新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题5解析几何第2讲圆锥曲线的方程和性质核心考点2圆锥曲线的几何性质教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题5解析几何第2讲圆锥曲线的方程和性质核心考点2圆锥曲线的几何性质教师用书，共6页。试卷主要包含了双曲线的渐近线方程与焦点坐标，抛物线的焦点坐标与准线方程， 已知抛物线C，故选A等内容，欢迎下载使用。

1.椭圆、双曲线中a，b，c，e之间的关系
(1)在椭圆中，a2＝b2＋c2；离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2)).
(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2)).
2.双曲线的渐近线方程与焦点坐标
(1)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，焦点坐标为F1(－c,0)和F2(c,0)．
(2)双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x，焦点坐标为F1(0，－c，)和F2(0，c)．
3.抛物线的焦点坐标与准线方程
(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，准线方程x＝－eq \f(p,2).
(2)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，准线方程y＝－eq \f(p,2).
多维题组· 明技法
角度1：离心率问题
1. (2023·邵阳二模)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.在椭圆上存在点P使得eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，则椭圆离心率的取值范围是( B )
A．[eq \r(2)－1,1)B．(eq \r(2)－1,1)
C．(0，eq \r(2)－1)D．(0，eq \r(2)－1]
【解析】 ∵eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，∴在△PF1F2中，由正弦定理知eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(|PF2|,|PF1|)，∵eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，∴eq \f(|PF2|,|PF1|)＝eq \f(a,c)＝eq \f(1,e)，即|PF1|＝e|PF2|①.又∵P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a，将①代入得|PF2|＝eq \f(2a,e＋1)∈(a－c，a＋c)，同除以a得，1－e＜eq \f(2,e＋1)＜1＋e，得eq \r(2)－1＜e＜1.故选B.
2. (2023·金东区校级三模)已知F1，F2分别为双曲线：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq \f(1,4)，则双曲线的离心率为( B )
A.eq \f(17,8)B．eq \f(17,15)
C．eq \f(15,8)D．eq \f(8,5)
【解析】 PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq \f(1,4)，则|PF1|＝4|PF2|，△PF1F2是直角三角形，O是F1F2的中点，又|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝eq \f(1,2)|F1F2|＝c，且点P在渐近线y＝eq \f(a,b)x上，如图，点P在第三象限，则点P坐标为(－b，－a)，∵|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|2＝16|PF2|2，∴b2＋(－a－c)2＝16b2＋16(－a＋c)2，又b2＝c2－a2，∴15c2－17ac＝0，则e＝eq \f(17,15).故选B.
角度2：双曲线渐近线问题
3. (2023·河南三模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，M，N，P是双曲线C上的点，其中线段MN的中点恰为坐标原点O，且点M在第一象限，若eq \(NP,\s\up6(→))＝3eq \(NF,\s\up6(→))，∠OFM＝∠OMF，则双曲线C的渐近线方程为( B )
A．y＝±eq \f(4,3)xB．y＝±eq \f(2\r(2),3)x
C．y＝±eq \f(3\r(2),4)xD．y＝±eq \f(3,4)x
【解析】 设双曲线C的右焦点为F′，连接PF′，MF′，NF′，∵∠OFM＝∠OMF，∴|OM|＝|OF|＝|OF′|，∴MF′⊥MF，又O为MN中点，∴四边形MFNF′为矩形；设|NF|＝x，则|PF|＝2x，|PN|＝3x，∴|NF′|＝2a＋x，|PF′|＝2a＋2x，∵|PN|2＋|NF′|2＝|PF′|2，∴9x2＋(2a＋x)2＝(2a＋2x)2，解得：x＝eq \f(2,3)a，又|NF|2＋|NF′|2＝|FF′|2，∴eq \f(4,9)a2＋eq \f(64,9)a2＝4c2，即eq \f(68,9)a2＝4a2＋4b2，整理可得：eq \f(b,a)＝eq \f(2\r(2),3)，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(2\r(2),3)x.故选B.
4. (2023·安庆二模)已知双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1，(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，过x轴上方的焦点F1的直线与双曲线上支交于M，N两点，以NF2为直径的圆经过点M，若|MF2|，|MN|，|NF2|成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为 y＝±eq \f(\r(6),3)x .
【解析】 如图所示：
由双曲线的定义|MF2|＝2a＋|MF1|，|NF2|＝2a＋|NF1|，所以|MF2|＋|NF2|＝4a＋|MF1|＋|NF1|＝4a＋|MN|.因为|MF2|，|MN|，|NF2|成等差数列，所以|MF2|＋|NF2|＝2|MN|，即4a＋|MN|＝2|MN|，|MN|＝4a.令|MF1|＝x，在△MNF2中，MF2⊥MF1，所以|MF2|2＋|MN|2＝|NF2|2，即(2a＋x)2＋(4a)2＝(6a－x)2，解得x＝a，即|MF1|＝a，|MF2|＝3a，又在Rt△F1MF2中，a2＋(3a)2＝(2c)2,2c2＝5a2，又c2＝a2＋b2，所以2b2＝3a2，即eq \f(a,b)＝eq \f(\r(6),3)，y＝±eq \f(a,b)x＝±eq \f(\r(6),3)x.
角度3：抛物线的焦点弦问题
5. (2023·贵州模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若A(1,2eq \r(2))，则|AB|＝( A )
A．9B．7
C．6D．5
【解析】 由题意直线l的斜率必存在，抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，设直线l：y＝k(x－2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－2，,y2＝8x，))得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(4k2＋8,k2)，x1x2＝4，又A(1，2eq \r(2))，则x1＝1，x2＝4，k2＝8，|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝3×3＝9.故选A.
6. (2023·茂南区校级三模)已知O为坐标原点，直线l过抛物线D：y2＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线D及其准线依次交于A，B，C三点(其中点B在A，C之间)，若|AF|＝4，|BC|＝2|BF|.则△OAB的面积是 eq \f(4\r(3),3) .
【解析】 过点B作BM垂直于准线，垂足为M，过点A作AN垂直于准线，垂足为N，设准线与x轴相交于点P，如图，则|BM|＝|BF|，|AN|＝|AF|＝4，在△MBC中，|BC|＝2|BF|，所以|BC|＝2|BM|，所以∠MCB＝30°，故在△ANC中，|AC|＝2|AN|＝8，所以|AC|＝|AF|＋|CF|＝8，则|CF|＝8－|AF|＝4.又CN⊥x轴，∠MCB＝30°，所以|PF|＝eq \f(1,2)|CF|＝2，又抛物线D：y2＝2px，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，所以|PF|＝eq \f(p,2)＋eq \f(p,2)＝p＝2，所以抛物线D：y2＝4x，点F(1,0)．因为∠MCB＝30°，所以直线AB的斜率k＝－eq \r(3)，则直线AB：y＝－eq \r(3)(x－1)，与抛物线方程联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\r(3)x－1，,y2＝4x，))消y并化简得3x2－10x＋3＝0，易得Δ＞0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(10,3)，则|AB|＝|BF|＋|AF|＝|BM|＋|AN|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p＝eq \f(10,3)＋2＝eq \f(16,3)，又直线AB：y＝－eq \r(3)(x－1)，可化为eq \r(3)x＋y－eq \r(3)＝0，则点O到直线AB的距离d＝eq \f(|－\r(3)|,\r(3＋1))＝eq \f(\r(3),2)，所以S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×eq \f(16,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4\r(3),3).
方法技巧· 精提炼
1.圆锥曲线中有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来解决．
2.涉及双曲线渐近线的常用结论
(1)求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，得y＝±eq \f(b,a)x，或令eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝0，得y＝±eq \f(a,b)x.
(2)已知渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称．
3.抛物线焦点弦的4个性质
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
性质1：x1·x2＝eq \f(p2,4).
性质2：y1·y2＝－p2.
性质3：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2 α)(α是直线AB的倾斜角)．
性质4：eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．
加固训练· 促提高
1. (2023·船营区校级模拟)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是( D )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－2,2)，0))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－2,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1))
【解析】 如图所示，∠B1PA2是eq \(B2A2,\s\up6(→))与eq \(F2B1,\s\up6(→))的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则eq \(B2A2,\s\up6(→))＝(a，－b)，eq \(F2B1,\s\up6(→))＝(－c，－b)；∵向量的夹角为钝角时，eq \(B2A2,\s\up6(→))·eq \(F2B1,\s\up6(→))<0，∴－ac＋b2＜0，又b2＝a2－c2，∴a2－ac－c2＜0；两边除以a2得1－e－e2＜0，即e2＋e－1＞0；解得e＜eq \f(－1－\r(5),2)，或e＞eq \f(－1＋\r(5),2)；又∵0＜e＜1，∴eq \f(－1＋\r(5),2)＜e＜1；∴椭圆离心率e的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1＋\r(5),2)，1)).故选D.
2.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( D )
A.eq \f(3\r(3),4)B．eq \f(9\r(3),8)
C．eq \f(63,32)D．eq \f(9,4)
【解析】 由2p＝3，及|AB|＝eq \f(2p,sin2 α)，得|AB|＝eq \f(2p,sin2 α)＝eq \f(3,sin2 30°)＝12.又原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝eq \f(3,8)，故S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×12×eq \f(3,8)＝eq \f(9,4).
3. (2023·淮安模拟)已知F1，F2，分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若cs∠MF1N＝eq \f(5,13)，则C的离心率为 eq \r(5) .
【解析】 易知MN关于x轴对称，令∠MF1F2＝α，cs 2α＝eq \f(5,13)，∴cs2 α＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(5,13)))＝eq \f(9,13)，sin2 α＝eq \f(4,13)，∴tan2 α＝eq \f(4,9)，∴tan α＝eq \f(2,3)，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,a)x，,y＝－\f(b,a)x－c))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(c,2)，,y＝\f(bc,2a)，))∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(bc,2a)))，tan α＝eq \f(\f(bc,2a),\f(3,2)c)＝eq \f(2,3)，∴eq \f(b,a)＝2.∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(5).