2023-2024学年陕西省汉中市高一上学期第三次选科调研考试数学试题含答案

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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．{0，1}B．{－1，0}
C．{－1，0，1}D．{－2，－1，0，1，2}
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性求解出的解集为，然后根据集合的交集运算即得.
【详解】因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，
故选：C.
2．已知命题，，则命题p的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题，的否定为：，.
故选：C
3．已知函数，则等于（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】根据分段函数各段的定义域求解.
【详解】因为函数，
所以,
所以,
故选：A
4．已知函数的图象经过点，则其反函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由对数函数的图象过定点求出的值，然后化指数式为对数式，再把，互换求得原函数的反函数．
【详解】解：的图象经过点，
，解得．
，则，
把，互换得到函数的反函数为．
故选：A．
5．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合对数函数、指数函数的单调性确定正确答案.
【详解】因为，且在定义域上单调递增，
所以，即，
又在定义域上单调递减，所以，即，所以.
故选：A
6．方程的解一定位于区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，再根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】令，定义域为，
因为函数在都是增函数，
所以函数在是增函数，
又因为，则，
所以函数在区间上，
即方程的解一定位于区间上.
故选：C.
7．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（、）．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据星等和亮度满足的方程，代入已知条件根据对数的计算法则即可求解﹒
【详解】设太阳的星等是，天狼星的星等是，
由题意可得：，
∴，则，
故选：D．
8．已知在区间上单调递减，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据复合函数单调性及真数大于0列式求解即可.
【详解】在 上单调递减，∴函数在上单调递增且恒大于零，，解得 ，∴实数的取值范围是 ．
故选C.
【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的单调性，解题的关键是利用“同增异减”及真数大于0，属于基础题.
二、多选题
9．下列关于函数性质说法正确的有（ ）
A．若定义在上的函数满足，则函数是上的增函数；
B．若定义在上的函数是偶函数，则
C．若函数的定义域为，当 时，是减函数；当时，是增函数，则的最小值为
D．对于任意的，函数满足
【答案】BCD
【分析】由可判断A；根据偶函数的定义可判断B；根据单调性可判断C；利用基本不等式可判断D.
【详解】定义在上的函数 满足，但时函数是减函数，故A错误；
定义在上的函数是偶函数，有，则，故B正确；
若函数的定义域为．当时，是减函数时，是增函数，则的最小值为，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD
10．函数的大致图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】易得函数为偶函数，再结合对数函数的性质即可得解.
【详解】函数的定义域为，
因为，所以函数为偶函数，
当时，为减函数，且过定点，
故函数的大致图象不可能为BCD选项.
故选：BCD.
11．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】求出给定命题为真命题的a的取值集合，再确定A，B，C，D各选项所对集合哪些真包含于这个集合而得解.
【详解】命题“"等价于，即命题“”为真命题所对集合为，
所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于，显然只有，{4},
所以选项AC不符合要求，选项BD正确.
故选：BD
12．德国数学家狄里克雷在年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围内的每一个，都有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为，当自变量取无理数时，函数值为.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．的值域是D．
【答案】ACD
【解析】利用狄里克雷函数的定义可判断AC选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；分和两种情况讨论，结合狄里克雷函数的定义可判断D选项的正误.
【详解】由题意可知，.
对于A选项，，则，A选项正确；
对于B选项，当，则，则，
当时，则，则，
所以，函数为偶函数，B选项错误；
对于C选项，由于，所以，函数的值域为，C选项正确；
对于D选项，当时，则，所以，，
当时，，所以，，D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：本题的解题关键就是紧扣函数的新定义，在解题的过程中要对的取值进行分类讨论，结合函数的定义来求解，在判断命题为假命题时，可以通过特例来说明.
三、填空题
13．函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是 ．
【答案】(1,4)
【分析】由恒过(0,1)，结合与的关系确定P点的坐标.
【详解】由恒过(0,1)，而是由向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到，
∴P点坐标为(1,4)．
故答案为：(1,4)．
14．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】给出的函数分母中含有偶次根式，且根式内部是对数式，所以只需根式内部的对数式大于0且真数大于0，然后运用对数函数的单调性求解对数不等式。
【详解】要使原函数有意义，则，即．
因为为减函数，所以，解得：.
所以原函数的定义域为．
故答案为:
15．若，则 .
【答案】/
【分析】利用换底公式求得，再利用指对数运算即可得解.
【详解】由可得=，
则.
故答案为：.
16．已知函数和在的图象如下图所示：
则方程有且仅有 个根．
【答案】
【分析】由图可知有三个根，分别设为，，，即可得到，，的取值范围，再分别讨论的根的情况，即可得解.
【详解】解：由图可知有三个根，设为，，，
且，,.
令，由图象可知方程有两个根，
令，由图象可知方程有两个根，
令，由图象可知方程有两个根，
∴有个根．
故答案为：
四、解答题
17．计算下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)－3；
(2)﹒
【分析】(1)利用指数幂的运算性质计算；
(2)利用对数的运算法则进行计算﹒
【详解】（1）原式．
（2）原式
．
18．已知.
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并加以说明；
(3)求使的的取值范围.
【答案】(1)
(2)为奇函数，理由见详解
(3)
【分析】（1）根据对数的定义知真数大于0，即可求定义域；
（2）利用奇偶性的定义得知函数为奇函数；
（3）由可得，即可求解.
【详解】（1）由题意得函数要有意义则：
故的定义域为.
（2）为奇函数，理由如下：
由（1）知的定义域关于原点对称，
由,
所以
故函数是奇函数．
（3）由>0可得，
所以，
即
解得，
故求使>0的的取值范围是(0,1).
19．已知是二次函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)令.若函数在区间上不是单调函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据根与系数关系求得的解析式.
（2）先求得的表达式，然后根据二次函数的性质列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）设.
，
又是方程的两个根，
，解得，
.
（2），
.
函数在区间上不是单调函数，
，解之得：.
实数的取值范围是.
20．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)＝每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完．
（1）写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)．
（2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）P(x)＝；（2）8万件；万元．
【分析】（1）根据题意，结合流动成本关于年产量的函数关系，即可求得结果；
（2）判断的单调性，根据单调性求得函数最值即可.
【详解】（1）因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为10x万元．
依题意得，当0＜x＜8时，P(x)＝10x－－5＝＋6x－5；
当x≥8时，P(x)＝10x－－5＝30－.
所以P(x)＝；
（2）当0＜x＜8时，P(x)＝－＋13，
当x＝6时，P(x)取得最大值P(6)＝13；
当x≥8时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上为减函数.
当x＝8时，P(x)取得最大值P(8)＝.
由13＜，则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．
【点睛】本题考查分段函数模型的应用，属中等题.
21．已知函数．
(1)若方程有三个不等实根，求实数的取值范围；
(2)若，且对，总，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次函数与对数函数的性质分析的图像，再将问题转化为的图像与的图像有三个交点，从而结合图像得解；
（2）先将问题转化为的值域是的值域的子集，再分别求得与的值域，从而利用数轴法即可得解.
【详解】（1）因为，
所以当时，开口向上，对称轴为，
则，，
当时，在上单调递增，且的图像由的图像向下平移两个单位而得，
又因为方程有三个不等实根，所以的图像与的图像有三个交点，
作出与的图像如下：
所以，即.
（2）因为对，总，使得，
所以的值域是的值域的子集，
因为在上单调递增，
所以当时，，
因为开口向上，对称轴为，
所以当时，，
又，，
所以，即，
所以，则，解得，
所以实数的取值范围为.
【点睛】结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，函数，，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．
22．已知函数，.
(1)若为奇函数，求实数的值；
(2)在（1）的条件下，当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
(3)定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据奇函数的定义即可化简求解，
（2）利用换元法以及二次函数的性质即可求解最值，
（3）利用对勾函数的单调性，分别利用函数单调性求解，的最值即可求解.
【详解】（1）因为为奇函数，所以对定义域内的，有恒成立，
即，即，解得，
经检验，不合题意，故；
（2）由（1）得，
令，由，所以，
则，其对称轴为，
当时，，当时，，
所以值域为，
又因为函数存在零点，等价于方程有解，
所以实数的取值范圆是；
（3）由已知，在上恒成立，
即在上恒成立，
化简得在上恒成立，
所以，
设，因为，即得，
记，，
易得在上单调递增，所以，
由于当且仅当时取等号，由于，故根据对勾函数的性质可知在上单调递减，故，
因此实数的取值范围是.