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2023-2024学年江苏省苏州市实验中学高一上学期12月调研测试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年江苏省苏州市实验中学高一上学期12月调研测试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集为，集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得
【详解】，解得或，
所以或，所以，
所以.
故选：C
2．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.
【详解】在上单调递增，
，
所以的零点在区间.
故选：B
3．已知，为非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】当时，同号且非零，则，所以.
当时，如，则，无法得到.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．已知，则（ ）
A．B．C．或1D．或1
【答案】B
【分析】利用弦化切可得出关于的等式，即可求得的值.
【详解】因为
，解得.
故选：B.
5．碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物其体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失.已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡t年后，碳14所剩质量，其中C0为活体组织中碳14的质量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的0.8倍，依据计算结果并结合下图中我国历史朝代的时间轴可推断该生物死亡的朝代为（ ）(参考数据：)
A．西汉B．东汉C．三国D．晋朝
【答案】B
【分析】根据题意列方程，运用对数运算求近似解即可.
【详解】由题意知，所以，
所以，所以.
，故对应死亡的朝代为东汉，
故选：B.
6．已知，，则（ ）
A．的最大值为且的最大值为
B．的最大值为且的最小值为0
C．的最小值为且的最大值为
D．的最小值为且的最小值为0
【答案】C
【分析】利用可求出的最小值，利用可求出的最大值.
【详解】利用，则，整理得，
当且仅当，即时取得等号，即的最小值为；
利用，，即，整理得，即，
当且仅当时取得等号，故的最大值为.
故选：C
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由对数的运算性质进行化简可得，，再作差，结合基本不等式可比较a,b的大小.
【详解】由得，即，，
又，
所以，
故选：C.
8．若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（ ）
A．-6B．-4C．-3D．-2
【答案】A
【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.
【详解】依题意可知，
由整理得①，
即关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，
令，则或，
则①转化为，
即，
根据对勾函数的性质可知是方程的一个根，
所以，
所以，解得或，
所以是方程的根，即的根，
所以，
所以.
故选：A
【点睛】对于复杂方程的跟有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.
二、多选题
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若角是第三象限角，则可能在第三象限
B．
C．若且，则为第二象限角
D．若角的终边经过点，则
【答案】ABC
【分析】对A：由的范围求出的范围判断；对B：用诱导公式计算；对C：根据与的符号判断所在的象限；对D：根据三角函数的定义求解.
【详解】对A：若角是第三象限角，即，，
所以，，
当时，，所以可能为第三象限角，故正确
对B：由诱导公式可得，所以正确，
对C：若，则为第二象限或第四象限角，若，则为第一象限角或第二象限角或轴正半轴，
同时满足两条件可得，若且，则为第二象限角，正确，
对D：若角的终边经过点，则，故错误．
故选：ABC．
10．已知函数，对于任意，则
A．的图象经过坐标原点B．
C．单调递增D．
【答案】ABD
【分析】对于A，令可判断，对于B，分别令和化简计算即可，对于C，利用单调的定义判断，对于D，令进行判断
【详解】对于A，令，则，得，所以的图象经过坐标原点，所以A正确，
对于B，令，则，再令，则，所以B正确，
对于D，令，则，因为，所以，所以D正确，
对于C，任取，且，由D选项可知，所以，而的符号不确定，所以不能确定函数的单调性，所以C错误，
故选：ABD
11．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．为偶函数
B．的值域为
C．方程只有一个实根
D．对，，有
【答案】BD
【分析】A选项，根据函数奇偶性定义判断得到为奇函数；
B选项，分与两种情况，分离常数后求出值域；
C选项，方程变形得到，求出是方程的一个根，令，分与两种情况，求出方程的解；
D选项，考虑时，利用定义法求出函数的单调性，结合A选项中函数为奇函数得到在R上单调递减，从而D正确.
【详解】的定义域为R，且，
所以为奇函数，A错误；
当时，，
又，故，
当时，，
又，故，
综上：的值域为，B正确；
即，
显然是方程的一个根，
令，当时，，解得：，
由于，所以，
当时，，化简得，由于，无解，
综上：方程有2个实根，C错误；
当时，，
任取且，
则，
因为且，
所以，
故，即，
故在上单调递减，
由A选项知为奇函数，故在R上单调递减，
从而，，有，D正确.
故选：BD
12．已知函数，若函数恰有4个零点，则可能的值为（ ）
A．2B．C．3D．1
【答案】BC
【分析】由题意可知，对任意的，，且为函数的一个零点，构造函数，，可知，函数与的图象有个交点，分，和三种情况讨论，数形结合可求得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，对任意的，，且为函数的一个零点，
令，，
则函数与的图象有个交点.
当时，此时，
如图，函数与有个不同交点，不满足题意；
当时，函数的零点为，如下图所示：
此时，函数与的图象有个交点，合乎题意；
当时，函数的零点为，
则函数与在轴左侧的图象没有交点，
所以，函数与在轴右侧的图象必有个交点，
则直线与有两个交点，联立，可得，
则方程在上有两个不等的实根，
可得，解得
综上所述，实数的取值范围是.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：
（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；
（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.
三、填空题
13．求值： ．
【答案】2
【分析】根据对数的运算法则性质及指数幂的运算化简求值即可.
【详解】原式=
故答案为：2
14．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分．若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为 ．
【答案】
【分析】设扇形的半径为，利用扇形的面积公式求出的值，然后利用扇形的面积减去三角形的面积可得出弧田的面积.
【详解】设扇形的半径为，则扇形的面积为，解得，
取的中点，连接，如下图所示：
因为，则，
又因为，则，
所以，，，则，
所以，，
因此，弧田的面积为.
故答案为：.
15．已知，，若，，则 .
【答案】/
【分析】由题意可得，构造函数，易得函数为增函数，进而可得出答案.
【详解】因为，，
所以，
令，则，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
因为，所以，
所以.
故答案为：.
16．在函数y＝3x图象上有A（x1，t），B（x2，t+3），C（x3，t+6）（其中t3）三点，则△ABC的面积S（t）的最大值为 ．
【答案】．
【分析】先利用对数式，求出x1，x2，x3，然后即可将△ABC的面积表示成的形式，代入x1，x2，x3，求其最大值即可．
【详解】根据题意，函数y＝3x图象上有A（x1，t），B（x2，t+3），C（x3，t+6）（其中t3）三点，
所以，
即x1＝lg3t，x2＝lg3（t+3），x3＝lg3（t+6），
即
,
∵t3，∴单调递减，
∴t＝3时，．
故答案为：．
四、解答题
17．已知
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用诱导公式及同角三角函数的关系计算即可.
【详解】（1）因为
，
所以.
（2）由诱导公式可知，即，
又是第三象限角，所以，
所以.
18．已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为.
(1)求集合；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可；
（2）由是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可.
【详解】（1）因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解，
即，解得，故集合；
（2）由是的必要不充分条件，可知，
当时，既，解得，此时满足，
当时，如图所示，
故且等号不同时成立，
解得，
综上所述，的取值范围是.
19．第19届亚运会2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办，亚运会三个吉祥物琼琼､宸宸､莲莲，设计为鱼形机器人，同时也分别代表了杭州的三大世界遗产良渚古城遗址､京杭大运河和西湖，他们还有一个好听的名字：江南忆.由市场调研分析可知，当前“江南忆”的产量供不应求，某企业每售出千件“江南忆”的销售额为千元.，且生产的成本总投入为千元.记该企业每生产销售千件“江南忆”的利润为千元.
(1)求函数的解析式；
(2)求的最大值及相应的的取值.
【答案】(1)
(2)时，取得最大值112
【分析】（1）利用利润等于收入减去成本即可得解；
（2）分段讨论，利用二次函数与基本不等式求得的最大值，从而得解.
【详解】（1）依题意，得，
又，
则，即；
（2）当时，，其开口向上，对称轴为，
则函数在为增函数，
所以当时，函数取最大值，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
因为，
所以当时，取得最大值112.
20．已知函数，，其中且．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若函数在区间上有零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）代入，分为以及两种情况，根据对数函数的单调性即可得出答案；
（2）求出.根据，分离参数可得.换元求出，即可得出或，即可求出的范围.
【详解】（1）当时，不等式可化为，
当时，得，解得；
当时，得，解得.
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
（2）由题意可得，函数.
令，
因为，所以，则有，
故.
令，则.
因为在上单调递减，在上单调递增.
所以，当时，有最小值，
又，，
所以当时，有最大值.
所以，即.
又，所以或.
即或，
解得的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：已知函数在区间上有零点，求参数范围.推出，可分离参数得出，然后只需求出函数在上的值域，即可得出参数范围.
21．已知函数为奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若对任意的x2∈，存在x1∈，使成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据求解即可；
（2）求得和在对应区间上的最小值，根据其大小关系，再解不等式即可.
【详解】（1）因为x∈R，为奇函数，所以，
所以，，经检验，满足题意，
故.
（2）因为任意的x2∈，存在x1∈，使成立，
所以在[t,+)上的最小值小于或等于在[1,2]的最小值，
易知＝ex﹣e﹣x在R上为增函数，所以在[t,+)上也为增函数，
所以的最小值为f(t)＝et﹣e﹣t，
令m＝|x﹣t|，当t≤1时，m＝|x﹣t|在x＝1处取小值为1﹣t，所以的最小值为e1﹣t，
所以et﹣e﹣t≤e1﹣t，即(et)2≤1+e，所以，所以；
当1＜t＜2时，m＝|x﹣t|在x＝t处取小值为0，所以的最小值为e0＝1，et﹣e﹣t≤1，
即，令k＝et，k＞0，则k2﹣k﹣1≤0，解得，
即，解得＜＝1，与t＞1矛盾，故舍去；
当t≥2时，m＝|x﹣t|在x＝2处取小值为t﹣2，所以的最小值为et﹣2，et﹣e﹣t≤et﹣2，即，
所以与t≥2矛盾，故舍去．
综上所述，t的范围为：．
下证＝ex﹣e﹣x在R上为增函数：
在上任取，则，
又当时，，，故，即，
故＝ex﹣e﹣x在R上为增函数.
22．已知函数＝x2+bx+c（1≤b≤2），记集合A＝{x|＝x}，B＝{x|＝x}．
(1)若b＝1，c＝，求集合A与B；
(2)若集合A＝{x1，x2}，B＝{x1，x2，x3，x4}并且恒成立，求c的取值范围．
【答案】(1)A＝{﹣1，1}，B＝{﹣1，1}；
(2)．
【分析】（1）由二次方程的解法可得集合A；由因式分解可得集合B；
（2）将＝x展开，并运用二次函数的零点式，结合韦达定理，可得x1+x2＝1﹣b，x1x2＝c，x3+x4＝﹣1﹣b，x3x4＝c+1+b，再由不等式恒成立思想解不等式可得所求取值范围．
【详解】（1）当b＝1，c＝﹣1时，＝x2+x﹣1，
＝x2+x﹣1＝x，可得x2﹣1＝0，
解得x＝1或x＝﹣1，
所以A＝{﹣1，1}；
＝x，故可得（x2+x﹣1）2+（x2+x﹣1）﹣1＝x，
化简得x4+2x3﹣2x﹣1＝0，
即（x2﹣1）（x+1）2＝0，可得（x﹣1）（x+1）3＝0，
解得x＝1或x＝﹣1，
所以B＝{﹣1，1}；
（2）﹣x＝x2+（b﹣1）x+c＝（x﹣x1）（x﹣x2），
﹣x＝﹣+ ﹣x＝（f（x）﹣x1）（f（x）﹣x2）+（x﹣x1）（x﹣x2）
＝（f（x）﹣x+x﹣x1）（f（x）﹣x+x﹣x2）+（x﹣x1）（x﹣x2）
＝（x﹣x1）（x﹣x2+1）（x﹣x2）（x﹣x1+1）+（x﹣x1）（x﹣x2）
＝（x﹣x1）（x﹣x2）[（x﹣x2+1）（x﹣x1+1）+1]，
而x1+x2＝1﹣b，x1x2＝c，
所以x3+x4＝x1+x2﹣2＝1﹣b﹣2＝﹣1﹣b，x3x4＝x1x2+2﹣（x1+x2）＝c+1+b，
所以恒成立，
可得（1+b）2﹣4（1+b+c）＞0，且（1+b）2﹣4（1+b+c）≤2恒成立，
由1≤b≤2，可得2≤1+b≤3，则g（b）＝（1+b）2﹣4（1+b）的值域为[﹣4,﹣3]，
所以4c＜﹣4且4c+2≥﹣3，解得，
即c的取值范围是．
一、单选题
1．已知全集为，集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得
【详解】，解得或，
所以或，所以，
所以.
故选：C
2．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.
【详解】在上单调递增，
，
所以的零点在区间.
故选：B
3．已知，为非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】当时，同号且非零，则，所以.
当时，如，则，无法得到.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．已知，则（ ）
A．B．C．或1D．或1
【答案】B
【分析】利用弦化切可得出关于的等式，即可求得的值.
【详解】因为
，解得.
故选：B.
5．碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物其体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失.已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡t年后，碳14所剩质量，其中C0为活体组织中碳14的质量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的0.8倍，依据计算结果并结合下图中我国历史朝代的时间轴可推断该生物死亡的朝代为（ ）(参考数据：)
A．西汉B．东汉C．三国D．晋朝
【答案】B
【分析】根据题意列方程，运用对数运算求近似解即可.
【详解】由题意知，所以，
所以，所以.
，故对应死亡的朝代为东汉，
故选：B.
6．已知，，则（ ）
A．的最大值为且的最大值为
B．的最大值为且的最小值为0
C．的最小值为且的最大值为
D．的最小值为且的最小值为0
【答案】C
【分析】利用可求出的最小值，利用可求出的最大值.
【详解】利用，则，整理得，
当且仅当，即时取得等号，即的最小值为；
利用，，即，整理得，即，
当且仅当时取得等号，故的最大值为.
故选：C
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由对数的运算性质进行化简可得，，再作差，结合基本不等式可比较a,b的大小.
【详解】由得，即，，
又，
所以，
故选：C.
8．若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（ ）
A．-6B．-4C．-3D．-2
【答案】A
【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.
【详解】依题意可知，
由整理得①，
即关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，
令，则或，
则①转化为，
即，
根据对勾函数的性质可知是方程的一个根，
所以，
所以，解得或，
所以是方程的根，即的根，
所以，
所以.
故选：A
【点睛】对于复杂方程的跟有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.
二、多选题
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若角是第三象限角，则可能在第三象限
B．
C．若且，则为第二象限角
D．若角的终边经过点，则
【答案】ABC
【分析】对A：由的范围求出的范围判断；对B：用诱导公式计算；对C：根据与的符号判断所在的象限；对D：根据三角函数的定义求解.
【详解】对A：若角是第三象限角，即，，
所以，，
当时，，所以可能为第三象限角，故正确
对B：由诱导公式可得，所以正确，
对C：若，则为第二象限或第四象限角，若，则为第一象限角或第二象限角或轴正半轴，
同时满足两条件可得，若且，则为第二象限角，正确，
对D：若角的终边经过点，则，故错误．
故选：ABC．
10．已知函数，对于任意，则
A．的图象经过坐标原点B．
C．单调递增D．
【答案】ABD
【分析】对于A，令可判断，对于B，分别令和化简计算即可，对于C，利用单调的定义判断，对于D，令进行判断
【详解】对于A，令，则，得，所以的图象经过坐标原点，所以A正确，
对于B，令，则，再令，则，所以B正确，
对于D，令，则，因为，所以，所以D正确，
对于C，任取，且，由D选项可知，所以，而的符号不确定，所以不能确定函数的单调性，所以C错误，
故选：ABD
11．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．为偶函数
B．的值域为
C．方程只有一个实根
D．对，，有
【答案】BD
【分析】A选项，根据函数奇偶性定义判断得到为奇函数；
B选项，分与两种情况，分离常数后求出值域；
C选项，方程变形得到，求出是方程的一个根，令，分与两种情况，求出方程的解；
D选项，考虑时，利用定义法求出函数的单调性，结合A选项中函数为奇函数得到在R上单调递减，从而D正确.
【详解】的定义域为R，且，
所以为奇函数，A错误；
当时，，
又，故，
当时，，
又，故，
综上：的值域为，B正确；
即，
显然是方程的一个根，
令，当时，，解得：，
由于，所以，
当时，，化简得，由于，无解，
综上：方程有2个实根，C错误；
当时，，
任取且，
则，
因为且，
所以，
故，即，
故在上单调递减，
由A选项知为奇函数，故在R上单调递减，
从而，，有，D正确.
故选：BD
12．已知函数，若函数恰有4个零点，则可能的值为（ ）
A．2B．C．3D．1
【答案】BC
【分析】由题意可知，对任意的，，且为函数的一个零点，构造函数，，可知，函数与的图象有个交点，分，和三种情况讨论，数形结合可求得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，对任意的，，且为函数的一个零点，
令，，
则函数与的图象有个交点.
当时，此时，
如图，函数与有个不同交点，不满足题意；
当时，函数的零点为，如下图所示：
此时，函数与的图象有个交点，合乎题意；
当时，函数的零点为，
则函数与在轴左侧的图象没有交点，
所以，函数与在轴右侧的图象必有个交点，
则直线与有两个交点，联立，可得，
则方程在上有两个不等的实根，
可得，解得
综上所述，实数的取值范围是.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：
（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；
（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.
三、填空题
13．求值： ．
【答案】2
【分析】根据对数的运算法则性质及指数幂的运算化简求值即可.
【详解】原式=
故答案为：2
14．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分．若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为 ．
【答案】
【分析】设扇形的半径为，利用扇形的面积公式求出的值，然后利用扇形的面积减去三角形的面积可得出弧田的面积.
【详解】设扇形的半径为，则扇形的面积为，解得，
取的中点，连接，如下图所示：
因为，则，
又因为，则，
所以，，，则，
所以，，
因此，弧田的面积为.
故答案为：.
15．已知，，若，，则 .
【答案】/
【分析】由题意可得，构造函数，易得函数为增函数，进而可得出答案.
【详解】因为，，
所以，
令，则，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
因为，所以，
所以.
故答案为：.
16．在函数y＝3x图象上有A（x1，t），B（x2，t+3），C（x3，t+6）（其中t3）三点，则△ABC的面积S（t）的最大值为 ．
【答案】．
【分析】先利用对数式，求出x1，x2，x3，然后即可将△ABC的面积表示成的形式，代入x1，x2，x3，求其最大值即可．
【详解】根据题意，函数y＝3x图象上有A（x1，t），B（x2，t+3），C（x3，t+6）（其中t3）三点，
所以，
即x1＝lg3t，x2＝lg3（t+3），x3＝lg3（t+6），
即
,
∵t3，∴单调递减，
∴t＝3时，．
故答案为：．
四、解答题
17．已知
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用诱导公式及同角三角函数的关系计算即可.
【详解】（1）因为
，
所以.
（2）由诱导公式可知，即，
又是第三象限角，所以，
所以.
18．已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为.
(1)求集合；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可；
（2）由是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可.
【详解】（1）因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解，
即，解得，故集合；
（2）由是的必要不充分条件，可知，
当时，既，解得，此时满足，
当时，如图所示，
故且等号不同时成立，
解得，
综上所述，的取值范围是.
19．第19届亚运会2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办，亚运会三个吉祥物琼琼､宸宸､莲莲，设计为鱼形机器人，同时也分别代表了杭州的三大世界遗产良渚古城遗址､京杭大运河和西湖，他们还有一个好听的名字：江南忆.由市场调研分析可知，当前“江南忆”的产量供不应求，某企业每售出千件“江南忆”的销售额为千元.，且生产的成本总投入为千元.记该企业每生产销售千件“江南忆”的利润为千元.
(1)求函数的解析式；
(2)求的最大值及相应的的取值.
【答案】(1)
(2)时，取得最大值112
【分析】（1）利用利润等于收入减去成本即可得解；
（2）分段讨论，利用二次函数与基本不等式求得的最大值，从而得解.
【详解】（1）依题意，得，
又，
则，即；
（2）当时，，其开口向上，对称轴为，
则函数在为增函数，
所以当时，函数取最大值，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
因为，
所以当时，取得最大值112.
20．已知函数，，其中且．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若函数在区间上有零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）代入，分为以及两种情况，根据对数函数的单调性即可得出答案；
（2）求出.根据，分离参数可得.换元求出，即可得出或，即可求出的范围.
【详解】（1）当时，不等式可化为，
当时，得，解得；
当时，得，解得.
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
（2）由题意可得，函数.
令，
因为，所以，则有，
故.
令，则.
因为在上单调递减，在上单调递增.
所以，当时，有最小值，
又，，
所以当时，有最大值.
所以，即.
又，所以或.
即或，
解得的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：已知函数在区间上有零点，求参数范围.推出，可分离参数得出，然后只需求出函数在上的值域，即可得出参数范围.
21．已知函数为奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若对任意的x2∈，存在x1∈，使成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据求解即可；
（2）求得和在对应区间上的最小值，根据其大小关系，再解不等式即可.
【详解】（1）因为x∈R，为奇函数，所以，
所以，，经检验，满足题意，
故.
（2）因为任意的x2∈，存在x1∈，使成立，
所以在[t,+)上的最小值小于或等于在[1,2]的最小值，
易知＝ex﹣e﹣x在R上为增函数，所以在[t,+)上也为增函数，
所以的最小值为f(t)＝et﹣e﹣t，
令m＝|x﹣t|，当t≤1时，m＝|x﹣t|在x＝1处取小值为1﹣t，所以的最小值为e1﹣t，
所以et﹣e﹣t≤e1﹣t，即(et)2≤1+e，所以，所以；
当1＜t＜2时，m＝|x﹣t|在x＝t处取小值为0，所以的最小值为e0＝1，et﹣e﹣t≤1，
即，令k＝et，k＞0，则k2﹣k﹣1≤0，解得，
即，解得＜＝1，与t＞1矛盾，故舍去；
当t≥2时，m＝|x﹣t|在x＝2处取小值为t﹣2，所以的最小值为et﹣2，et﹣e﹣t≤et﹣2，即，
所以与t≥2矛盾，故舍去．
综上所述，t的范围为：．
下证＝ex﹣e﹣x在R上为增函数：
在上任取，则，
又当时，，，故，即，
故＝ex﹣e﹣x在R上为增函数.
22．已知函数＝x2+bx+c（1≤b≤2），记集合A＝{x|＝x}，B＝{x|＝x}．
(1)若b＝1，c＝，求集合A与B；
(2)若集合A＝{x1，x2}，B＝{x1，x2，x3，x4}并且恒成立，求c的取值范围．
【答案】(1)A＝{﹣1，1}，B＝{﹣1，1}；
(2)．
【分析】（1）由二次方程的解法可得集合A；由因式分解可得集合B；
（2）将＝x展开，并运用二次函数的零点式，结合韦达定理，可得x1+x2＝1﹣b，x1x2＝c，x3+x4＝﹣1﹣b，x3x4＝c+1+b，再由不等式恒成立思想解不等式可得所求取值范围．
【详解】（1）当b＝1，c＝﹣1时，＝x2+x﹣1，
＝x2+x﹣1＝x，可得x2﹣1＝0，
解得x＝1或x＝﹣1，
所以A＝{﹣1，1}；
＝x，故可得（x2+x﹣1）2+（x2+x﹣1）﹣1＝x，
化简得x4+2x3﹣2x﹣1＝0，
即（x2﹣1）（x+1）2＝0，可得（x﹣1）（x+1）3＝0，
解得x＝1或x＝﹣1，
所以B＝{﹣1，1}；
（2）﹣x＝x2+（b﹣1）x+c＝（x﹣x1）（x﹣x2），
﹣x＝﹣+ ﹣x＝（f（x）﹣x1）（f（x）﹣x2）+（x﹣x1）（x﹣x2）
＝（f（x）﹣x+x﹣x1）（f（x）﹣x+x﹣x2）+（x﹣x1）（x﹣x2）
＝（x﹣x1）（x﹣x2+1）（x﹣x2）（x﹣x1+1）+（x﹣x1）（x﹣x2）
＝（x﹣x1）（x﹣x2）[（x﹣x2+1）（x﹣x1+1）+1]，
而x1+x2＝1﹣b，x1x2＝c，
所以x3+x4＝x1+x2﹣2＝1﹣b﹣2＝﹣1﹣b，x3x4＝x1x2+2﹣（x1+x2）＝c+1+b，
所以恒成立，
可得（1+b）2﹣4（1+b+c）＞0，且（1+b）2﹣4（1+b+c）≤2恒成立，
由1≤b≤2，可得2≤1+b≤3，则g（b）＝（1+b）2﹣4（1+b）的值域为[﹣4,﹣3]，
所以4c＜﹣4且4c+2≥﹣3，解得，
即c的取值范围是．
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