2022-2023学年云南省曲靖市师宗县平高中学（第四中学）高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年云南省曲靖市师宗县平高中学（第四中学）高一（上）期末数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2<4}，B={x||x|<3}，则A⋂B=( )
A. (−2,2)B. (−2,3)C. (−3,2)D. (−3,3)
2.若扇形的半径和面积都相等，且R=5时，扇形圆心角的弧度数为( )
A. 52B. 1C. 12D. 25
3.函数y= lnx+lg0.1(7−xx)的定义域是( )
A. (0,7)B. [1,7)C. (0,7)⋃(7,+∞)D. (0,1)⋃(1,7)
4.当α∈[0,2π]，若csα<− 32，则α的取值范围为( )
A. (π3,2π3)B. (5π6,7π6)
C. [0,5π6)∪(7π6,2π]D. [0,π3)∪(2π3,2π]
5.已知幂函数f(x)=(k+2)xα的图象过点(2,12)，则k−α的值为( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
6.“x+1x>2”是“x>0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.f(x)是定义域为R的偶函数，且在区间[0,+∞)上单调递减，则满足f(1−x)>f(1)的x的取值范围是( )
A. (0,2)B. (−∞,1)C. (1,+∞)D. (−∞,0)∪(0,2)
8.若a=csπ3,b=lg25,c=lg52，则下列大小关系正确的是( )
A. a>b>cB. b>c>aC. b>a>cD. c>b>a
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，与函数y=2−x是同一函数的是( )
A. y=( 2−x)2B. y=2−tC. y=2−3x3D. y=4−x2x+2
10.以下结论正确的是( )
A. 若x∈R，y∈R时，则yx+xy≥2
B. 当x>1时，x−1>1
C. sin2040°=− 32
D. 若角α的终边在第三象限，则角α2的终边在第二、四象限
11.下列函数既是偶函数，又在区间(0,+∞)内单调递增的函数是( )
A. y=lg2x2B. y=3|x|C. y=x3D. y=|tanx|
12.下列四个结论，其中结论正确的是( )
A. 函数y=2x2+2x的最大值为12
B. 函数y=lg1ax(a>0，且a≠1)，当a>1时，函数f(x)在定义域内单调递减
C. 在同一个平面直角坐标系中，函数y=3x与y=(13)x的图象关于x轴对称
D. 在同一个平面直角坐标系中，函数y=lg3x与y=3x的图象关于y=x对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若a∈{a2,sinπ,csπ}，则a的值为______ ．
14.a<0时，不等式x2−2ax−3a2<0的解集是______ ．
15.sin(π−α)−2sin(π2+α)cs(α−π2)+cs(2π−α)=−1，则1tan2α= ______ ．
16.任意x∈R，有2f(x)=f(x+1)+f(x−1)，若f(1)=73,f(3)=−3，则f(2023)= ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知2sinθ+csθ=0．
(1)求tanθ的值；
(2)求3sin2θ+4cs2θ5sin2θ−6cs2θ的值．
18.(本小题12分)
设函数f(x)=ax2−ax−a．
(1)当a=1时，求函数f(x)<0的解集；
(2)是否存在实数a，使得任意x∈R，都有f(x)>0恒成立，若存在，请求出求实数a的取值范围，若不存在，请证明．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+1)=f(1−x)．
(1)求f(2)的函数值；
(2)证明：f(x)为周期函数．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(x+2)．
(1)求函数f(x+2)恒过哪一个定点，写出该点坐标；
(2)令函数g(x)=f(x)−ax−1−1，当g(2)=12时，证明：函数g(x)在区间(1,2)上有零点．
21.(本小题12分)
已知f(x)=3cs(−2x+π3)．
(1)写出f(x)的最小正周期以及f(π2)的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
22.(本小题12分)
巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为v(单位：海里/小时)，船只的密集度为x(单位：艘/海里)，当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当5≤x≤50时，船只的速度是船只密集度x的一次函数．
(1)当0≤x≤50时，求函数v(x)的表达式；
(2)当船只密度x为多大时，单位时间内，通过的船只数量f(x)=xv(x)可以达到最大值，求出最大值.(取整)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意得A={x|−2故A∩B=(−2,2)．
故选：A．
求得集合A，B，根据集合的交集运算，即可求得答案．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：设扇形的面积为S，弧长为l，
由题意知R=5，S=12lR=5，则l=2，
故扇形圆心角的弧度数为lR=25．
故选：D．
根据扇形的面积公式可求得扇形弧长，再根据弧度的定义即可求得答案．
本题主要考查弧长公式，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意得，lnx≥07−xx>0，即x≥10解得1≤x<7，
故选：B．
利用根式函数和对数函数的定义域求解．
本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意α∈[0,2π]，csα<− 32，
当α=5π6,7π6时，csα=− 32，
而y=csx在[0,π]上单调递减，在[π,2π]上单调递增，
故α的取值范围为(5π6,7π6)．
故选：B．
由题意，根据余弦函数的单调性解三角不等式，即得答案．
本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意f(x)=(k+2)xα是幂函数，
则k+2=1，∴k=−1，
即f(x)=xα，将(2,12)代入可得2α=12，∴α=−1，
故k−α=0．
故选：C．
根据幂函数定义求得k，再根据图象过的点求得α，即可得答案．
本题考查函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：当x<0时，x+1x<0不满足x+1x>2；
当x>0时，x+1x>2即x2+1>2x，(x−1)2>0，解得x∈(0,1)⋃(1,+∞)．
综上：x+1x>2等价于01，
故“x+1x>2”是“x>0”的充分不必要条件．
故选：A．
求解x+1x>2再根据充分与必要条件的性质求解即可．
本题考查充分不必要条件的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：∵f(x)是定义域为R的偶函数，
∴f(−x)=f(x)，
又f(x)在[0,+∞)上单调递减，则在(−∞,0)上单调递增，
∵f(1−x)>f(1)，
∴|1−x|<1，即−1<1−x<1，解得0故满足f(1−x)>f(1)的x的取值范围是(0,2)．
故选：A．
利用f(x)的奇偶性、单调性可得|1−x|<1，求解即可得出答案．
本题考查函数的单调性和奇偶性的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：a=12，b=lg25>lg24=2，c=lg52故b>a>c．
故选：C．
易得a=12，再根据对数函数的单调性可得b>2，c<12即可．
本题考查对数值及三角函数值大小的比较，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：由题意知函数y=2−x的定义域为R，值域为R，
y=( 2−x)2的定义域为(−∞,2]，与函数y=2−x不是同一函数，A错误；
y=2−t定义域、对应关系以及值域与y=2−x相同，为同一函数，B正确；
y=2−3x3=2−x，定义域、对应关系以及值域与y=2−x相同，为同一函数，C正确；
y=4−x2x+2的定义域为{x∈R|x≠−2}，与函数y=2−x的定义域不同，
二者不是同一函数，D错误；
故选：BC．
判断各选项中函数的定义域、值域以及对应关系与函数y=2−x的定义域、值域以及对应关系是否相同，即可判断答案．
本题主要考查判断同一函数，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：对于A，取x=1，y=−1，则yx+xy=−2，故A错误；
对于B，当x>1时，x−1=1x∈(0,1)，B错误；
对于C，sin2040°=sin(6×360°−120°)=sin(−120°)=− 32，C正确；
对于D，角α的终边在第三象限，即k⋅360°+180°<α则k⋅180°+90°<α2当k为偶数2n，n∈Z时，n⋅360°+90°<α2当k为奇数2n+1，n∈Z时，n⋅360°+270°<α2故选：CD．
取特数值判断A；根据实数的倒数性质判断B；利用诱导公式结合特殊值的三角函数判断C；根据象限角的判断判断D．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：对于A：设f(x)=lg2x2，定义域为{x∈R|x≠0}，
∵f(−x)=lg2(−x)2=f(x)，
∴f(x)=lg2x2为偶函数；
当x∈(0,+∞)时，t=x2为增函数，y=lg2t为增函数，
故f(x)=lg2x2在区间(0,+∞)内单调递增，故A正确；
对于B：设g(x)=y=3|x|，定义域为R，
又g(−x)=3|−x|=g(x)，则g(x)=y=3|x|为偶函数；
当x∈(0,+∞)时，g(x)=3x为增函数，故B正确；
对于C：y=x3为奇函数，不合题意，故C错误；
对于D：设h(x)=|tanx|，定义域为{x|x≠π2+kπ,k∈Z}，
又h(−x)=|tan(−x)|=h(x)，则h(x)为偶函数，
当x∈(0,+∞)时，不妨取x=π2，此时h(x)=|tanx|无意义，
故h(x)=|tanx|在区间(0,+∞)内不具有单调性，故D错误．
故选：AB．
根据函数奇偶性的定义以及复合函数的单调性性质可判断A；根据函数奇偶性的定义以及函数的单调性性质可判断B；根据函数奇偶性可判断C；根据函数单调性取特殊值可判断D．
本题考查函数的奇偶性和单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：对于A，由于函数y=2x2+2x由函数y=2t，t=x2+2x复合而成，
t=x2+2x=(x+1)2−1≥−1，而y=2t是R上的增函数，
故y=2x2+2x有最小值2−1=12，故A错误．
对于B，当a>1时，0<1a<1，故y=lg1ax在定义域内单调递减，故B正确．
对于C，由于y=(13)x=3−x，即它与y=3x图象关于y轴对称，故C错误．
对于D，由于函数y=lg3x与y=3x互为反函数，故二者的图象关于y=x对称，故D正确．
故选：BD．
由题意，根据指数函数单调性可判断A；根据对数函数性质可判断B；根据指数函数性质可判断C；根据反函数的性质可判断D．
本题主要考查复合函数的性质，函数的单调性以及图象的对称性，属于中档题．
13.【答案】−1或1
【解析】解：因为sinπ=0，csπ=−1，
故由a∈{a2,sinπ,csπ}，
可得当a=0时，{a2,sinπ,csπ}={0,0,−1}，违反集合元素的互异性，不合题意；
当a=−1时，{a2,sinπ,csπ}={1,0,−1}，符合题意；
当a=a2时，a=0(不合题意)或a=1，
a=1时，{a2,sinπ,csπ}={1,0,−1}，符合题意；
故a的值为−1或1．
故答案为：−1或1．
根据元素和集合的关系，分类讨论，即可求得答案．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
14.【答案】{x|3a【解析】解：∵x2−2ax−3a2=0，
∴x1=3a，x2=−a．
又a<0，
∴不等式的解集为{x|3a故答案为：{x|3a令不等式左边的多项式等于0，列出关于x的一元二次方程，求出方程的解，根据a小于0判断出两解的大小，即可写出原不等式的解集．
此题考查了一元二次不等式求解集的方法，是一道综合题．
15.【答案】4
【解析】解：由诱导公式，sinα−2csαsinα+csα=−1，显然csα≠0，
故tanα−2tanα+1=−1，解得tanα=12．
则1tan2α=4．
故答案为：4．
由题意，根据诱导公式化简求解即可．
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
16.【答案】−161693
【解析】解：∵2f(x)=f(x+1)+f(x−1)，f(1)=73,f(3)=−3，
∴2f(2)=f(3)+f(1)=73−3⇒f(2)=−13，
当x取正整数n时，令an=f(n)，则2an+1=an+2+an，
∴数列{an}是以a1=f(1)=73为首项，以d=f(2)−f(1)=−83为公差的等差数列，
∴a2023=73+(2023−1)(−83)=−161693，即f(2023)=−161693．
故答案为：−161693．
根据条件构造等差数列，求得公差，根据等差数列的通项公式即可求得答案．
本题考查了等差数列的定义和通项公式，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由2sinθ+csθ=0，可知csθ≠0，
故2sinθ=−csθ，则tanθ=sinθcsθ=−12；
(2)3sin2θ+4cs2θ5sin2θ−6cs2θ=3tan2θ+45tan2θ−6=3×(−12)2+45×(−12)2−6=−1．
【解析】(1)根据同角的三角函数关系即可求得答案；
(2)根据三角函数齐次式法求值，即得答案．
本题考查三角恒等变换，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题意，可得x2−x−1<0，即x2−x+14<54，
所以(x−12)2<54，− 52所以当a=1时，函数f(x)<0的解集为(1− 52,1+ 52)．
(2)当a<0时，二次函数开口向下，f(x)>0不恒成立；
当a=0时，f(x)=0不满足；
当a>0时，若ax2−ax−a>0恒成立，则x2−x−1>0恒成立，
由(1)可知，x2−x−1>0不恒成立．
故不存在实数a，使得任意x∈R，都有f(x)>0恒成立．
【解析】(1)代入a=1求解一元二次不等式即可；
(2)分a>0，a=0与a<0三种情况讨论即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
19.【答案】解：(1)根据题意，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)=0，
又因为f(x+1)=f(1−x)，
所以f(x)=f(2−x)，
则f(2)=f(0)=0；
(2)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(−x)=−f(x)，又f(x)=f(2−x)，
所以f(2−x)=−f(−x)，即f(2+x)=−f(x)，
则f(4+x)=f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
【解析】(1)根据函数f(x)是定义在R上的奇函数，得到f(0)=0，再由f(x+1)=f(1−x)，利用赋值法求解；
(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得到f(−x)=−f(x)，再由f(x)=f(2−x)，利用周期函数的定义求解．
本题考查函数奇偶性、周期性的判断和证明，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题意知函数f(x)=lg2(x+2)，故f(x+2)=lg2(x+4)，
令x+4=1，∴x=−3，lg2(x+4)=0，
即函数f(x+2)恒过定点(−3,0)，该点坐标为(−3,0)；
(2)证明：由题意g(x)=lg2(x+2)−ax−1−1，
当g(2)=12时，lg24−a1−1=12，∴a=12，
即g(x)=lg2(x+2)−(12)x−1−1，
则g(1)=lg23−2<0，又g(2)=12>0，
故函数g(x)在区间(1,2)上有零点．
【解析】(1)根据题意，可得函数f(x+2)的解析式，再由对数函数过定点，代入计算，即可得到结果；
(2)根据题意，由条件可得函数g(x)的解析式，再由零点存在定理判断即可．
本题考查了对数函数的图象和性质，是中档题．
21.【答案】解：(1)依题意，f(x)=3cs(−2x+π3)=3cs(2x−π3)，
所以f(x)的最小正周期T=2π2=π，f(π2)=3cs(π−π3)=3cs2π3=−32．
(2)由(1)知f(x)=3cs(2x−π3)，
由2kπ−π≤2x−π3≤2kπ,k∈Z，解得：kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ−π3,kπ+π6],(k∈Z)．
【解析】(1)根据给定条件，结合余弦函数性质求出周期，再将x=π2代入计算作答．
(2)根据已知条件，结合余弦函数的单调增区间求解作答．
本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于基础题．
22.【答案】解：(1)由题意知0≤x≤5时，v=45海里/小时，
当5≤x≤50时，设v(x)=ax+b(a≠0)，
则50a+b=05a+b=45，解得a=−1b=50，
故v(x)=45,0≤x≤5−x+50,5≤x≤50．
(2)由(1)可得f(x)=xv(x)=45x,0≤x≤5−x2+50x,5≤x≤50，
当0≤x≤5时，f(x)=45x，此时f(x)max=45×5=225，
当5≤x≤50时，f(x)=−x2+50x=−(x−25)2+625，
当x=25时，f(x)取到最大值为625，
由于225<625，故当船只密度为25艘/海里时，通过的船只数量f(x)=xv(x)可以达到最大值，
最大值为625．
【解析】(1)根据题意分段求解函数解析式，即可得答案；
(2)由(1)可得f(x)=xv(x)的解析式，分段求解函数最值，比较即可得答案．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．