浙江省温州市苍南中学2023-2024学年高一上学期数学竞赛试题（Word版附解析）

这是一份浙江省温州市苍南中学2023-2024学年高一上学期数学竞赛试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了 “”是“”的， 设， 已知函数满足， 下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。

一､单选题
1. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么，函数解析式为，值域为的同族函数共有（ ）个.
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【详解】. 选C.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
由分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，不等式可化为，即，解得，
即不等式的解集为，
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及充分不必要条件的判定，其中解答中熟记分式不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
3. 设.则的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】令，于是，
.
上式等号在，即，亦即时成立.
所以，的最大值为.
故答案为D
4. 已知是定义在上的偶函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意判断出在上单调递增，再由函数在上为偶函数，得到，将代入解题即可.
【详解】因为对任意的满足，所以在上单调递增，
又是定义在上的偶函数，且 ，
所以，所以，解得或.
故选：C
5. 已知函数的值域与函数的定义域相同，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合一次函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】因为函数的定义域为R，所以的值域是R，
当时，，
故当时，的值域为，所以，
所以，解得，所以实数a的取值范围是.
故选：B.
6. 已知函数满足：
（1）对任意、，，都有；
（2）对任意，都有.则的值是.
A. 17B. 21C. 25D. 29
【答案】D
【解析】
【详解】对任意的，由（1）得，即.
故在上为单调增函数.
对任意，由（2）得.
显然否则，.矛盾.
若，则，矛盾.
所以，.
故，.
由，得，.
则，.
故.
故答案为D
二､多选题
7. 已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ）
A. 的对称轴为直线
B. 的对称轴为直线
C.
D. 不等式的解集为
【答案】BD
【解析】
【分析】由偶函数的定义确定对称轴即可判断AB；根据和函数的单调性即可判断C；利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可判断D.
【详解】A：因为为偶函数，其图象关于y轴对称，
所以函数的对称轴为直线，故A错误；
B：由选项A可知，B正确；
C：因为函数的对称轴为直线，所以，
又函数在上单调递增，所以，则，故C错误；
D：因为函数的对称轴为直线，且在上单调递增，
所以函数在上单调递减，且，
由，得，即，解得，故D正确.
故选：BD.
8. 下列说法正确的有（ ）
A. 已知，则的最小值为
B. 若正数x、y满足，则的最小值为9
C. 若正数x、y满足，则的最小值为3
D. 设x、y为实数，若，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式求最值逐项判断即可.
【详解】对于A，因为，所以当时，，，当且仅当，即时，等号成立；
当时，，，
，
当且仅当，即时等号成立，所以 ，
所以，
所以函数的值域为，故A错误；
对于B，若正数x、y满足，
可得，当且仅当时等号成立，
令，
则，即，解得，即，所以的最小值为9，故B正确；
对于C，若正数x、y满足，则，
则
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3，故C正确；
对于D， ，
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故D正确.
故选：BCD.
9. 德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为，则下列关于狄利克雷函数的说法错误的是（ ）
A. 对任意实数，
B. 既不是奇函数又不是偶函数
C. 对于任意的实数，，
D. 若，则不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意结合奇偶性、一元二次不等式的解法逐项分析判断.
【详解】若是有理数，则；
若是无理数，则，故A正确；
若是有理数，则也是有理数，此时；
若是无理数，则也是无理数，此时；
即为偶函数，故B错误；
若是无理数，取，则是无理数，此时，，即，故C错误；
若是有理数，则的解集为；
若是有理数，，显然不成立，故D错误．
故选：BCD．
10. 已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时，.若 恒成立，则实数的取值可能是（ ）
A. -1B. C. D. 1
【答案】AC
【解析】
【分析】等价于恒成立，当时，函数的解析式进行去绝对值，所以讨论和的情况，再根据函数是奇函数，得到时的解析式或图像，结合图像得到的取值范围.
【详解】因为等价于恒成立.
当时，.
若，则当时，.
因为是奇函数，所以当时，，则，则.
综上，，此时为增函数，则恒成立.
若，当时，；
当时，；
当时，.
即当时，函数最小值为，由于函数是定义在上的奇函数，
当时，函数的最大值为，作出函数的图像如图：
故函数的图像不能在函数的图像的上方，结合图像可得，即，求得.
综上，.
故选：AC.
【点睛】（1）运用函数图像解决问题时，先要正确理解和把握函数图像本身的含义，能够根据函数解析式和性质画出函数图像；
（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图像的关系，结合图像研究.
三､填空题
11. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为______
【答案】
【解析】
【分析】根据韦达定理求出，代入解二次不等式即可.
【详解】由不等式的解集为，则，
则，则，即为，
解得：.
故答案为：
12. 正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围__________.
【答案】
【解析】
【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式即可.
【详解】因为且，是正数，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
因为不等式恒成立，所以，解得.
故答案为：.
13. 若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”．已知定义在R上的奇函数，当时，．那么当时，______；求函数在上的“倒值区间”为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据函数是奇函数求出时，，再由二次函数的单调性及“倒值区间”的定义，列出方程求解即可.
【详解】设，则，
，
由为奇函数，可得，
故当，，
对称轴方程为，
所以时，，
设是在上的“倒值区间”，则值域为，
所以，即，
所以在上单调递减，
，即，
解得，
所以函数在上的“倒值区间”为.
故答案为：；
14. 设，对函数，其中表示不超过的最大整数，其值域是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】由于的表达式中，与对称.且，不妨设.
（1）当时，，有.
（2）当时，设，则，故.
易证函数在上递增，故，
则
故的值域为.
设，则
又，当时， ，
易知单调递减，故.
因为，
所以.
综上所述，值域为.
故答案为：.
四､解答题
15. 已知函数为幂函数，且在上单调递增.
（1）求的值，并写出的解析式；
（2）解关于的不等式 ，其中.
【答案】（1）3，
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解；
（2）由（1）可得原不等式变形为，分类讨论含参一元二次不等式即可求解.
【小问1详解】
因为为幂函数，且在上单调递增，
则，解得，所以；
【小问2详解】
不等式0，即
当，，即不等式解集为，
当，或，即不等式解集为，
当，或，即不等式解集为.
所以，当，不等式解集为，
当，不等式解集为，
当，不等式解集为.
16. 中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?
（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
【答案】（1）40元；
（2）至少应达到10.2万件，每件定价30元.
【解析】
【分析】（1）设每件定价t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值；
（2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论.
【小问1详解】
设每件定价为t元，依题意得，
则，解得，
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元
【小问2详解】
依题意，时，不等式有解 ，
等价于时，有解，
因为（当且仅当时等号成立），
所以，此时该商品的每件定价为30元，
当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
17. 已知函数，定义域为．
（1）写出函数的奇偶性（无需证明），判断并用定义法证明函数在上的单调性；
（2）若，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）解不等式．
【答案】（1）在定义域为偶函数；在区间上单调递减，证明见解析.
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由偶函数和单调性的定义可得；
（2）先根据函数的单调性求最小值，根据恒成立即可得；
（3）根据函数的定义域，单调性，偶函数，结合列出不等式组即可.
【小问1详解】
在定义域为
因，所以为偶函数；.
在区间上单调递减，证明如下
设，
则
因，所以，，，
所以，
所以在区间上单调递减.
【小问2详解】
由（1）可知在区间上单调递减，
所以，当时，取得最小值，
又，都有恒成立，
所以只需成立，即，
故实数的取值范围为.
【小问3详解】
由（1）知，在定义域为偶函数且在区间上单调递减，
故由得，即，
解得，所以实数的取值范围为
18. 设函数（a≠0）满足，，，求当时最大值．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意知，解得，
从而当时，
．.
因为时，从而
．
易知当时
当时得
．
最后取，则．
故该函数满足题设条件且在上能取到最大值．因此的最大值为．