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2023-2024学年江苏省徐州市沛县四校联考高一上学期12月月考数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省徐州市沛县四校联考高一上学期12月月考数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A=xx2−x−2<0，B=xx≤1，则A∩B=( )
A. x−12.命题“∃x∈R,x2−2x+3<0”的否定是
( )
A. ∃x∈R,x2−2x+3>0B. ∀x∈R,x2−2x+3>0
C. ∃x∈R,x2−2x+3≥0D. ∀x∈R,x2−2x+3≥0
3.扇形的圆心角为0.5弧度，周长为15，则它的面积为
( )
A. 5B. 6C. 8D. 9
4.已知fx为R上的奇函数，当x>0时，fx=x2−2x+4，则f(−3)的值是
( )
A. 19B. 7C. −7D. −19
5.如图所示，函数f(x)=x12的图像大致为．( )
A. B.
C. D.
6.已知函数y=ax−1+2a>0,a≠1的图像恒过的定点A，且A点在直线mx−y+n=0m,n>0上，则1m+1n+1的最小值为
( )
A. 4B. 1C. 2D. 5
7.小强在研究幂函数y=xaa=1,2,3,12,−1的图像和性质时得到如下结论，则其中正确的是
( )
A. 幂函数的图像必过定点0,0和1,1B. 幂函数的图像不可能过第四象限
C. 幂函数y=x12为偶函数D. 幂函数y=x−1在其定义域上为减函数
8.已知某物种t年后的种群数量y近似满足函数模型：y=k0⋅e1.4e−0.125tk0>0.自2023年初起，经过n年后n∈N∗，当该物种的种群数量不足2023年初的20%时，n的最小值为(参考数据：ln5≈1.6094)( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，最小值为4的是
( )
A. y=x2+8 xB. y=sinx+4sinx0C. y=ex+4e−xD. y= x2+1+4 x2+1
10.下列说法中正确的是( )
A. 任取x>0，均有3x>2x
B. 图象经过2, 22的幂函数是偶函数
C. 在同一坐标系中，函数y=2x+1与y=2−x+1的图象关于y轴对称
D. 方程lg2x=2−x有两根
11.下列表达式正确的是( )
A. 若θ∈π2,π，则 1−2sinπ+θsin3π2−θ=sinθ+csθ
B. 在锐角▵ABC中，sinA>csB恒成立
C. sinπ−αcsπ+α=−tanα
D. ∀α，β∈0,π2，sin2α+cs2β12.已知fx的定义域为R且fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，且对任意的x1，x2∈1,2，且x1≠x2，都有fx2−fx1x2−x1>0，则下列结论正确的是
( )
A. fx是偶函数B. f2023=0
C. fx的图象关于1,0对称D. f−74三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知lg22x+lg22y=1，则x+3y 的最小值为____．
14.已知幂函数fx=(m−1)2xm2−3m+2在0,+∞上单调递增，则fx的解析式是 ．
15.已知y=fx是定义在R上的偶函数，且在−∞,0上单调递减，f3+f−3=2，则关于x的不等式fx+1≥1的解集为______．
16.已知直线x=a0四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)设全集为R，A=x3≤x<7，B=x2(2)lg34273+lg25+lg4+7lg72．
18.(本小题12分)
已知函数fx=ax(a>0且a≠1)的图象经过点4,4．
(1)求a的值；
(2)求函数g(x)=a|x−1|(−3≤x≤3)的值域．
19.(本小题12分)
已知角α满足______.请从下列三个条件中任选一个作答．(注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分)．
条件①：角α的终边与单位圆的交点为Mx,35；
条件②：角α满足sinα=35；
条件③：角α满足17sin2α−8cs2α=1．
(1)求tanα的值；
(2)求sinαcsα−sin2α+1的值．
20.(本小题12分)
天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量a万件与投入的促销费用x万元x≥0满足关系式a=8−kx+1(k为常数)，而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为36+10a元，设该产品的利润为y万元.(注：利润=销售收入−投入成本−促销费用)
(1)求出k的值，并将y表示为x的函数；
(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
21.(本小题12分)
已知函数fx=1+a2x+1为奇函数．
(1)求实数a的值，并用定义证明fx是R上的增函数；
(2)若关于t的不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)<0的解集非空，求实数k的取值范围．
22.(本小题12分)
已知a∈R，函数f(x)=lg2(x+a)．
(1)若关于x的方程f(1x)+lg2(x2)=0的解集中恰有一个元素，求a的值;
(2)设a>0，若对任意t∈[12,1]，函数f(x)在区间[1t+1,1t]的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】求出两个集合，再利用交集含义即可得到答案．
解： A=xx2−x−2<0=x−1则 A∩B=x−1故选：B．
2.【答案】D
【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解．
解：命题“ ∃x∈R,x2−2x+3<0 ”的否定是“ ∀x∈R,x2−2x+3≥0 ”．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】【分析】根据扇形面积公式计算即可．
解：设半径为 r ，则周长 15=2r+0.5r ，则 r=6 ，扇形面积 12×0.5r2=9 ，故选D．
4.【答案】C
【解析】【分析】利用奇函数的性质即可得解．
解：因为当 x>0 时， fx=x2−2x+4 ，所以 f3=32−2×3+4=7 ，
又 fx 为定义在 R 上的奇函数，所以 f−3=−f3=−7 ．
故选：C．
5.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查函数的图像与性质，熟记函数图像与性质即可，属于常考题型.先由函数解析式得到函数的奇偶性，再结合 x≥0 时的图像，即可得出结果．
解： f(x)=x12 的定义域为 R ， f(−x)=−x12=x12=f(x) ，图像关于 y 轴对称，可排除选项A，B；又因为当 x≥0 时， f(x)=x12= x ，所以选C．
6.【答案】B
【解析】【分析】由给定条件求出点A的坐标即可得出 m+n+1=4 ，再利用“1”的妙用即可得解．
解：函数 y=ax−1+2a>0,a≠1 中，由 x−1=0 可得 x=1 ， y=3 ，
即函数的图象恒过定点 A(1,3) ．
若点 A 在直线 mx−y+n=0m,n>0 上，即有 m+n+1=4 ，
于是得 1m+1n+1=14[m+(n+1)](1m+1n+1)=14(2+n+1m+mn+1)≥14(2+2 n+1m⋅mn+1)=1 ，
当且仅当 n+1m=mn+1 ，即 m=2,n=1 时取等号成立．
所以 m=2,n=1 时， 1m+1n+1 的最小值为1．
故选：B．
7.【答案】B
【解析】【分析】 y=x−1 不过 0,0 ，A错误，根据定义域排除C，举反例得到D错误，B正确，得到答案．
解：对选项A： y=x−1 不过 0,0 ，错误；
对选项B： x>0 时， y=xa>0 ，幂函数的图像不可能过第四象限，正确；
对选项C：幂函数 y=x12 的定义域为 0,+∞ ，是非奇非偶函数，错误；
对选项D： x=−1 时， y=−1 ； x=1 时， y=1 ，不是定义域上减函数，错误；
故选：B．
8.【答案】D
【解析】【分析】确定2023年初的种群数量为 t=0 时的函数值，根据题意可列不等式 k0⋅e1.4e−0.125t<20%⋅k0⋅e1.4e ，结合对数运算即可求得答案．
解：由题意可知2023年初的种群数量为 t=0 时的函数值 k0⋅e1.4e ，
故令 y=k0⋅e1.4e−0.125t<20%⋅k0⋅e1.4e ，即 e−0.125t<15 ，
则 0.125t>ln5,∴t>ln50.125=8ln5≈12.8752 ，
由于 n∈N∗ ，故n的最小值为13，
故选：D
9.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
利用基本不等式逐一分析求解，注意等号能否取到即可求解．
【解答】
解： 对于A，当x<0时，y<0，A不符合题意;
对于B，由已知0所以y=sinx+4sinx≥2 sinx·4sinx=4，
当且仅当sinx=4sinx，即sinx=2时，取等号，显然等号取不到，
所以y=sinx+4sinx(0即B不符合题意;
对于C，y=ex+4e−x≥2 ex·4e−x =4，当ex=4e−x即x=ln2时，取等号，
所以y=ex+4e−x最小值为4，C符合题意;
对于D，y= x2+1+4 x2+1≥2 x2+1·4 x2+1=4，
当 x2+1=4 x2+1即x=± 3时，取等号，
所以y= x2+1+4 x2+1 的最小值为4，所以符合题意．
故答案为CD．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】对选项A，根据指数函数的图象可判断；对选项B，求出幂函数就可以判断；对于选项C，根据图象可以判断；对于选项D，运用数形结合即可知结果．
解：对选项A，令 fx=3x ， gx=2x ，当 x>0 时， fx=3x 的图象恒在 gx=2x 的上，则A正确；
对选项B，设 fx=xn ，则 f2=2n= 22 ，解得 n=−12 ，则 x>0 ，所以函数不是偶函数，故B错误；
对选项C，函数 y=2x 与 y=2−x 的图象关于y轴对称，往上平移1个单位就得到函数 y=2x+1 与 y=2−x+1 的图象，所以还关于y轴对称，故C正确；
对选项D，方程 lg2x=2−x 的根即为函数 y=lg2x,y=2−x 图象交点的横坐标，
在同一坐标系中作出两函数的图象，则两函数图象共有两交点，则方程 lg2x=2−x 有两根，故D正确；
故选：ACD．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】利用诱导公式及同角三角函数关系化简判断A、C；由 π2解：A：由题设 1−2sinπ+θsin3π2−θ= 1−2sinθcsθ= sin2θ−2sinθcsθ+cs2θ =|sinθ−csθ| ，
又 θ∈π2,π ，故 1−2sinπ+θsin3π2−θ=sinθ−csθ ，错；
B：由题意 π2sin(π2−B)=csB ，对；
C： sinπ−αcsπ+α=sinα−csα=−tanα ，对；
D：由 sin2α+cs2β−(sinα+csβ)=sinα(sinα−1)+csβ(csβ−1) ，
又 α ， β∈0,π2 ，故 0所以 sin2α+cs2β故选：BCD
12.【答案】ABC
【解析】【分析】本题的关键是得到函数的对称性、单调性和周期性，再利用这些性质逐项分析即可.由已知奇偶性得出函数 f(x) 的图象关于点 (1,0) 对称且关于直线 x=2 对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D．
解： fx+1 为奇函数， fx+2 为偶函数，
所以 f(x)的图象关于点 (1,0) 对称且关于直线 x=2 对称，故C正确；
所以 f(1+x)=−f(1−x) ， f(2+x)=f(2−x) ， f(1)=0 ，
f(2+x)=f(2−x)=f(1+1−x)=−f[1−(1−x)]=−f(x)
f(x+4)=−f(2+x)=f(x) ，所以 f(x) 是周期函数，4是它的一个周期．
f(−1)=f(3)=f(2+1)=f(2−1)=f(1)=0 ，
f(2023)=f(4×506−1)=f(−1)=0 ，故B正确；
f(−x)=−f(2+x)=−f(2−x)=f[2−(2−x)]=f(x) ， f(x) 是偶函数，A正确；
对任意的 x1,x2∈1,2 ，且 x1≠x2 ，都有 fx1−fx2x1−x2>0 ，即 1f(x1)f(−74)=f(74) ， f(198)=f(−198)=f(−198+4)=f(138) ， 2>74>138>1 ，
f(74)>f(138) ，∴ f(−74)>f(198) ，故D错．
故选：ABC．
13.【答案】 6
【解析】【分析】由对数的运算性质得 4xy=2⇒xy=12 ，然后利用基本不等式即可求得 x+3y 最小值．
解：由题得， x>0,y>0 ，且 lg22x+lg22y=lg2(2x⋅2y)=1 ，
所以 4xy=2⇒xy=12 ，
x+3y≥2 x⋅3y=2 32= 6 ，当且仅当 x=3y 时等号成立，又 x>0,y>0,xy=12 ，
解得 x= 62,y= 66 ，
故答案为： 6 ．
14.【答案】f(x)=x2
【解析】【分析】
本题考查幂函数的定义，考查函数的单调性，属于基础题．
根据幂函数的定义和性质求解．
【解答】
解：∵fx是幂函数，
∴m−12=1，解得m=2或m=0，
若m=2，则fx=x0=1，在0,+∞上不单调递增，不满足条件；
若m=0，则fx=x2，在0,+∞上单调递增，满足条件；
即fx=x2．
故答案为：f(x)=x2．
15.【答案】−∞,−4∪2,+∞
【解析】【分析】由题设可得偶函数 y=fx 在 −∞,0 上递减，在 (0,+∞) 上递增，且 f(3)=f(−3)=1 ，应用奇偶性、单调性求解集即可．
解：由题设，易知偶函数 y=fx 在 −∞,0 上递减，在 (0,+∞) 上递增，且 f(3)=f(−3)=1 ，
所以 fx+1≥1=f(|±3|) ，故 |x+1|≥3 ，可得 x+1≥3 或 x+1≤−3 ，
所以 x≥2 或 x≤−4 ，故解集为 −∞,−4∪2,+∞ ．
故答案为： −∞,−4∪2,+∞
16.【答案】 318
【解析】【分析】由 PQ=sina−csa=14 ，平方后可求得 2sinacsa ，根据 b2=1+2sinacsa4 可求得线段 PQ 中点的纵坐标 b ．
解：由题意知： PQ=sina−csa=14 ，
∴sina−csa2=1−2sinacsa=116 ， ∴2sinacsa=1516 ；
设 PQ 中点的纵坐标为 b ，
当 a∈0,π2 时， sina>0 ， csa>0 ， ∴b=sina+csa2>0 ，
∴b2=1+2sinacsa4=1+15164=3164 ， ∴b= 318 ．
故答案为： 318 ．
17.【答案】解：(1) ∁RA=x|x<3 或 x≥7 ，
所以 ∁RA∩B= x|2(2) lg34273+lg25+lg4+7lg72
=lg333143+lg25×4+2
=lg33−14+lg25×4+2
=−14+2+2
=154.
【解析】【分析】(1)根据补集和交集的知识求得正确答案；
(2)根据对数的运算法则计算即可．
18.【答案】解：(1)因为 fx=ax 的图象经过点 4,4 ，
则 a4=4 ，又 a>0 且 a≠1 ，所以 a= 2 ．
(2)当 −3≤x≤3 时， −4≤x−1≤2 ，则 0≤x−1≤4 ，
因为 2>1 ，所以 fx=( 2)x 在 R 上单调递增，
则 ( 2)0≤( 2)x−1≤( 2)4 ，即 1≤( 2)x−1≤4 ，
所以 gx 的值域为 1,4 ．
【解析】【分析】(1)直接代入即可求出 a 值；
(2)求出 0≤x−1≤4 ，再根据指数函数值域即可得到答案．
19.【答案】解：(1)条件①：因为角 α 的终边与单位圆的交点为 Mx,35 ，
可得 x2+352=1 ， x=±45 ，由三角函数的定义可得 tanα=±34
条件②：因为角 α 满足 sinα=35 ，
又因为 sin2α+cs2α=1 ，即可得 cs2α=1625
所以 csα=±45 ，可得 tanα=±34
条件③：因为角 α 满足 17sin2α−8cs2α=1 ，又因为 sin2α+cs2α=1 ，
即 17sin2α−8cs2α=sin2α+cs2α ，可得 16sin2α=9cs2α
又 cs2α≠0 ，∴ tan2α=916 ，
即 tanα=±34
(2)易知
sinαcsα−sin2α+1=sinαcsα−sin2α+11=sinαcsα−sin2α+sin2α+cs2αsin2α+cs2α
=sinαcsα+cs2αsin2α+cs2α=tanα+1tan2α+1
由(1)可知： tanα=±34 ，
当 tanα=34 时，原式 =tanα+1tan2+1=34+1916+1=2825 ；
当 tanα=−34 时，原式 =tanα+1tan2+1=−34+1916+1=425 ．
【解析】【分析】(1)利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得 tanα=±34 ；
(2)将分母看成“1”，将表达式化为只含有 tanα 的式子代入计算即可求得结果．
20.【答案】解：(1)由题知， x=0 时， a=4 ，
于是， 8−k0+1=4 ，解得 k=4 ．
所以， a=8−4x+1 .根据题意， y=a36+10a−20a−x
即 y=16a+10−x=138−64x+1−x
所以 y=138−x−64x+1x≥0
(2)y=138−x−64x+1=139−x+1+64x+1
≤139−2 x+1⋅64x+1=123
当且仅当 x+1=64x+1 ，即 x=7 时，等号成立．
所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元．
【解析】【分析】(1)先由已知条件求出待定系数 k ，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可；
(2)将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值．
21.【答案】解：(1)因为 fx 定义在 R 上的奇函数，可得 ∀x∈R ，都有 f(−x)=−f(x) ，
令 x=0 ，可得 f(0)=1+a20+1=1+a2=0 ，解得 a=−2 ，
所以 f(x)=1−22x+1=2x−12x+1 ，此时满足 f(−x)=2−x−12−x+1=−2x−12x+1=−f(x) ，
所以函数 fx 是奇函数，所以 a=−2 ．
任取 x1,x2∈R ，且 x1因为 f(x1)−f(x2)=(1−22x1+1)−(1−22x2+1)=22x2+1−22x1+1=2(2x1−2x2)(2x2+1)(2x1+1)<0 ，
即 f(x1)(2)因为 fx 为奇函数，且 f(t2−2t)+f(2t2−k)<0 的解集非空，
可得 f(t2−2t)又因为 fx 在 R 上单调递增，所以 t2−2t即 3t2−2t−k<0 在 R 上有解，则满足 Δ=(−2)2−4×3×(−k)>0 ，解得 k>−13 ，
所以实数 k 的取值范围 (−13,+∞) ．
【解析】【分析】(1)由函数奇偶性的性质，求得 a=−2 ，再利用函数的单调性的定义与判定方法，即可 fx 是 R 上的增函数；
(2)由函数 fx 为奇函数，且在 R 上单调递增，把不等式转化为 3t2−2t−k<0 在 R 上有解，结合二次函数的性质，即可求解．
22.【答案】解：(1)lg2(1x+a)+lg2(x2)=0有且仅有一解，等价于(1x+a)x2=1有且仅有一解，等价于ax2+x−1=0有且仅有一解，
当a=0时，x=1，符合题意;当a≠0时，△=1+4a=0，a=−14．
综上所述，a=0或−14．
(2)当0因此f(x)在[1t+1,1t]上单调递增，
故只需满足f(1t)−f(1t+1)≤1
即lg(1t+a)−lg(1t+1+a)≤1，所以1t+a≤2(1t+1+a)
即a≥1t−2t+1=1−tt(t+1)，设1−t=r，则r∈[0,12]，
1−tt(t+1)=r(1−r)(2−r)=rr2−3r+2
当r=0时，rr2−3r+2=0
当0所以r+2r≥12+4=92，故1r+2r−3≤192−3=23，
所以a的取值范围为[23,+∞).
【解析】本题考查函数的综合应用，复合函数的单调性以及函数的最值的求法，属于拔高题．
1.设集合A=xx2−x−2<0，B=xx≤1，则A∩B=( )
A. x−1
( )
A. ∃x∈R,x2−2x+3>0B. ∀x∈R,x2−2x+3>0
C. ∃x∈R,x2−2x+3≥0D. ∀x∈R,x2−2x+3≥0
3.扇形的圆心角为0.5弧度，周长为15，则它的面积为
( )
A. 5B. 6C. 8D. 9
4.已知fx为R上的奇函数，当x>0时，fx=x2−2x+4，则f(−3)的值是
( )
A. 19B. 7C. −7D. −19
5.如图所示，函数f(x)=x12的图像大致为．( )
A. B.
C. D.
6.已知函数y=ax−1+2a>0,a≠1的图像恒过的定点A，且A点在直线mx−y+n=0m,n>0上，则1m+1n+1的最小值为
( )
A. 4B. 1C. 2D. 5
7.小强在研究幂函数y=xaa=1,2,3,12,−1的图像和性质时得到如下结论，则其中正确的是
( )
A. 幂函数的图像必过定点0,0和1,1B. 幂函数的图像不可能过第四象限
C. 幂函数y=x12为偶函数D. 幂函数y=x−1在其定义域上为减函数
8.已知某物种t年后的种群数量y近似满足函数模型：y=k0⋅e1.4e−0.125tk0>0.自2023年初起，经过n年后n∈N∗，当该物种的种群数量不足2023年初的20%时，n的最小值为(参考数据：ln5≈1.6094)( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，最小值为4的是
( )
A. y=x2+8 xB. y=sinx+4sinx0
10.下列说法中正确的是( )
A. 任取x>0，均有3x>2x
B. 图象经过2, 22的幂函数是偶函数
C. 在同一坐标系中，函数y=2x+1与y=2−x+1的图象关于y轴对称
D. 方程lg2x=2−x有两根
11.下列表达式正确的是( )
A. 若θ∈π2,π，则 1−2sinπ+θsin3π2−θ=sinθ+csθ
B. 在锐角▵ABC中，sinA>csB恒成立
C. sinπ−αcsπ+α=−tanα
D. ∀α，β∈0,π2，sin2α+cs2β
( )
A. fx是偶函数B. f2023=0
C. fx的图象关于1,0对称D. f−74
13.已知lg22x+lg22y=1，则x+3y 的最小值为____．
14.已知幂函数fx=(m−1)2xm2−3m+2在0,+∞上单调递增，则fx的解析式是 ．
15.已知y=fx是定义在R上的偶函数，且在−∞,0上单调递减，f3+f−3=2，则关于x的不等式fx+1≥1的解集为______．
16.已知直线x=a0
17.(本小题10分)
(1)设全集为R，A=x3≤x<7，B=x2
18.(本小题12分)
已知函数fx=ax(a>0且a≠1)的图象经过点4,4．
(1)求a的值；
(2)求函数g(x)=a|x−1|(−3≤x≤3)的值域．
19.(本小题12分)
已知角α满足______.请从下列三个条件中任选一个作答．(注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分)．
条件①：角α的终边与单位圆的交点为Mx,35；
条件②：角α满足sinα=35；
条件③：角α满足17sin2α−8cs2α=1．
(1)求tanα的值；
(2)求sinαcsα−sin2α+1的值．
20.(本小题12分)
天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量a万件与投入的促销费用x万元x≥0满足关系式a=8−kx+1(k为常数)，而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为36+10a元，设该产品的利润为y万元.(注：利润=销售收入−投入成本−促销费用)
(1)求出k的值，并将y表示为x的函数；
(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
21.(本小题12分)
已知函数fx=1+a2x+1为奇函数．
(1)求实数a的值，并用定义证明fx是R上的增函数；
(2)若关于t的不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)<0的解集非空，求实数k的取值范围．
22.(本小题12分)
已知a∈R，函数f(x)=lg2(x+a)．
(1)若关于x的方程f(1x)+lg2(x2)=0的解集中恰有一个元素，求a的值;
(2)设a>0，若对任意t∈[12,1]，函数f(x)在区间[1t+1,1t]的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】求出两个集合，再利用交集含义即可得到答案．
解： A=xx2−x−2<0=x−1
2.【答案】D
【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解．
解：命题“ ∃x∈R,x2−2x+3<0 ”的否定是“ ∀x∈R,x2−2x+3≥0 ”．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】【分析】根据扇形面积公式计算即可．
解：设半径为 r ，则周长 15=2r+0.5r ，则 r=6 ，扇形面积 12×0.5r2=9 ，故选D．
4.【答案】C
【解析】【分析】利用奇函数的性质即可得解．
解：因为当 x>0 时， fx=x2−2x+4 ，所以 f3=32−2×3+4=7 ，
又 fx 为定义在 R 上的奇函数，所以 f−3=−f3=−7 ．
故选：C．
5.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查函数的图像与性质，熟记函数图像与性质即可，属于常考题型.先由函数解析式得到函数的奇偶性，再结合 x≥0 时的图像，即可得出结果．
解： f(x)=x12 的定义域为 R ， f(−x)=−x12=x12=f(x) ，图像关于 y 轴对称，可排除选项A，B；又因为当 x≥0 时， f(x)=x12= x ，所以选C．
6.【答案】B
【解析】【分析】由给定条件求出点A的坐标即可得出 m+n+1=4 ，再利用“1”的妙用即可得解．
解：函数 y=ax−1+2a>0,a≠1 中，由 x−1=0 可得 x=1 ， y=3 ，
即函数的图象恒过定点 A(1,3) ．
若点 A 在直线 mx−y+n=0m,n>0 上，即有 m+n+1=4 ，
于是得 1m+1n+1=14[m+(n+1)](1m+1n+1)=14(2+n+1m+mn+1)≥14(2+2 n+1m⋅mn+1)=1 ，
当且仅当 n+1m=mn+1 ，即 m=2,n=1 时取等号成立．
所以 m=2,n=1 时， 1m+1n+1 的最小值为1．
故选：B．
7.【答案】B
【解析】【分析】 y=x−1 不过 0,0 ，A错误，根据定义域排除C，举反例得到D错误，B正确，得到答案．
解：对选项A： y=x−1 不过 0,0 ，错误；
对选项B： x>0 时， y=xa>0 ，幂函数的图像不可能过第四象限，正确；
对选项C：幂函数 y=x12 的定义域为 0,+∞ ，是非奇非偶函数，错误；
对选项D： x=−1 时， y=−1 ； x=1 时， y=1 ，不是定义域上减函数，错误；
故选：B．
8.【答案】D
【解析】【分析】确定2023年初的种群数量为 t=0 时的函数值，根据题意可列不等式 k0⋅e1.4e−0.125t<20%⋅k0⋅e1.4e ，结合对数运算即可求得答案．
解：由题意可知2023年初的种群数量为 t=0 时的函数值 k0⋅e1.4e ，
故令 y=k0⋅e1.4e−0.125t<20%⋅k0⋅e1.4e ，即 e−0.125t<15 ，
则 0.125t>ln5,∴t>ln50.125=8ln5≈12.8752 ，
由于 n∈N∗ ，故n的最小值为13，
故选：D
9.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
利用基本不等式逐一分析求解，注意等号能否取到即可求解．
【解答】
解： 对于A，当x<0时，y<0，A不符合题意;
对于B，由已知0
当且仅当sinx=4sinx，即sinx=2时，取等号，显然等号取不到，
所以y=sinx+4sinx(0
对于C，y=ex+4e−x≥2 ex·4e−x =4，当ex=4e−x即x=ln2时，取等号，
所以y=ex+4e−x最小值为4，C符合题意;
对于D，y= x2+1+4 x2+1≥2 x2+1·4 x2+1=4，
当 x2+1=4 x2+1即x=± 3时，取等号，
所以y= x2+1+4 x2+1 的最小值为4，所以符合题意．
故答案为CD．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】对选项A，根据指数函数的图象可判断；对选项B，求出幂函数就可以判断；对于选项C，根据图象可以判断；对于选项D，运用数形结合即可知结果．
解：对选项A，令 fx=3x ， gx=2x ，当 x>0 时， fx=3x 的图象恒在 gx=2x 的上，则A正确；
对选项B，设 fx=xn ，则 f2=2n= 22 ，解得 n=−12 ，则 x>0 ，所以函数不是偶函数，故B错误；
对选项C，函数 y=2x 与 y=2−x 的图象关于y轴对称，往上平移1个单位就得到函数 y=2x+1 与 y=2−x+1 的图象，所以还关于y轴对称，故C正确；
对选项D，方程 lg2x=2−x 的根即为函数 y=lg2x,y=2−x 图象交点的横坐标，
在同一坐标系中作出两函数的图象，则两函数图象共有两交点，则方程 lg2x=2−x 有两根，故D正确；
故选：ACD．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】利用诱导公式及同角三角函数关系化简判断A、C；由 π2
又 θ∈π2,π ，故 1−2sinπ+θsin3π2−θ=sinθ−csθ ，错；
B：由题意 π2
C： sinπ−αcsπ+α=sinα−csα=−tanα ，对；
D：由 sin2α+cs2β−(sinα+csβ)=sinα(sinα−1)+csβ(csβ−1) ，
又 α ， β∈0,π2 ，故 0
12.【答案】ABC
【解析】【分析】本题的关键是得到函数的对称性、单调性和周期性，再利用这些性质逐项分析即可.由已知奇偶性得出函数 f(x) 的图象关于点 (1,0) 对称且关于直线 x=2 对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D．
解： fx+1 为奇函数， fx+2 为偶函数，
所以 f(x)的图象关于点 (1,0) 对称且关于直线 x=2 对称，故C正确；
所以 f(1+x)=−f(1−x) ， f(2+x)=f(2−x) ， f(1)=0 ，
f(2+x)=f(2−x)=f(1+1−x)=−f[1−(1−x)]=−f(x)
f(x+4)=−f(2+x)=f(x) ，所以 f(x) 是周期函数，4是它的一个周期．
f(−1)=f(3)=f(2+1)=f(2−1)=f(1)=0 ，
f(2023)=f(4×506−1)=f(−1)=0 ，故B正确；
f(−x)=−f(2+x)=−f(2−x)=f[2−(2−x)]=f(x) ， f(x) 是偶函数，A正确；
对任意的 x1,x2∈1,2 ，且 x1≠x2 ，都有 fx1−fx2x1−x2>0 ，即 1
f(74)>f(138) ，∴ f(−74)>f(198) ，故D错．
故选：ABC．
13.【答案】 6
【解析】【分析】由对数的运算性质得 4xy=2⇒xy=12 ，然后利用基本不等式即可求得 x+3y 最小值．
解：由题得， x>0,y>0 ，且 lg22x+lg22y=lg2(2x⋅2y)=1 ，
所以 4xy=2⇒xy=12 ，
x+3y≥2 x⋅3y=2 32= 6 ，当且仅当 x=3y 时等号成立，又 x>0,y>0,xy=12 ，
解得 x= 62,y= 66 ，
故答案为： 6 ．
14.【答案】f(x)=x2
【解析】【分析】
本题考查幂函数的定义，考查函数的单调性，属于基础题．
根据幂函数的定义和性质求解．
【解答】
解：∵fx是幂函数，
∴m−12=1，解得m=2或m=0，
若m=2，则fx=x0=1，在0,+∞上不单调递增，不满足条件；
若m=0，则fx=x2，在0,+∞上单调递增，满足条件；
即fx=x2．
故答案为：f(x)=x2．
15.【答案】−∞,−4∪2,+∞
【解析】【分析】由题设可得偶函数 y=fx 在 −∞,0 上递减，在 (0,+∞) 上递增，且 f(3)=f(−3)=1 ，应用奇偶性、单调性求解集即可．
解：由题设，易知偶函数 y=fx 在 −∞,0 上递减，在 (0,+∞) 上递增，且 f(3)=f(−3)=1 ，
所以 fx+1≥1=f(|±3|) ，故 |x+1|≥3 ，可得 x+1≥3 或 x+1≤−3 ，
所以 x≥2 或 x≤−4 ，故解集为 −∞,−4∪2,+∞ ．
故答案为： −∞,−4∪2,+∞
16.【答案】 318
【解析】【分析】由 PQ=sina−csa=14 ，平方后可求得 2sinacsa ，根据 b2=1+2sinacsa4 可求得线段 PQ 中点的纵坐标 b ．
解：由题意知： PQ=sina−csa=14 ，
∴sina−csa2=1−2sinacsa=116 ， ∴2sinacsa=1516 ；
设 PQ 中点的纵坐标为 b ，
当 a∈0,π2 时， sina>0 ， csa>0 ， ∴b=sina+csa2>0 ，
∴b2=1+2sinacsa4=1+15164=3164 ， ∴b= 318 ．
故答案为： 318 ．
17.【答案】解：(1) ∁RA=x|x<3 或 x≥7 ，
所以 ∁RA∩B= x|2
=lg333143+lg25×4+2
=lg33−14+lg25×4+2
=−14+2+2
=154.
【解析】【分析】(1)根据补集和交集的知识求得正确答案；
(2)根据对数的运算法则计算即可．
18.【答案】解：(1)因为 fx=ax 的图象经过点 4,4 ，
则 a4=4 ，又 a>0 且 a≠1 ，所以 a= 2 ．
(2)当 −3≤x≤3 时， −4≤x−1≤2 ，则 0≤x−1≤4 ，
因为 2>1 ，所以 fx=( 2)x 在 R 上单调递增，
则 ( 2)0≤( 2)x−1≤( 2)4 ，即 1≤( 2)x−1≤4 ，
所以 gx 的值域为 1,4 ．
【解析】【分析】(1)直接代入即可求出 a 值；
(2)求出 0≤x−1≤4 ，再根据指数函数值域即可得到答案．
19.【答案】解：(1)条件①：因为角 α 的终边与单位圆的交点为 Mx,35 ，
可得 x2+352=1 ， x=±45 ，由三角函数的定义可得 tanα=±34
条件②：因为角 α 满足 sinα=35 ，
又因为 sin2α+cs2α=1 ，即可得 cs2α=1625
所以 csα=±45 ，可得 tanα=±34
条件③：因为角 α 满足 17sin2α−8cs2α=1 ，又因为 sin2α+cs2α=1 ，
即 17sin2α−8cs2α=sin2α+cs2α ，可得 16sin2α=9cs2α
又 cs2α≠0 ，∴ tan2α=916 ，
即 tanα=±34
(2)易知
sinαcsα−sin2α+1=sinαcsα−sin2α+11=sinαcsα−sin2α+sin2α+cs2αsin2α+cs2α
=sinαcsα+cs2αsin2α+cs2α=tanα+1tan2α+1
由(1)可知： tanα=±34 ，
当 tanα=34 时，原式 =tanα+1tan2+1=34+1916+1=2825 ；
当 tanα=−34 时，原式 =tanα+1tan2+1=−34+1916+1=425 ．
【解析】【分析】(1)利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得 tanα=±34 ；
(2)将分母看成“1”，将表达式化为只含有 tanα 的式子代入计算即可求得结果．
20.【答案】解：(1)由题知， x=0 时， a=4 ，
于是， 8−k0+1=4 ，解得 k=4 ．
所以， a=8−4x+1 .根据题意， y=a36+10a−20a−x
即 y=16a+10−x=138−64x+1−x
所以 y=138−x−64x+1x≥0
(2)y=138−x−64x+1=139−x+1+64x+1
≤139−2 x+1⋅64x+1=123
当且仅当 x+1=64x+1 ，即 x=7 时，等号成立．
所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元．
【解析】【分析】(1)先由已知条件求出待定系数 k ，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可；
(2)将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值．
21.【答案】解：(1)因为 fx 定义在 R 上的奇函数，可得 ∀x∈R ，都有 f(−x)=−f(x) ，
令 x=0 ，可得 f(0)=1+a20+1=1+a2=0 ，解得 a=−2 ，
所以 f(x)=1−22x+1=2x−12x+1 ，此时满足 f(−x)=2−x−12−x+1=−2x−12x+1=−f(x) ，
所以函数 fx 是奇函数，所以 a=−2 ．
任取 x1,x2∈R ，且 x1
即 f(x1)
可得 f(t2−2t)
所以实数 k 的取值范围 (−13,+∞) ．
【解析】【分析】(1)由函数奇偶性的性质，求得 a=−2 ，再利用函数的单调性的定义与判定方法，即可 fx 是 R 上的增函数；
(2)由函数 fx 为奇函数，且在 R 上单调递增，把不等式转化为 3t2−2t−k<0 在 R 上有解，结合二次函数的性质，即可求解．
22.【答案】解：(1)lg2(1x+a)+lg2(x2)=0有且仅有一解，等价于(1x+a)x2=1有且仅有一解，等价于ax2+x−1=0有且仅有一解，
当a=0时，x=1，符合题意;当a≠0时，△=1+4a=0，a=−14．
综上所述，a=0或−14．
(2)当0
故只需满足f(1t)−f(1t+1)≤1
即lg(1t+a)−lg(1t+1+a)≤1，所以1t+a≤2(1t+1+a)
即a≥1t−2t+1=1−tt(t+1)，设1−t=r，则r∈[0,12]，
1−tt(t+1)=r(1−r)(2−r)=rr2−3r+2
当r=0时，rr2−3r+2=0
当0
所以a的取值范围为[23,+∞).
【解析】本题考查函数的综合应用，复合函数的单调性以及函数的最值的求法，属于拔高题．
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