2023-2024学年浙江省丽水市发展共同体高一上学期12月联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省丽水市发展共同体高一上学期12月联考数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.与−468°角的终边相同的角的集合是
( )
A. αα=k⋅360∘+456∘,k∈ZB. αα=k⋅360∘+252∘,k∈Z
C. αα=k⋅360∘+96∘,k∈ZD. αα=k⋅360∘−252∘,k∈Z
2.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为
( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
3.若x∈R，则“1x>1”是“x2<1”成立的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
4.已知函数fx=lgax+3+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则csα的值为
( )
A. −2 55B. 2 55C. − 55D. 55
5.已知a=lg2.10.3,b=0.32.1,c=2.10.3，则a，b，c的大小关系是( )
A. b>c>aB. c>a>bC. b>a>cD. c>b>a
6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？( )
(参考数据：lg0.2≈−0.7，lg0.3≈−0.5，lg0.7≈−0.15，lg0.8≈−0.1)
A. 1B. 3C. 5D. 7
7.已知不等式1a2+16b2≥1+x2−x2对满足1a+4b=1的所有正实数a,b都成立，则正实数x的最小值为
( )
A. 12B. 1C. 32D. 2
8.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax ​2+b，若f(0)+f(3)=6，则f92=
( )
A. −94B. −32C. 74D. 52
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知Z(A)表示集合A的整数元素的个数，若集合M=x∣x2−9x<10,N={x|lg(x−1)<1}( )
A. Z(M)=10B. M∪N={x∣1C. Z(N)=9D. ∁RM∩N={x∣10≤x<11}
10.下列说法不正确的是( )
A. 命题“∀x<1，都有x2<1”的否定是“∃x≥1，使得x2≥1”
B. 集合A=−2,1,B=x|ax=2，若A∩B=B，则实数a的取值集合为−1,2
C. 若幂函数fx=m2−5m+7xm在R上为增函数，则m=3
D. 若存在x∈12,2使得不等式x2−2x−m<0能成立，则实数m的取值范围为0,+∞
11.若函数fx=x−2x2−4+1，定义域为D，下列结论正确的是
( )
A. fx的图象关于y轴对称B. ∃x∈D，使fx=54
C. fx在0,2和2,+∞上单调递减D. fx的值域为0,32
12.已知函数fx=lg4x−1,x>114x,x≤1，则下列结论正确的是
( )
A. 若fa=1，则a=5
B. ff20232022=2022
C. 若fa≥2，则a≤−12或a≥17
D. 若方程fx=k有两个不同的实数根，则k≥14
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数fx的定义域为0,1，则y=flg22x−1的定义域为__________．
14.若fx=−x2+2a−2x−5,x≤1lgax,x>1是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围为__________．
15.若函数f(x)=−2x+3经过点(a,b)，a>0且b>0，则1a+1+2b的最小值为 ．
16.设fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，fx=ex，若对任意的x∈0,b+1，不等式fx+b≥fx2恒成立，则实数b的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)计算：278−13+lg23⋅lg34+lg2+lg50；
(2)已知sinα−2csα=0，求sin2α+2sinα⋅csα−3cs2α的值．
18.(本小题12分)
已知fx=ax2+a−1x−1，若fx>0的解集为−1,−12
(1)求实数a的值
(2)求关于x的不等式ax+3x−1≤0的解集．
19.(本小题12分)
某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为c(x)，当年产量不足80千件时，cx=13x2+10x(万元).当年产量不小于80千件时，cx=51x+10000x−1450(万元).每千件商品售价为50 万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
20.(本小题12分)
已知函数fx=1x−3x．
(1)判断并证明函数fx的奇偶性；
(2)用定义证明函数fx在0,1上为减函数；
(3)已知x∈0,π2，若fsinx=fcsx，求x的值．
21.(本小题12分)
已知实数a>0且a≠1，函数fx=ax2−9x+3．
(1)设函数gx=fx−x，若gx在0,2上恰有两个零点，求a的取值范围；
(2)设函数ℎx=lgafx，若ℎx在2,4上单调递增，求a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数fx=3x2−ax+x2−x+1x>0,gx=fxx．
(1)若a=1，求f(x)的值域；
(2)对任意x0∈3,4，存在x1,x2∈18,2x1≠x2，使得x0=gx1=gx2，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查终边相同的角的集合，属于基础题．
在0∘∼360∘范围内找出与−468°角终边相同的角，然后可得出与−468°角终边相同的角的集合．
【解答】
解：∵−468°=−2×360°+252°，
∴252°角与−468°角的终边相同，
∴与−468°角的终边相同的角的集合为αα=k⋅360∘+252∘,k∈Z．
故选B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查弧度制的定义，扇形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于基础题．
首先求得半径，然后利用面积公式求解其面积即可．
【解答】
解：设扇形的半径为R，由题意可得：6R=3，则R=2，
扇形的面积S=12lR=12×6×2=6．
故选B．
3.【答案】A
【解析】【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义即可得解．
解：由 1x>1 ，解得 0由 x2<1 ，解得 −1所以“ 1x>1 ”是“ x2<1 ”成立的充分不必要条件．
故选：A．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查对数函数图象过定点问题以及任意角的三角函数定义，是中档题．
先求出P(−2,1)，再由三角函数定义得到答案．
【解答】
解：当x=−2时，f(−2)=lga1+1=1，故f(x)=lga(x+3)+1过定点P(−2,1)，
由三角函数定义可得：r= (−2)2+12= 5，csα=xr=−2 5=−25 5．
故选A．
5.【答案】D
【解析】【分析】比较大小的方法有：
(1)根据单调性比较大小；(2)作差法比较大小；(3)作商法比较大小；(4)中间量法比较大小．
根据指数函数、对数函数的单调性，选取中间量即可比较大小．
解： a=lg2.10.3c=2.10.3>2.10=1 ，则 c>b>a ．
故选：D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了指数函数的实际运用，是基础题．
设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则100(1−30%)x<20，解出x的范围即可．
【解答】
解：设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，
则100(1−30%)x<20，
∴0.7x<0.2，
∴x>≈−0.7−0.15≈4.67，
∴他至少经过5个小时才能驾驶汽车，
故选：C．
7.【答案】B
【解析】【分析】先利用基本不等式证得 2m2+n2≥m+n2 (此公式也可背诵下来)，从而由题设条件证得 1a2+16b2≥12 ，结合题意得到 12≥1+x2−x2 ，利用二次不等式的解法解之即可得到正数 x 的最小值．
解：因为 2m2+n2−m+n2=2m2+2n2−m2+n2+2mn
=m2+n2−2mn=m−n2≥0 ，当且仅当 m=n 时，等号成立，
所以 2m2+n2≥m+n2 ，
因为 a ， b 为正实数且 1a+4b=1 ，
所以 21a2+16b2=21a2+4b2≥4b+1a2=1 ，
当且仅当 4b=1a ，即 a=2,b=8 时，等号成立，
所以 21a2+16b2≥1 ，即 1a2+16b2≥12 ，
因为 1a2+16b2≥1+x2−x2 对满足 1a+4b=1 所有正实数 a ， b 都成立，
所以 1a2+16b2min≥1+x2−x2 ，即 12≥1+x2−x2 ，整理得 2x2−x−1≥0 ，
解得 x≥1 或 x≤−12 ，由 x 为正数得 x≥1 ，
所以正数 x 的最小值为 1 ．
故选：B．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的周期性，奇偶性以及对称性的综合应用，属于中档题．
由已知得f(x)的周期为4，则f(92)=−f(32)，由已知得f(1)=0，f(2)=−6，即可求出函数在x∈[1,2]上的解析式，最后结合f(92)=−f(32)即可得解．
【解答】
解：因为f(x+1)为奇函数，
所以f(−x+1)=−f(x+1)，
所以f(x)的图象关于(1,0)中心对称，则f(1)=0，
因为f(x+2)为偶函数，
所以f(−x+2)=f(x+2)，
所以f(x)的图象关于直线x=2轴对称．
由f(−x+1)=−f(x+1)，得f(−x+2)=−f(x)，
所以f(x+2)=−f(x)，
则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即f(x)的周期为4，
所以f(92)=f(12)=−f(32)=−(−2×94+2)=52．
故选D．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】根据对数函数的单调性、一元二次不等式的解法，结合集合并集、交集、补集的定义、已知定义逐一判断即可．
解：由x2−9x<10⇒x−10x+1<0⇒−1因此M=x∣x2−9x<10=−1,10，
由lgx−1<1⇒x−1>0x−1<10⇒1因此N={x|lg(x−1)<1}=1,11．
A：因为集合M中的整数有0,1,2,3⋯,9，共10个，
所以Z(M)=10，因此本选项正确；
B：因为M∪N={x∣−1所以本选项不正确；
C：因为集合N中的整数有2,3⋯,10，共9个，
所以Z(N)=9，因此本选项正确；
D：因为M=−1,10，所以∁RM=−∞,−1∪10,+∞，
因为N=1,11，所以∁RM∩N={x∣10≤x<11}，因此本选项正确，
故选：ACD
10.【答案】ABD
【解析】【分析】根据全称量词命题的否定判断A，由B⊆A求出a的值，即可判断B，根据幂函数的性质判断C，参变分离得到存在x∈12,2使得不等式x2−2x解：对于A：命题“∀x<1，都有x2<1”的否定是“∃x<1，使得x2≥1”，故 A错误；
对于B：由A∩B=B，则B⊆A，当a=0时B=⌀，符合题意，
当B=−2时a=−1，当B=1时a=2，所以实数a的取值集合为0,−1,2，故 B错误；
对于C：若幂函数fx=m2−5m+7xm在R上为增函数，则m2−5m+7=1，
解得m=2或m=3，
当m=2时fx=x2在R上不单调，故舍去，
当m=3时fx=x3在R上为增函数，符合题意，故 C正确；
对于D：存在x∈12,2使得不等式x2−2x−m<0能成立，
则存在x∈12,2使得不等式x2−2x令gx=x2−2x，x∈12,2，则gx在12,1上单调递减，在1,2上单调递增，
所以gxmin=g1=−1，所以m>−1，即实数m的取值范围为−1,+∞，故 D错误；
故选：ABD
11.【答案】AC
【解析】【分析】分析函数的奇偶性判断A；令fx=54，求出x的值和定义域比较判断B；分别在0,2和2,+∞研究函数单调性判断C；求出函数的值域判断D．
解：对于A，fx=x−2x2−4+1，定义域为x|x≠±2，关于原点对称，
f−x=−x−2−x2−4+1=x−2x2−4+1=fx，所以fx为偶函数，关于y轴对称，故 A正确；
对于B，fx=x−2x2−4+1=54，则x2−4x+4=0，即x−22=0，解得x=±2，与定义域矛盾，
所以不存在x∈D，使fx=54，故 B错误；
对于C，fx=x−2x2−4+1=x−2x−2x+2+1=1x+2+1，
因当x∈0,2和x∈2,+∞，x单调递增，所以1x+2+1单调递减，即fx单调递减，故 C正确；
对于D，fx=x−2x2−4+1=x−2x−2x+2+1=1x+2+1，
因为x≥0且x≠2，则x+2≥2且x+2≠4，
所以0<1x+2≤12且1x+2≠14，即1<1x+2+1≤32且1x+2+1≠54，
所以fx的值域为1,54∪54,32，故 D错误，
故选：AC．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了分段函数值的求解，不等式求解，函数图象的应用，属于基础题．
解方程可fa=1判断A选项；求出ff20232022的值，可判断B选项；解不等式fa≥2可判断C选项；数形结合可判断D选项．
【解答】
解：对于A选项，当a≤1时，由fa=14a=1，可得a=0，
当a>1时，由fa=lg4a−1=1，可得a=5．
综上所述，若fa=1，则a=5或0，A错；
对于B选项，f20232022=lg412022=lg142022<0，
所以，ff20232022=flg142022=14lg142022=2022，B对；
对于C选项，当a≤1时，由fa=14a=2−2a≥2，
可得−2a≥1，解得a≤−12，此时a≤−12，
当a>1时，由fa=lg4a−1≥2，可得a−1≥16，解得a≥17，此时a≥17，
综上所述，若fa≥2，则a≤−12或a≥17，C对；
对于D选项，作出函数y=k与函数fx的图象如下图所示：
由图可知，当k≥14时，直线y=k与函数fx的图象有两个交点，
此时方程fx=k有两个不等的实根，D对．
故选：BCD．
13.【答案】(1,32)
【解析】【分析】由抽象函数的定义域直接求解即可．
解：因为函数 fx 的定义域为 0,1 ，所以 y=flg22x−1 的定义域需要满足 0所以 1<2x−1<2 ，解得 1故答案为： (1,32) ．
14.【答案】2,4
【解析】【分析】由 fx=−x2+2a−2x−5,x≤1lgax,x>1 是定义在 R 上的增函数，则两段分别递增且 x=1 时需要满足 −12+(2a−2)×1−5≤lga1 ，解之即可得答案．
解：因为 fx=−x2+2a−2x−5,x≤1lgax,x>1 是定义在 R 上的增函数，
当 x≤1 时， f(x)=−x2+2a−2x−5 ，对称轴为 x=a−1 ，
所以有 a−1≥1a>1−12+2a−2×1−5≤lga1 ，解得 2≤a≤4 ，
故答案为： 2,4 ．
15.【答案】85
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于一般题．
由题意可得2(a+1)+b=5，结合基本不等式进行求解即可．
【解答】
解：因为函数f(x)=−2x+3经过点(a,b)，
所以b=−2a+3⇒2a+b=3⇒2a+1+b=5，
因为a>0且b>0，
所以15[2(a+1)+b](1a+1+2b)=15[4+ba+1+4(a+1)b]⩾15[4+2 ba+1⋅4(a+1)b]=85，
当且仅当ba+1=4a+1b，即a=14,b=52时取等号，
则1a+1+2b的最小值为85．
故答案为85．
16.【答案】−1【解析】【分析】
本题考查函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性的应用，不等式的恒成立问题，属于中档题．
由题意，f(x)=ex且在[0,+∞)上单调递增，f2(x)=e2x=e2x=f(2x)，故f(x+b)≥f(2x)⇔|x+b|≥|2x|⇔3x2−2bx−b2≤0对任意的x∈[0,b+1]成立，设g(x)=3x2−2bx−b2，利用二次函数可得结论．
【解答】解：因为当x≥0时，f(x)=ex，且f(x)为R上偶函数，
故f(x)=ex且在[0,+∞)上单调递增，
所以f2(x)=e2x=e2x=f(2x)，
故f(x+b)≥f(2x)⇔|x+b|≥|2x|⇔3x2−2bx−b2≤0对任意的x∈[0,b+1]成立，
设g(x)=3x2−2bx−b2，
则g(0)⩽0g(b+1)⩽0，解得−1故答案为−117.【答案】解：(1) 278−13+lg23⋅lg34+lg2+lg50
=323−13+lg3lg2×2lg2lg3+lg2×50=23+2+2=143 ；
(2)因为 sinα−2csα=0 ，所以 tanα=sinαcsα=2 ，
所以 sin2α+2sinα⋅csα−3cs2α
=sin2α+2sinα⋅csα−3cs2αsin2α+cs2α
=tan2α+2tanα−3tan2α+1=4+4−34+1=1 ．

【解析】【分析】(1)根据换底公式及对数的运算性质计算可得；
(2)首先求出 tanα ，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得．
18.【答案】解：(1)由题意得−1,−12为方程ax2+(a−1)x−1=0的两根，且a<0，
所以−1−12=−a−1a−1×−12=−1a,
解得a=−2，
(2)故原不等式等价于−2x+3x−1⩽0，即2x−3x−1⩾0x−1≠0,
所以不等式的解集为(−∞,1)∪[32,+∞)．
【解析】本题主要考查了一元二次方程与一元二次不等式的关系，一元二次不等式，分式不等式的解法，考查了韦达定理，属于基础题．
(1)由题意，可得f(x)=0的根为−1,−12，根据韦达定理得到a的值;
(2)把分式不等式等价转化为不等式组求解即可．
19.【答案】解(1)因为每千件商品售价为50万元，则x千件商品销售额为50x万元，
依题意得：当0当x≥80时，L(x)=50x−(51x+10000x−1450)−250=1200−(x+10000x).
所以Lx=−13x2+40x−250,0(2)当0对称轴为x=60，即当x=60时，L(x)max=950(万元)；
当x≥80时，L(x)=1200−(x+10000x)≤1200−2 10000=1000(万元)，
当且仅当x=100时，L(x)max=1000(万元)，
综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．
【解析】本题考查了分段函数在实际问题中的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
(1)分两种情况进行研究，当0(2)根据分段函数解析式，利用二次函数和基本不等式进行求解．
20.【答案】解：(1)函数 fx=1x−3x 是奇函数，
证明：函数 fx=1x−3x ，其定义域为 xx≠0 ，
由 f(−x)=1−x−3−x=−(1x−3x)=−f(x) ，
所以函数f(x)为奇函数；
(2)设任意 x1,x2 满足 0则 f(x1)−f(x2)=1x1−3x1−(1x2−3x2)=1x1−1x2−3x1+3x2
=x2−x1x1x2+3(x2−x1)=(x2−x1)(1x1x2+3) ，
又由 x2−x1>0,1x1x2+3>0 ，得 f(x1)−f(x2)>0 ，即 f(x1)>f(x2) ，
故函数 fx 在 0,1 上为减函数；
(3)根据题意，因为 x∈0,π2 ， sinx,csx∈(0,1) ，
又因为函数 f(x) 在 0,1 上为单调递减函数，由 fsinx=fcsx ，
必有 sinx=csx ，即 tanx=1 ，又 x∈0,π2 ，
所以 x=π4 ．

【解析】【分析】(1)根据函数奇偶性的定义进行证明；
(2)利用函数单调性的定义进行证明；
(3)根据单调性进行转化求解即可．
21.【答案】解：(1)依题意 g(x)=ax2−10x+3 在 0,2 上有两个零点，
可化为 a=−3x2+10x 在 0,2 上有两个解，
即 y=a 与 y=−3x2+10x 在 0,2 上有两个交点，
设 1x=tt≥12 ，令 Mt=−3t2+10t=−3t−532+253t≥12 ，
得 Mtmax=M(53)=253 ，又 M12=174 ，
且 Mt 在 12,53 上单调递增，在 53,+∞ 上单调递减， Mt 的图象如下所示：
由图可得 174≤a<253 ，符合 a>0 且 a≠1 ，所以 a∈174,253 ．
(2)因为 ℎx=lgaax2−9x+3 在 2,4 上单调递增，
①当 0则 f(x)=ax2−9x+3 在 2,4 上为减函数，且 f(x)>0 在 2,4 上恒成立，
所以 00 ，不等式无解；
②当 a>1 时， y=lgax 在定义域上为增函数，
则 f(x)=ax2−9x+3 在 2,4 上为增函数，且 f(x)>0 在 2,4 上恒成立，
所以 a>192a≤24a−18+3>0 ，解得 a>154 ；
综上所述： a>154 ．

【解析】【分析】(1)参变分离可得 a=−3x2+10x 在 0,2 上有两个解，令 t=1x ，令 Mt=−3t2+10t ， t≥12 ，求出 Mt 的最大值与左端点的函数值，即可求出参数的取值范围；
(2)分 01 两种情况讨论，结合对数函数的性质得到 fx 在 2,4 上的单调性与取值情况，从而得到不等式组，解得即可．
22.【答案】解：(1)a=1 时， f(x)=4x2−2x+1,x≥13−2x2+1,0当 x≥13 时， fx=4x2−2x+1=4x−142+34 ，则 fxmin=f13=79 ，无最大值．
当 0故 f(x) 的值域为 [79,+∞) ．
(2)∵ x>0 ，∴ a≤0 时， g(x)=4x+1x−a−1,(x>0)
a>0 时， g(x)=4x+1x−a−1,x≥a3−2x+1x+a−1,0下面证明函数 ℎ(x)=4x+1x(x>0) 在 (0,12) 单调递减，在 (12,+∞) 单调递增．
设 x1>x2>0,
所以 ℎ(x1)−ℎ(x2)=4x1+1x1−4x2−1x2=4(x1−x2)+x2−x1x1⋅x2
所以 ℎ(x1)−ℎ(x2)=(x1−x2)(4x1⋅x2−1x1⋅x2) ，
所以当 x1>x2>12 时， ℎ(x1)−ℎ(x2)>0,ℎ(x1)>ℎ(x2) ， ℎ(x) 单调递增；
当 0所以函数 ℎ(x)=4x+1x(x>0) 在 (0,12) 单调递减，在 (12,+∞) 单调递增．
① a≤0 时，应满足 a≤03>g12=3−a4≤g18=g2=152−a ，解为空集；
② 0g12=3−a4≤g18=g2=152−a ，解得 0③ 18g12=3−a4≤g2=152−a4≤g18=274+a ，解得 38④ 12ga3=a3+3a−14≤g2=152−a4≤g18=274+a ，
等价于 32⑤ a3>2 时，此时 g(x) 在 [18,2] 单调递减，不合题意．
综上所述，a的取值范围为 (0,72] ．

【解析】【分析】解答本题的关键在于分类讨论的思想的运用，要充分理解分类的起因、标准、过程和结果.分类讨论是一种重要的数学思想．
(1)求出分段函数 f(x) 的解析式，再求每一段的值域即得解；
(2)对 a 分五种情况分析讨论得解．