2023-2024学年广东省鹤山市鹤华中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省鹤山市鹤华中学高一（上）期中数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合{1,2,4}的真子集个数为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
2.“x< 2”是“2x<3”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数f(x)=x2−1,x≤11x−1,x>1，则f(f(−2))=( )
A. 8B. 12C. −34D. −109
4.下列各式正确的是( )
A. 8a8=aB. a0=1C. 4(−4)4=−4D. 5(−π)5=−π
5.下列函数中图象完全相同的是( )
A. y=x与y= x2
B. y=xx与y=x0
C. y=( x)2与y=1
D. y= x+1⋅ x−1与y= (x+1)⋅(x−1)
6.糖水溶液(不饱和)的浓度计算公式为c=糖的质量b克糖水的质量a克(a>b)，向糖水(不饱和)中再加入m克糖，那么糖水(不饱和)将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为( )
A. ba>b+ma+mB. bab+maD. ba7.关于x的不等式mx2−mx+m+1>0恒成立，则m的取值范围为( )
A. (0,+∞)B. [0,+∞)
C. (−∞,−43)∪(0,+∞)D. (−∞,−43)∪[0，+∞)
8.若x，y满足x>0，y>0，xy=3x+y，则x+3y的最小值为( )
A. 10+2 6B. 10+2 3C. 12D. 16
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上为增函数的是( )
A. y=2−xB. y=x2+2C. y=−1xD. y=|x|+1
10.若x2−x−2<0是−2A. 1B. 2C. 3D. 4
11.实数a，b，c，d满足：a>b>0>c>d，则下列不等式正确的是( )
A. c212.设a>1，b>1且ab−(a+b)=1，那么( )
A. a+b有最小值2+2 2B. a+b有最大值2+2 2
C. ab有最大值1+ 2D. ab有最小值3+2 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题“∃x>0,1x+1<0”的否定为______ ．
14.函数y= x−1x−2的定义域为______ ．
15.10x=2，10y=3，则10x+y= ______ ．
16.已知函数y=f(x)在R上是奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2−2x，则x<0时，f(x)的解析式为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1(1)求A∪B，A∩B；
(2)若U=R，求∁UB，A⋂(∁UB)．
18.(本小题12分)
(1)已知x>−1，求y=x+1x+1的最小值；
(2)已知019.(本小题12分)
已知不等式x2−(a+2)x+b≤0的解集为{x|1≤x≤2}．
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式：(x−c)(ax−2)>0(c为常数，且c≠2)
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=−x2+(a−2)⋅x+1，x∈[−3,3]．
(1)当a=1时，求函数f(x)的值域．
(2)若函数f(x)在区间[−3,3]上是单调函数，求实数a的取值集合．
21.(本小题12分)
已知幂函数y=f(x)的图象过点(4,12)．
(1)求此函数的解析式．
(2)根据单调性的定义，证明函数f(x)在(0,+∞)上单调递减．
(3)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由．
22.(本小题12分)
某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x件，需另投入成本为C(x)当年产量不足80件时，C(x)=13x2+10x(万元)；当年产量不小于80件时．C(x)=51x+10000x−1450(万元)每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(件)的函数解析式：
(2)年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的真子集的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意真子集定义的合理运用．
若集合A中有n个元素，则集合A中有2n−1个真子集．
【解答】
解：集合{1,2,4}的真子集个数为：
23−1=7．
故选：C．
2.【答案】A
【解析】解：由2x<3，得x<32，而 2<32，故由“x< 2“可以推出“2x<3”，
反之，由“2x<3”不能推出“x< 2”，所以“x< 2”是“2x<3”的充分不必要条件．
故选：A．
根据题意，利用充分必要条件的概念进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查了不等式的解法及其应用、充要条件的判断等知识，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=x2−1,x≤11x−1,x>1，
所以f(−2)=(−2)2−1=3，
所以f(f(−2))=f(3)=13−1=12．
故选：B．
根据分段函数的解析式先求出f(−2)的值，再求出f(f(−2))的值即可．
本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：对于A，8a8=a，当a为负数时等式不成立，故A不正确；
对于B，a0=1，当a=0时无意义，故B不正确；
对于C，4(−4)4=−4，左边为正，右边为负，故C不正确；
对于D，5(−π)5=−π，故D正确．
故选：D．
将根式转化为有理数指数幂进行化简求值即可．
本题考查有理数指数幂的化简求值，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：A.y=x与y= x2=|x|的解析式不同，不是同一个函数，图象不同；
B.y=xx=1与y=x0=1的定义域都是{x|x≠0}，解析式也相同，是同一个函数，图象完全相同；
C.y=( x)2=x与y=1的解析式不同，不是同一个函数，图象不同；
D.y= x+1⋅ x−1的定义域为{x|x≥1}，y= (x+1)(x−1)的定义域为{x|x≤−1或x≥1}，定义域不同，不是同一个函数，图象不同．
故选：B．
判断图象是否完全相同只需判断两个函数是否完全相同即可，而判断两个函数是否完全相同，只需判断两函数的定义域和解析式是否完全相同即可．
本题考查了函数的定义，定义域和解析式都相同的两函数的图象完全相同，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：向糖水(不饱和)中再加入m克糖，那么糖水(不饱和)将变得更甜，可知浓度变大．
由题意可得：ba故选：B．
向糖水(不饱和)中再加入m克糖，那么糖水(不饱和)将变得更甜，可知浓度变大，即可得出．
本题考查了浓度计算公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：m=0时，1>0成立，
m≠0时，m>0△=m2−4m(m+1)<0，
故m>0，
综上：m≥0，
故选：B．
通过讨论m的范围，结合二次函数的性质求出m的范围即可．
本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，是一道中档题．
8.【答案】D
【解析】解：x>0，y>0，xy=3x+y，则有1x+3y=1，
x+3y=(x+3y)(1x+3y)=10+3(yx+xy)≥10+6 yx⋅xy=16，
当且仅当x=y=4时取等号．
故选：D．
利用“1”的代换求最值即可．
本题利用基本不等式求最值，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：函数y=2−x不是偶函数，函数y=−1x是奇函数，不是偶函数，故可排除A，C选项．
又函数y=x2+2，y=|x|+1均为偶函数，
且二次函数y=x2+2在区间(0,+∞)上为增函数，
y=|x|+1，当x>0时，函数可化为y=x+1，在(0,+∞)上为增函数，故B，D均正确．
故选：BD．
根据函数为偶函数可排除A，C选项，再判断选项B，D中函数的单调性从而得出答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定及其应用，是基础题．
求解一元二次不等式，把若x2−x−2<0是−2【解答】
解：由x2−x−2<0，解得−1又x2−x−2<0是−2∴(−1,2)⫋(−2,a)，则a≥2．
∴实数a的值可以是2，3，4．
故选：BCD．
11.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由于0>c>d，则c2−cd=c(c−d)<0，则有c2对于B，当a=2，b=1，c=−1，d=−2时，满足a>b>0>c>d，但a−c=b−d，B错误；
对于C，由于0>c>d，则−d>−c>0，又由a>b>0，则−ad>−bc，变形可得ad对于D，ac−bd=ad−bccd，由于cd>0，ad−bc<0，则有ac−bd<0，即ac故选：ACD．
根据题意，由不等式的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查不等式的性质以及应用，涉及不等式的证明，属于基础题．
12.【答案】AD
【解析】解：因为a>1，b>1且ab−(a+b)=1，
所以a+b=ab−1≤(a+b2)2−1，当且仅当a=b时取等号，
解可得，a+b≥2+2 2，即a+b有最小值2+2 2，A正确，B错误；
由ab=1+a+b≥1+2 ab，当且仅当a=b时取等号，
解可得，ab≥3+2 2，即ab有最小值3+2 2．
故选：AD．
由已知结合ab≤(a+b2)2，结合选项进行检验即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．
13.【答案】∀x>0,1x+1≥0
【解析】解：由存在量词命题的否定为全称量词命题，则原命题的否定为∀x>0,1x+1≥0．
故答案为：∀x>0,1x+1≥0．
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查，属于基础题．
14.【答案】(−∞,1]⋃(2，+∞)
【解析】解：由题意得x−1x−2≥0，
即(x−1)(x−2)≥0x−2≠0，解得x>2或x≤1，
所以函数的定义域为(−∞,1]⋃(2，+∞)，
故答案为：(−∞,1]⋃(2，+∞)．
根据被开方数大于等于0得到不等式，解出即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，属于基础题．
15.【答案】6
【解析】解：∵10x=2，10y=3，
∴10x+y=10x⋅10y=2×3=6．
故答案为：6．
利用指数幂的运算性质可求得答案．
本题考查有理数指数幂及根式，属于基础题．
16.【答案】f(x)=−x2−2x
【解析】解：由题意可得：设x<0，则−x>0；
∵当x≥0时，f(x)=x2−2x，
∴f(−x)=x2+2x，
因为函数f(x)是奇函数，
所以f(−x)=−f(x)，
所以x<0时f(x)=−x2−2x，
故答案为：f(x)=−x2−2x；
由题意设x>0利用已知的解析式求出f(−x)=x2+2x，再由f(x)=−f(−x)，求出x<0时的解析式．
本题的考点是利用函数的奇偶性求函数的解析式(即利用f(x)和f(−x)的关系)，把x的范围转化到已知的范围内求对应的解析式．
17.【答案】解：(1)根据并集和交集的含义知A∪B={x|1(2)根据补集含义知∁UB={x|x≤1或x≥6}，
再根据交集含义得A⋂(∁UB)={x|6≤x≤8}．
【解析】根据集合的交并补即可得到答案．
本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由x>−1，则x+1>0，
所以y=x+1x+1=(x+1)+1x+1−1≥2 (x+1)⋅1x+1−1=1，当且仅当x=0时，等号成立，
故y=x+1x+1的最小值为1．
(2)由00，
则y=x(3−4x)=14×4x(3−4x)≤14×(4x+3−4x2)2=916，
当且仅当x=38时，等号成立，
故y=x(3−4x)的最大值为916．
【解析】(1)先将原代数式整理为y=(x+1)+1x+1−1，再利用基本不等式求最小值即可；
(2)先将原代数式整理为y=14×4x(3−4x)，再利用基本不等式求最大值即可．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为不等式x2−(a+2)x+b≤0的解集为{x|1≤x≤2}，
所以1和2是方程x2−(a+2)x+b=0的两根，
由根与系数的关系知，1+2=a+21×2=b，解得a=1，b=2．
(2)不等式(x−c)(ax−2)>0即为(x−c)(x−2)>0，
由c≠2，则c<2时，解不等式得，x2；
c>2时，解不等式得，x<2或x>c；
综上，c<2时，不等式的解集为{x|x2}；
c>2时，不等式的解集为{x|x<2或x>c}．
【解析】(1)根据不等式的解集得出对应方程的两根，由根与系数的关系求出a、b的值．
(2)不等式为(x−c)(x−2)>0，讨论c<2和c>2，写出对应不等式的解集．
本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．
20.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=−x2−x+1，函数的对称轴为x=−12，且开口向下，
则当x=−12时，f(x)max=54，当x=3时，f(x)min=−11，
所以函数的值域为[−11,54]；
(2)因为函数的对称轴为x=a−22，且在区间[−3,3]上是单调函数，
则a−22≤−3或a−22≥3，解得a≤−4或a≥8，
所以实数a的范围为(−∞,−4]∪[8,+∞)．
【解析】(1)代入a的值，求出函数的对称轴，然后根据对称轴与区间的关系即可求出函数的最值，由此即可求解；(2)求出函数的对称轴，然后根据二次函数的性质以及已知建立不等式关系，进而可以求解．
本题考查了二次函数的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
21.【答案】(1)解：由题意，设f(x)=xa，则12=4a=4−12，故a=−12，f(x)=x−12；
(2)证明：令x1>x2>0，则f(x1)−f(x2)=1 x1−1 x2= x2− x1 x1x2，
而 x2− x1<0， x1x2>0，故f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)函数f(x)在(0,+∞)上单调递减．
(3)解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，
则函数f(x)为非奇非偶函数．
【解析】(1)根据幂函数的定义求解即可；
(2)根据单调性的定义证明即可；
(3)判断出函数的定义域，结合奇偶性的定义求解即可．
本题考查幂函数的性质，属于基础题．
22.【答案】解：(1)∵①当0∴L(x)=50x−13x2−10x−250=−13x2+40x−250；
②当x≥80时，根据年利润=销售收入−成本，
∴L(x)=50x−51x−10000x+1450−250=1200−(x+10000x).
综合①②可得，L(x)=−13x2+40x−250,0(2)①当0∴当x=60时，L(x)取得最大值L(60)=950万元；
②当x≥80时，L(x)=1200−(x+10000x)≤1200−2 x⋅10000x=1200−200=1000，
当且仅当x=10000x，即x=100时，L(x)取得最大值L(100)=1000万元．
综合①②，由于950<1000，
∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元
【解析】(1)分两种情况进行研究，当0(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0本题考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力，属于中档题