2023-2024学年辽宁省县级重点高中协作体高一（上）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年辽宁省县级重点高中协作体高一（上）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−2A. 4B. 3C. 6D. 5
2.已知命题p：∀x≥0，x2−4>0，则￢p是( )
A. ∃x<0，x2−4≤0B. ∃x≥0，x2−4≤0
C. ∀x<0，x2−4>0D. ∀x≥0，x2−4≤0
3.函数y= 4−x2x2+3x−4的定义域为( )
A. [−2,2]B. [−2,0)∪(0,2]C. (0,2)D. [−2,1)∪(1,2]
4.已知集合M={m−2,m2+4m,9}，且−3是M中的一个元素，则m=( )
A. −3B. −1或3C. 3D. −3或−1
5.“∃x∈[−2,1]，x2−2a>0”为假命题的一个充分不必要条件是( )
A. a≤0B. a≥3C. a≤2D. a≥1
6.函数f(x)=x3+x−20的零点所在的区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
7.函数f(x)=−x|x−b|在区间[2,3]上单调递增，则实数b的取值范围是( )
A. [2,3]B. [3,4]C. [4,5]D. [5,6]
8.已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数与偶函数，且f(x)+g(x)=ax2−x+4，若对任意2A. (−∞,0)∪(0,1]B. (−∞,12]C. (−∞,1]D. [0,1]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 若a>b，则1a<1bB. 若a>b，c>d，则a+c>b+d
C. 若a>b，则a|c|>b|c|D. 若a>1，则a+1a−1≥3
10.下列各对函数中，图像完全相同的是( )
A. y= x2与y=|x|
B. y=x2−1x−1与y=x+1
C. y=x2x与y=x(x≠0)
D. y= x2−1与y= x−1⋅ x+1
11.如图，某小区拟建造一个矩形绿地，如果在AB中点M正北方向25米处立起一根旗杆E，在BC中点N正东方向40米处立起一根旗杆F，且E，B，F三点在同一直线上，那么该矩形绿地的周长可能为( )
A. 40 10米B. 60 10米C. 80 10米D. 90 10米
12.定义f(x)=[x](其中[x]表示不小于x的最小整数)为“向上取整函数”.例如[−1.3]=−1，[3.2]=4，[5]=5.以下描述正确的是( )
A. 若f(x)=8，则x∈(7,8]B. 若[x]2−7[x]+12≤0，则x∈(2,4]
C. f(x)=[x]是定义在R上的奇函数D. 若f(x)=f(y)，则|x−y|<1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=|x−1|,x<1x2−x+1,x>1，则f(f(−1))= ______ ．
14.已知x>−1，当x= ______ 时，x+4x+1的值最小．
15.已知定义在R上的函数f(x)=kx x2+2+1(k为常数)，若f(2024)=−2021，则f(−2024)= ______ ．
16.函数f(x)=−12|x|+2,x≤4x2−10x+24,x>4，集合M=(x|f2(x)+2mf(x)+3m+4=0,m∈R}，如果集合M有六个元素，那么m的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|x2−2mx+(m2−4)≤0}，B={x|1≤x≤6}．
(1)当m=1时，求A∩B，A∪∁RB.
(2)从①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；②A∩∁BB=⌀；③A∪B=B，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
问题：若_____，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
(1)已知x<54，求y=4x−2+14x−5的最大值；
(2)已知019.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)．
(1)当a=1时，函数f(x)在(−2,4)上单调，求b的取值范围；
(2)若f(x)>0的解集为(−4,2)，求关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集．
20.(本小题12分)
研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，减少碳排放具有深远的意义.为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x(单位：百辆)新能源汽车需另投入成本P(x)(单位：万元)，且P(x)=10x2+100x,0(1)求2023年的利润C(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；
(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
21.(本小题12分)
设y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(13)=1．
(1)求f(1),f(19),f(9)的值；
(2)若f(x)−f(2−x)<2，求x的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=axx+1(a≠0)．
(1)当a>0时，判断f(x)的单调性；
(2)若f(x)在区间[1,2]上的最大值为43：
(i)求实数a的值；
(ii)若函数g(x)=x+bx(b>0)是否存在正实数b，对区间[15,1]上任意三个实数r，s，t，都存在以g(f(r))，g(f(s))，g(f(t))为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵A={x|−2∴由交集定义得：A∩B={0,2,4,6}，
∴A∩B中元素的个数为4．
故选：A．
利用交集定义直接求解．
本题考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：命题p：∀x≥0，x2−4>0，
命题p的否定形式是￢p：∃x≥0，x2−4≤0．
故选：B．
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：y= 4−x2x2+3x−4，
则4−x2≥0x2+3x−4>0，解得−2≤x≤2，且x≠1，
故函数y= 4−x2x2+3x−4的定义域为[−2,1)∪(1,2]．
故选：D．
根据已知条件，列出不等式组，即可求解．
本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：集合M={m−2,m2+4m,9}，且−3∈M．
①当m−2=−3时，m=−1，此时，m2+4m=−3，集合A中的元素不满足互异性，故不符合题意，舍去；
②当m2+4m=−3时，m=−1(舍)或−3．
若m=−3，则m−2=−5，此时集合A={−5,−3,9}，符合题意，
综上所述，m=−3．
故选：A．
根据元素与集合的关系可得出关于实数m的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数m的值．
本题主要考查元素和集合之间的关系，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∃x∈[−2,1]，x2−2a>0为假命题，
则∀x∈[−2,1]，x2−2a≤0为真命题，
因为函数y=x2的最大值ymax=f(−2)=4，
故2a≥4，解得a≥2，
因为a≥3⇒a≥2，
但a≥2推不出a≥3，
所以a≥3是∀x∈[−2,1]，x2−2a≤0为真命题的一个充分不必要条件，故B正确，其他三个选项均不符合题意．
故选：B．
由题意得∀x∈[−2,1]，x2−2a≤0为真命题，然后结合二次函数的性质可求．
本题主要考查了含有量词的命题真假关系的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=x3+x−20的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)在R上递增，
而f(0)=−20，f(1)=−18，f(2)=−10，f(3)=10，f(4)=48，
可得f(2)⋅f(3)<0，满足零点存在性定理，
所以函数f(x)=x3+x−20的零点所在的区间是(2,3)．
故选：C．
利用函数零点存在定理，对区间端点函数值进行符号判断，异号的就是函数零点存在的区间．
本题考查了函数零点的存在区间的判断；根据函数零点的判定定理，只要区间端点的函数值异号，就是函数零点存在区间．
7.【答案】B
【解析】解：f(x)=−x|x−b|=−x2+bx,x≥bx2−bx,x由f(x)=0，得x=0或x=b，
①若b<0，作图如下：
由图可知，函数f(x)=−x|x−b|在区间[2,3]上单调递减，不合题意；
②若b=0，f(x)=−x|x|=−x2,x≥0x2,x<0，为R上的减函数，不符合题意；
③若b>0，
当x≥b时，函数f(x)=−x2+bx，图象开口向下，关于x=b2对称，所以f(x)在[b,+∞)上单调递减；
当x若f(x)=−x|x−b|在区间[2,3]上单调递递增，
则b2≤2<3≤b，解得3≤b≤4．
故选：B．
由f(x)=0，得x=0或x=b，分b<0，b=0与b>0讨论，结合题意列式可得答案．
本题考查函数单调性的性质与判断，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)．
又f(x)+g(x)=ax2−x+4①，
则f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x)=ax2+x+4②，
两式相加得g(x)=ax2+4．
若对任意2即g(x1)−4x1>g(x2)−4x2成立，
令h(x)=g(x)−4x=ax2−4x+4，
则函数h(x)在区间(2,4)上单调递减．
当a=0时，h(x)=−4x+4，则函数h(x)在区间(2,4)上单调递减，符合题意；
当a≠0时，h(x)=ax2−4x+4为二次函数，图象关于x=2a对称．
因为函数h(x)在(2,4)上递减，所以a<02a≤2或a>02a≥4，
解得0即a的取值范围是(−∞.12]．
故选：B．
根据奇偶性的性质求出函数g(x)的解析式，令h(x)=g(x)−4x=ax2−4x+4，由已知可得函数h(x)在区间(2,4)上单调递减，对a分类讨论，即可求解a的取值范围．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，当a=1，b=−1，满足a>b，但1a>1b，故A错误；
对于B，∵a>b，c>d，
∴a+c>b+d，故B正确；
对于C，当c=0时，a|c|=b|c|，故C错误；
对于D，a+1a−1=a−1+1a−1+1≥2 (a−1)⋅1a−1+1=3，
当且仅当a−1=1a−1，即a=2时，等号成立，故D正确．
故选：BD．
根据已知条件，结合特殊值法，不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，两个函数是同一函数，故图象完全相同，A正确；
对于B，y=x2−1x−1的定义域为{x|x≠1}，y=x+1的定义域为R，两个函数的定义域不同，不是同一函数，B错误；
对于C，y=x2x=x(x≠0)，两个函数是同一函数，故图象完全相同，C正确；
对于D，y= x2−1的定义域为(−∞,−1]∪[1,+∞)，y= x−1⋅ x+1的定义域为[1,+∞)，二者定义域不同，不是同一函数，故D错误．
故选：AC．
图象是否完全相同，只需判断两函数是否完全相同，然后判断两函数的定义域和解析式是否完全相同即可．
本题考查了函数的定义，定义域和解析式完全相同的两函数的图象完全相同，是基础题．
11.【答案】CD
【解析】解：在AB中点M正北方向25米处立起一根旗杆E，在BC中点N正东方向40米处立起一根旗杆F，且E，B，F三点在同一直线上，
如图，设MB=x，BN=y，由题意知△EMB∽△EOF，即EMMB=EOOF，
因为MB=x，ME=25，BN=y，NF=40，
所以25x=25+y40+x，化简得xy=1000，
因此矩形绿地的周长=2(2x+2y)≥2×2 2x⋅2y=8×10 10=80 10，
当且仅当x=y=10 10时取等号，
故矩形菜地的周长可能为80 10米，90 10米．
故选：CD．
设MB=x，BN=y，利用△EMB∽△EOF得到xy=1000，再根据基本不等式即可求解．
本题考查了三角形相似和基本不等式的应用，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，函数f(x)=[x]，[x]表示不小于x的最小整数，则有[x]−1由此分析选项：
对于A，若f(x)=[x]=8，则8=[x]≥x，7=[x]−1对于B，令t=[x]，则t2−7t+12≤0，解得3≤t≤4，又[x]为整数，则t=3或t=4，
当t=3时，即[x]=3，则2当t=4时，即[x]=4，则3综合可得：2对于C，f(x)=[x]，则f(0.5)=1，f(−0.5)=0≠−f(0.5)，
则f(x)=[x]不是R上的奇函数，故C错误；
对于D，[y]−1又[x]−1故选：ABD．
根据题意，结合“向上取整函数”的定义，有[x]−1本题考查函数的基本性质，注意分析函数f(x)=[x]的含义，属于中档题．
13.【答案】3
【解析】解：根据题意，函数f(x)=|x−1|,x<1x2−x+1,x>1，
则f(−1)=|−1−1|=2，
则f(f(−1))=f(2)=22−2+1=3．
故答案为：3．
根据题意，由函数的解析式求出f(−1)的值，进而计算可得答案．
本题考查分段函数的求值，涉及分段函数的定义，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：∵x>−1，∴x+1>0，
∴x+4x+1=x+1+4x+1−1≥2 (x+1)⋅4x+1−1=3，当且仅当x=1时取等号．
故答案为：1．
变形利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15.【答案】2023
【解析】解：设g(x)=kx x2+2，
则g(−x)=−kx x2+2=−g(x)，且定义域为R，
所以g(x)是奇函数．
所以f(x)=g(x)+1，f(−x)=−g(x)+1，
两式相加得f(x)+f(−x)=2，
所以f(−2024)=2−f(2024)=2−(−2021)=2023．
故答案为：2023．
设g(x)=kx x2+2，判断g(x)为奇函数，由奇函数的性质计算即可得解．
本题主要考查函数奇偶性的性质，函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】(−87,−1)
【解析】解：由题意，令f(x)=t，设g(t)=t2+2mt+3m+4，画出f(x)的图象如图，
∵集合M=(x|f2(x)+2mf(x)+3m+4=0,m∈R}有六个元素，
∴g(t)在(−1,2)上有两个相异零点，
∴−1<−2m2<2g(−1)=m+5>0g(2)=7m+8>0Δ=4m2−4(3m+4)>0，解得m∈(−87,−1)．
故答案为：(−87,−1)．
令f(x)=t，设g(t)=t2+2mt+3m+4，画出图象，再根据题意数形结合可得g(t)在(−1,2)上有两个相异零点，再根据一元二次方程根分布问题求解即可．
本题考查分段函数对应用，嵌套型方程根问题，一元二次方程的根分布问题，数形结合思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)根据题意，当m=1时，集合A={x|x2−2x−3≤0}={x|−1≤x≤3}，B={x|1≤x≤6}，
所以A∩B={x|1≤x≤3}，
又因为∁RB={x|x<1或x>6}，
所以A∪∁RB={x|x≤3或x>6}；
(2)根据题意，
选择①，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B；
因为A={x|m−2≤x≤m+2}，所以A≠⌀，所以m−2>1m+2≤6或m−2≥1m+2<6，
解得3综合可得：3≤m≤4，
所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
选择②：若A∩∁RB=⌀，则A⊆B；
因为A={x|m−2≤x≤m+2}，所以A≠⌀，所以m−2≥1m+2≤6，
解得3≤m≤4，
所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
若选择③：A∪B=B，则A⊆B；
因为A={x|m−2≤x≤m+2}，所以A≠⌀，所以m−2≥1m+2≤6，
解得3≤m≤4，
所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
【解析】(1)当m=1时，分别取出集合A、B，由集合的运算可得A∩B，A∪∁RB；
(2)从三个条件中任选一个，分析集合A、B之间的关系，进而可得关于m的不等式，解可得答案．
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合运算性质，是基础题．
18.【答案】解：(1)∵x<54，
∴y=4x−5+14x−5+3=3−(5−4x+15−4x)≤3−2=1，
当且仅当5−4x=15−4x即x=1时取等号；
(2)∵0∴y=12x(1−2x)=14×2x(1−2x)≤14×(2x+(1−2x)2)2=116，
当且仅当2x=1−2x即x=14时取等号；
法二：∵0∴y=12x−x2=−(x2−12x+116)+116=−(x−14)2+116≤116
【解析】(1)由y=4x−5+14x−5+3=3−(5−4x+15−4x)，利用基本不等式可求；
(2)由y=12x(1−2x)=14×2x(1−2x)，利用基本不等式可求；
法二：由y=12x−x2=−(x2−12x+116)+116，结合二次函数的性质可求．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，要注意和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值的应用，属于基础试题．
19.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x2+bx+c的对称轴为直线x=−b2，
由于函数f(x)在(−2,4)上单调，所以−b2≤−2或−b2≥4，
解得b≤−8或b≥4．
所以b的取值范围是(−∞,−8]∪[4,+∞)；
(2)由于f(x)>0的解集为(−4,2)，则−4，2是方程ax2+bx+c=0的两根，
所以a<0，且−4+2=−ba，−4×2=ca，所以b=2a，c=−8a，
所以不等式cx2+bx+a>0，即−8ax2+2ax+a>0，
所以8x2−2x−1>0，即(2x−1)(4x+1)>0，解得x<−14或x>12，
所以不等式cx2+bx+a>0的解集为(−∞,−14)∪(12,+∞)．
【解析】(1)根据f(x)在区间(−1,2)上的单调性列不等式，由此求得b的取值范围；
(2)根据f(x)>0的解集求得a，b，c的关系式，从而求得不等式cx2+bx+a>0的解集．
本题考查了二次函数的单调性，涉及到一元二次不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵P(x)=10x2+100x,0∴当0当x≥40时，C(x)=500x−501x−10000x+4500−2500=2000−(x+10000x)，……………(4分)
故C(x)=−10x2+400x−2500,0(2)由(1)得C(x)=−10x2+400x−2500,0当0∴C(x)max=C(20)=1500；…………………………………(8分)
当x≥40时，C(x)=2000−(x+10000x)≤2000−2 x⋅10000x=2000−200=1800，
当且仅当x=10000x，即x=100时等号成立，故C(x)mxx=C(100)=1800.……………………(10分)
∵1800>1500，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．……(12分)
【解析】(1)根据利润=销售额−成本，分类讨论0(2)根据分段函数的性质，分类讨论0本题考查根据实际问题选择函数类型和分段函数的性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，即f(1)=0，
令x=y=13，则f(13×13)=f(13)+f(13)，
即f(19)=2f(13)=2，
令x=19，y=9得f(19×9)=f(19)+f(9)，
即f(1)=f(19)+f(9)，
则f(9)=f(1)−f(19)=0−2=−2．
综上f1=0 , f19=2 , f9=−2；
(2)若f(x)−f(2−x)<2，则f(x)即fx∵y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，
∴ x>02−x>0x>2−x9，即x>0x<2x>15,
解得15即不等式的取值范围为(15,2)．
【解析】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，综合考查函数的性质与应用，属中档题．
(1)利用赋值法即可求f(1)，f(19)，f(9)的值；
(2)结合函数单调性以及抽象函数的关系将不等式进行转化即可．
22.【答案】解：(1)由题意，得f(x)=axx+1=a−ax+1,x≠−1．
当a>0时，可得到f(x)=a−ax+1在(−∞,−1)和(−1,+∞)上单调递增．
(2)(i)若f(x)在区间[1,2]上的最大值为43．
当a<0时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，
∴f(x)max=f(1)=a−a2=a2=43，解得a=83(舍去)；
当a>0时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，
∴f(x)max=f(2)=a−a3=2a3=43，解得a=2．
综上，a=2．
(ii)由(i)知，f(x)=2−2x+1，且f(x)在区间[15,1]上单调递增．
∴f(15)⩽f(x)⩽f(1)，即13⩽f(x)⩽1，∴f(x)在区间[15,1]上的值域为[13,1]．
函数g(x)=x+bx⩾2 x⋅bx=2 b，当且仅当x=bx，即x= b时取等号，
g(x)在(0, b)上为减函数，在( b,+∞)上为增函数．
令m=f(x)，则m∈[13,1]，∴g(f(x))=g(m)=m+bm(b>0)．
在区间[15,1]上任意三个实数r，s，t，都存在以g(f(r))，g(f(s))，g(f(t))为边长的三角形，
等价于m∈[13,1],2g(m)min>g(m)max．
当0∴g(m)min=3b+13,g(m)max=b+1，
由2g(m)min>g(m)max，得b>115，∴115当19∴g(m)min=2 b,g(m)max=b+1，由2g(m)min>g(m)max，
得7−4 3当13∴g(m)min=2 b,g(m)max=3b+13，由2g(m)min>g(m)max，
得7−4 39当b⩾1时，g(m)=m+bm在[13,1]上单调递减，
∴g(m)min=b+1,g(m)max=3b+13，
由2g(m)min>g(m)max，得b<53，∴1⩽b<53．
综上，实数b的取值范围为{b|115【解析】(1)对f(x)分离常数，在结合分式函数的性质求出单调区间即可；
(2)(i)分a<0和a>0两种情况，求出f(x)的最大值，结合根据f(x)在区间[1,2]上的最大值为43，求出a的值即可；
(ii)令m=f(x)，在区间[15,1]上任意三个实数r，s，t，都存在以g(f(r))，g(f(s))，g(f(t))为边长的三角形，等价于m∈[13,1],2g(m)min>g(m)max，然后求出b的取值范围即可．
本题考查了函数的单调性与最值，不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．

2023-2024学年辽宁省县级重点高中协作体高一（上）期中数学试卷（含解析）

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