2023-2024学年河南省周口市沈丘县中英文学校等校九年级（上）期中数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年河南省周口市沈丘县中英文学校等校九年级（上）期中数学试卷(含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列为最简二次根式的是( )
A. 26B. 32C. 0.5D. 12
2.下列图形一定相似的是( )
A. 两个平行四边形B. 两个矩形C. 两个正方形D. 两个等腰三角形
3.已知m是一元二次方程x2−x−3=0的解，则代数式−2m2+2m的值为( )
A. 3B. 6C. −3D. −6
4.已知ba=513，则a−ba+b的值是( )
A. 23B. 32C. 94D. 49
5.如图，已知DE/​/BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=4：9，则AE：EC为( )
A. 2：1
B. 2：3
C. 4：9
D. 5：4
6.对于任意的正数m，n，定义运算※：m※n= m− n(m≥n) m+ n(mA. 2−4 6B. 2C. 2 5D. 20
7.如图，△ABC中，csB= 22，sinC=35，AC=5，则△ABC的面积是( )
A. 212
B. 12
C. 14
D. 21
8.三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2−6x+8=0的解，则这个三角形的周长是( )
A. 11B. 13C. 11或13D. 不能确定
9.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )
A. 4cm
B. 6cm
C. 8cm
D. 10cm
10.如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD上的点，连接CE、CF、EF，AC与EF相交于点G，若BE=AF=1，∠BAD=120°，则FG的长为( )
A. 134B. 32C. 1D. 34
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.使代数式42x−13−x有意义的x的取值范围是______ ．
12.观察中国象棋的棋盘，其中黑方“炮”的位置可以用平面坐标(3,9)来表示，红方“马”的位置可以用平面坐标(3,5)来表示，红“马”走完几步后到达点B，则表示点B位置的平面坐标是______ ．
13.关于x的一元二次方程x2−5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为______．
14.若三角形的周长为36cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是______ cm．
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是边AC的中点，CE⊥BD于点E.若F是边AB上的点，且使△AEF是以EF为腰的等腰三角形，则AF的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A，B，D，使AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C，测得AC=120m，CB=60m，BD=50m，请你帮助他们算出峡谷的宽AO．
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)2 3+ 3× 6−2 15÷ 5；
(2) 22sin45°+ 3sin60°−2cs45°．
18.(本小题10分)
解方程：
(1)x2−8x+1=0；
(2)5x2−2x−14=x2−2x+34．
19.(本小题9分)
如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
(3)以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cs∠DAC．
(1)求证：AC=BD；
(2)若sin∠C=1213，BC=12，求AD的长．
21.(本小题10分)
小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
22.(本小题10分)
某学习小组在探究三角形相似时，发现了如图所示这种典型的基本图形．

(1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，ABAC=k，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为D、E.求证：BDAE=k．
(2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将(1)中的条件做以下修改：在△ABC中，ABAC=k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角.请问(1)中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
23.(本小题11分)
如图，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连接CE并将其绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接DF，以CE，CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD，AC分别交于点H，M，GF交CD的延长线于点N．
(1)证明：点A，D，F在同一条直线上；
(2)当AE为何值时，AH的长为14；
(3)连接EF，MN，当MN/​/EF时，求AE的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A． 26是最简二次根式，故本选项符合题意；
B. 32被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C. 0.5被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D. 12=2 3，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
2.【答案】C
【解析】解：A.两个平行四边形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不合题意；
B.两个矩形对应角都是直角，相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本选项不合题意；
C.两个正方形对应角都是直角，相等，对应边成比例，所以一定相似，故本选项符合题意；
D.两个等腰三角形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本选项不合题意，
故选：C．
根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断，即可求解．
本题考查了相似图形的定义，是基础题，解题的关键在于要注意从对应角和对应边两个方面考虑．
3.【答案】D
【解析】解：∵m是关于x方程x2−x−3=0的一根，
∴m2−m−3=0，
∴m2−m=3，
∴−2m2+2m=−2(m2−m)=−6．
故选：D．
把x=m代入已知方程可以求得m2−m=3，然后将其整体代入所求的代数式并求值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．
由ba=513，设a=13k，则b=5k，再把a，b的值代入即可求出答案．
【解答】
解：由ba=513，
设a=13k，则b=5k，
∴a−ba+b=13k−5k13k+5k=49；
故选：D．
5.【答案】A
【解析】解：∵DE/​/BC，
∴△DOE∽△COB，
∴S△DOE：S△COB=(DEBC)2=4：9，
∴DEBC=23，
∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=DEBC=23，
∴AE：EC=2：1，
故选：A．
由DE/​/BC，得到△DOE∽△COB，根据相似三角形的性质得到S△DOE：S△COB=(DEBC)2=4：9，求得DEBC=23，通过△ADE∽△ABC，得到AEAC=DEBC=23，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，证得DEBC=23是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵m※n= m− n(m≥n) m+ n(m∴3※2= 3− 2，8※12= 8+ 12=2 2+2 3，
∴(3※2)×(8※12)=( 3− 2)×(2 2+2 3)=2，
故选：B．
先利用定义的新运算将(3※2)×(8※12)化简，再进行计算即可．
本题考查实数中的新定义运算，解题的关键是利用题干的新定义运算将所求式子转化为实数计算．
7.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了锐角三角函数的定义，三角形面积的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键.
根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，CD，BD的长，即可得出三角形的面积．
【解答】
解：过点A作AD⊥BC，

△ABC中，csB= 22，sinC=35，AC=5，
∵sinC=35=ADAC=AD5，
∴AD=3，
∴CD= 52−32=4，
又∵csB= 22=BDAB，
∴∠B=45°，△ABD是等腰直角三角形，
∴BD=AD=3，
则△ABC的面积是：12AD●BC=12×3×(3+4)=212．
故选A．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，先求出方程的根，再根据三角形三边的关系确定第三边的长，然后求出三角形的周长．
先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长．
【解答】
解：(x−2)(x−4)=0
x−2=0或x−4=0
∴x1=2，x2=4．
因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长必须大于3，即第三边长为4，
故周长=3+6+4=13．
故选：B．
9.【答案】C
【解析】解：根据已知条件得下半身长是165×0.60=99cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：99+y165+y=0.618，
解得：y≈8cm．
故选：C．
先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．
本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．
10.【答案】A
【解析】解：如图所示，过点E作EM/​/BC交AC于点M，作EN⊥BC交BC于点N，
∵菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，
∴AB=BC=4，∠BAC=∠FAC=12∠BAD=60°，AD//BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，BC=AC，
∵EM//BC，
∴EM/​/AD，∠AEM=∠B=60°=∠BAC，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM=AE=EM=AB−BE=4−1=3，
∵EM/​/AD，
∴△AGF∽△MGE，
∴FGEG=AFEM=13，
∴FG=14EF，
在△BCE和△ACF中，
BC=AC∠B=∠FACBE=AF，
∴△BCE≌△ACF(SAS)，
∴CE=CF，∠BCE=∠ACF，
∴∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCE=∠ACB=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE，
∵EN⊥BC，∠B=60°，
∴∠BEN=30°，
∴BN=12BE=12，
∴EN= 3BN= 32，CN=BC−BN=4−12=72，
∴EF=CE= EN2+CN2= ( 32)2+(72)2= 13，
∴FG=14EF= 134，
故选：A．
过点E作EM/​/BC交AC于点M，作EN⊥BC交BC于点N，证△AEM是等边三角形，得AM=AE=EM=3，再证△AGF∽△MGE，得FGEG=AFEM=13，则FG=14EF，然后证△BCE≌△ACF(SAS)，得CE=CF，∠BCE=∠ACF，则△CEF是等边三角形，得EF=CE，最后由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理得CE= 13，即可求解．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于常考题型．
11.【答案】x≥12且x≠3
【解析】解：由题意得，2x−1≥0，3−x≠0，
解得x≥12，x≠3，
故答案为：x≥12且x≠3．
根据四次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是分数指数幂和分式有意义的条件，掌握四次根式中的被开方数是非负数、分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
12.【答案】(2,7)
【解析】解：∵黑方“炮”的位置可以用平面坐标(3,9)来表示，红方“马”的位置可以用平面坐标(3,5)来表示，
∴直角坐标系如图所示：
∴表示点 B位置的平面坐标是(2,7)．
故答案为：(2,7)．
根据已知条件确定直角坐标系，再判断坐标即可．
本题考查了坐标确定位置，理解平面直角坐标系的定义是关键．
13.【答案】6
【解析】解：根据题意得△=(−5)2−4k>0，
解得k<254，
所以k可取的最大整数为6．
故答案为6．
根据判别式的意义得到△=(−5)2−4k>0，解不等式得k<254，然后在此范围内找出最大整数即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
14.【答案】18
【解析】解：如图△ABC的周长是36cm，DE，DF，EF是△ABC的中位线，
∴DE=12AC，DF=12BC，EF=12AB，
∴DE+DF+EF=12(AB+BC+AC)=12×36=18cm，
∴这个三角形的三条中位线组成的三角形的周长是18cm．
故答案为：18．
根据三角形中位线定理得到DE=12AC，DF=12BC，EF=12AB，再由三角形周长公式可得答案．
此题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半．
15.【答案】 2或16 25
【解析】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=4 2，
∵∠DCB=90°，CE⊥BD，
∴△CDE∽△BDC，
∴CD2=DE⋅DB，
∵AD=CD，
∴AD2=DE⋅DB，
∴ADDE=DBAD，
∵∠ADE=∠ADB，
∴△DAE∽△DBA，
∴AEAB=ADBD= 55，
∴AE=4 105，
∵DE=2 55，BD=2 5，
∴BE=8 55，
如图1中，若EF=AF时，过点E作EJ⊥AB于J，
∵EJ2=AE2−AJ2=EF2−FJ2，
∴16025−12825=AF2−(8 25−AF)2，
∴AF= 2，
如图2中，若FE=AE时，过点E作EJ⊥AB于J，
∵JE2=AE2−AJ2=EB2−BJ2，
∴16025−AJ2=32025−(4 2−AJ)2，
∴AJ=8 25，
∵AE=EF，EJ⊥AF，
∴AF=2AJ=16 25，
故答案为： 2或16 25
由相似三角形的性质可求AH的长，BH的长，分2种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
16.【答案】解：如图，∵AB⊥AO，DB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
又∠ACO=∠BCD(对顶角相等)，
∴△ACO∽△BCD，
∴AOBD=ACBC，
∵AC=120m，CB=60m，BD=50m，
∴AO50=12060，
解得AO=2×50=100m，
即峡谷的宽AO是100m．
【解析】先确定△ACO与△BCD相似，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可求出AO的宽度．
本题主要考查了相似三角形的应用，利用了相似三角形对应边成比例的性质，构造出相似三角形是解题的关键．
17.【答案】解：(1)2 3+ 3× 6−2 15÷ 5
=2 3+3 2−2 3
=3 2；
(2) 22sin45°+ 3sin60°−2cs45°
= 22× 22+ 3× 32−2× 22
=12+32− 2
=2− 2．
【解析】(1)先利用二次根式的乘除法法则计算，再合并同类二次根式即可；
(2)代入特殊角的三角函数值，再利用二次根式的混合运算法则计算即可．
本题主要考查了二次根式的混合计算，掌握特殊角三角函数值的混合计算是解题关键．
18.【答案】解：(1)x2−8x+1=0，
x2−8x+16=15，
(x−4)2=15，
x−4=± 15，
∴x1=4+ 15，x2=4− 15；
(2)5x2−2x−14=x2−2x+34，
4x2−1=0，
(2x+1)(2x−1)=0，
解得：x1=−12，x2=12．
【解析】(1)根据配方法可进行求解方程；
(2)根据因式分解法可进行求解方程．
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；
19.【答案】解：(1)如图，点O即为所求．
(2)△ABC与△A′B′C′的位似比为：OAOA′=612=12．
(3)如图所示，△A1B1C1即为所求．

【解析】(1)位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心O；(2)△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，也等于AB与A′B′在水平线上的投影比，即位似比为3：6=1：2；
(3)要画△A1B1C1，先确定点A1的位置，因为△A1B1C1与△ABC的位似比等于1.5，因此OA1=1.5OA，所以OA1=9.再过点A1画A1B1/​/AB交OB′于B1，过点A1画A1C1/​/AC交OC′于C1．
本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
20.【答案】(1)证明：∵AD是BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB=ADBD，cs∠DAC=ADAC，
又∵tanB=cs∠DAC，
∴ADBD=ADAC，
∴AC=BD．
(2)在Rt△ADC中，sin∠C=1213，
故可设AD=12k，AC=13k，
∴CD= AC2−AD2=5k，
∵BC=BD+CD，又AC=BD，
∴BC=13k+5k=18k，
∵BC=12，
∴18k=12，
∴k=23，
∴AD=12k=12×23=8．
【解析】(1)由于tan∠B=cs∠DAC，所以根据正切和余弦的概念证明AC=BD；
(2)设AD=12k，AC=13k，然后利用题目已知条件即可解直角三角形．
此题考查解直角三角形、勾股定理等知识，也考查了逻辑推理能力和运算能力．
21.【答案】解：设购买了x件这种服装，根据题意得出：
[80−2(x−10)]x=1200，
解得：x1=20，x2=30，
当x=30时，80−2(30−10)=40(元)<50不合题意舍去；
答：她购买了20件这种服装．
【解析】根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知得出每件服装的单价是解题关键．
22.【答案】(1)证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠CEA=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
又∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD．
在△ADB和△CEA中，
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA，
∴△ADB∽△CEA，
∴BDAE=ABAC=k．
(2)解：成立．
证明：∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α，
∴∠DBA=∠CAE．
在△ADB和△CEA中，
∠BDA=∠AEC∠DBA=∠CAE，
∴△ADB∽△CEA，
∴BDAE=ABAC=k．
【解析】(1)根据题意证明△ADB∽△CEA即可求解；
(2)同理证明△ADB∽△CEA即可求解．
此题主要考查考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等得到三角形相似．
23.【答案】(1)证明：由旋转性质可知CE=CF，∠ECF=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°，
∴∠ECF−∠ECD=∠BCD−∠ECD，即∠FCD=∠ECB．
在△FCD和△ECB中，
∵CD=CB∠FCD=∠ECBCF=CE，
∴△FCD≌△ECB(SAS)，
∴∠CDF=∠CBE=90°，
∴∠ADF=180°，即点A，D，F在同一条直线上．
(2)解：设AE=m，则BE=1−m．
∵∠BCE+∠BEC=∠AEH+∠BEC=90°，
∴∠BCE=∠AEH．
又∵∠CBE=∠EAH=90°，
∴△CEB∽△EHA，
∴CBEA=BEAH，即1m=1−m14，
∴m2−m+14=0，
解得m1=m2=12．
∴AE=12．
(3)解：∵四边形CFGE是矩形，且CE=CF．
∴四边形CFGE是正方形．
∴△GEF是等腰直角三角形．
∵MN/​/EF，
∴△GMN是等腰直角三角形，
∴GE−GM=GF−GN，即EM=FN．
又∵CE=CF，∠CFN=∠CEM=90°，
∴△CFN≌△CEM，
∴∠FCN=∠ECM=∠BCE=12∠ACB=22.5°．
又∵∠HFG+∠CFD=∠FCN+∠CFD=90°，
∴∠HFG=∠FCN=22.5°，
∴∠AFE=∠EFG−∠HFG=45°−22.5°=22.5．
∴∠AFE=∠BCE．
又∵∠EAF=∠EBC=90°，
∴△FAE∽△CBE，
∴AFBC=AEBE．
设AE=t(t>0)，则BE=1−t，AF=AD+DF=1+(1−t)=2−t，
∴2−t1=t1−t，解得t1=2− 2，t2=2+ 2(不符合题意，舍去)，
∴AE=2− 2．
【解析】(1)先根据已知条件证明△FCD≌△ECB(SAS)，然后利用全等三角形的性质得到∠CDF=∠CBE=90°，进而证明点A，D，F在同一条直线上．
(2)根据已知条件证明△CEB∽△EHA，利用相似三角形的性质，得到CBEA=BEAH，进而求出AE的长．
(3)先根据已知条件证明△GMN是等腰直角三角形，利用其性质得到EM=FN，再根据条件证明△CFN≌△CEM，由此得到∠FCN=∠ECM=∠BCE=12∠ACB=22.5°，进而得到∠AFE=∠BCE，最终得到△FAE∽△CBE，根据其性质得到AFBC=AEBE，设AE=t(t>0)，则BE=1−t，AF=AD+DF=1+(1−t)=2−t，求出答案．
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，灵活运用全等三角形、相似三角形的性质是解答本题的关键．