2023-2024学年广东省茂名市信宜市高二（上）期中数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年广东省茂名市信宜市高二（上）期中数学试卷(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知点A(2,m)，B(3,3)，直线AB的斜率为1，那么m的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.过点P(−1,2)且方向向量为a=(−1,2)的直线方程为( )
A. 2x+y=0B. x−2y+5=0C. x−2y=0D. x+2y−5=0
3.若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n=(−2,1,12)，则平面β的法向量可以是( )
A. (−1,12,14)B. (2,−1,0)C. (1,2,0)D. (12,1,2)
4.已知点A(4,1,3)，B(2,−5,1)，C为线段AB上靠近A点的三等分点，则点C的坐标为( )
A. (143,3,113)B. (83,−3,53)C. (103,−1,73)D. (52,−72,32)
5.袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法正确的是( )
A. 事件A与B为互斥事件B. 事件B与C为对立事件
C. 事件A与B为非相互独立事件D. 事件A与C为相互独立事件
6.点P在直线3x+y−5=0上，且点P到直线x−y−1=0的距离为 2，则P点坐标为( )
A. (1,2)B. (2,1)C. (1,2)或(2,−1)D. (2,1)或(−2,1)
7.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a，则函数f(x)=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为( )
A. 13B. 12C. 23D. 56
8.正四面体ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为( )
A. 23B. 53C. 22D. 33
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：ax+y−2=0，l2：(3a+2)x−ay+1=0，若l1//l2，则a=( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
10.对于直线l：x=my+1，下列说法正确的是( )
A. 直线l恒过定点(1,0)
B. 直线l斜率必定存在
C. m= 3时，直线l的倾斜角为60°
D. m=2时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为14
11.已知事件A，B，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，则下列结论正确的是( )
A. 如果B⊆A，那么P(AB)=0.5
B. 如果A与B互斥，那么P(AB)=0
C. 如果A与B相互独立，那么P(AB−)=0.4
D. 如果A与B相互独立，那么P(AB)=0
12.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点.则( )
A. 直线EF与直线AE垂直
B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为92
D. 点A1和点D到平面AEF的距离相等
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知空间向量a=(1,0,2)，b=(−2,1,3)，则a−2b=______．
14.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．
15.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，写出该正方形的一条边所在直线的斜率______ ．
16.已知A(1,0)，B(−1,2)，直线l：2x−ay−a=0上存在点P，满足|PA|+|PB|=2 2，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知：a=(x,4,1)，b=(−2,y,−1)，c=(3,−2,z)，a/​/b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a+c与b+c所成角的余弦值．
18.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,2)，B(4,3)，C(−1,−2)．
(1)求过点B且与AC边所在直线平行的直线方程；
(2)在△ABC中，求BC边上的高所在直线的方程；
(3)求△ABC的面积．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥平面ABP，BC/​/AD，∠PAB=90°，PA=AB=2，AD=3，BC=1，E是PB的中点．
(1)证明：PB⊥平面ADE；
(2)求直线AP与平面AEC所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
某课外活动小组有三项不同的任务需要完成，已知每项任务均只分配给组员甲和组员乙中的一人，且每项任务的分配相互独立，根据两人的学习经历和个人能力知，这三项任务分配给组员甲的概率分别为12，13，34．
(1)求组员甲至少分配到一项任务的概率；
(2)设甲、乙两人分配到的任务数分别为x项和y项，求P(x>y)．
21.(本小题12分)
如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4.点A2，B2，C2，D2，分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3．
(1)证明：B2C2//A2D2；
(2)点P在棱BB1上，当平面PA2C2与平面D2A2C2的夹角为π6时，求B2P.
22.(本小题12分)
已知直线l：kx−y+1+2k=0．
(1)当k=1时，求直线l与直线2x+y−1=0的交点坐标；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B．
①△AOB的面积为S，求S的最小值和此时直线l的方程；
②已知点P(−2,1)，当PA+12PB取最小值时，求直线l的方程．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了直线的斜率公式，属于基础题．
直接利用直线的斜率公式求解即可．
【解答】
解：由于A(2,m)，B(3,3)，直线AB的斜率为1，
∴3−m3−2=1，
∴m=2，
故选B．
2.【答案】A
【解析】解：∵直线方程过点P(−1,2)且方向向量为a=(−1,2)，
∴直线方程的斜率k=2−1=−2，
∴其方程为y−2=−2(x+1)，
整理，得2x+y=0．
故选：A．
由直线方程过点P(−1,2)且方向向量为a=(−1,2)，知其方程为y−2=−2(x+1)，由此能求出结果．
本题考查直线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
3.【答案】C
【解析】解：因为平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n=(−2,1,12)，
所以平面β的法向量与n垂直，
对于A，因为2+12+18≠0，故选项A错误；
对于B，因为−4−1≠0，故选项B错误；
对于C，因为−2+1=0，故选项C正确；
对于D，因为−1+1+1≠0，故选项D错误．
故选：C．
利用垂直的两个平面的法向量垂直，利用数量积为0依次判断四个选项，即可得到答案．
本题考查了平面的法向量的理解与应用，空间向量垂直的坐标表示，考查逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的坐标表示与线性运算问题，是基础题．
根据空间向量的坐标表示与线性运算法则，求出OC的坐标表示即可．
【解答】
解：因为A(4,1,3)，B(2,−5,1)，C为线段AB上靠近A点的三等分点，
可得：AC=13AB，
所以，OC−OA=13(OB−OA)，
所以，OC=23OA+13OB=(83+23,23−53,63+13)=(103,−1,73)，
即点C的坐标为：(103,−1,73)．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：A与B可以同时发生，但是不放回的摸球第一次对第二次有影响，
∴事件A与B不为互斥，也不是相互独立事件，故A错误，C正确；
事件B与事件C能同时发生，不是对立事件，故B错误；
事件A与事件C，第一次摸到白球与第一次摸到黑球一定不能同时发生，
不是相互独立事件，故D错误．
故选：C．
根据互斥事件和相互独立事件的概念逐一判断即可．
本题考查互斥事件和相互独立事件的概念等基础知识，基础题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查点到直线的距离公式，属于基础题．
设出点P的坐标为(a,5−3a)，利用点到直线的距离公式表示出P到已知直线的距离d，令d= 2列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，写出点P的坐标即可．
【解答】
解：设P点坐标为(a,5−3a)，
由题意知：|a−(5−3a)−1| 2= 2．
解之得a=1或a=2，
∴P点坐标为(1,2)或(2,−1)．
故选C．
7.【答案】D
【解析】解：抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件，
由函数f(x)=x2+2ax+2有两个不同零点，得△=4a2−8>0，
解得a<− 2或a> 2．
又a为正整数，故a的取值有2，3，4，5，6，共5种结果，
所以函数f(x)=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为56．
故选：D．
抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件，由函数f(x)=x2+2ax+2有两个不同零点，得a的取值有2，3，4，5，6，共5种结果，由此能求出函数f(x)=x2+2ax+2有两个不同零点的概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
8.【答案】B
【解析】解：设a=CB，b=CD，c=CA，
则设|a|=|b|=|c|=m>0，易知a,b,c的两两夹角均为60°，
所以a⋅b=a⋅c=b⋅c=12m2，
由题意AM=CM−CA=12a−c，CN=12(CA+CD)=12(b+c)，
由正四面体的性质可知|AM|=|CN|= m2−(12m)2= 32m，
AM⋅CN=(12a−c)⋅12(b+c)=14a⋅b+14a⋅c−12c⋅b−12c2=−12m2，
所以cs=AM⋅CN|AM||CN|=−12m2 32m⋅ 32m=−23，
设直线AM和CN夹角为θ，所以sinθ= 1−cs2= 53．
故选：B．
利用基底向量法，将问题转化为向量AM,CN的夹角的计算问题．
本题考查利用向量法求空间角，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：因为l1//l2，可得−a⋅a=1×(3a+2)，且a≠−2(3a+2)，
解得a=−1或a=−2．
故选：AB．
根据两条直线平行，写出充要条件即可求得．
本题考查直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于直线l：x=my+1，令y=0，求得x=1，可得它恒过定点(1,0)，故A正确；
当m=0时，它的斜率不存在，故B错误；
m= 3时，直线l的斜率为1 3= 33，故它的倾斜角为30°，故C错误；
m=2时，直线l即x−2y−1=0，它与坐标轴的交点为(1,0)、(0,−12)，
故该直线与两坐标轴围成的三角形面积为12×1×12=14，故D正确，
故选：AD．
由题意求出直线的斜率和倾斜角，求直线和坐标轴的交点坐标，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查直线的斜率和倾斜角，求直线的交点，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解；对于A，由B⊆A得A∩B=B，则P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2，A错；
对于B，由A与B互斥得A∩B=⌀，则P(AB)=P(A∩B)=P(⌀)=0，B对；
对于CD，A与B相互独立，则P(AB−)=P(A)P(B−)=0.5×0.8=0.4，
P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.2=0.1，故C对D错；
故选：BC．
对AB，由B⊆A得A∩B=B，由A与B互斥得A∩B=⌀，P(AB)=P(A∩B)；
对CD，A与B相互独立，P(AB−)=P(A)P(B−)，P(AB)=P(A)P(B)．
本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A，设EF⊥AE，又CD⊥EF，则EF⊥平面ABCD，则EF⊥EC，又EF与EC不垂直，即假设不成立，即选项A错误；
对于选项B，连接AD1，则平面AEF与平面AEFD1重合，又A1G//D1F，又D1F⊂平面AEF，A1G⊄平面AEF，则线A1G与平面AEF平行，即选项B正确；
对于选项C，平面AEF截正方体所得的截面为等腰梯形EFD1A，其面积为( 2+2 2)× ( 5)2−( 22)22=92，即选项C正确；
对于选项D，设A1D∩AD1=O，又|A1O|=|DO|，即A1和点D到平面AEF的距离相等，即选项D正确，
故选：BCD．
结合空间中点、线、面之间的位置关系逐一判断即可得解．
本题考查了空间中点、线、面之间的位置关系，属基础题．
13.【答案】(5,−2,−4)
【解析】解：∵a=(1,0,2)，b=(−2,1,3)，
∴a−2b=(1,0,2)−2(−2,1,3)
=(5,−2,−4)，
故答案为：(5,−2,−4)．
根据向量的坐标运算计算即可．
本题考查了向量的坐标运算，熟练掌握运算公式是解题的关键，本题是一道基础题．
14.【答案】0.3
【解析】【分析】
本题考查了古典概率的问题，属于基础题．
设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可．
【解答】
解：设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，
则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种，
其中全是女生为AB，AC，BC共3种，
故选中的2人都是女同学的概率P=310=0.3，
故答案为：0.3．
15.【答案】13、−3(写一个即可)
【解析】解：设正方形一条边所在的直线倾斜角为α，则tan(α+π4)=2，
解得tanα=13，
所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为13，−3．
故答案为：13；−3．
直接利用直线的斜率公式求出结果．
本题考查的知识要点：直线的斜率的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】[−23,2]
【解析】【分析】
本题考查了直线的方程与斜率之间关系的应用问题，也考查了逻辑推理与化简运算能力，是基础题．
判断A，B在直线l上，利用|AB|=|PA|+|PB|，得到点P的轨迹为线段AB，把A、B的坐标代入直线l的方程求出a的值，再结合题意画出图形，结合图形求出a的取值范围．
【解答】
解：因为|AB|= (−1−1)2+(2−0)2=2 2，且|PA|+|PB|=2 2，
所以点P的轨迹为线段AB，
将点A，B的坐标分别代入直线l的方程，可得a=2，a=−23，
由直线l的方程可化为：2x−a(y+1)=0，
所以直线l过定点C(0,−1)，
画出图形，如图所示：
当a=0时，易知满足题意；
当a≠0时，
因为直线AC的斜率为kAC=1，直线BC的斜率为kBC=2−(−1)−1−0=−3，
所以直线l的斜率为k=2a，令2a≥12a≤−3，解得−23≤a≤2且a≠0，
综上，a的取值范围是[−23,2]．
故答案为：[−23,2]．
17.【答案】解：(1)∵a//b，
∴x−2=4y=1−1，
解得x=2，y=−4，
故a=(2,4,1)，b=(−2,−4,−1)，
又因为b⊥c，所以b⋅c=0，即−6+8−z=0，解得z=2，
故c=(3,−2,2)
(2)由(1)可得a+c=(5,2,3)，b+c=(1,−6,1)，
设向量a+c与b+c所成的角为θ，
则csθ=5−12+3 38⋅ 38=−219

【解析】本题考查空间向量平行和垂直的判断，涉及向量的夹角公式，属基础题．
(1)由向量的平行和垂直可求出x，y，z的值，即可得向量坐标；
(2)由(1)可得向量a+c与b+c的坐标，进而由夹角公式可得结论．
18.【答案】解：(1)∵A(−3,2)，C(−1,−2).所以kAC=−2−2−1+3=−2，
所以所求直线方程为y−3=−2(x−4)，即2x+y−11=0；
(2)因为B(4,3)，C(−1,−2).则直线BC的斜率kBC=1.∴BC边上的高线斜率k=−1，
∴BC边上的高线方程为：y−2=−(x+3)，即x+y+1=0．
∴BC边上的高线所在的直线方程为x+y+1=0．
(3)∵B(4,3)，C(−1,−2)，∴|BC|= (−2−3)2+(−1−4)2=5 2，
且直线BC的方程为：x−y−1=0.∴点A到直线BC的距离d=|−3−2−1| 2=3 2，∴△ABC的面积S=15．
【解析】(1)直接利用点斜式求出直线的方程；
(2)直接利用直线垂直的充要条件求出直线的斜率，进一步求出高线所在的方程；
(2)利用三角形的面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：直线的方程，三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
19.【答案】(1)证明：因为AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，
所以AD⊥PB．
又PA=AB，E是PB的中点，
所以AE⊥PB．
又AD，AE都在平面ADE内，且AD∩AE=A，
所以PB⊥平面ADE．
(2)解：因为AD⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以AD⊥AB，AD⊥PA．
又因为PA⊥AB，
以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz．
则A(0,0,0)，C(2,1,0)，E(1,0,1)，P(0,0,2)，
所以AC=(2,1,0)，AE=(1,0,1)，AP=(0,0,2)，
设平面AEC的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅AC=0n⋅AE=0，即2x+y=0x+z=0，令x=1，则y=−2，z=−1，
所以n=(1,−2,−1)．
设直线AP与平面AEC所成的角为θ，
则sinθ=|cs|=|n⋅AP||n||AP|=2 6×2= 66．
所以直线AP与平面AEC所成角的正弦值为 66．
【解析】(1)由AD⊥平面PAB，可得AD⊥PB.由AE⊥PB，利用线面垂直的判定定理即可得证；
(2)以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，利用向量法即可求解直线AP与平面AEC所成角的正弦值．
本题主要考查线面垂直的判定定理，直线与平面所成角的求法，考查向量法的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)记事件A为甲一项任务都没有被分配，P(A)=1−12×1−13×1−34=112，
∴组员甲至少分配到一项任务的概率为1−P(A)=1112；
(2)满足x>y即x=3，y=0或x=2，y=1，
三项任务的具体分配对象依次为：甲甲甲，甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，
故所求概P(x>y)=12×13×34+12×13×14+12×23×34+12×13×34=1324．
【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式的基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
(1)由独立事件概率公式，先求出甲一项任务都没有被分配的概率，再由对立事件公式求甲至少分配到一项任务的概率；
(2)分别列出符合条件的情况，再利用独立事件概率公式求解即可．
21.【答案】解：(1)证明：∵在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3，
以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图，

则C(0,0,0)，C2(0,0,3)，B2(0,2,2)，D2(2,0,2)，A2(2,2,1)，
∴B2C2=(0,−2,1),A2D2=(0,−2,1)，
∴B2C2//A2D2，
又B2C2，A2D2不在同一条直线上，
∴B2C2//A2D2；
(2)设P(0,2,λ)(0≤λ≤4)，
则A2C2=(−2,−2,2),PC2=(0,−2,3−λ),D2C2=(−2,0,1)，
设平面PA2C2的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅A2C2=−2x−2y+2z=0n⋅PC2=−2y+(3−λ)z=0，
令z=2，得y=3−λ，x=λ−1，
∴n=(λ−1,3−λ,2)，
设平面A2C2D2的法向量m=(a,b,c)，
则m⋅A2C2=−2a−2b+2c=0m⋅D2C2=−2a+c=0，
令a=1，得b=1，c=2，
∴m=(1,1,2)，
∵平面PA2C2与平面D2A2C2的夹角为π6，
∴|cs〈n,m〉|=|n⋅m||n||m|=6 6 4+(λ−1)2+(3−λ)2=csπ6= 32，
化简可得，λ2−4λ+3=0，解得λ=1或λ=3，
∴P(0,2,1)或P(0,2,3)，
∴B2P=1．
【解析】(1)建立空间直角坐标系，根据坐标法及向量共线定理，即可证明；
(2)建立空间直角坐标系，根据向量法，向量夹角公式，方程思想，即可求解．
本题考查利用向量法证明线线平行，利用向量法求解二面角问题，向量共线定理及向量夹角公式的应用，方程思想，属中档题．
22.【答案】解：(1)当k=1时，直线l为x−y+3=0，
由x−y+3=02x+y−1=0，解得：x=−23y=73，故所求交点为(−23,73)；
(2)①由题意设A(−a,0)，B(0,b)，a>0，b>0，
故直线l的方程为x−a+yb=1，因为直线l过定点(−2,1)，
代入方程可得2a+1b=1，所以1=2a+1b≥2 2a⋅1b，
所以ab≥8，当且仅当2a=1b时等号成立，
所以S=12ab≥4，所以△AOB的面积的最小值是4，
此时2a=1bab=8，解得：a=4，b=2；
所以此时直线l的方程为：x−2y+4=0；
②由题意，P(−2,1)，设∠PAO=α(0<α<π2)，则PA=1sinα,PB=2csα，
∴PA+12PB=1sinα+1csα=sinα+csαsinα⋅csα，
令sinα+csα=t，则t= 2sin(α+π4),α∈(0,π2)，
所以t∈(1, 2],sinα⋅csα=t2−12,∴PA+12PB=sinα+csαsinα⋅csα=2tt2−1=2t−1t,
∵f(t)=t−1t在(1, 2]上单调递增，
故当t= 2时，f(t)取最大值，此时PA+12PB取最小值，
当t= 2时，有sin(α+π4)=1，解得α=π4，
所以直线l的倾斜角为π4，所以k=tanπ4=1，
所以直线方程为x−y+3=0．
解法2：由(1)可知：k>0,A(−1+2kk,0),B(0,2k+1),P(−2,1)，
由P、A、B三点共线，设PB的中点为M，则M(−1,k+1)，
(AM)2=(−1+2kk+1)2+(k+1)2≥2 k2⋅1k2+2⋅2 k⋅1k+2=8；
当且仅当k2=1k2,k=1k时取等号，此时k=1，
此时直线方程为：x−y+3=0
【解析】(1)分离k，得到关于x，y的方程组，解出即可；
(2)①求出A，B的坐标，得到2a+1b=1，结合基本不等式的性质求出三角形的最小值，求出a，b的值，从而求出直线方程即可；
②求出PA+12PB的解析式，结合函数的单调性求出其最小值，得到直线l的倾斜角，求出直线方程即可．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．