人教版 (2019)选择性必修 第二册第一章 安培力与洛伦兹力3 带电粒子在匀强磁场中的运动精品课时作业

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1.质子和一价钠离子分别垂直进入同一匀强磁场中做匀速圆周运动,如果它们的圆周运动半径恰好相等,这说明它们在进入磁场时( )
A.速率相等
B.动量大小相等
C.动能相等
D.质量相等
【答案】B
【详解】由r=mvqB可知,由于质子和一价钠离子电荷量相等,则只要mv相等,即动量大小相等,其半径就相等。
2．[多选]如图所示，两个匀强磁场的方向相同，磁感应强度分别为B1、B2，虚线MN为理想边界。现有一个质量为m、电荷量为e的电子以垂直于边界MN的速度v由P点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为B1的匀强磁场中，其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线，以下说法正确的是( )
A．电子的运动轨迹为P→D→M→C→N→E→P
B．电子运动一周回到P点所用的时间T＝eq \f(2πm,B1e)
C．B1＝4B2
D．B1＝2B2
【答案】AD
【详解】由左手定则可知，电子在P点所受的洛伦兹力的方向向上，轨迹为P→D→M→C→N→E→P，选项A正确；由题图得两磁场中轨迹圆的半径比为1∶2，由半径r＝eq \f(mv,qB)可得eq \f(B1,B2)＝2，选项C错误，选项D正确；电子运动一周的时间t＝T1＋eq \f(T2,2)＝eq \f(2πm,B1e)＋eq \f(πm,B2e)＝eq \f(4πm,eB1)，选项B错误。
3.如图所示，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于纸面的匀强磁场(未画出)。一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O。已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力。铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C.eq \r(2)∶2 D．eq \r(2)∶1
【答案】C
【详解】设带电粒子在P点时初速度为v1，从Q点穿过铝板后速度为v2，则Ek1＝eq \f(1,2)mv12，Ek2＝eq \f(1,2)mv22；由题意可知Ek1＝2Ek2，即eq \f(1,2)mv12＝mv22，则eq \f(v1,v2)＝eq \f(\r(2),1)。由洛伦兹力提供向心力，即qvB＝eq \f(mv2,r)，得B＝eq \f(mv,qr)，由题意可知eq \f(r1,r2)＝eq \f(2,1)，所以eq \f(B1,B2)＝eq \f(v1r2,v2r1)＝eq \f(\r(2),2)，选项C正确。
二、带电粒子在有界磁场中做圆周运动
4.如图所示的虚线框为一长方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以不同的速率从O点垂直于磁场方向、沿图中方向射入磁场后，分别从a、b、c三点射出磁场，比较它们在磁场中的运动时间ta、tb、tc，其大小关系是( )
A．taC．ta＝tb>tc D．ta【答案】C
【详解】 电子在磁场中做圆周运动的周期T＝eq \f(2πm,eB)，则电子在磁场中运动的时间为t＝eq \f(θ,2π)×T，与速度无关，故在磁场中运动的时间取决于圆心角的大小。由几何关系可知，θa＝θb>θc，故C正确。
5.(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场。如图所示，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电，现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
A．使粒子的速度vB．使粒子的速度v>eq \f(5Bql,4m)
C．使粒子的速度v>eq \f(Bql,m)
D．使粒子的速度eq \f(Bql,4m)【答案】C
【详解】 若带电粒子刚好打在极板右边缘，如图所示，有r12＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r1－\f(l,2)))2＋l2，又因r1＝eq \f(mv1,Bq)，解得v1＝eq \f(5Bql,4m)；若粒子刚好打在极板左边缘，有r2＝eq \f(l,4)＝eq \f(mv2,Bq)，解得v2＝eq \f(Bql,4m)，故A、B正确。
6.如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场。一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过时间t从C点射出磁场，OC与OB成60°角。现将带电粒子的速度变为eq \f(v,3)，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间是多少？
【答案】2t
【详解】 根据作图法找出速度为v时的粒子轨迹圆圆心O′，由几何关系可得磁场中的轨迹弧所对圆心角∠AO′C＝θ＝60°，设圆形磁场的半径为r，粒子的轨迹半径为R1，因此有qvB＝meq \f(v2,R1)，taneq \f(θ,2)＝eq \f(r,R1)，轨迹圆半径R1＝eq \r(3)r；当粒子速度变为eq \f(v,3)时，粒子的轨迹半径为R2，因此有qeq \f(v,3)B＝meq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,3)))2,R2)，taneq \f(θ1,2)＝eq \f(r,R2)，因为eq \f(mv2,R1)＝eq \f(mv2,3R2)即R1＝3R2，所以其轨迹圆半径R2＝eq \f(\r(3),3)r，磁场中的轨迹弧所对圆心角θ1＝120°。
由周期T＝eq \f(2πm,qB)知两种情况下周期相等，当速度为v时，由eq \f(θ,2π)＝eq \f(t,T)得T＝6t，所以当速度为eq \f(v,3)时，粒子运动时间t2＝eq \f(θ1,2π)T＝eq \f(1,3)×6t＝2t。
7.月球探测器在研究月球磁场时发现，月球上的磁场极其微弱。探测器通过测量运动电子在月球磁场中的轨迹来推算磁场强弱分布。下图是在月球上A、B、C、D四个位置所探测到的电子运动轨迹的照片。设在各位置电子速率相同，且电子进入磁场时速度方向均与磁场方向垂直，则由照片可判断这四个位置中磁场最强的是( )
【答案】C
【详解】电子在月球磁场中做匀速圆周运动的半径r＝eq \f(mv,qB)，因m、q、v相同，则半径r与磁感应强度B成反比，由题图看出，A中电子运动半径最小，则该位置磁感应强度B最大，即磁场最强，故A正确。
8.平面OM和平面ON之间的夹角为30°,其横截面(纸面)如图所示,平面OM上方存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m,电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场,速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点,并从OM上另一点射出磁场。不计粒子重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为( )
A.mv2qBB.3mvqB
C.2mvqBD.4mvqB
【答案】C
【详解】粒子运动的轨迹如图所示。
运动半径为R=mvqB。由运动的对称性知,出射速度的方向与OM间的夹角为30°,由图中几何关系知lAB=R,lAC=2Rcs30°=3mvqB。所以出射点到O点的距离为lBO=lACtan30°+R=4mvqB,故选项D正确。
9.如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角。现将带电粒子的速度变为eq \f(v,3)，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( )
A.eq \f(1,2)Δt B．2Δt
C.eq \f(1,3)Δt D．3Δt
【答案】B
【详解】粒子沿半径方向进入圆形磁场区域时，一定沿半径方向射出，如图。粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，由qvB＝meq \f(v2,R)得R＝eq \f(mv,Bq)，T＝eq \f(2πm,Bq)。由数学知识得：粒子以速度v进入磁场时，圆周运动的半径R＝eq \r(3)r，转过的圆心角θ＝60°；粒子以速度eq \f(v,3)进入磁场时，圆周运动的半径R′＝eq \f(\r(3),3)r，转过的圆心角θ′＝120°，周期T与速度无关，所以t′＝eq \f(θ′,θ)Δt＝2Δt，B正确。
10.(多选)如图所示，宽d＝4 cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向里，现有一群带正电的粒子从O点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为r＝10 cm，则 ( )
A．右边界：－8 cm＜y＜8 cm有粒子射出
B．右边界：y＜8 cm有粒子射出
C．左边界：y＞8 cm有粒子射出
D．左边界：0＜y＜16 cm有粒子射出
【答案】AD
【详解】当粒子斜向上进入磁场运动轨迹与右边界相切和粒子沿y轴负方向射入磁场时，粒子从右边界射出的范围最大，画出粒子的运动轨迹(如图所示)并根据几何关系可求出，在右边界－8 cm＜y＜8 cm范围内有粒子射出，选项A正确，选项B错误；当粒子斜向上进入磁场，运动轨迹与右边界相切时，可求出粒子从左边界y＝16 cm处射出，当粒子的速度方向与y轴正方向的夹角减小时，粒子从左边界射出的出射点向下移动，直到夹角为零时，粒子直接从O点射出，所以选项C错误，选项D正确。
11.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从矩形区域ad边的中点O处垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角θ＝30°、大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计。
(1)求粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围。
(2)问粒子在磁场中运动的最长时间是多少？在这种情况下，粒子v0大小范围。
【答案】 (1)eq \f(qBL,3m)【详解】(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝meq \f(v02,r)，即r＝eq \f(mv0,qB)。
若粒子轨迹恰好与ab边相切，其轨迹如图中Ⅰ所示，设圆心为O1，相应速度为v01，轨道半径为r1，
由几何知识得r1＋r1sin θ＝eq \f(L,2)，
解得r1＝eq \f(L,3)，v01＝eq \f(qBL,3m)。
若粒子轨迹恰好与cd边相切，轨迹如图中Ⅱ所示，设圆心为O2，相应速度为v02，轨道半径为r2，
由几何知识得r2－r2sin θ＝eq \f(L,2)，
解得r2＝L，v02＝eq \f(qBL,m)。
所以粒子能从ab边上射出磁场的速度v0应满足eq \f(qBL,3m)(2)粒子在磁场中运动的半径r≤r1时，运动时间最长，此时，粒子从ad边射出，射出时速度与ad边夹角为θ，圆弧所对圆心角α为(2π－2θ)，
粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝eq \f(2πm,qB)，
则运动时间t＝eq \f(α,2π)T＝eq \f(2π－θ,2π)·eq \f(2πm,qB)＝eq \f(5πm,3qB)，
粒子速度v0≤v01＝eq \f(qBL,3m)。
12.如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60 T。磁场内有一块足够大的平面感光板ab，板面与磁场方向平行。在距ab为l＝16 cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速率都是v＝3.0×106 m/s。已知α粒子的电荷量与质量之比eq \f(q,m)＝5.0×107 C/kg。现只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab板上被α粒子打中区域的长度。
【答案】20m
【详解】α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动。用R表示轨迹半径，有qvB＝meq \f(v2,R)，由此得R＝eq \f(mv,qB)，代入数值得R＝10 cm，可见2R>l>R。
因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点。为确定P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作圆弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1，即NP1＝eq \r(R2－l－R2)。
再考虑N的右侧，任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆弧，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点。
由图中几何关系得NP2＝eq \r(2R2－l2)，
所求长度为P1P2＝NP1＋NP2，
代入数值得P1P2＝20 cm。
答案：20 cm
13.（2021·全国·高考真题）一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示。图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒，不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示，由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的圆弧所对的圆心角为30°，因此粒子在磁场中运动的时间为
粒子在磁场中运动的时间与筒转过90°所用的时间相等，即。解得
故选A。
14.（2021·北京·高考真题）如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP = a。不计重力。根据上述信息可以得出（ ）
A．带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B．带电粒子在磁场中运动的速率
C．带电粒子在磁场中运动的时间
D．该匀强磁场的磁感应强度
【答案】A
【详解】粒子恰好垂直于y轴射出磁场，做两速度的垂线交点为圆心，轨迹如图所示
A．由几何关系可知，
因圆心的坐标为，则带电粒子在磁场中运动的轨迹方程为
故A正确；BD．洛伦兹力提供向心力，有，解得带电粒子在磁场中运动的速率为，因轨迹圆的半径可求出，但磁感应强度未知，则无法求出带电粒子在磁场中运动的速率，故BD错误；C．带电粒子圆周的圆心角为，而周期为
则带电粒子在磁场中运动的时间为，因磁感应强度未知，则运动时间无法求得，故C错误；故选A。
15.（2021·海南·高考真题）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（ ）
A．粒子一定带正电
B．当时，粒子也垂直x轴离开磁场
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为
【答案】ACD
【详解】A．根据题意可知粒子垂直轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确；
BC．当时，粒子垂直轴离开磁场，运动轨迹如图
粒子运动的半径为，洛伦兹力提供向心力，解得粒子入射速率，若，粒子运动轨迹如图
根据几何关系可知粒子离开磁场时与轴不垂直，B错误，C正确；
D．粒子离开磁场距离点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图
根据几何关系可知
解得
D正确。
故选ACD。
16.(2019•天津卷•T4)笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁体远离霍尔元件，电脑正常工作：当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态。如图所示，一块宽为a、长为c的矩形半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子，通入方向向右的电流时，电子的定向移动速度为v。当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，于是元件的前、后表面间出现电压U，以此控制屏幕的熄灭。则元件的( )
A. 前表面的电势比后表面的低
B. 前、后表面间的电压U与v无关
C. 前、后表面间的电压U与c成正比
D. 自由电子受到的洛伦兹力大小为
【答案】D
【详解】由图知电流从左向右流动，因此电子的运动方向为从右向左，根据左手定则可知电子偏转到后面表，因此前表面的电势比后表面的高，故A错误，电子在运动过程中洛伦兹力和电场力平衡，有，故，故D正确，由则电压，故前后表面的电压与速度有关，与a成正比，故BC错误。
17.(2019•全国Ⅱ卷•T4)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【详解】a点射出粒子半径Ra= =，得：va= =，
d点射出粒子半径为 ，R=
故vd= =，故B选项符合题意
18.(2019•全国Ⅲ卷•T5)如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】运动轨迹如图:
即运动由两部分组成,第一部分是个周期,第二部分是个周期,故总时间为B选项的结果.
19.(2019•全国Ⅰ卷•T11)如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x辅的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求
(1)带电粒子的比荷；
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
【答案】(1) (2)或
【详解】(1)粒子从静止被加速的过程，根据动能定理得：，解得：
根据题意，下图为粒子的运动轨迹，由几何关系可知，该粒子在磁场中运动的轨迹半径为：
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即：
联立方程得：
(2)根据题意，粒子在磁场中运动的轨迹为四分之一圆周，长度
粒子射出磁场后到运动至轴，运动的轨迹长度
粒子从射入磁场到运动至轴过程中，一直匀速率运动，则
解得：
或
65.(2019•江苏卷•T23)如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B.磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹(碰撞时间极短)，反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反.质量为m、电荷量为－q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d(1)求粒子运动速度的大小v；
(2)欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离dm；
(3)从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场，PM=d，QN=，求粒子从P到Q的运动时间t.
【答案】(1)；(2)；(3)A.当时， ，B.当时，
【详解】(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力有：
，解得：
由题可得：
解得；
(2)如图所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切
由几何关系得dm=d(1+sin60°)
解得
(3)粒子的运动周期
设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t'，则
A.当时，粒子斜向上射出磁场
解得
B.当时，粒子斜向下射出磁场
解得。
21.（2021·福建·高考真题）如图所示，水平虚线X下方区域分布着方向水平、垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，整个空间存在匀强电场（图中未画出）。质量为m，电荷量为+q的小球P静止于虚线X上方A点，在某一瞬间受到方向竖直向下、大小为I的冲量作用而做匀速直线运动。在A点右下方的磁场中有定点O，长为l的绝缘轻绳一端固定于O点，另一端连接不带电的质量同为m的小球Q，自然下垂．保持轻绳伸直，向右拉起Q，直到绳与竖直方向有一小于的夹角，在P开始运动的同时自由释放Q，Q到达O点正下方W点是速率为v0。P、Q两小球在W点发生正碰，碰到电场，磁场消失，两小球黏在一起运动。P、Q两小球均视为质点，P小球的电荷量保持不变，绳不可伸长不计空气阻力，重力加速度为g。
（1）求匀强电场场强E的大小和P进入磁场时的速率v；（2）若绳能承受的最大拉力为F，要使绳不断，F至少为多大？
（3）求A点距虚线X的距离s。
【答案】， ；（2）；（3）见详解
【【详解】
（1）设小球P所受电场力为F1，则
以整个空间重力和电场力平衡，有
联立相关方程得
设小球P受到冲量获得速度为v，由动量定理得
得
（2）设P、Q同向时候碰后在W点的最大速度为vm，由动量守恒定律得
此刻轻绳的张力也为最大，由牛顿运动定律得
解得
（3）设P在X上方做匀速直线运动的时间为h，则
设P在X下方做匀速圆周运动的时间为t，则
设小球Q从开始运动到与P球相向碰撞的运动时间为t，由单摆周期性有
由题意，有
联立相关方程，得
n为大于()的整数
设小球Q从开始运动到与P球同向相碰的运动时间为，由单摆周期性，有
同理可得
其中n为大于的整数。