2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）专题15直线与圆的位置关系之八大考点-【学霸满分】

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc14099" 【典型例题】 PAGEREF _Tc14099 \h 1
\l "_Tc4220" 【考点一 判断直线和圆的位置关系】 PAGEREF _Tc4220 \h 1
\l "_Tc7190" 【考点二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 PAGEREF _Tc7190 \h 4
\l "_Tc23923" 【考点三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 PAGEREF _Tc23923 \h 5
\l "_Tc10700" 【考点四 判断或补全使直线为切线的条件】 PAGEREF _Tc10700 \h 7
\l "_Tc7329" 【考点五 证明某直线是圆的切线】 PAGEREF _Tc7329 \h 9
\l "_Tc24822" 【考点六 切线的性质定理】 PAGEREF _Tc24822 \h 14
\l "_Tc4137" 【考点七 切线的性质与判定的综合应用】 PAGEREF _Tc4137 \h 16
\l "_Tc21995" 【考点八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 PAGEREF _Tc21995 \h 23
\l "_Tc29378" 【过关检测】 PAGEREF _Tc29378 \h 27
【典型例题】
【考点一 判断直线和圆的位置关系】
例题：（2023上·天津和平·九年级天津市汇文中学校考阶段练习）已知中，，若以2为半径作，则斜边与的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．相切D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理等知识，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 过点C作于D，先利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，最后根据与半径的大小关系判断斜边与的位置关系即可．
【详解】解：过点C作于D，
∵，，，
∴，
又，
∴，
∵，
∴以2为半径作与斜边相离．
故选：B．
【变式训练】
1．（2023上·山东济宁·九年级校考期中）如图，在中，，，以为圆心作一个半径为的圆，下列结论中正确的是（ ）

A．点在内B．点在上
C．直线与相切D．直线与相离
【答案】C
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，勾股定理；过点作于，如图，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．
【详解】解：过点作于，如图，

，
，
在中，，
，
点在外，所以选项不符合题意；
，
点在外，所以选项不符合题意；
，半径，
直线与相切，所以选项符合题意，D选项符不合题意．
故选：C．
2．（2023上·河北廊坊·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作，下列判断正确的是（ ）
A．与轴相交B．与轴相切
C．点在外D．点在内
【答案】C
【分析】此题主要考查了直线与圆和点与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点，根据点的坐标得到圆心到轴的距离是，到轴的距离是，根据直线与圆的位置关系即可求出答案，熟练掌握运用直线与圆和点与圆的位置关系是解题的关键．
【详解】解：∵圆心，
∴到轴的距离是，到轴的距离是，
∵的半径为，
∴与轴相离，与轴相交，故选项错误；
由，
则点在外，故选项正确；
设，
∴，
则点在上，故选项错误；
故选：．
【考点二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】
例题：（2022秋·江苏连云港·九年级统考期中）直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据直线与圆的位置关系判断即可.
【详解】解：∵直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，
∴d的取值范围是；
故答案为：.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，设的半径等于r，圆心O到直线l的距离为d，则当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交；反之也成立.
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）已知直线l与半径长为R的相离，且点O到直线l的距离为5，那么R的取值范围是 ．
【答案】
【分析】若直线和圆相离，则应满足即可．
【详解】解：直线和圆相离，且点到直线的距离为5，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系与数量之间的等价关系．直线和圆相离，则应满足是解题的关键．
2．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】过M作于H，根据直角三角形的性质得到，然后根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
【详解】解：过M作于H，如图所示：
∵，，
∴，
∵，与线段有交点，
∴r的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离．
【考点三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】
例题：（2022秋·九年级单元测试）设的半径为，圆心到直线l的距离为，若、是方程的两根，则直线l与相切时，的值为 ．
【答案】9
【分析】先根据直线与圆的位置关系得出方程有两个相等的根，再根据即可求出m的值．
【详解】解：∵d、R是方程的两个根，且直线l与相切，
∴，
∴方程有两个相等的实根，
∴，
解得，，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系及一元二次方程根的判别式，熟知以上知识是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为，半径是2．如果⊙M与y轴相切，那么 ；如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是 ；如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】根据轴与圆的位置关系，推出圆心到轴的距离和半径之间的关系即可得解．
【详解】解：∵⊙M与y轴相切，
∴；
即；
∴如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是；
如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是或．
故答案为：；；或．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系与直线与圆的位置关系之间的联系，是解题的关键．
2．（2023·陕西·模拟预测）如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ．

【答案】或
【分析】根据题意可得的最小值为圆P与相切，切点为M；最大值为圆与圆E内切，切点为Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．
【详解】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示：

∴，
在直角梯形中，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
最大值为圆与圆E内切，切点为Q，
∴，
当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意，
设，则，
∴，
∴，
则长度的取值范围是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．
【考点四 判断或补全使直线为切线的条件】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当 cm时，与OA相切.
【答案】4
【分析】过M作MN⊥OA于点N，此时以MN为半径的圆与OA相切，根据30°角所对直角边为斜边的一半可得OM的长.
【详解】解：如图，过M作MN⊥OA于点N，
∵MN=2cm，，
∴OM=4cm，
则当OM=4cm时，与OA相切.
故答案为4.
【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，为的直径，，当 时，直线与相切．
【答案】1
【分析】直线与相切时，，根据勾股定理即可求出．
【详解】解：当时，直线与相切，
∴（cm），
故答案为：1．
【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
【答案】60
【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．
【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．
【考点五 证明某直线是圆的切线】
例题：（2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习）如图，已知是的直径，直线与相切于点B，过点A作交于点D，连接．

(1)求证：是的切线．
(2)若，直径，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据平行线的性质可得，通过证明，得出，即可求证；
（2）易得，根据，得出，则，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：

∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵是圆O的切线且为半径，
∴．
∴．
∴．
又∵是半径，
∴为圆O的切线．
（2）解：∵AB是直径，且，
∴
据（1）知，，
又，
∴，
∴在中：，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质，勾股定理等知识点，解题的关键通过正确作辅助线，构造全等三角形，熟练掌握相关知识点并灵活运用．
【变式训练】
1．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）如图，的半径为2，点A是的直径延长线上的一点，C为上的一点，，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先根据，得到，进而得到，然后求出，即可证明；
（2）首先得到是等边三角形，然后作于点H，利用等腰三角形三线合一性质得到，进而利用勾股定理求出，得到，最后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵OC是半径
∴直线是的切线；
（2）由（1）得是等边三角形，
作于点H，则
∴
在中，，
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了圆和三角形综合题，圆切线的判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
2．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，四边形内接于圆，是圆的直径，，的延长线交于点，延长交于点，．
(1)求证：是圆的切线；
(2)点在上，且，连接，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】（1）根据四边形内接于圆和得出，再根据得出即可证明；
（2）连接，，，记与相交于点，根据用垂径定理得出，再根据，运用三角形中位线得出即可解答；
【详解】（1）证明：∵四边形内接于圆
∴
∵
∴
∵
∴，即
又∵是圆的直径
∴是圆的切线
（2）如图，连接，，，记与相交于点

∵，
∴
∴，又
∴
∵，
∴
又∵，
∴
∴
∴．
【点睛】该题主要考查了圆切线证明，圆心角定理，垂径定理，三角形中位线等知识点，解题的关键是熟练掌握圆部分的这些知识点．
【考点六 切线的性质定理】
例题：（2023·浙江衢州·统考二模）如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，若，的半径为3，则的长为 ．

【答案】
【分析】连接，根据切线的性质得到，再根据所对的直角边是斜边的一半计算即可；
【详解】如图，连接，

∵是的切线，
∴，即，
又，的半径为3，
∴，
∴．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）如图，是的直径，点是外的一点，且是的切线，交于点，若，则 ．

【答案】30
【分析】根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：是的切线，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
2．（2023·湖南永州·校考二模）如图，是的直径，与相切于点的延长线交于点，则的度数是 ．

【答案】/26度
【分析】利用圆周角定理，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：是的直径，与相切于点A，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握上述定理是解题的关键．
【考点七 切线的性质与判定的综合应用】
例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，中，，点在边上，以点为圆心，为半径的圆交边于点，交边于点，且．

(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为10．
【分析】（1）连接，连接，通过证明即可进行求证；
（2）连接，则，根据勾股定理求出，设的半径为，根据，列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，连接，

在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，

∵，，
∴，，
∴，
设的半径为，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴的半径为10．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
【变式训练】
1．（2023·河南周口·校联考三模）如图，点是以为直径的外一点，点是上一点，是的切线，，连接并延长交的延长线于点．

(1)求证：点是的中点；
(2)若，的半径为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明是的切线．根据是的切线，可得，进而证明，等量代换可得，即可得证；
（2）根据，可得四边形是正方形，则是等腰直角三角形．勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：连接．
为的直径，
．
，
是的切线．
是的切线，
，
．
，，
，
，
，
点是的中点．

（2）解：若，由()得，四边形是正方形，
是等腰直角三角形．
半径为，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作半圆，与相切于点，过点A作交的延长线于点，且．

(1)求证：是半的切线；
(2)若，，求半的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点 作 于点 ，由切线的性质知，，又，，，推证 ，由角平分线性质定理得，结论得证；
（2）由切线长定理知，由等腰三角形性质知，进一步推证，由直角三角形性质，求解圆半径为 ．
【详解】（1）证明：过点 作 于点 ．
为半 切线，
，
，
．

，
，
．
，
，
，
．
，
，
是半 的半径．
，
是半的切线．
（2） 是半的切线， ，
．
，

．
，
，
，
．
在 中， ，
，
的半径为 ．
【点睛】本题考查圆切线的判定和性质，切线长定理，等腰三角形性质，角平分线性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用已知的角之间的数量关系结合直角三角形性质求解角度是解题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点．且．

(1)求证：为的切线；
(2)若，，直接写出半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据角平分线求得，由等边对等角可得，由是直径和等量代换可得，即可得证；
（2）连接，设，证明，可得，推出，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，

平分，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：连接，如图，

设 ，
，
，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
【考点八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
例题：（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【分析】连接，首先根据切线长定理得到，，然后证明出四边形是正方形，然后设，根据勾股定理求解即可．
【详解】如图，
连接，
∵与相切，
∴，，，，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴矩形是正方形，
∴，
设，
中，，，，
由勾股定理得，，
∴，
∴（舍去），
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【变式训练】
1．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）如图，中，，圆O是的内切圆，D，E，F是切点．若，则 ．
【答案】1
【分析】根据内切圆的性质先证明四边形是矩形，可得，再由切线长定理可得，设，可得，，可得到关于r的方程，即可求解．
【详解】解：∵圆O是的内切圆，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵圆O是的内切圆，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆的性质，切线长定理是解题的关键．
2．（2023秋·陕西延安·九年级统考期末）如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F．
(1)求的半径．
(2)若Q是的外心，连接，求的长度．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）先利用勾股定理求得，利用三角形面积公式，即可求解；
（2）证明四边形为正方形，边长为1，再利用切线长定理结合勾股定理即可．
【详解】（1）解：如图，连接，设的半径为r．
∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F，
∴，，．
在中，，，，
∴．
∵，
∴，
解得，
∴的半径为1；
（2）解：∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F，
∴，，．，，．
∴四边形为正方形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴．
∵Q是的外心，
∴，
∴．
在中，，即，
解得（负值舍去）．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·安徽阜阳·九年级统考阶段练习）如图，直线与相切于点的半径为3，则线段的长为（ ）
A．B．6C．D．3
【答案】B
【分析】本题主要利用了切线的性质和含直角三角形性质，由于直线与相切于点A，则，而，根据含直角三角形性质即可求出．
【详解】解：∵直线与相切于点A，
则．
∵，
∴．
故选：B．
2．（2023上·陕西延安·九年级校联考阶段练习）如图，点是的内心，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的内心的性质，根据已知条件可得，进而得出，然后根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵点是的内心， ，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
3．（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中校考阶段练习）在中，．以点为圆心、为半径作，则与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理及直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．关键是根据三角形的面积求出斜边上的高的长度．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．利用勾股定理可求出的长，根据三角形面积公式可求出边上的高，即圆心到直线的距离，根据直线和圆的位置关系进行判断．
【详解】∵，，
∴由勾股定理求得．
，
∴上的高为：÷，
即圆心到直线的距离是．
∵，
∴与直线的位置关系是相离．
故选C.
4．（2023上·江苏苏州·九年级苏州市胥江实验中学校校联考阶段练习）已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，的半径可取的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆的位置关系可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键．
【详解】解：，
，
或，
，，
的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，
，
与直线相离，
的半径，即，
故选：A．
5．（2023上·新疆省直辖县级单位·九年级校联考阶段练习）如图，，分别与相切于点，点．点为上一点（点与，两点不重合）．若，则（）
A．B．或C．或D．或
【答案】D
【分析】该题主要考查了圆周角定理以及切线性质定理、圆内接四边形等知识点，解题的关键是分类讨论；
连接分为是优弧上一点，和是劣弧上一点，两种情况计算即可；
【详解】（1）如图，点E为优弧上一点，连接，

，分别与相切，
，
，
，
，
，
（2）如图，点E为劣弧上一点，若是优弧上一点，连接、

，分别与相切，
，
，
，
，
，
∵四边形是的内接四边形，
，
，
故选：D．
二、填空题
6．（2023上·江苏镇江·九年级统考期中）如图，切于B，若，则的度数是 ．
【答案】/60度
【分析】此题考查了切线的性质，连接，由切线的性质知是直角三角形，可求出的度数，由于是等腰的外角，由此可求出的度数，已知和互余，即可得解，解题的关键是熟练掌握切线性质，直角三角形性质和三角形外角性质及其应用．
【详解】如图，连接，
∵与相切于，
∴；
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（2023上·安徽阜阳·九年级统考阶段练习）已知的半径为10，为直线上一点，若，则直线与的位置关系是 ．（填“相切”、“相交”或“相离”）
【答案】相交
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据d，R法则计算判断即可．
【详解】∵，
∴直线与相交，
故答案为：相交．
8．（2023·浙江杭州·校考二模）如图，是的直径，点P是延长线上的一点，是的切线，C为切点．若，，则 ．

【答案】
【分析】连接，根据切线的性质得到，根据正切的定义以及勾股定理进行计算，得到答案．
【详解】解：连接，

∵是的切线，
∴，
在中，，
设，则，，
在中，根据勾股定理得，
，
，
解得：，（舍），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质、正切的定义、勾股定理等知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
9．（2023上·江苏无锡·九年级校考期中）如图，在中，，是的内切圆，切点分别为、、．若，，则 ．

【答案】
【分析】本题考查了内切圆的性质，勾股定理；根据切线长定理可得，在中，，，列出方程求解即可．
【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为、、．，，
∴，
在中，，
解得：（负值舍去）
∴,
∴
故答案为：．
10．（2023上·江苏无锡·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，的半径为2．当圆心与点重合时，与直线的位置关系为 ；若圆心从点开始沿轴移动，当 时，与直线相切．

【答案】 相离 或
【分析】作于点，由，点，，得，由，求得，可知与直线相离；当点在点的左侧，设与直线相切于点，连接，则，得，求得，则；当点在点的右侧，设与直线相切于点，连接，可证明，得，，于是得到问题的答案．
【详解】解：作于点，
，
，点，
，
，
，
，
解得，
∵的半径为2，且，
∴当圆心与点重合时，圆心到直线的距离大于的半径，
与直线相离；
当点在点的左侧，设与直线相切于点，连接，则，
，
，
，
，
，
；
当点在点的右侧，设与直线相切于点，连接，则，
，
，
，
，
，
∴当或时，与直线相切，
故答案为：相离，或．
【点睛】此题重点考查图形与坐标、直线与圆的位置关系、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题
11．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）如图，已知为同心圆中大圆的弦，若，大圆半径为2，小圆半径为1．求证：为同心圆中小圆的切线．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了切线的判定定理，解题关键是先过点作，垂足为，根据垂径定理和的长，求出，再根据勾股定理求出的长，然后根据切线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：证明：如图所示：过点作，垂足为，
，大圆半径为2，
，，
在中，由勾股定理得：，
的长等于小圆的半径1，
为同心圆中小圆的切线．
12．（2023上·河北邯郸·九年级校考阶段练习）如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．
(1)直线与相切吗？并说明理由；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)相切，见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识．
（1）先证得，再证，得到，即可求出答案；
（2）设半径为；则，即可求得半径，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可．
【详解】（1）证明：连接．
∵为切线，
∴，
又∵，
∴，，
且，
∴，
在与中；
∵，
∴，
∴，
∴直线与相切；
（2）解：设半径为；
则：，得；
在直角三角形中，，
，
解得．
13．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点．

(1)点M的坐标是 ；
(2)判断与y轴的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)相交，理由见解析
【分析】此题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，熟练掌握圆心的确定方法，理解圆与直线的位置关系是解决问题的关键．
（1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心；
（2）先利用勾股定理求出，即得的半径为，再根据点M的坐标求出点M到y轴的距离，然后比较d与r的大小即可得出于y轴的位置关系．
【详解】（1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，如图所示：

根据网格的特征可得：点M的坐标为，
故答案为：．
（2）相交．
根据网格特征可得：
的半径
圆心M到y轴的距离
∴
∴与y轴相交．
14．（2023上·辽宁鞍山·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点，点在边上，以为圆心的圆经过，两点，交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（）利用相似三角形的判定与性质得到，利用勾股定理求得的长，再利用相似三角形的判定与性质，列出比例式即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解题的根据．
15．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，为的直径．点在圆上，是的平分线交于点，点在的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）连接，，由等边对等角结合对顶角相等可得，由圆周角定理结合角平分线的定义可得，从而得出，由三角形内角和定理可得，从而得出，再由等边对等角得出，即可得证；
（2）由圆周角定理可得，证明可得，从而得到，求解即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
是的平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
，即，
为半径，
是的切线；
（2）解：如图，
，
由（1）得：，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、角平分线的定义等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
16．（2023上·广东东莞·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，点是劣弧中点，与相交于点．连接，，与的延长线相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（）连接，根据直径所对的圆周角是直角及等腰三角形转换得，即可证明结论；
（）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，证明即可证明结论；
（）根据垂径定理得到点为的中点，设，则，利用勾股定理列方程计算得出，再利用中位线的性质即可求出的长．
【详解】（1）证明：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）∵点是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）如图：设交于点H，
∵，，
∴，
∴；
设，则为，根据勾股定理，
，
解得：，
∴，
∵是的中位线，
∴．
【点睛】此题考查了圆的切线的判定定理，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理等知识，利用同弧或等弧所对的圆周角相等以及勾股定理列出方程，是解决问题的关键．
17．（2023·广东汕尾·统考一模）如图，是的直径，是上的两点，且，交于点，点在的延长线上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，
①求的长；
②求的半径．
【答案】(1)详见解析
(2)①；②的半径为
【分析】（1）利用圆周角定理、等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）①利用等腰三角形的三线合一和直角三角形的性质求得，，在中，利用余弦的意义解答即可；②在中，利用余弦的意义解答即可求得，则半径可求．
【详解】（1）证明：，
∴，
∴，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
是圆的半径，
是的切线；
（2）解：①由（1）得：，
是的直径，
，
，
，
，
在中，
，
；
②在中，，
在中，
，
，
∴的半径为．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的边角关系定理，熟练掌握上述性质是解此题的关键．
18．（2023上·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考阶段练习）阅读材料：
已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．

．
．
(1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；
(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值．
【答案】(1)；
(2)2．
【分析】（1）已知给出示例，我们仿照例子，连接，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得．
（2）（1）中已告诉我们内切圆半径的求法，进一步易得的长，但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据切线长定理及勾股定理，先求的长，三角形各边长可知，则的值易得．
【详解】（1）解：如图2，连接．

，
；
（2），
，
，
．
是的内切圆，
，，，
，
∴设，则，
，
，即（，
解得，
，
，，．
【点睛】本题考查了和圆有关的综合性题目，同时涉及到切线的性质、切线长定理、勾股定理等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养以及学习、理解、创新新知识的能力的培养.