河南省名校2022-2023学年高二下学期5月联考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省名校2022-2023学年高二下学期5月联考数学试题（Word版附解析），共22页。

全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解出集合，利用交集定义可求得集合.
【详解】因为，，，
则，故.
故选：C.
2. 已知实数满足，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数代数形式的加减运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】复数，
则复数在复平面内对应的点为，
因为，所以，，所以点位于第四象限.
故选：D
3. 已知等比数列的前项和为，且，，则等比数列的公比为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】设公比为q，依题意可得，再由两式相除即可得解.
【详解】设公比为q，因为，则，即，
又，即，
所以.
故选：A
4. 若在一次大型数学考试（满分150分）中，考生分数服从正态分布，则考生分数在104分以上的概率为（ ）
（若，则）
A. 0.5B. 0.84135C. 0.97725D. 0.99865
【答案】C
【解析】
【分析】​​​​​​​根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.
【详解】由题意,，
所以，
所以考生分数在104分以上的概率为.
故选:C.
5. 已知的展开式中的常数项为，则项的系数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用的展开式中的常数项求出的值，然后写出的展开式通项，令的指数为，求出参数后代入通项即可求得结果.
【详解】因为，其中中不含常数项，
的展开式通项为，
所以，的展开式中的常数项为，解得，
的展开式中的系数为，
的展开式通项为，
令可得，则的展开式中的系数为，
因此，的展开式中的系数为.
故选：D.
6. 已知有项工作，每项工作分别需要安排个人完成，每人只需完成一项工作，现有男、女共名工作人员，则每项工作恰好有一男一女的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算出所有的分配方法种数以及每项工作恰好有一男一女的分配方法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】将男、女共名工作人员分为三组，分组种数为，
再将这三组工作人员分配给三项工作，不同的分配种数为；
若这每项工作恰好有一男一女，则不同的分配方法种数为种.
由古典概型的概率公式可知，所求概率为.
故选：B.
7. 若存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式可得，根据由题意知在上有唯一的实根，结合正弦函数性质即可求解的取值范围.
【详解】,
因为曲线关于直线对称，
所以，得，.
因为存在唯一的实数,使得曲线关于直线对称,所以只有唯一的值落在中,
故有.
​​​​​​​故选:C.
8. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可判断、的大小关系，利用作差法结合基本不等式可判断、的大小关系.
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
所以，，即，则，
，
因此，.
故选：D.
二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 如图所示，在正方体中，平面平面直线，则下列选项中结论正确的是（ ）

A. B.
C. 平面D. 与所成的角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由正方体的性质可得平面，再由线面垂直的性质分析判断，对于B，由已知可得∥平面，再利用线面平行的性质分析判断，对于C，由正方体的性质可得与平面不垂直，而，从而可分析判断，对于D，连接，则与所成的角即为，再由为等边三角形可求得结果.
【详解】对于A，因为平面平面直线，所以平面
因为平面，
所以，所以A正确，
对于B，因为∥，平面，平面，
所以∥平面，
因为平面平面直线，平面，
所以，所以B正确，
对于C，因与平面不垂直，，
所以与平面不垂直，所以C错误，
对于D，连接，因为，
所以与所成的角即为，
因为为等边三角形，所以，
所以与所成的角为，所以D正确，
故选：ABD

10. 已知，且有，则的可能取值为（ ）
A. 3B. C. 4D.
【答案】CD
【解析】
【分析】由题意可得，求出关于的表达式，利用基本不等式即可求解.
【详解】因为,且满足,所以,
则,
当且仅当,即时取等号,
则的最小值为16,所以的最小值为4.
故选:CD.
11. 已知双曲线的右顶点为，左、右焦点分别为、，直线、分别是的斜率大于、小于的渐近线，是上一点，且轴，则下列选项中结论正确的是（ ）
A. 若的斜率是，则，且双曲线的离心率为
B. 若，则双曲线的离心率为
C. 有可能垂直于
D. 一定是直角三角形
【答案】AD
【解析】
【分析】利用已知条件求出的值，结合双曲线的离心率公式可判断AB选项；利用反证法可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断D选项.
【详解】由题意可知，双曲线的标准方程为，其渐近线方程为，
因为双曲线的焦点在轴上，则，

对于A选项，若的斜率是，即，则，
双曲线的离心率为，A对；
对于B选项，由题意可得，则，，，
因为，则，
故为等腰三角形，且，因为轴，则为的中点，
所以，，可得，
此时，双曲线的离心率为，B错；
对于C选项，若，直线的方程为，
由点到直线的距离公式可得，
所以，，
因为轴，则，，
所以，，则，即，则，
与双曲线标准方程矛盾，假设不成立，C错；
对于D选项，易知点、，
将代入方程可得，即点，
，，
所以，
，
所以，，故一定为直角三角形，D对.
故选：AD.
12. 已知函数，若关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】首先分析函数的图象，再结合二次方程的实数根，利用数形结合求实数的取值范围.
【详解】,,
令，得，
当时，，单调递增，
当时，单调递增，
当时，函数取得最大值，如图，画出函数的图象，

，
，
如图，

当，且，无解；
如图，

，，解得：,
满足条件的有BC.
故选：BC
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，若，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，
所以，
又，所以，解得.
故答案为：
14. 已知函数，则曲线在处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而可求切线方程.
【详解】因为，所以，
即曲线在处的切线的斜率，
又因为，所以切点为，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故答案为：.
15. 已知为第一象限角，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由两角和的正切公式求出，根据同角三角函数的基本关系求出、，再由二倍角公式求出、，最后由两角和的正弦公式计算可得.
【详解】因为，解得
所以，解得或，
又为第一象限角，所以，
所以，，
所以.
故答案为：
16. 已知棱长均为的多面体由上､下全等的正四棱锥和拼接而成，其中四边形为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】如图为正方形的中心，则既是多面体的外接球的球心，也是棱切球的球心，过点作于点，求出外接球的半径与棱切球的半径，即可得解.
【详解】在多面体中，为正方形的中心，如图所示：
由题意可知既是多面体的外接球的球心，也是棱切球的球心，
过点作于点，在中，，
，所以，
所以，
所以

故答案为：
四､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 已知数列的前项和为，且．数列为等差数列，．
（1）求与的通项公式；
（2）记，求的前项和．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由与的关系可得是首项为1,公比为2的等比数列,即可得出的通项公式,由即可得出的通项公式；
（2）由(1)知,由错位相减法即可得出答案.
【小问1详解】
∵,,两式作差得: ,又，
∴是首项为1,公比为2的等比数列, 则.
设的公差为, 由, 可得,
∴.
【小问2详解】
由(1)知: ,的前n项和，
所以,
，
两式作差得:
.
所以.
18. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，尤其是在全国实现“双碳”目标的大背景下，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据：
（1）完成列联表，并判断依据的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关；
（2）以样本的频率作为总体的概率，若从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取3人，用表示抽取的是“选择新能源汽车”的人数，求的分布列及数学期望．
附：．
【答案】（1）至少有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关.
（2）分布列见详解，.
【解析】
【分析】（1）根据列联表中的数据以及公式进行计算求解.
（2）利用二项分布进行计算求解.
【小问1详解】
由题可知：
所以，
所以至少有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关.
【小问2详解】
由题可知，从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取，
抽取的是“选择新能源汽车”的人的概率为，所以，
所以的可能取值为：0，1，2，3，且
；
；
；
；
所以的分布列为：
数学期望.
19. 如图，已知四棱锥的底面是矩形，与交于点，过的平面分别与交于点，且．

（1）证明：平面；
（2）若是的中点，且，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)通过求证和，由线面垂直的判定定理即可求证;
(2)建立空间直角坐标系，求出和，求平面与平面的法向量，利用向量法即可求解.
【小问1详解】
∵,平面,平面,
∴平面.
∵平面,且平面平面,∴.
∵,∴.
∵,是的中点,∴.
∵平面,
∴平面.
小问2详解】
如图所示,过点作于,过点作于,
由(1)知平面,
∴以为坐标原点,的方向分别为轴,轴,轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系，

设,∴，
由,可得，解得,
∴,,,
设为平面法向量,
则，即，
不妨令,可得.
设为平面的法向量,
则，即，
不妨令,可得.
设二面角的平面角为，
∴,
易知二面角的平面角为锐角,
二面角的余弦值为.
20. 在中，分别为内角的对边．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形的内角和可得，代入中并用两角和的正弦把展开即可得，从而可得；
（2）由结合余弦定理可得，求出的范围并解不等式即可得的取值范围.
【小问1详解】
因为
，
即，因为，所以，
所以，又，所以.
【小问2详解】
由余弦定理得：，
因为，所以，
所以，
因为，，
所以，
即，解得，
所以的取值范围是.
21. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，点在直线上且在椭圆外，若成等差数列，求点的轨迹方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意求出、，即可求出，从而求出方程；
（2）设，，依题意可得，直线的斜率存在，设，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，依题意可得，代入韦达定理，即可得到，从而求出动点轨迹方程，再计算斜率不存在时点坐标，代入检验即可.
【小问1详解】
依题意，，所以，，
则，所以椭圆方程为.
【小问2详解】
设，，
因为成等差数列，所以，
若直线的斜率存在，设，，
由，整理得，
显然，则，，
由可得，
即，
即，
所以，整理得到，
又因为，所以，即，
所以点的轨迹方程为，
若直线的斜率不存在，由，解得或，
不妨令，，由，
即，因为或，解得，
即，也满足方程为，
综上可得点的轨迹方程为.

22. 已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）设函数，若有极大值，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可判断函数的极值，从而得解.
【小问1详解】
因为定义域为，
，
当时，所以在上单调递增，
当时令，解得，
所以当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
综上可得当时的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
定义域为，
，令，则，
当，即时，所以单调递增，，
当时，则当时，
所以存在唯一实数使得，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，此时函数无极大值，故舍去；
当时，令，解得，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
若，即，解得时，在上单调递减，函数无极大值，故舍去；
若，即，解得时，
当时，当时，
所以存在，，使得，，
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时时，单调递减，
所以在处取得极大值，符合题意，
综上可得的取值范围为.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．选择新能源汽车
选择传统汽车
合计
40岁以下
65
40岁以上（包含40岁）
60
100
合计
200
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
选择新能源汽车
选择传统汽车
合计
40岁以下
65
35
100
40岁以上（包含40岁）
40
60
100
合计
105
95
200

0
1
2
3

0.216
0.432
0.288
0.064