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江西省吉安市2022-2023学年高二上学期期末质量检测数学试题（含答案详解）
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这是一份江西省吉安市2022-2023学年高二上学期期末质量检测数学试题（含答案详解），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，那么“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据斜率和倾斜角的对应关系，结合充分性和必要性的定义求解即可.
【详解】由直线的斜率 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”充分不必要条件，
故选：A
2. 已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相平行，则 SKIPIF 1 < 0 的值（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量共线的坐标表示，由题中条件，可直接求出结果.
【详解】∵向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相平行，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
3. 某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（ ）
A. 18B. 24C. 36D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合特殊元素问题及相邻问题，列式计算作答.
【详解】因为C、D节目相邻，则视C、D节目为一个整体与其它3个节目排列，
又A节目不排在第一个，则从后面三个位置中取一个排A，再排余下3个，有 SKIPIF 1 < 0 种，
其中的每一种排法，C、D节目的排列有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以节目安排的方法总数为 SKIPIF 1 < 0 （种）.
故选：C
4. 如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为18 SKIPIF 1 < 0 ，则此时欲经过桥洞的一艘宽12 SKIPIF 1 < 0 的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，抽象出抛物线的几何模型，根据抛物线的通经性质求得抛物线方程，即可求当宽为 SKIPIF 1 < 0 时的纵坐标即可求解.
【详解】根据题意画出抛物线如下图所示：
设宽度为18 SKIPIF 1 < 0 时与抛物线的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，当宽度为12 SKIPIF 1 < 0 时与抛物线的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为18 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由抛物线的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，则抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当宽度为12 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
5. 直线 SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为（ ）
A. 8B. SKIPIF 1 < 0 C. 14D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆上的点到直线距离的最大值的求解方法即可求最大面积.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0
所以点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的最大距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选:C.
6. 在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，记 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则a的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项式定理展开公式求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
7. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，已知： SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角大小为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】结合图形，利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值，即可确定点 SKIPIF 1 < 0 位置，即可求解.
【详解】以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建系如图，
因为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角大小为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是过点 SKIPIF 1 < 0 的一条直线，
又因为Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），
所以 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是过点 SKIPIF 1 < 0 的一条线段，
设以 SKIPIF 1 < 0 的轨迹与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角大小为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 在线段BC上时， SKIPIF 1 < 0 面积最大，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选:D.
8. 如图，在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 是侧面 SKIPIF 1 < 0 上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ∥截面 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 长度的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件及三角形的中位线，利用线面平行的判定定理及面面平行的判定定理，结合直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解.
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
同理可得， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,线段 SKIPIF 1 < 0 扫过的图形是 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 为直角，
所以线段 SKIPIF 1 < 0 长度的取值范围是： SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知圆C： SKIPIF 1 < 0 与直线l： SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若直线l与圆C相交，则 SKIPIF 1 < 0 B. 若直线l与圆C相切，则 SKIPIF 1 < 0
C. 当直线l与圆C的相交弦最长时， SKIPIF 1 < 0 D. 当圆心C到直线l的距离取最大值时， SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A选项，由圆心到直线距离小于半径，列出不等式即可求得；
对B选项，由圆心到直线距离等于半径，列出方程即可求得；
对C选项，当直线与圆相交的弦最长时，此时直线经过圆心，代入圆心到直线方程即可求得；
对D选项，当直线定点与圆心相连的直线与直线l垂直时，圆心C到直线l的距离最大，由两直线斜率之积为-1，列出等式即可求得．
【详解】圆C方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，∴圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 .
对A选项，若直线l与圆C相交，则圆心到直线距离 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ∴A选项正确；
对B选项，∵直线l与圆C相切，∴圆心到直线距离 SKIPIF 1 < 0 ， 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， ∴B选项错误；
对C选项，当直线l与圆C的相交的弦最长时，直线l经过圆心（2，1），把圆心代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ∴C选项正确；
对D选项，∵直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当圆心C到直线l的距离取最大值时，直线l与直线AC垂直，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，则直线l的斜率为-2，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴D选项正确
故选：ACD．
10. 如图，空间四边形OABC中，M，N分别是边OA，CB上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点G是线段MN的中点，则以下向量表示正确的是（ ）
A SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
【分析】利用空间向量的基底表示向量，再结合空间向量线性运算，逐项计算判断作答.
【详解】空间四边形OABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点G是线段MN的中点，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，D正确；
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，C错误.
故选：BD
11. 已知抛物线C： SKIPIF 1 < 0 ，过焦点F的直线交抛物线C于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，MN的中点为P，直线OM，ON分别与直线l： SKIPIF 1 < 0 相交于A、B两点.则下列说法正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 的最小值为8
C. P到直线l距离的最小值为6D. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比不为定值
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A：设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线联立消 SKIPIF 1 < 0 后由韦达定理即可求得 SKIPIF 1 < 0 均为定值；
对于B：表示出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，用距离公式计算出 SKIPIF 1 < 0 ，用基本不等式求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
对于C：用 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标表示出 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，再用基本不等式求最小值；
对于D：分别求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积验证即可.
【详解】依题意，可得如下图象：
，
对于A：因为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴可得，直线的斜率一定存在，
所以设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以A选项正确；
对于B：因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时取得最小值16，所以B选项错误；
对于C：因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以C选项正确；
对于D：由题意可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程分别为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以它们与 SKIPIF 1 < 0 的交点分别为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
由弦长公式得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以D选项错误；
故选：AC.
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，“焦点弦”问题的求解，弦长公式的应用，设而不求法，韦达定理的应用等，需要考生的计算能力以及数形结合转化能力有较高的要求，属于压轴题.
12. 已知 SKIPIF 1 < 0 为圆锥的顶点， SKIPIF 1 < 0 为圆锥底面圆的圆心， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为底面圆的直径， SKIPIF 1 < 0 是底面圆的内接正三角形， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0
C. 在圆锥侧面上，点A到 SKIPIF 1 < 0 中点的最短距离为3
D. 圆锥内切球的表面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，证明出 SKIPIF 1 < 0 ，得到平行关系；B选项，作出辅助线，得到BM⊥AM，AM⊥BC，从而证明出线面垂直；C选项，将侧面展开，设 SKIPIF 1 < 0 中点为Q，连接AQ，则 SKIPIF 1 < 0 为点A到 SKIPIF 1 < 0 中点的最短距离，求出 SKIPIF 1 < 0 ，假设 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理求出点A到 SKIPIF 1 < 0 中点的最短距离为3，故C错误；D选项，画出图形，找到内切球球心，求出半径，得到内切球表面积.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 是底面圆的内接正三角形， SKIPIF 1 < 0 为底面圆的直径，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 为圆锥的顶点， SKIPIF 1 < 0 为圆锥底面圆的圆心， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以MO⊥平面ABC，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面ABC，所以MO⊥BC，
又AO⊥BC， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面MOA，
所以BC⊥平面AMO，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面AMO，
所以AM⊥BC，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以BM⊥AM，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面MBC，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
将侧面展开，如下：
设 SKIPIF 1 < 0 中点为Q，连接AQ，则 SKIPIF 1 < 0 为点A到 SKIPIF 1 < 0 中点的最短距离，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，故底面周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以在圆锥侧面上，点A到 SKIPIF 1 < 0 中点的最短距离不为3，C错误；
由对称性可知，圆锥内切球球心在OP上，作出图形，如下：
设内切球球心为T，设内切球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
TU=R， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△PUT中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，故圆锥内切球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ABD.
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 党的二十大报告指出，建设教育强国是民族复兴的伟大基础工程.某师范院校为了支持乡村教育振兴计划，拟委派10名大学生到偏远山区支教，其中有3名研究生.现将这10名大学生分配给5个乡村小学，每校2人，则不同的研究生分配情况有______种（用数字作答）.
【答案】120
【解析】
【分析】不同的研究生分配情况分为2类：其中2个研究生分配到相同的学校，3个研究生分配到不同的学校，根据分类加法计数原理分别计算即可.
【详解】如果其中2个研究生分配到相同的学校则有 SKIPIF 1 < 0 种；
如果3个研究生分配到不同的的学校则有 SKIPIF 1 < 0 种；
所以不同的研究生分配情况有 SKIPIF 1 < 0 (种).
故答案为：120.
14. 在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 项的系数为______.
【答案】220
【解析】
【分析】根据给定条件，分析展开式中 SKIPIF 1 < 0 项出现的情况，再列式计算作答.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式通项 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的最高指数小于12，而 SKIPIF 1 < 0 的指数小于等于 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的指数是负整数，要得到 SKIPIF 1 < 0 项，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数是 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：220
15. 在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 共焦点，双曲线 SKIPIF 1 < 0 实轴的两顶点将椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为______.；当焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴时，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线为______.
【答案】 ①. SKIPIF 1 < 0 ②. SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线定义，结合双曲线实轴和椭圆长轴的定义、椭圆离心率公式、双曲线渐近线方程进行求解即可.
【详解】椭圆和双曲线的对称性相同，不妨设两个曲线的焦点都在 SKIPIF 1 < 0 轴，设两个曲线标准方程分别为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设两个曲线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为两曲线在第一象限的交点，
设 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆和双曲线的定义可得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为两曲线的交点与两焦点共圆，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，于是有 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 的结果代入 SKIPIF 1 < 0 中，得
SKIPIF 1 < 0 ，设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 实轴的两顶点将椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴三等分，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【点睛】关键点睛：根据椭圆和双曲线的定义是解题的关键.
16. 在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是侧面 SKIPIF 1 < 0 内的动点，且满足直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，当直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角最大时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的半径为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，设点 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 求出点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程，根据 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角最大求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球球心为 SKIPIF 1 < 0 ，根据球心的定义可得出关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程组，求出这三个未知数的值，即可求得结果.
【详解】以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
易知平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值，此时，点 SKIPIF 1 < 0 ，
设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的球心为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即球心 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，前三项的系数依次为M，P，N，且满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若直线l： SKIPIF 1 < 0 的系数a，b，c（ SKIPIF 1 < 0 ）为展开式中所有无理项系数，求不同直线l的条数；
（2）求展开式中系数最大的项.
【答案】（1）10； （2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出n值并求出展开式的通项，再利用组合求解作答.
（2）由（1）中通项公式，列出不等式组，求出系数最大的项作答.
【小问1详解】
二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 ，
依题意， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 不是整数，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是无理项，
当r分别取1，2，3，5，6，7时，对应项的系数分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
从 SKIPIF 1 < 0 的5个数中取3个不同数分别为 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 种取法，每种取法确定一条直线，
所以不同直线l的条数是10.
【小问2详解】
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令第 SKIPIF 1 < 0 项的系数最大，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 展开式中系数最大的项是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知圆M经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为6.
（1）求圆M的标准方程；
（2）若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与圆M相切于点E，F，求直线l的方程及四边形PEMF的面积S.
【答案】（1）圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为12.
【解析】
【分析】（1）设出圆的一般式方程，根据在两坐标轴上的四个截距之和是6，以及韦达定理和圆过A，B坐标，列出方程组即可求解；
（2）设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由直线与圆相切列出方程求出 SKIPIF 1 < 0 即可得切线方程；求出 SKIPIF 1 < 0 ，根据四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 求得面积 SKIPIF 1 < 0 .
小问1详解】
设圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
设圆 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 在两坐标轴上的四个截距之和是6， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，
SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 代入方程得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故得圆 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）得圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 斜率为0的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 没有交点，不是圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，
不妨设过 SKIPIF 1 < 0 的圆的切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故切线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .
19. 如图，在等腰直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，DB和EC都垂直于平面ABC，且 SKIPIF 1 < 0 ，F为线段AE上一点，设 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 平面ABC；
（2）当二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 时，求四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）18
【解析】
【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明即可；
(2)利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值，进而可求体积.
【小问1详解】
取 SKIPIF 1 < 0 靠近点 SKIPIF 1 < 0 的三等分点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ,
则有 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为DB和EC都垂直于平面ABC， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 平面ABC,
所以 SKIPIF 1 < 0 平面ABC.
【小问2详解】
如图，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 （垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 ）为 SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
取平面 SKIPIF 1 < 0 法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
当二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 .
20. 世界人工智能大会是一场 SKIPIF 1 < 0 领域的国际盛会，集聚上千位来自国内外的“最强大脑”，展开了近百场高端论坛头脑风暴.某高校学生受大会展示项目的启发，决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示， SKIPIF 1 < 0 两个信号源相距10米， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，过 SKIPIF 1 < 0 点的直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，机器猫在直线 SKIPIF 1 < 0 上运动，机器鼠的位置始终满足： SKIPIF 1 < 0 两点同时发出信号，机器鼠接收到A点的信号比接收到 SKIPIF 1 < 0 点的信号晩 SKIPIF 1 < 0 秒（注：信号每秒传播 SKIPIF 1 < 0 米）.在时刻 SKIPIF 1 < 0 时，测得机器鼠与点 SKIPIF 1 < 0 间的距离为 SKIPIF 1 < 0 米.
（1）以 SKIPIF 1 < 0 为原点，直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立如图所示的平面直角坐标系，求时刻 SKIPIF 1 < 0 时机器鼠所在位置的坐标.
（2）游戏设定：机器鼠在距离直线 SKIPIF 1 < 0 不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”的风险？
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）有
【解析】
【分析】（1）由机器鼠接收到A点的信号比接收到 SKIPIF 1 < 0 点的信号晩 SKIPIF 1 < 0 ，可得机器鼠的运动轨迹方程，结合机器鼠与点 SKIPIF 1 < 0 间的距离为 SKIPIF 1 < 0 米，可得机器鼠此时的坐标；
（2）求出机器鼠的运动轨迹方程到l的最短距离，比较其与2米的大小即可.
【小问1详解】
设机器鼠的位置为点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的双曲线的右支，
设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
又在时刻 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以机器鼠所在位置的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由题意可知直线 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的平行线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，设切点横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
结合韦达定理有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
此时， SKIPIF 1 < 0 与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离 SKIPIF 1 < 0 最近的点，此时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，即机器鼠与 SKIPIF 1 < 0 最小的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，有“被抓”的风险.
21. 如图在直棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、AC、 SKIPIF 1 < 0 的中点分别为D、E、F.
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若异面直线 SKIPIF 1 < 0 与BF所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，且BC与平面BEF所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正切值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合直三棱柱的结构特征，证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 即可推理作答.
（2）由（1）及线线角、线面角可得 SKIPIF 1 < 0 ，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.
【小问1详解】
在直棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，点E、F分别为矩形 SKIPIF 1 < 0 对边AC、 SKIPIF 1 < 0 的中点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
在直棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为异面直线 SKIPIF 1 < 0 与BF所成的角，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是BC与平面BEF所成的角，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
以点E为原点，射线 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则 SKIPIF 1 < 0 ，棱 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
显然二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为锐角，所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的正切值是 SKIPIF 1 < 0 .
22. 双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，圆O： SKIPIF 1 < 0 与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被双曲线C截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求双曲线C的方程；
（2）设圆O上任意一点P处的切线交双曲线C于两点M、N，试判断 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；
（3）若将（2）中的双曲线改为椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，其他条件不变，试探讨 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）是，定值为2； （3）是，定值为2.
【解析】
【分析】（1）由离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由圆 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线被双曲线 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长确定 SKIPIF 1 < 0 过的点，即可求解作答.
（2）切线斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理、直角三角形射影定理可得 SKIPIF 1 < 0 为定值，验证切线斜率不存在的情况作答.
（3）切线斜率存在时，设出其方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理、直角三角形射影定理可得 SKIPIF 1 < 0 为定值，验证切线斜率不存在的情况作答.
【小问1详解】
设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意， SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 交x轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则圆O在点A处的切线 SKIPIF 1 < 0 被双曲线 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的对称性知被截弦的端点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
当圆 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线斜率不存在时，点 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）及已知，得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
当圆 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线斜率存在时，设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 消去y得：
SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 于点P，则 SKIPIF 1 < 0 ，
综上得 SKIPIF 1 < 0 为定值2.
【小问3详解】
当圆 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线斜率不存在时，点 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
当圆 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线斜率存在时，设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 消去y得：
SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 于点P，则 SKIPIF 1 < 0 ，
综上得 SKIPIF 1 < 0 为定值2.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
1. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，那么“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据斜率和倾斜角的对应关系，结合充分性和必要性的定义求解即可.
【详解】由直线的斜率 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”充分不必要条件，
故选：A
2. 已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相平行，则 SKIPIF 1 < 0 的值（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量共线的坐标表示，由题中条件，可直接求出结果.
【详解】∵向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相平行，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
3. 某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（ ）
A. 18B. 24C. 36D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合特殊元素问题及相邻问题，列式计算作答.
【详解】因为C、D节目相邻，则视C、D节目为一个整体与其它3个节目排列，
又A节目不排在第一个，则从后面三个位置中取一个排A，再排余下3个，有 SKIPIF 1 < 0 种，
其中的每一种排法，C、D节目的排列有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以节目安排的方法总数为 SKIPIF 1 < 0 （种）.
故选：C
4. 如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为18 SKIPIF 1 < 0 ，则此时欲经过桥洞的一艘宽12 SKIPIF 1 < 0 的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，抽象出抛物线的几何模型，根据抛物线的通经性质求得抛物线方程，即可求当宽为 SKIPIF 1 < 0 时的纵坐标即可求解.
【详解】根据题意画出抛物线如下图所示：
设宽度为18 SKIPIF 1 < 0 时与抛物线的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，当宽度为12 SKIPIF 1 < 0 时与抛物线的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为18 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由抛物线的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，则抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当宽度为12 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
5. 直线 SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为（ ）
A. 8B. SKIPIF 1 < 0 C. 14D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆上的点到直线距离的最大值的求解方法即可求最大面积.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0
所以点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的最大距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选:C.
6. 在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，记 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则a的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项式定理展开公式求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
7. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，已知： SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角大小为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】结合图形，利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值，即可确定点 SKIPIF 1 < 0 位置，即可求解.
【详解】以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建系如图，
因为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角大小为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是过点 SKIPIF 1 < 0 的一条直线，
又因为Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），
所以 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是过点 SKIPIF 1 < 0 的一条线段，
设以 SKIPIF 1 < 0 的轨迹与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角大小为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 在线段BC上时， SKIPIF 1 < 0 面积最大，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选:D.
8. 如图，在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 是侧面 SKIPIF 1 < 0 上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ∥截面 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 长度的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件及三角形的中位线，利用线面平行的判定定理及面面平行的判定定理，结合直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解.
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
同理可得， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,线段 SKIPIF 1 < 0 扫过的图形是 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 为直角，
所以线段 SKIPIF 1 < 0 长度的取值范围是： SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知圆C： SKIPIF 1 < 0 与直线l： SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若直线l与圆C相交，则 SKIPIF 1 < 0 B. 若直线l与圆C相切，则 SKIPIF 1 < 0
C. 当直线l与圆C的相交弦最长时， SKIPIF 1 < 0 D. 当圆心C到直线l的距离取最大值时， SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A选项，由圆心到直线距离小于半径，列出不等式即可求得；
对B选项，由圆心到直线距离等于半径，列出方程即可求得；
对C选项，当直线与圆相交的弦最长时，此时直线经过圆心，代入圆心到直线方程即可求得；
对D选项，当直线定点与圆心相连的直线与直线l垂直时，圆心C到直线l的距离最大，由两直线斜率之积为-1，列出等式即可求得．
【详解】圆C方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，∴圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 .
对A选项，若直线l与圆C相交，则圆心到直线距离 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ∴A选项正确；
对B选项，∵直线l与圆C相切，∴圆心到直线距离 SKIPIF 1 < 0 ， 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， ∴B选项错误；
对C选项，当直线l与圆C的相交的弦最长时，直线l经过圆心（2，1），把圆心代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ∴C选项正确；
对D选项，∵直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当圆心C到直线l的距离取最大值时，直线l与直线AC垂直，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，则直线l的斜率为-2，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴D选项正确
故选：ACD．
10. 如图，空间四边形OABC中，M，N分别是边OA，CB上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点G是线段MN的中点，则以下向量表示正确的是（ ）
A SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
【分析】利用空间向量的基底表示向量，再结合空间向量线性运算，逐项计算判断作答.
【详解】空间四边形OABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点G是线段MN的中点，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，D正确；
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，C错误.
故选：BD
11. 已知抛物线C： SKIPIF 1 < 0 ，过焦点F的直线交抛物线C于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，MN的中点为P，直线OM，ON分别与直线l： SKIPIF 1 < 0 相交于A、B两点.则下列说法正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 的最小值为8
C. P到直线l距离的最小值为6D. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比不为定值
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A：设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线联立消 SKIPIF 1 < 0 后由韦达定理即可求得 SKIPIF 1 < 0 均为定值；
对于B：表示出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，用距离公式计算出 SKIPIF 1 < 0 ，用基本不等式求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
对于C：用 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标表示出 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，再用基本不等式求最小值；
对于D：分别求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积验证即可.
【详解】依题意，可得如下图象：
，
对于A：因为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴可得，直线的斜率一定存在，
所以设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以A选项正确；
对于B：因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时取得最小值16，所以B选项错误；
对于C：因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以C选项正确；
对于D：由题意可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程分别为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以它们与 SKIPIF 1 < 0 的交点分别为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
由弦长公式得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以D选项错误；
故选：AC.
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，“焦点弦”问题的求解，弦长公式的应用，设而不求法，韦达定理的应用等，需要考生的计算能力以及数形结合转化能力有较高的要求，属于压轴题.
12. 已知 SKIPIF 1 < 0 为圆锥的顶点， SKIPIF 1 < 0 为圆锥底面圆的圆心， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为底面圆的直径， SKIPIF 1 < 0 是底面圆的内接正三角形， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0
C. 在圆锥侧面上，点A到 SKIPIF 1 < 0 中点的最短距离为3
D. 圆锥内切球的表面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，证明出 SKIPIF 1 < 0 ，得到平行关系；B选项，作出辅助线，得到BM⊥AM，AM⊥BC，从而证明出线面垂直；C选项，将侧面展开，设 SKIPIF 1 < 0 中点为Q，连接AQ，则 SKIPIF 1 < 0 为点A到 SKIPIF 1 < 0 中点的最短距离，求出 SKIPIF 1 < 0 ，假设 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理求出点A到 SKIPIF 1 < 0 中点的最短距离为3，故C错误；D选项，画出图形，找到内切球球心，求出半径，得到内切球表面积.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 是底面圆的内接正三角形， SKIPIF 1 < 0 为底面圆的直径，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 为圆锥的顶点， SKIPIF 1 < 0 为圆锥底面圆的圆心， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以MO⊥平面ABC，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面ABC，所以MO⊥BC，
又AO⊥BC， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面MOA，
所以BC⊥平面AMO，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面AMO，
所以AM⊥BC，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以BM⊥AM，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面MBC，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
将侧面展开，如下：
设 SKIPIF 1 < 0 中点为Q，连接AQ，则 SKIPIF 1 < 0 为点A到 SKIPIF 1 < 0 中点的最短距离，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，故底面周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以在圆锥侧面上，点A到 SKIPIF 1 < 0 中点的最短距离不为3，C错误；
由对称性可知，圆锥内切球球心在OP上，作出图形，如下：
设内切球球心为T，设内切球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
TU=R， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△PUT中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，故圆锥内切球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ABD.
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 党的二十大报告指出，建设教育强国是民族复兴的伟大基础工程.某师范院校为了支持乡村教育振兴计划，拟委派10名大学生到偏远山区支教，其中有3名研究生.现将这10名大学生分配给5个乡村小学，每校2人，则不同的研究生分配情况有______种（用数字作答）.
【答案】120
【解析】
【分析】不同的研究生分配情况分为2类：其中2个研究生分配到相同的学校，3个研究生分配到不同的学校，根据分类加法计数原理分别计算即可.
【详解】如果其中2个研究生分配到相同的学校则有 SKIPIF 1 < 0 种；
如果3个研究生分配到不同的的学校则有 SKIPIF 1 < 0 种；
所以不同的研究生分配情况有 SKIPIF 1 < 0 (种).
故答案为：120.
14. 在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 项的系数为______.
【答案】220
【解析】
【分析】根据给定条件，分析展开式中 SKIPIF 1 < 0 项出现的情况，再列式计算作答.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式通项 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的最高指数小于12，而 SKIPIF 1 < 0 的指数小于等于 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的指数是负整数，要得到 SKIPIF 1 < 0 项，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数是 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：220
15. 在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 共焦点，双曲线 SKIPIF 1 < 0 实轴的两顶点将椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为______.；当焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴时，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线为______.
【答案】 ①. SKIPIF 1 < 0 ②. SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线定义，结合双曲线实轴和椭圆长轴的定义、椭圆离心率公式、双曲线渐近线方程进行求解即可.
【详解】椭圆和双曲线的对称性相同，不妨设两个曲线的焦点都在 SKIPIF 1 < 0 轴，设两个曲线标准方程分别为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设两个曲线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为两曲线在第一象限的交点，
设 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆和双曲线的定义可得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为两曲线的交点与两焦点共圆，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，于是有 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 的结果代入 SKIPIF 1 < 0 中，得
SKIPIF 1 < 0 ，设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 实轴的两顶点将椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴三等分，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【点睛】关键点睛：根据椭圆和双曲线的定义是解题的关键.
16. 在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是侧面 SKIPIF 1 < 0 内的动点，且满足直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，当直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角最大时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的半径为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，设点 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 求出点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程，根据 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角最大求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球球心为 SKIPIF 1 < 0 ，根据球心的定义可得出关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程组，求出这三个未知数的值，即可求得结果.
【详解】以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
易知平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值，此时，点 SKIPIF 1 < 0 ，
设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的球心为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即球心 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，前三项的系数依次为M，P，N，且满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若直线l： SKIPIF 1 < 0 的系数a，b，c（ SKIPIF 1 < 0 ）为展开式中所有无理项系数，求不同直线l的条数；
（2）求展开式中系数最大的项.
【答案】（1）10； （2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出n值并求出展开式的通项，再利用组合求解作答.
（2）由（1）中通项公式，列出不等式组，求出系数最大的项作答.
【小问1详解】
二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 ，
依题意， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 不是整数，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是无理项，
当r分别取1，2，3，5，6，7时，对应项的系数分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
从 SKIPIF 1 < 0 的5个数中取3个不同数分别为 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 种取法，每种取法确定一条直线，
所以不同直线l的条数是10.
【小问2详解】
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令第 SKIPIF 1 < 0 项的系数最大，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 展开式中系数最大的项是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知圆M经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为6.
（1）求圆M的标准方程；
（2）若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与圆M相切于点E，F，求直线l的方程及四边形PEMF的面积S.
【答案】（1）圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为12.
【解析】
【分析】（1）设出圆的一般式方程，根据在两坐标轴上的四个截距之和是6，以及韦达定理和圆过A，B坐标，列出方程组即可求解；
（2）设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由直线与圆相切列出方程求出 SKIPIF 1 < 0 即可得切线方程；求出 SKIPIF 1 < 0 ，根据四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 求得面积 SKIPIF 1 < 0 .
小问1详解】
设圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
设圆 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 在两坐标轴上的四个截距之和是6， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，
SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 代入方程得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故得圆 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）得圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 斜率为0的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 没有交点，不是圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，
不妨设过 SKIPIF 1 < 0 的圆的切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故切线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .
19. 如图，在等腰直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，DB和EC都垂直于平面ABC，且 SKIPIF 1 < 0 ，F为线段AE上一点，设 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 平面ABC；
（2）当二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 时，求四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）18
【解析】
【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明即可；
(2)利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值，进而可求体积.
【小问1详解】
取 SKIPIF 1 < 0 靠近点 SKIPIF 1 < 0 的三等分点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ,
则有 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为DB和EC都垂直于平面ABC， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 平面ABC,
所以 SKIPIF 1 < 0 平面ABC.
【小问2详解】
如图，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 （垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 ）为 SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
取平面 SKIPIF 1 < 0 法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
当二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 .
20. 世界人工智能大会是一场 SKIPIF 1 < 0 领域的国际盛会，集聚上千位来自国内外的“最强大脑”，展开了近百场高端论坛头脑风暴.某高校学生受大会展示项目的启发，决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示， SKIPIF 1 < 0 两个信号源相距10米， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，过 SKIPIF 1 < 0 点的直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，机器猫在直线 SKIPIF 1 < 0 上运动，机器鼠的位置始终满足： SKIPIF 1 < 0 两点同时发出信号，机器鼠接收到A点的信号比接收到 SKIPIF 1 < 0 点的信号晩 SKIPIF 1 < 0 秒（注：信号每秒传播 SKIPIF 1 < 0 米）.在时刻 SKIPIF 1 < 0 时，测得机器鼠与点 SKIPIF 1 < 0 间的距离为 SKIPIF 1 < 0 米.
（1）以 SKIPIF 1 < 0 为原点，直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立如图所示的平面直角坐标系，求时刻 SKIPIF 1 < 0 时机器鼠所在位置的坐标.
（2）游戏设定：机器鼠在距离直线 SKIPIF 1 < 0 不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”的风险？
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）有
【解析】
【分析】（1）由机器鼠接收到A点的信号比接收到 SKIPIF 1 < 0 点的信号晩 SKIPIF 1 < 0 ，可得机器鼠的运动轨迹方程，结合机器鼠与点 SKIPIF 1 < 0 间的距离为 SKIPIF 1 < 0 米，可得机器鼠此时的坐标；
（2）求出机器鼠的运动轨迹方程到l的最短距离，比较其与2米的大小即可.
【小问1详解】
设机器鼠的位置为点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的双曲线的右支，
设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
又在时刻 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以机器鼠所在位置的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由题意可知直线 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的平行线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，设切点横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
结合韦达定理有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
此时， SKIPIF 1 < 0 与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离 SKIPIF 1 < 0 最近的点，此时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，即机器鼠与 SKIPIF 1 < 0 最小的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，有“被抓”的风险.
21. 如图在直棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、AC、 SKIPIF 1 < 0 的中点分别为D、E、F.
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若异面直线 SKIPIF 1 < 0 与BF所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，且BC与平面BEF所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正切值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合直三棱柱的结构特征，证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 即可推理作答.
（2）由（1）及线线角、线面角可得 SKIPIF 1 < 0 ，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.
【小问1详解】
在直棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，点E、F分别为矩形 SKIPIF 1 < 0 对边AC、 SKIPIF 1 < 0 的中点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
在直棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为异面直线 SKIPIF 1 < 0 与BF所成的角，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是BC与平面BEF所成的角，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
以点E为原点，射线 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则 SKIPIF 1 < 0 ，棱 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
显然二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为锐角，所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的正切值是 SKIPIF 1 < 0 .
22. 双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，圆O： SKIPIF 1 < 0 与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被双曲线C截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求双曲线C的方程；
（2）设圆O上任意一点P处的切线交双曲线C于两点M、N，试判断 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；
（3）若将（2）中的双曲线改为椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，其他条件不变，试探讨 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）是，定值为2； （3）是，定值为2.
【解析】
【分析】（1）由离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由圆 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线被双曲线 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长确定 SKIPIF 1 < 0 过的点，即可求解作答.
（2）切线斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理、直角三角形射影定理可得 SKIPIF 1 < 0 为定值，验证切线斜率不存在的情况作答.
（3）切线斜率存在时，设出其方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理、直角三角形射影定理可得 SKIPIF 1 < 0 为定值，验证切线斜率不存在的情况作答.
【小问1详解】
设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意， SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 交x轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则圆O在点A处的切线 SKIPIF 1 < 0 被双曲线 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的对称性知被截弦的端点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
当圆 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线斜率不存在时，点 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）及已知，得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
当圆 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线斜率存在时，设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 消去y得：
SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 于点P，则 SKIPIF 1 < 0 ，
综上得 SKIPIF 1 < 0 为定值2.
【小问3详解】
当圆 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线斜率不存在时，点 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
当圆 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线斜率存在时，设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 消去y得：
SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 于点P，则 SKIPIF 1 < 0 ，
综上得 SKIPIF 1 < 0 为定值2.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
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