2022-2023学年辽宁省大连八中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省大连八中高一（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.点( 3,−1)是角θ的终边上一点，则sin(π2+θ)=( )
A. 32B. − 32C. 12D. −12
2.复数z=2sinθ+icsθ(θ∈R)对应的点在第四象限，则角θ是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
3.向量a=(1, 3)在向量b=(2 3,2)上的投影向量为( )
A. 32B. ( 34,34)C. (32, 32)D. 34
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acsC+ccsA=c，则△ABC的形状为( )
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
5.方程tan(2x+π3)= 3在区间[0,2π)上的解的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场底线宽AB=72码，球门宽EF=8码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得∠EPF最大，这时候点P就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点O处(OA=AB,OA⊥AB)时，根据场上形势判断，有OA、OB两条进攻线路可选择，若选择线路OA，甲到达最佳射门位置P时，需要带球距离为( )
A. 72−18 3码B. 72−15 5码C. 72−16 3码D. 72−16 5码
7.知sinα= 55,sin(α−β)=− 1010,α,β均为锐角，则β=( )
A. 5π12B. π3C. π4D. π6
8.在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，已知b=2，c=4，2sinA=3sin2C.设A的平分线AD与BC交于点D，则AD的长为( )
A. 2 2B. 5C. 2D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数f(x)=sin(2x+π3)(x∈R)，下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π
B. 函数f(x)图像的对称中心为(kπ2−π6,0),k∈Z
C. 函数f(x)的单调递增区间为[kπ+π12,kπ+7π12],k∈Z
D. 函数f(x)的图像可由函数y=sin2x的图像向左平移π3个单位长度得到
10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件判断三角形的情况，则正确的是( )
A. b=19，A=45°，C=30°，有两解
B. a= 3，b=2 2，A=45°，有两解
C. a=3，b=2 2，A=45°，只有一解
D. a=7，b=7，A=75°，只有一解
11.已知a=3132，b=cs14，c=4sin14，则( )
A. b>cB. c>aC. b>aD. a>c
12.在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，P为△ABC内任意一点(含边界)，且PC=1，则PA⋅PB的值可能是( )
A. −1B. −4C. −3D. −2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.sin600°= ．
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3 2，c=3，A=π4，则b= ______ ．
15.设向量a,b的夹角的余弦值为13，且|a|=1,|b|=3，则(2a+b)⋅b= ______ ．
16.关于x方程(a+x)sin(a+x)−(b+x)sin(b+x)=0(a≠b)的一个解x= ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
i为虚数单位．
(1)已知复数z0=3−i2+i，求z0的虚部．
(2)在复数范围内解方程|z|2+(z+z−)i=3−i2+i．
18.(本小题12分)
已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且(a−b)⊥b．
(1)求a与b的夹角；
(2)若|a+b|= 14，求|b|.
19.(本小题12分)
如图所示，为测算某自然水域的最大宽度(即A、B两点间的距离)，取相距1500米的C、D两点作为观测点(A、B、C、D四点在同一平面内).测得∠ADB=135°，∠BDC=∠ACD=15°，∠ACB=120°.测绘人员根据以上数据，先推算出B、D两点间的距离，然后就可以测算出A、B两点间的距离.请你完成以下运算．

(1)求BD的长(单位：米)；
(2)求水域的最大宽度AB的长(单位：米)．
20.(本小题12分)
已知向量a=(sinx, 3)，b=(1,csx)．
(1)若a⊥b，求sin2x的值；
(2)令f(x)=a⋅b，把函数f(x)的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半(纵坐标不变)，再把所得的图像沿x轴向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在[0,π2]上的最大值和最小值．
21.(本小题12分)
设函数f(x)=12cs2x−4 3sinxcsx−5．
(1)求f(x)的最小正周期和值域；
(2)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若f(A)=−5，a= 3，求△ABC周长的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作y=g(x)．
(i)求函数h(x)=f(x2)g(x)的最大值；
(ii)若函数F(x)=g(π2−2x)+mg(x)(m∈R)在(0,nπ)(n∈N+)内恰有2015个零点，求m、n的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为点( 3,−1)是角θ的终边上一点，
所以csθ= 3 ( 3)2+(−1)2= 32，
所以sin(π2+θ)=csθ= 32．
故选：A．
由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为复数z=2sinθ+icsθ(θ∈R)对应的点在第四象限，则sinθ>0csθ<0，
因此，角θ是第二象限角．
故选：B．
利用复数的几何意义可得出sinθ>0csθ<0，利用象限角与三角函数值符号的基本关系判断可得出结论．
本题考查了复数的几何意义，考查三角函数，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为a=(1, 3)，b=(2 3,2)，
所以a⋅b=2 3+2 3=4 3，
所以a在b方向上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=4 312+4(2 3,2)=(32, 32)．
故选：C．
利用平面向量数量积的坐标运算，结合投影向量公式可求得结果．
本题考查投影向量的坐标表示，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acsC+ccsA=c，
利用正弦定理：sinAcsC+sinCcsA=sinC，
整理得：sin(A+C)=sinB=sinC，
由于0所以B=C．
故该三角形为等腰三角形；
故选：C．
直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：方程tan(2x+π3)= 3，
∴2x+π3=π3+kπ，k∈Z，
x=kπ2，k∈Z；
k=0，k=1，k=2，k=3，
求得方程在区间[0,2π)上的解为0，π2，π，3π2；共4个．
故选：C．
求出方程tan(2x+π3)= 3在区间[0,2π)上的解，即可得出正确的结论．
本题考查了三角函数方程的应用问题，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：若甲选择线路OA，设AP=t(t>0)，
因为AE=32，AB=OA=72，AF=AE+EF=32+8=40，
tan∠APE=AEAP=32t，tan∠APF=AFAP=40t，
所以tan∠EPF=tan(∠APF−∠APE)=tan∠APF−tan∠APE1+tan∠APFtan∠APE=40t−32t1+1280t2=8t+1280t
≤82 t⋅1280t=832 5= 520，
当且仅当t=1280t时，即当t=16 5时，等号成立，此时，OP=OA−AP=72−16 5，
因此，若选择线路OA，甲到达最佳射门位置P时，需要带球距离为(72−16 5)码．
故选：D．
选择线路OA，设AP=t(t>0)，利用基本不等式结合两角差的正切公式求出∠EPF正切值的最大值，利用等号成立的条件求出t的值，即可得解．
本题考查解三角形的应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了两角差的余弦公式及同角三角函数基本关系，解题的关键是利用了凑角的技巧：β=α−(α−β)，要注意一些常用的凑角变换．
由已知可求cs(α−β)，csα，而β=α−(α−β)，再利用两角差的余弦公式可求csβ，结合已知β的范围可求答案．
【解答】
解：∵0<α<π2,0<β<π2，
∴−π2<α−β<π2，
∵sin(α−β)=− 1010，sinα= 55，
∴cs(α−β)=3 1010，csα=2 55，
∴csβ=cs[α−(α−β)]
=csαcs(α−β)+sinαsin(α−β)
=2 55×3 1010+ 55×(− 1010)= 22，
∴β=π4，
故选C．
8.【答案】C
【解析】解：由2sinA=3sin2C得sinA=3sinCcsC，即a=3ccsC，
故a=3c×a2+b2−c22ab，结合b=2，c=4，得a=12×a2+4−164a，∴a=3 2，
则csA=b2+c2−a22bc=4+16−182×2×4=18，即A为锐角，
所以sinA= 1−(18)2=3 78，sinA2= 1−csA2= 74，
由S△ABC=S△ABD+S△ADC，
得12×AB×AC×sinA=12×AB×AD×sinA2+12×AC×AD×sinA2，
即12×4×2×3 78=12×4×AD× 74+12×2×AD× 74，
解得AD=2．
故选：C．
根据正弦定理角化边结合余弦定理化简2sinA=3sin2C可求得a，进而求得csA，sinA，由二倍角余弦公式求出sinA2，再根据S△ABC=S△ABD+S△ADC即可求得答案．
本题考查了正弦定理与余弦定理、方程的解法、三角形角平分线的性质、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于函数f(x)=sin(2x+π3)，对于A：函数的最小正周期为T2π2=π，故A正确；
对于B：令2x+π3=kπ，k∈Z，整理得x=kπ2−π6，k∈Z，故B正确；
对于C：令−π2+2kπ≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，整理得−5π12+kπ≤x≤kπ+π12k∈Z，故函数的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12],k∈Z，故C错误；
对于D：函数f(x)的图像可由函数y=sin2x的图像向左平移π6个单位长度得到，故D错误．
故选：AB．
直接利用正弦型函数的图象和性质求出结果．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10.【答案】CD
【解析】解：对于A，∵A=45°，C=30°，则B=105°，
∴由正弦定理asinA=csinC=bsinB，
可得a=bsinAsinB,c=bsinCsinB，显然有唯一结果，即只有一解，A错误；
对于B，a= 3，b=2 2，A=45°，
由正弦定理得sinB=bsinAa=2 2sin45° 3=2 3>1，无解，B错误；
对于C，∵a=3，b=2 2，A=45°，∴a>b，∴B由正弦定理得sinB=bsinAa=2 2sin45°3=23<1，有唯一解，C正确；
对于D，∵a=7，b=7，A=75°，∴a=b，∴B=A=75°，
此时C=30°，有唯一解，D正确．
故选：CD．
利用正弦定理，逐项计算判断作答．
本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，化归转化思想，属基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：根据题意，先证明出当α∈(0,π2)时，sinα<α设点A(1,0)，设∠AOB=α，其中α∈(0,π2)，设点B在x轴上的射影点为T，
过点A作x轴的垂线交射线OB于点P，则|BT|=sinα，|AP|=tanα，AB=α，
由图可知，S△AOB故当α∈(0,π2)时，sinα<α因为18、14∈(0,π2)，则cb=4sin14cs14=4tan14>4×14=1，因为cs14>0，则c>b，
因为b=cs14=1−2sin218>1−2×(18)2=3132=a，则c>b>a．
故选：BC．
证明出当α∈(0,π2)时，sinα<α本题考查三角函数线的性质以及应用，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，
以点C为坐标原点，CB、CA所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则A(0,3)、B(4,0)、C(0,0)，
因为P为△ABC内任意一点(含边界)，且PC=1，
设点P(csθ,sinθ)(0≤θ≤π2)，
则PA=(−csθ,3−sinθ)，PB=(4−csθ,−sinθ)，
所以PA⋅PB=−csθ(4−csθ)−sinθ(3−sinθ)=1−(3sinθ+4csθ)=1−5sin(θ+φ)，φ为锐角，且tanφ=43，
因为0≤θ≤π2，
则φ≤θ+φ≤π2+φ，
由φ≤θ+φ≤π2可得0≤θ≤π2−φ，
由π2≤θ+φ≤π2+φ得π2−φ≤θ≤π2，
所以函数f(θ)=1−5sin(θ+φ)在[0,π2−φ]上单调递减，在[π2−φ,π2]上单调递增，
所以f(θ)min=1−5=−4，
又因为f(0)=1−4=−3，f(π2)=1−3sinπ2=−2，
则−4≤PA⋅PB≤−2，
故选：BCD．
以点C为坐标原点，CB、CA所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，设点P(csθ,sinθ)(0≤θ≤π2)，利用平面向量数量积的坐标运算、辅助角公式以及正弦型函数的基本性质可求得PA⋅PB的取值范围，即可得出合适的选项．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题．
13.【答案】− 32
【解析】【分析】
本题考查利用三角函数诱导公式化简求值，是基础题．
利用诱导公式直接化简sin600°为−sin60°，然后求出它的值即可．
【解答】
解：sin600∘=sin(360∘+240∘)=sin240∘
=sin(180∘+60∘)=−sin60∘=− 32．
故答案为：− 32．
14.【答案】4
【解析】解：由题意知，三角形的面积为S=12bcsinA，
即3 2=12×b×3× 22，解得b=4．
故答案为：4．
根据三角形的面积公式计算直接得出结果．
本题考查了三角形的面积公式应用问题，是基础题．
15.【答案】11
【解析】解：已知向量a,b的夹角的余弦值为13，且|a|=1,|b|=3，
则a⋅b=1×3×13=1，
则(2a+b)⋅b=2a⋅b+b2=2×1+32=11．
故答案为：11．
结合平面向量数量积的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
16.【答案】−a+b2
【解析】解：令f(x)=xsinx，其中x∈R，则f(−x)=−xsin(−x)=xsinx=f(x)，
所以，函数f(x)为偶函数，
由(a+x)sin(a+x)−(b+x)sin(b+x)=0，可得f(a+x)=f(b+x)，
则原方程的一个解x满足|a+x|=|b+x|，
可解得x=−a+b2．
故答案为：−a+b2．
令f(x)=xsinx，推导出该函数为偶函数，由原方程可得f(a+x)=f(b+x)，由偶函数的基本性质可得出原方程的一个解．
本题考查了函数零点与方程根的关系，考查了构造函数解决问题的能力，考查了函数思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)z0=3−i2+i=(3−i)(2−i)(2+i)(2−i)=5−5i5=1−i，故z0的虚部为−1．
(2)设z=a+bi(a,b∈R)，则z−=a−bi，
由|z|2+(z+z−)i=3−i2+i可得a2+b2+2ai=1−i，
所以a2+b2=12a=−1，解得a=−12b=± 32，
故z=−12+ 32i或z=−12− 32i．
【解析】(1)利用复数的除法化简复数z0，利用复数的概念可得结果；
(2)设z=a+bi(a,b∈R)，则z−=a−bi，利用复数的四则运算以及复数相等可得出关于a、b的方程组，解出这两个量的值，即可得出复数z．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵(a−b)⊥b，∴(a−b)⋅b=0，
∴a⋅b−b2=0，
∴|a|⋅|b|⋅cs−b2=0，
∵|a|=2|b|，∴2b2cs−b2=0，
∴cs=12，
∵向量夹角θ∈[0,π]，∴a与b的夹角为π3．
(2)∵|a+b|= 14，∴a2+2a⋅b+b2=14，
∵|a|=2|b|，又由(1)知cs=12，
∴7b2=14，∴|b|= 2．
【解析】(1)由(a−b)⊥b，得数量积为0，再结数量积的公式和|a|=2|b|，可求得夹角；
(2)由|a+b|= 14，两边平方，将此式展开，把|a|=2|b|代入可求得结果．
本题主要考查平面向量的数量积的有关运算，考查计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)在△ADC中，∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°+15°=150°，
因为∠ACD=15°，所以，∠DAC=15°，
所以，AD=CD=1500，∠BCD=∠ACD+∠ACB=15°+120°=135°，
则∠DBC=30°，
在△BCD中，由正弦定理得BDsin∠DCB=CDsin∠DBC，
得BD=CD⋅sin∠DCBsin∠DBC=1500sin135°sin30∘=1500× 2212=1500 2米．
(2)解：在△ADB中，由余弦定理得：AB2=AD2+BD2−2AD⋅BDcs∠ADB，
=15002+(1500 2)2−2×1500×1500 2×(− 22)=(1500 5)2，
所以，AB=1500 5，故水域的最大宽度为1500 5米．
【解析】(1)分析可知△ACD为等腰三角形，可得出AD=CD=1500，求出∠BCD、∠DCB的大小，然后利用正弦定理可求得BD的长；
(2)在△ABD中，直接利用余弦定理可求得AB的长，即为所求．
本题考查解三角形的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵a⊥b，∴a⋅b=(sinx, 3)⋅(1,csx)=sinx+ 3csx=0，
∴tanx=− 3，∴sin2x=2tanx1+tan2x=− 32；
(2)∵f(x)=a⋅b=(sinx, 3)⋅(1,csx)=sinx+ 3csx=2sin(x+π3)，
∴根据题意得g(x)=2sin(2x+2π3)，
又x∈[0,π2]，∴2π3≤2x+2π3≤5π3，
∴g(x)的最大值为2× 32= 3，
g(x)的最小值为2×(−1)=−2．
【解析】(1)根据向量垂直的性质建立方程即可求解；
(2)根据向量数量积的坐标运算，函数的图像变换，三角函数的值域即可求解．
本题考查向量垂直的性质，方程思想，向量数量积的坐标运算，函数的图像变换，三角函数的值域，属中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)=12cs2x−4 3sinxcsx−5=6cs2x−2 3sin2x+1=4 3cs(2x+π6)+1，
所以f(x)的最小正周期为：2π2=π，值域为：[−4 3+1,4 3+1]．
(2)由题意可知4 3cs(2A+π6)+1=−5，A∈(0,π2)，
解得cs(2A+π6)=− 32，所以2A+π6=5π6，
∴A=π3，B+C=2π3，B∈(π6,π2)，
在三角形△ABC中，由正弦定理可得，
3 32=bsinB，即b=2sinB，同理，c=2sin(2π3−B)，
所以三角形△ABC的周长为：L= 3+2sinB+2sin(2π3−B)= 3+3sinB+ 3csB= 3+2 3sin(B+π6)，又B∈(π6,π2)，
∴L∈(3+ 3,3 3],
所以三角形△ABC的周长范围为：(3+ 3,3 3].
【解析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式，可以直接解出．
(2)利用解三角形知识，f(A)=−5，可以解出角A，表示出三角形的周长，进而可以直接解出．
本题考查了三角函数的性质，解三角形，属于基础题．
22.【答案】解：(1)由函数图象可得A=1，且T2=7π12−π12，解得T=π，
所以ω=2πT=2ππ=2，所以可得2⋅π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，而|φ|≤π2，解得：φ=π3，
所以f(x)=sin(2x+π3)，
所以函数的单调递增区间满足2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得−512π+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为：[−512π+kπ,π12+kπ]，k∈Z；
(2)由(1)及函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到曲线C，
把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变可得g(x)=sinx，
(i)h(x)=f(x2)g(x)=sin(x+π3)sinx=12sin2x+ 32sinxcsx=1−cs22x4+ 34sin2x=12sin(2x−π6)+14，
所以h(x)的最大值为12+14=34，这时2x−π6=π2+2kπ，k∈Z，即x=π3+kπ，k∈Z．
(ii)由题意可得g(π2−2x)=sin(π2−2x)=cs2x=1−2sin2x，所以F(x)=1−2sin2x+msinx，
令F(x)=0，可得2sin2x−msinx−1=0，令t=sinx∈[−1,1]，
即2t2−mt−1=0，易知Δ>0，方程由两个不同的实数解t1，t2，由t1t2=−12<0，则t1，t2异号，
①当t1>1且−1则方程sinx=t1和sinx=t2在区间(0,nπ)上均有偶数个根，不合题意，舍去；
②当|t1|<1且|t2|<1时，
则方程sinx=t1和sinx=t2在区间(0,nπ)上均有偶数个根，不合题意，舍去；
③当t1=1且t2=−12时，
x∈(0,2π)时，方程sinx=t1只有一根，方程sinx=t2有两根，
所以关于x的方程2sin2x−msinx−1=0在x∈(0,2π)上有三个根，
由于2015=3×671+2，则方程2sin2x−msinx−1=0在(0,1342π)上有2013个根，
因为方程sinx=t1在区间(1342π,1343π)上只有一根，在区间(1343π,1344π)上无根；
方程sinx=t2在区间(1342π,1343π)上无根，在区间(1343π,1344π)上有两个根，
因此，不合题意，舍去；
④当t1=−1且t2=12时，
x∈(0,2π)时，方程sinx=t1只有一根，方程sinx=t2有两根，
所以关于x的方程2sin2x−msinx−1=0在x∈(0,2π)上有三个根，
由于2015=3×671+2，则方程2sin2x−msinx−1=0在(0,1342π)上有2013个根，
因为方程sinx=t1在区间(1342π,1343π)上无根，方程sinx=t2在区间(1342π,1343π)上有两个根，
因此，当n=1343时，满足题意，
此时2⋅(−1)2−m⋅(−1)−1=0，解得m=−1，
综上m=−1，n=1343．
【解析】(1)根据三角函数的图象与性质解出参数A，ω，φ即可；
(2)(i)先通过图象的变换得到函数g(x)的表达式，从而求出函数h(x)，再结合三角函数的有界性即可求函数h(x)的最大值；
(ii)由(i)先求出函数F(x)的表达式，令t=sinx∈[−1,1]，将F(x)=0转化为2t2−mt−1=0，再根据方程2t2−mt−1=0两个根的所在区间进行分类讨论即可得出答案．
本题考查三角函数的图象与性质，三角函数的平移伸缩变换，三角函数单调性以及最值的求法，方程的根与函数零点的关系，难点在于最后一问的分类讨论，属于难题．