2023-2024学年安徽省江南十校高一上学期12月分科诊断模拟联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省江南十校高一上学期12月分科诊断模拟联考数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列关系中，正确的是( )
A. e∈RB. ⌀∈{1,2}
C. 0∉{x|x>−1}D. {x|x≤0}⊆{x|x2>0}
2.设命题p:∀x∈R，(x+1)(x−5)>0，则“命题p的否定”是( )
A. ∃x∈R，(x+1)(x−5)>0B. ∃x∈R，(x+1)(x−5)<0
C. ∀x∈R，(x+1)(x−5)≤0D. ∃x∈R，(x+1)(x−5)≤0
3.，x2−2a≤0恒成立的一个充分不必要条件是( )
A. a≤0B. a≤1C. a≥3D. a≥2
4.已知a>b，c>0，下列不等式一定成立的是( )
A. a−c>bB. ac>bcC. ca>cbD. ac>bc
5.如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD长度是l1，弧BC长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若l1l2=3，则S1S2=( )
A. 9B. 8C. 4D. 3
6.函数f(x)=x34x−4−x的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知a=(1−cs60∘)12，b=lg32，c=ab，则( )
A. a8.已知函数f(x)=lg2(4x−1+1)−x，则不等式f(3x)A. (−∞,32)B. (32,+∞)C. (−14,32)D. (−34,32)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的有( )
A. f(x)=(m2−m−1)xm是幂函数，且在(0,+∞)单调递减，则m=−1
B. f(x)=lg2(x2−2x)的单调递增区间是(1,+∞)
C. f(x)=1ax2+ax+1的定义域为R，则a∈[0,4]
D. f(x)=x+2 4−x的值域是(−∞,5]
10.下列选项中，结果为正数的有( )
A. sin1+cs1B. sin2+cs2C. sin3+cs3D. sin4+cs4
11.已知正数a，b满足ab=a+b+2，则( )
A. a+b的最小值为2+2 3B. ab的最小值为1+ 3
C. 1a+1b的最小值为 3−1D. a+3b的最小值为10
12.高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家。他被计认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉。高斯函数y=[x]，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.5]=3，[−2.7]=−3，则( )
A. f(x)=x−[x]的值域是[0,1)B. 方程[xy]=[x][y]+2023有无数组解
C. f(x)=x[x]是单调函数D. 方程x2−[x]−2=0有3个根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y=f(x+2)的定义域是[2,3]，则y=f(2x−1)的定义域是 ．
14.已知f(x+1)=2x，则f(lg22024)= ．
15.若x2≥kx+b+1(k>0)对x∈R恒成立，则bk的最大值为 ．
16.f(x)=2x+1,x⩽0|lnx|,x>0，若f2(x)−af(x)+2=0有六个根，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知tanα=−12，且α为第二象限角
(1)求sinα，csα;
(2)求sin(3π−α)sin(π2−α)−cs(π+α)．
18.(本小题12分)
已知集合A={x|−2≤x≤4}，集合B={x|2a−1≤x≤3a+2}
(1)若a=2，求A∪B和A∩∁RB;
(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=3x+n3x+m(m,n∈R)是R上的奇函数
(1)求m，n的值;
(2)判断并证明f(x)在R上的单调性．
20.(本小题12分)
某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W(单位：千克)与施用肥料x(单位：千克)满足如下关系：╔╔ W(x)= \ begin{cases}4(x^{2}+3),0 \ leqslant x \leqslant 2\\\dfrac{70x}{2x+1},2
(1)写出单株利润f(x)(元)关于施用肥料x(千克)的关系式：
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少?
21.(本小题12分)
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2，
(1)求f(0)，并证明F(x)=f(x)+2为奇函数;
(2)若f(x)是R上的单调递增函数，且f(1)=2，解不等式：f(x2+x)+f(1−2x)>8．
22.(本小题12分)
若f(x)=x2−2ax+1(a>0)在[m,n]上的值域是[m,n]的子集，则称函数f(x)在[m,n]上是封闭的．
(1)若f(x)在[0,2]上是封闭的，求实数a的取值范围;
(2)若f(x)在[0,t]上是封闭的，求实数t的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查元素与集合，集合间的关系的判断，属于基础题．
利用元素与集合，集合与集合之间的关系一一判断即可．
【解答】
解：对于A中，e∈R，所以A正确；
对于B， ⌀是集合，不能属于{1,2}，故B错误;
对于C，0∈{x|x>−1}，故C错误；
对于D中，由{x|x2>0}={x|x≠0}，可得{x|x≤0}⊄{x|x2>0}，所以D错误．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定为存在量词命题，更改量词、否定结论即可求解．
【解答】
解：命题p:∀x∈R，(x+1)(x−5)>0的否定是∃x∈R，(x+1)(x−5)≤0.
故选D．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的真假判定和充分条件、必要条件与充要条件，属中档题．
先要找出命题为真命题的充要条件为a⩾2，从集合的角度充分不必要条件应为a|a⩾2的真子集，观察选择项即可解答．
【解答】
解：∵“∀x∈[−1,2]，x2−2a≤0”恒成立，
∴可化为∀x∈[−1,2]，a⩾x22恒成立，
因为y=x22在−1,0上单调递减，在0,2上单调递增，
所以0⩽x22⩽2．
∴a⩾2．
∴“∀x∈[−1,2]，x2−2a≤0”恒成立的充要条件为a⩾2.
∴“∀x∈[−1,2]，x2−2a≤0”恒成立的一个充分不必要条件即为 a|a⩾2的真子集，
故选C．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质的应用，属于基础题．
采用特值法和不等式的性质逐一进行判断，即可得出结论．
【解答】解：对于A，令a=2，b=1，c=1则a−c=b，故错误；
对于B，令a=1，b=−2，c=2，则ac对于C，令0对于D，由不等式的性质可知，正确；
故选D．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查弧长公式，扇形面积公式，属于基础题．
通过弧长比可以得到OA与OB的比，接着再利用扇形面积公式即可求解．
【解答】解：设∠AOD=θ，则l1=θ⋅OA，l2=θ⋅OB，所以l1l2=OAOB=3，
即OA=3OB，
所以S1S2=12OA⋅l1−12OB⋅l212OB⋅l2=92OB⋅l2−12OB⋅l212OB⋅l2=8．
故选B．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的图像与性质，涉及函数奇偶性判断以及特殊值法的运用，运用排除法进行解题，属于基础题．
根据函数特点，判断奇偶性，再通过函数在x>0时的函数值以及特殊值，进行判断，得到答案．
【解答】解：∵函数定义域为{x∈R|x≠0}，
又f(−x)=(−x)34−x−4x=x34x−4−x=f(x)，
∴f(x)为偶函数，故排除C D，
当x>0时，fx=x34x−4−x>0，排除B，
故选A．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】
解：a=(12)12= 22，3a=3 22>2，3b=3lg32=lg38<2，
∴0a1=a．
故选B
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查对数函数的图象与性质，考查换元法的应用，注意对数函数的定义域．
由f(3x)0，求出不等式的解集．
【解答】
解：f(3x)⇒lg2(43x−1+1)⇒43x−1+1<(4x+2+1)·22x−3
令4x=t>0，则t34+1<(16t+1)·t8
⇒(t−8)(2t2−1)<0
⇒ 22⇒−14即不等式f(3x)9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域、值域，考查幂函数、对数函数的单调性，属于中档题．
根据幂函数、对数函数的单调性及函数的定义域、值域逐项计算判断即可．
【解答】
解：A.f(x)是幂函数，则m2−m−1=1，得m=2或m=−1，
又f(x)在(0+∞)单减，∴m=−1，故A正确；
B.x2−2x>0且x≥1，所以单增区间是(2+∞)，故B错误；
C.定义域为R，则a=0或Δ<0⇒0≤a<4，故C错误；
D.令t= 4−x≥0，∴y=−t2+2t+4=−(t−1)2+5≤5，故D正确．
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查三角函数值的符号特征，属于基础题．
根据角的范围结合三角函数值的符号特征对选项逐个判断即可．
【解答】
解：A.∵0<1<π2∴sin1+cs1>0，正确；
又π2<2<3π4<3<π∴sin2+cs2>0，sin3+cs3<0，故B正确，C错误；
D.π<4<3π2，∴sin4+cs4<0，故D错误．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查基本不等式，属于中档题．
根据基本不等式的性质一一判断即可．
【解答】解：因为正数a，b满足ab=a+b+2，
所以ab=a+b+2≤(a+b2)2⇒(a+b)2−4(a+b)−8≥0
⇒a+b≥2+2 3，或a+b≤2−2 3当a=b=1+ 3时取等，故A正确，
ab=a+b+2≥2 ab+2⇒ ab≥1+ 3， ab≤1− 3，当a=b时取等，故B错误;
1a+1b=a+bab=ab−2ab=1−2ab≥1−2(1+ 3)2= 3−1，当a=b=1+ 3时取等，故C正确：
ab=a+b+2⇒(a−1)(b−1)=3⇒(a−1)(3b−3)=9≤(a+3b−42)2，a+3b≥10，当a=4，b=2时取等号，故D正确．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查新定义问题，考查函数单调性以及方程问题，属于较难题．
理解新定义是本题关键，结合选项逐项分析即可．
【解答】
解：因为[x]表示不超过x的最大整数，所以0⩽x−[x]<1，A正确;
当x=2023+α，y=2023+β，0<α<1,0<β<1，且α+β=1时，
[xy]=20232+2023，[x][y]+2023=20232+2023，
方程[xy]=[x][y]+2023有无数组解，故B正确；
当x∈(0,1)时，此时f(x)=0故C错误;
由x2−[x]−2=0，得x2−2=[x]≤x
⇒x2−x−2≤0⇒−1≤x≤2，
∴[x]可取−1，0，1，2，分别代入得x=−1， 3，2，故D正确．
13.【答案】[52,3]
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的定义域，是基础题.根据抽象函数定义域的求法求解即可．
【解答】
解：由题意可得当2≤x≤3时，4≤x+2≤5，
所以f(x)的定义域为[4,5]，
令4≤2x−1≤5，解得52≤x≤3，
所以f(2x−1)的定义域为[52,3]．
14.【答案】1012
【解析】【分析】
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
令x+1=lg22024，得出x，代入求解即可．
【解答】
解：令x+1=lg22024，
则x=lg22024−1=lg21012，
所以f(lg22024)=2lg21012=1012．
15.【答案】−1
【解析】【分析】
本题考查了不等式恒成立问题和由基本不等式求最值，是中档题．
令f(x)=x2−kx−b−1(k>0)，易得：f(x)min=f(k2)=−k24−b−1≥0，即得b≤−k24−1，由基本不等式可得bk的最大值．
【解答】
解：令f(x)=x2−kx−b−1(k>0)，
由x2≥kx+b+1(k>0)对x∈R恒成立，
知：f(x)min=f(k2)=−k24−b−1≥0，即得b≤−k24−1，
故bk≤−k24+1k=−(k4+1k)，
又k>0，故k4+1k≥2 14=1(当且仅当k=2时取等)，
所以bk的最大值为−1．
16.【答案】(2 2,3)
【解析】【分析】
本题考查分段函数，考查函数零点与方程根的关系，考查函数图象的应用及数形结合思想，考查分析与计算能力，属于难题．
作出函数f(x)=2x+1,x⩽0|lnx|,x>0的图象，令f(x)=t，结合图象可得，要使关于x的方程f2(x)−af(x)+2=0恰好有六个不同的实数解，则方程t2−at+2=0在(1,2]内有两不同实数根，再由一元二次方程的根分别列不等式组求解．
【解答】
解：作出函数f(x)=2x+1,x⩽0|lnx|,x>0的图象如图，
令f(x)=t，则方程f2x−afx+2=0化为t2−at+2=0，
要使关于x的方程f2x−afx+2=0恰好有六个不同的实数解，
则方程t2−at+2=0在(1,2]内有两不同实数根，
∴Δ=a2−8>01022−2a+2≥0,
解得2 2故答案为(2 2,3)．
17.【答案】解：(1)由tanα=sinαcsα=−12得sinα=−12csα，
代入sin2α+cs2α=1得cs2α=45，
又α为第二象限角，
∴csα=−2 5=−2 55， sinα= 55；
(2)由sin (3π−α)sin (π2−α)−cs (π+α)=sinαcsα+csα=sinα2csα，
再由(1)可知，原式=−14．
【解析】本题考查同角三角函数的关系式的应用，关键是化归思想的应用，注意三角函数的符号，属于基础题．
(1)由已知及同角三角函数关系式，即可求sinα以及csα的值；
(2)由诱导公式化简后代入已知，即可求值．
18.【答案】解：(1)当a=2时，B={x|3≤x≤8}，
所以A∪B={x|−2≤x≤8}，∁RB={x|x<3或x>8}，
所以A∩∁RB={x|−2≤x<3}；
(2)当B=⌀时，即2a−1>3a+2，即a<−3，满足A∩B=⌀；
当B≠⌀时，即a≥−3，
由A∩B=⌀得2a−1>4a≥−3或3a+2<−2a≥−3，
解得a>52或−3≤a<−43;
综上，a∈(−∞,−43)∪(52,+∞).
【解析】本题主要考查集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想，属于基础题．
(1)由a=2时求出集合B，再根据交集、并集和补集的定义计算即可;
(2)根据A∩B=⌀，讨论B=⌀时和B≠⌀时，求出对应实数a的取值范围．
19.【答案】解：(1)由f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0，得n=−1，
又f(−x)=3−x−13−x+m=1−3x1+m3x=−f(x)=1−3x3x+m恒成立，
所以m=1，即m=1，n=−1，
检验，当m=1，n=−1时，函数f(x)=3x−13x+1是R上的奇函数，
所以m=1，n=−1；
(2)f(x)是R上的递增函数；
证明如下：由(1)知，f(x)=3x−13x+1=1−23x+1，在R上任取x1，x2，
不妨令x1>x2，则f(x1)−f(x2)=(1−23x1+1)−(1−23x2+1)
=2(13x2+1−13x1+1)=23x1−3x2(3x2+1)3x1+1，因为x1>x2，所以
3x1−3x2>0，所以f(x1)−f(x2)>0，
所以f(x)是R上单调递增函数。
【解析】本题主要考查函数奇偶性，单调性和判断和应用，属于基础题．
(1)根据函数是奇函数，利用f(0)=0，解方程即可求实数n的值，然后利用f(−x)=3−x−13−x+m=1−3x1+m3x=−f(x)=1−3x3x+m恒成立，求出m;
(2)根据函数单调性的定义即可证明函数f(x)的单调性；
20.【答案】解：(1)f(x)=21w(x)−10x−20x=84x2+3−30x,0≤x≤21470x2x+1−30x,2(2)由(1)得
当0≤x≤2时，f(x)=84(x−528)2+698128，
此时，f(x)的最大值为f(2)=528；
当2当7352x+1=15(2x+1)即x=3时有最大值540元
因为528<540，所以当施肥量为4千克时，利润最大，最大利润是540元

【解析】本题考查了分段函数模型的应用和基本不等式在实际中的应用，属于中档题．
(1)用销售额减去成本投入得出利润f(x)的解析式；
(2)分段判断f(x)的单调性，利用基本不等式求出f(x)在221.【答案】解：(1)令x=y=0，得f(0)=−2，
令y=−x，得f(0)=f(x)+f(−x)+2，所以f(x)+f(−x)+4=0，
即F(x)+F(−x)=0，所以F(x)=f(x)+2是奇函数；
(2)因为f(x2+x)+f(1−2x)=f(x2−x+1)−2，
所以原不等式等价于f(x2−x+1)>10，
又f(1)=2，所以f(2)=6，f(3)=10，
即f(x2−x+1)>f(3)，
又f(x)是R上的递增函数，
所以x2−x+1>3，
原不等式的解集为(−∞,−1)∪(2,+∞).
【解析】本题考查了判断函数的奇偶性和函数单调性、奇偶性的综合应用，是基础题．
(1)令x=y=0，得f(0)=−2，令y=−x，得f(x)+f(−x)+4=0，即F(x)+f(−x)=0，即可得证；
(2)原不等式等价于f(x2−x+1)>f(3)，解出即可．
22.【答案】解：(1)函数f(x)开口向上，对称轴是x=a，
当0则有f(0)=1⩽2f(2)=5−4a⩽2f(a)=−a2+1⩾0，得34≤a≤1，
当a>2时，有f(0)=1⩽2f(a)=−a2+1⩾0⇒a2≤1(舍去)，
综上，a的取值范围是[34,1]．
(2)当0⇒t+1t−1≤2a⩽2，解得3− 52≤t≤3+ 52，所以1⩽t⩽3+ 52，
当a>t时，f(0)≤tf(t)≥0⇒t≥1t2−2at+1≥0，
所以2t<2a≤t+1t
即t<1t⇒t<1(舍去)
综上，1≤t≤3+ 52．
综上，t的最大值是3+ 52
【解析】本题考查了函数的新定义问题，涉及利用值域求参，是中档题
(1)分02可得f(0)=1⩽2f(a)=−a2+1⩾0可得答案
(2)当0t时，f(0)≤tf(t)≥0故可求得答案