小时后才能驾车．
故选：．
33．（2023春•朝阳区期末）某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的
A．B．C．D．．
【解析】由题意得，当时，，所以，
则当时，，
因为，所以，
即再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的．
故选：．
对数函数模型的应用
34．（2023春•密云区期末）单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度满足公式：．其中，分别为火箭结构质量和推进剂的质量．是发动机的喷气速度．已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为．则火箭发动机的喷气速度约为（参考数据：，，
A．B．C．D．
【解析】由题意可得，，且，
所以，
即，
所以，
即火箭发动机的喷气速度约为．
故选：．
35．（2023春•东城区期末）声压级是指以对数尺衡量有效声压相对于一个基准值的大小，其单位为（分贝）．人类产生听觉的最低声压为（微帕），通常以此作为声压的基准值．声压级的计算公式为：，其中是测量的有效声压值，声压的基准值，．由公式可知，当声压时，．若测得某住宅小区白天的值为，夜间的值为，则该小区白天与夜间的有效声压比为
A．B．10C．D．20
【解析】根据题意知，中，是测量的有效声压值，；
当声压时，，所以，所以，
白天的值为，夜间的值为，
则该小区白天与夜间的有效声压比为．
故选：．
36．（2022秋•丰台区期末）声音的等级（单位：与声音强度（单位：满足．火箭发射时，声音的等级约为；一般噪音时，声音的等级约为，那么火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的
A．倍B．倍C．倍D．倍
【解析】因为火箭发射时，声音的等级约为，
所以，解得；
因为一般噪音时，声音的等级约为，
所以，解得；
所以火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的倍．
故选：．
37．（2021秋•平谷区期末）函数的图象与函数的图象的交点个数为
A．0B．1C．2D．3
【解析】
解：在坐标系中，分别作出函数和的图象如图：
由图象可知两个函数图象的交点为2个．
故选：．
38．（2021秋•海淀区校级期末）已知函数，，若有（a）（b），则的取值范围是
A．B．C．，D．
【解析】由题意可得（a），（a）（b），故（b），即．
解得，
故选：．
39．（2022秋•通州区期末）已知函数，当方程有3个实数解时，的取值范围是 ．
【解析】方程有3个实数解，等价于函数的图象与直线有3个公共点，
因当时，在，上单调递减，在，上单调递增，，，当时，单调递增，取一切实数，
在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图：
由图象可知，当时，函数的图象及直线有3个公共点，方程有3个解，
所以的取值范围为，．
故答案为：，．
40．（2022秋•丰台区校级期末）定义域为的函数的图象关于直线对称，当，时，，且对任意，有，，则方程实数根的个数为
A．2024B．2025C．2026D．2027
【解析】对任意，有，
函数在，上以4为周期，
又函数的图象关于直线对称，当，时，，作出一个周期，的图象，如下图：
令，则，
方程，可化为，
对于与两个图象，
在轴右侧，由于，且在第一个周期有3个交点，后面每个周期有2个交点，最后个周期有1个交点，
共有个交点，
由对称性，且时，，
所求交点有．
故选：．
41．（2023春•朝阳区期末）已知定义在上的函数满足：
①；
②；
③当，时，
则函数在区间，上的零点个数为
A．3B．4C．5D．6
【解析】由可知，的图象关于点对称，
由可知，的图象关于直线对称，
又因为当，时，，
所以画出在区间，上的图象，如图所示：
函数在区间，上的零点个数，即为函数的图象与直线在区间，上的交点个数，
由图象可知，函数的图象与直线在区间，上的交点个数为4个．
故选：．
42．【多选】（2022秋•海淀区校级期末）定义域和值域均为，的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确有
A．方程有且仅有三个解
B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有八个解
D．方程有且仅有一个解
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，设，则由，即，当时，则有三个不同值，由于是减函数，所有三个解，正确；
对于，设，若，即，则，所以，因为，所以对应的解有3个，正确；
对于，设，若，即，或或，则，或，或，
因为，所以每个方程对应着三个解，所以共9个解，错误；
对于，设，若，即，所以，则，因为是减函数，所以方程只有1解，正确；
故选：．
43．（2022秋•海淀区校级期末）已知，给出下列四个结论：
①若（2），则或2；
②若，且，则；
③不存在正数，使得恰有1个零点；
④存在实数，使得恰有3个零点．
其中，所有正确结论的序号是 ．
【解析】对于①，由已知得，故，故或，故①对；
对于②，不妨设，则，因为，故，故，
同理时，也有相同结论，故②对；
对于③④，不管或，的图象形状一样，如图：
对于③，可看成与交点的个数问题，显然当足够大时，两函数图象只在上有一个交点，故③错误；
对于④，由于时，当足够趋近于1时，与的图象在上与都会产生两个交点，且两函数图象关于对称，故该题中与在上有一个交点，在产生两个交点，共三个交点，故④对．
故选：①②④．
44．（2022秋•昌平区期末）已知定义在上的函数，则的零点是 ；若关于的方程有四个不等实根，，，，则 ．
【解析】（1）令，，
解得或，
（2）证明：如图，要使有四个根，则，
令，
当，则，，
当，则，，
．
故答案为：1或4；16．
放置时间
0
1
2
3
4
5
茶水温度
85.00
79.00
73.60
68.74
64.37
60.43
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