2024河南省顶级名校高一上学期12月月考试题数学含解析

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知，且为第二象限角，则（ ）
A.B.C.D.
3.函数的零点一定位于区间（ ）
A.B.C.D.
4.的值为（ ）
A.B.C.D.
5.“”是“”的（ ）条件
A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要
6.已知，则（ ）
A.B.C.D.
7.若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
8.设函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.下列结论中，正确的有（ ）
A.B.
C.D.
10.若，则下列结论正确的是（ ）
A.B.C.D.
11.若a，，，则下列说法正确的是（ ）
A.的最大值为B.的最小值是4
C.的最大值为2D.的最小值为
12.函数则下列结论正确的是（ ）
A.当时，函数的单调增区间为
B.不论a为何值，函数既没有最小值，也没有最大值
C.不论a为何值，函数的图象与x轴都有交点
D.存在实数a，使得函数为上的减函数
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在平面直角坐标系中，点位于第______象限.
14.函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是______.
15.设，且，则______.
16.若扇形周长为10，当其面积最大时，其扇形内切圆的半径r为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）化简求值：
（1）；
（2）.
18.（本小题满分12分）已知.
（1）化简；
（2）若是第四象限角，且，求的值.
19.（本小题满分12分）已知二次函数.
（1）当a取何值时，不等式对一切实数x都成立；
（2）若在区间内恰有一个零点，求实数a的取值范围。
20.（本小题满分12分）已知二次函数，不等式的解集为.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于x的不等式（其中）.
21.（本小题满分12分）科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.
（1）现有三个奖励函数模型：
①，②，③.试分析这三个函数模型是否符合公司要求.
（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到350万元，公司的投资收益至少为多少万元?
22.（本小题满分12分）已知定义域为的函数满足对任意，都有.
（1）求证：是奇函数；
（2）设，且当时，，求不等式的解.
高一12月月考数学试题参考答案
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.A 2.C 3.B 4.C 5.B
6.D
【详解】∵，∴.故选：D.
7.C
【详解】不等式可化为，，令，由题意可得，
，当且仅当，即时等号成立，
，所以实数a的取值范围为.故选：C.
8.D
【详解】因为，
当时，显然单调递减；当时，也是单调递减；
且，即函数图像连续不断，所以在其定义域上单调递减，
由可得，解得.故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.AD 10.AB 11.ACD 12.ABD
第II卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.四
【详解】，
，∴在第四象限.
14..
15.20
【详解】依题意有，，∴，，
，∴.故答案为：20
16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解答：（1）原式……5分
（2）原式.……10分
18.解：（1）
.……6分
（2）∵，即，……8分
又是第四象限角，∴.……10分
∴.……12分
19.解：（1）为二次函数，则，
当时，二次函数图象开口向上，不等式不对一切实数x都成立，不满足题意；
当时，则有，解得.
故当时，不等式对一切实数x都成立.……4分
（2）i.当仅有一个零点时，由，
此时零点为，符合题意；……6分
ii.当有两个零点时，.
①当，则由解得另一个零点为，符合题意；……8分
②当，则由解得另一个零点为，符合题意；…10分
③当，由零点存在定理，则，解得.
综上，在区间内恰有一个零点时，实数a的取值范围为.……12分
20.【详解】（1）由题意在中，的解集为
∴的根为，2
∴，，解得：，
∴.……4分
（2）由题意及（1）得，，在中，
∴，即
当时，不等式化为：，解得：，……5分
当时，，则不等式的解为：或.……6分
当时，，不等式化为，即，
若，即，则不等式化为：，其解集为空集.……8分
若，即，则不等式的解集为，……10分
若，即，则不等式的解集为，
综上所述：
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.……12分
21.解：（1）由题意，符合公司要求的函数在上单调递增，
且对任意，恒有且……2分
①对于函数，在上单调递增，
当时，，不符合要求；……4分
②对于函数，在上单调递减，不符合要求；……5分
③对于函数，在上单调递增，
且当时，，
因为，
而，所以当时，恒成立，
因此为符合公司要求的函数模型.……8分
（2）由，得，所以，
所以公司的投资收益至少为8000万元.……12分
22.解：（1）令，则，即，……1分
令，则，即，……2分
令，，则，即，故是奇函数.……4分
（2）∵，则，即，
则，即，
令，则，，
∴，即，
故在上单调递减，……6分
又∵，则是偶函数，……7分
∴，，即，
则，解得或，
故不等式的解集为……12分