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2023-2024学年海南省海口市海南华侨中学高一上学期第二次考试数学试题（A）含答案
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这是一份2023-2024学年海南省海口市海南华侨中学高一上学期第二次考试数学试题（A）含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解不等式，求出，，求出交集.
【详解】，，
故
故选：A
2．下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】A选项，函数不满足单调性；B选项，定义域不关于原点对称，B错误；C选项，满足函数为偶函数且在上单调递增；D选项，函数不满足为偶函数.
【详解】A选项，在上单调递减，A错误；
B选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，不是偶函数，B错误；
C选项，的定义域为R，又，故为偶函数，
且时，在上单调递增，满足要求，C正确；
D选项，的定义域为R，且，故，
不是偶函数，D错误.
故选：C
3．下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】先举例说明ABD不成立，再根据不等式性质说明C成立.
【详解】当时，满足，但不成立，所以A错；
当时，满足，但不成立，所以B错；
当时，满足，但不成立，所以D错；
因为所以，又，因此同向不等式相加得，即C对；
故选：C
【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.
4．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由函数零点存在性定理求解即可.
【详解】，
，函数在区间上有零点，
故选：B.
5．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质判断．
【详解】，当或时，，，排除AD，
当时，，，排除C，
故选：B．
6．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】D
【分析】化简原式，代入求值即可.
【详解】可知，
当，时，原式,
当，时，原式，
故原式值为，
故选：D
7．若函数在是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】变形换元得到，，考虑，和三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】，
令，故，，
当，即时，在上单调递增，满足要求，
当，即时，在上单调递增，满足要求，
当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增，
故，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：A
8．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先得到，故恒成立，画出的图象，得到其单调递增，从而得到不等式，求出实数的取值范围，检验后满足要求，得到答案.
【详解】，
，
画出的图象，如下：
故在上单调递增，
故，解得，
只需，其中，
故，解得，
此时，不包含0，符合要求.
故选：D
二、多选题
9．以下与的关系中，其中是关于的函数的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由函数的定义进行判断.
【详解】根据函数定义，A选项，对于任意的，只有唯一确定的与其对应，满足函数定义，A正确；
B选项，对于任意的，均由唯一确定的与其对应，满足函数定义，B正确；
C选项，对于，有和与其对应，不是函数，C错误；
D选项，对于任意的，均由唯一确定的与其对应，满足函数定义，D正确.
故选：ABD
10．下面选项中所给的不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据对数函数、指数函数的性质判断．
【详解】，，，A正确，B错误；
，又，所以，即，C错误，D正确，
故选：AD．
11．已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为16B．的最大值为
C．的最小值为9D．的最大值为
【答案】AC
【分析】根据对数运算得到，A选项，由基本不等式求出；B选项，得到，两边平方得，由基本不等式求出；C选项，由基本不等式“1”的妙用求出最值；D选项，表达出，代入中，化简换元得到，结合对勾函数求出取值范围，得到答案.
【详解】，即，故，
A选项，，当且仅当时，等号成立，
解得，A正确；
B选项，，故，两边平方得，
由基本不等式得，当且仅当，就时，等号成立，
故，解得，B错误；
C选项，，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为9，C正确；
D选项，因为，所以，
故
，
因为，解得或（舍去），
令，则，
故
，
由对勾函数性质可知在上单调递增，在上单调递减，
故，故，D错误.
故选：AC
12．函数，，，则下列说法正确的有（ ）
A．函数有且仅有一个零点
B．设方程的所有根的乘积为，则
C．当时，设方程的所有根的乘积为，则
D．当时，设方程的最大根为，方程的最小根为，则
【答案】BCD
【分析】A选项，求出恒过定点，当时，无交点；B选项，画出，的图象，由图象可得，且，即，故；C选项，当时，，求出，，故，C正确；D选项，由题意得，，结合反函数的性质得到答案.
【详解】A选项，令，则，
其中恒过定点，
当时，，
画出，的图象，如下：
可以看出两函数无交点，没有零点，A错误；
B选项，画出，的图象，
可以看出两函数有2个交点，设交点横坐标分别为，，
其中，，
由图象可得，且，
故，即，
故，则，B正确；
C选项，当时，，方程，即，
时，，时，，
故，C正确；
D选项，当时，，画出的图象，
可以看出，
再画出的图象，
的最小根为，则，
由于与互为反函数，关于对称，
而也关于对称，
故与相加得，
，解得，D正确.
故选：BCD
【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
三、填空题
13．已知函数，则 ．
【答案】2
【分析】首先分析题意，进行分情况讨论解题即可得出答案.
【详解】时，
又时，.
故答案为：2.
14．若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ；
【答案】
【分析】根据必要不充分条件的定义求得的取值范围后可得．
【详解】或，
由题意得，
所以的最大值是．
故答案为：．
15．艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律.基于此，某课题小组研究发现，在学习课程后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的20%.为使得所记忆的内容不低于，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则 ；（，）
【答案】7
【分析】根据指数函数模型列不等式求解．
【详解】由题意，，，
，
，又，
所以的最大值是7.
故答案为：7.
四、双空题
16．已知，则 ， ；
【答案】 /
【分析】将已知式化简后，用表示，即可得函数解析式，从而计算出函数值．
【详解】，当且仅当时取等号．
由已知，
所以，．
故答案为：．
五、解答题
17．求下列各式的值
(1)
(2)
【答案】(1)2
(2)3
【分析】（1）由对数的运算法则、换底公式、幂的运算法则计算；
（2）由对数的运算法则计算．
【详解】（1）
．
（2）
．
18．已知不等式的解集为.
(1)求实数a和t的值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数c的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意为方程的两根，结合韦达定理，即得解；
（2）分，两种情况讨论，当时，用开口方向和判别式控制，列出不等式，即得解
【详解】（1）由题意为方程的两根
则，可得
（2）由（1）得，恒成立
当时，，不等式恒成立；
当时，
解得：
综上：
故实数c的取值范围是
19．已知函数是定义在R的奇函数，当时，．
(1)请画出函数图像并求的解析式；
(2)，对，用表示，中的最大者，记为，写出函数的解析式（不需要写解答过程），并求的最小值．
【答案】(1)图象见解析，
(2)，的最小值为-3.
【分析】（1）根据函数为奇函数得到函数图象，并根据时的解析式和函数奇偶性得到函数解析式；
（2）解不等式，得到的解析式，画出的图象，数形结合得到最小值.
【详解】（1）函数图象如下：
函数是定义在R的奇函数，故，
当时，，，
因为，所以，故，
故；
（2）当时，令，解得（舍去）或，
令，解得，
当时，，，，
当时，令，解得或（舍去），
令，解得，
故，
画出的图象，
故的最小值为-3.
20．已知函数，
（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并求函数的值域；
（Ⅱ）若实数满足，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明过程见详解，；（2）
【分析】（1）先求函数的定义域为与函数，再证明，从而证明是奇函数，最后求函数的值域；
（2）先判断在定义域上单调递增且是奇函数，再转化不等式为，最后求实数的取值范围.
【详解】解：（1）因为，则函数的定义域为，且，
所以，
所以是奇函数，
因为，
因为，所以，则，
所以函数的值域，
（2）因为在定义域上单调递增且是奇函数，
所以，则，即，
所以，解得，
所以实数的取值范围：，
【点睛】本题考查函数奇偶性的判定、求函数的值域、根据函数的单调性与奇偶性求参数范围，是中档题.
21．一种药在病人血液中的含量不低于2g时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用个单位的药剂，药剂在血液中的含量（单位：g）随着时间（单位：h）变化的函数关系式近似为，其中．
(1)若病人一次服用3个单位的药剂，求有效治疗的时间；
(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，6h后再服用个单位的药剂，要使接下来的2h中能够持续有效治疗，求的最小值．
【答案】(1)小时；
(2)．
【分析】（1）由可得；
（2）由于病人第一次服用的药剂在第8小时时，药剂在血液中的含量为0，因此必须满足第6个小时时服用的个单位的药剂，在接下来的2小时中为有效治疗时间，即药剂在血液中的含量不小于2，从而由可得．
【详解】（1）由函数知是减函数，
服用3个单位的药剂，，
时，，为有效治疗时间，
时，由得，即，
所以有效治疗时间为；
（2）由已知病人第一次服用的药剂在第8小时时，药剂在血液中的含量为0，
第6个小时时服用的个单位的药剂，在接下来的2个小时中药剂在血液中的含量为，
由题意，，
所以的最小值是．
22．若函数满足下列条件：
在定义域内存在使得成立，则称函数具有性质；反之若不存在，则称函数不具有性质.
（1）证明函数具有性质，并求出对应的的值；
（2）已知函数，具有性质，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析， （2）
【解析】（1）将代入，求出即可证明；
（2）由题意，存在，使，化简得有实根，分类讨论即可求出答案．
【详解】（1）证明：代入得：
，
即，解得
所以函数具有性质；
（2）解：的定义域为，且可得.
因为具有性质，所以存在，使，
代入得：，化为，
整理得：有实根，
①若，得；
②若，得，即，解得：，
∴；
综上可得
【点睛】本题是在新定义下对函数的综合考查，关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题，属于难题．
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解不等式，求出，，求出交集.
【详解】，，
故
故选：A
2．下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】A选项，函数不满足单调性；B选项，定义域不关于原点对称，B错误；C选项，满足函数为偶函数且在上单调递增；D选项，函数不满足为偶函数.
【详解】A选项，在上单调递减，A错误；
B选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，不是偶函数，B错误；
C选项，的定义域为R，又，故为偶函数，
且时，在上单调递增，满足要求，C正确；
D选项，的定义域为R，且，故，
不是偶函数，D错误.
故选：C
3．下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】先举例说明ABD不成立，再根据不等式性质说明C成立.
【详解】当时，满足，但不成立，所以A错；
当时，满足，但不成立，所以B错；
当时，满足，但不成立，所以D错；
因为所以，又，因此同向不等式相加得，即C对；
故选：C
【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.
4．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由函数零点存在性定理求解即可.
【详解】，
，函数在区间上有零点，
故选：B.
5．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质判断．
【详解】，当或时，，，排除AD，
当时，，，排除C，
故选：B．
6．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】D
【分析】化简原式，代入求值即可.
【详解】可知，
当，时，原式,
当，时，原式，
故原式值为，
故选：D
7．若函数在是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】变形换元得到，，考虑，和三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】，
令，故，，
当，即时，在上单调递增，满足要求，
当，即时，在上单调递增，满足要求，
当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增，
故，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：A
8．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先得到，故恒成立，画出的图象，得到其单调递增，从而得到不等式，求出实数的取值范围，检验后满足要求，得到答案.
【详解】，
，
画出的图象，如下：
故在上单调递增，
故，解得，
只需，其中，
故，解得，
此时，不包含0，符合要求.
故选：D
二、多选题
9．以下与的关系中，其中是关于的函数的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由函数的定义进行判断.
【详解】根据函数定义，A选项，对于任意的，只有唯一确定的与其对应，满足函数定义，A正确；
B选项，对于任意的，均由唯一确定的与其对应，满足函数定义，B正确；
C选项，对于，有和与其对应，不是函数，C错误；
D选项，对于任意的，均由唯一确定的与其对应，满足函数定义，D正确.
故选：ABD
10．下面选项中所给的不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据对数函数、指数函数的性质判断．
【详解】，，，A正确，B错误；
，又，所以，即，C错误，D正确，
故选：AD．
11．已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为16B．的最大值为
C．的最小值为9D．的最大值为
【答案】AC
【分析】根据对数运算得到，A选项，由基本不等式求出；B选项，得到，两边平方得，由基本不等式求出；C选项，由基本不等式“1”的妙用求出最值；D选项，表达出，代入中，化简换元得到，结合对勾函数求出取值范围，得到答案.
【详解】，即，故，
A选项，，当且仅当时，等号成立，
解得，A正确；
B选项，，故，两边平方得，
由基本不等式得，当且仅当，就时，等号成立，
故，解得，B错误；
C选项，，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为9，C正确；
D选项，因为，所以，
故
，
因为，解得或（舍去），
令，则，
故
，
由对勾函数性质可知在上单调递增，在上单调递减，
故，故，D错误.
故选：AC
12．函数，，，则下列说法正确的有（ ）
A．函数有且仅有一个零点
B．设方程的所有根的乘积为，则
C．当时，设方程的所有根的乘积为，则
D．当时，设方程的最大根为，方程的最小根为，则
【答案】BCD
【分析】A选项，求出恒过定点，当时，无交点；B选项，画出，的图象，由图象可得，且，即，故；C选项，当时，，求出，，故，C正确；D选项，由题意得，，结合反函数的性质得到答案.
【详解】A选项，令，则，
其中恒过定点，
当时，，
画出，的图象，如下：
可以看出两函数无交点，没有零点，A错误；
B选项，画出，的图象，
可以看出两函数有2个交点，设交点横坐标分别为，，
其中，，
由图象可得，且，
故，即，
故，则，B正确；
C选项，当时，，方程，即，
时，，时，，
故，C正确；
D选项，当时，，画出的图象，
可以看出，
再画出的图象，
的最小根为，则，
由于与互为反函数，关于对称，
而也关于对称，
故与相加得，
，解得，D正确.
故选：BCD
【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
三、填空题
13．已知函数，则 ．
【答案】2
【分析】首先分析题意，进行分情况讨论解题即可得出答案.
【详解】时，
又时，.
故答案为：2.
14．若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ；
【答案】
【分析】根据必要不充分条件的定义求得的取值范围后可得．
【详解】或，
由题意得，
所以的最大值是．
故答案为：．
15．艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律.基于此，某课题小组研究发现，在学习课程后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的20%.为使得所记忆的内容不低于，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则 ；（，）
【答案】7
【分析】根据指数函数模型列不等式求解．
【详解】由题意，，，
，
，又，
所以的最大值是7.
故答案为：7.
四、双空题
16．已知，则 ， ；
【答案】 /
【分析】将已知式化简后，用表示，即可得函数解析式，从而计算出函数值．
【详解】，当且仅当时取等号．
由已知，
所以，．
故答案为：．
五、解答题
17．求下列各式的值
(1)
(2)
【答案】(1)2
(2)3
【分析】（1）由对数的运算法则、换底公式、幂的运算法则计算；
（2）由对数的运算法则计算．
【详解】（1）
．
（2）
．
18．已知不等式的解集为.
(1)求实数a和t的值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数c的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意为方程的两根，结合韦达定理，即得解；
（2）分，两种情况讨论，当时，用开口方向和判别式控制，列出不等式，即得解
【详解】（1）由题意为方程的两根
则，可得
（2）由（1）得，恒成立
当时，，不等式恒成立；
当时，
解得：
综上：
故实数c的取值范围是
19．已知函数是定义在R的奇函数，当时，．
(1)请画出函数图像并求的解析式；
(2)，对，用表示，中的最大者，记为，写出函数的解析式（不需要写解答过程），并求的最小值．
【答案】(1)图象见解析，
(2)，的最小值为-3.
【分析】（1）根据函数为奇函数得到函数图象，并根据时的解析式和函数奇偶性得到函数解析式；
（2）解不等式，得到的解析式，画出的图象，数形结合得到最小值.
【详解】（1）函数图象如下：
函数是定义在R的奇函数，故，
当时，，，
因为，所以，故，
故；
（2）当时，令，解得（舍去）或，
令，解得，
当时，，，，
当时，令，解得或（舍去），
令，解得，
故，
画出的图象，
故的最小值为-3.
20．已知函数，
（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并求函数的值域；
（Ⅱ）若实数满足，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明过程见详解，；（2）
【分析】（1）先求函数的定义域为与函数，再证明，从而证明是奇函数，最后求函数的值域；
（2）先判断在定义域上单调递增且是奇函数，再转化不等式为，最后求实数的取值范围.
【详解】解：（1）因为，则函数的定义域为，且，
所以，
所以是奇函数，
因为，
因为，所以，则，
所以函数的值域，
（2）因为在定义域上单调递增且是奇函数，
所以，则，即，
所以，解得，
所以实数的取值范围：，
【点睛】本题考查函数奇偶性的判定、求函数的值域、根据函数的单调性与奇偶性求参数范围，是中档题.
21．一种药在病人血液中的含量不低于2g时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用个单位的药剂，药剂在血液中的含量（单位：g）随着时间（单位：h）变化的函数关系式近似为，其中．
(1)若病人一次服用3个单位的药剂，求有效治疗的时间；
(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，6h后再服用个单位的药剂，要使接下来的2h中能够持续有效治疗，求的最小值．
【答案】(1)小时；
(2)．
【分析】（1）由可得；
（2）由于病人第一次服用的药剂在第8小时时，药剂在血液中的含量为0，因此必须满足第6个小时时服用的个单位的药剂，在接下来的2小时中为有效治疗时间，即药剂在血液中的含量不小于2，从而由可得．
【详解】（1）由函数知是减函数，
服用3个单位的药剂，，
时，，为有效治疗时间，
时，由得，即，
所以有效治疗时间为；
（2）由已知病人第一次服用的药剂在第8小时时，药剂在血液中的含量为0，
第6个小时时服用的个单位的药剂，在接下来的2个小时中药剂在血液中的含量为，
由题意，，
所以的最小值是．
22．若函数满足下列条件：
在定义域内存在使得成立，则称函数具有性质；反之若不存在，则称函数不具有性质.
（1）证明函数具有性质，并求出对应的的值；
（2）已知函数，具有性质，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析， （2）
【解析】（1）将代入，求出即可证明；
（2）由题意，存在，使，化简得有实根，分类讨论即可求出答案．
【详解】（1）证明：代入得：
，
即，解得
所以函数具有性质；
（2）解：的定义域为，且可得.
因为具有性质，所以存在，使，
代入得：，化为，
整理得：有实根，
①若，得；
②若，得，即，解得：，
∴；
综上可得
【点睛】本题是在新定义下对函数的综合考查，关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题，属于难题．
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