2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共24页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标为（ ）
A．（1，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）
2．（5分）直线l1：ax+y﹣1＝0，l2：（a﹣2）x﹣ay+1＝0，则a＝﹣2是l1∥l2的（ ）条件．
A．必要不充分B．充分不必要
C．充要D．既不充分也不必要
3．（5分）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2a2+7a1，则公比q为（ ）
A．2或﹣3B．3C．2D．﹣3
4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a4+a7＝22，则S19＝（ ）
A．380B．200C．190D．100
5．（5分）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为4，若该塔形几何体是由7个正方体构成，则该塔形的表面积（含最底层的正方体的底面面积）为（ ）
A．127B．C．143D．159
7．（5分）已知椭圆和点P（2，﹣1），直线l与椭圆C交于A，B两点，若四边形OAPB为平行四边形，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．x﹣2y﹣2＝0D．x+2y﹣2＝0
8．（5分）已知双曲线，直线l过坐标原点并与双曲线交于P，Q两点（P在第一象限），过点P作l的垂线与双曲线交于另一个点A，直线QA交x轴于点B，若点B的横坐标为点Q横坐标的两倍，则双曲线的离心率为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，且S5＝S9，则下列命题正确的有（ ）
A．S7是数列{Sn}中的最大项
B．a7是数列{an}中的最大项
C．S14＝0
D．满足Sn＞0的n的最大值为13
（多选）10．（5分）设圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，直线l：3x+4y+3＝0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点为A、B，M、N为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．|PA|的取值范围为[1，+∞）
B．四边形PACB面积的最大值为
C．满足∠APB＝60°的点P有两个
D．△CAB的面积最大值为
（多选）11．（5分）数列{an}满足an+2＝Aan+1+Ban（A，B为非零常数），则下列说法正确的有（ ）
A．若A＝1，B＝﹣1，则数列{an}是周期为6的数列
B．对任意的非零常数A，B，数列{an}不可能为等差数列
C．若A＝3，B＝﹣2，则数列{an+1﹣an}是等比数列
D．若正数A，B满足A+1＝B，a1＝0，a2＝B，则数列{a2n}为递增数列
（多选）12．（5分）已知抛物线E：y2＝2x的焦点为F，直线AB，CD过焦点F分别交抛物线E于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），其中A，C位于x轴上方，且直线BC经过点，记BC，AD的斜率分别为kBC，kAD，则下列正确的有（ ）
A．y1y2＝﹣1B．
C．y1y4＝﹣2D．
三、填空题：本题共4小题，每小鿒5分，共20分.
13．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣kx+2y+1＝0与圆C2：x2+y2+2ky﹣1＝0的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为 ．
14．（5分）已知抛物线E：y2＝4x，直线l：y＝2（x﹣1）与E相交于A，B两点，若E的准线上一点M满足∠AMB＝90°，则M的坐标为 ．
15．（5分）已知双曲线的右焦点为F，离心率为e，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若|MF||NF|＝4，∠MFN＝60°，则的最小值为 ．
16．（5分）已知数列{an}满足为公差为1的等差数列，若不等式对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步㶹.
17．（10分）已知圆C的圆心坐标为（1，2），且圆C与直线l：x﹣2y﹣7＝0相切，过点A（3，0）的动直线m与圆C相交于M，N两点，点P为MN的中点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求的最大值．
18．（12分）已知数列{an}是等差数列，Sn是等比数列{bn}的前n项和，a4＝b1＝8，a2＝b3，S3＝6
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求Sn的最大值和最小值．
19．（12分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，且ED＝FB＝1．
（1）求证：EC⊥平面ADF
（2）在线段EC上是否存在点G（不含端点），使得平面GBD与平面ADF的夹角为45°，若存在，指出G点的位置；若不存在，请说明理由．
20．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，3an﹣2Sn＝2n﹣1．
（1）求证：数列{an+1}为等比数列；
（2）若，则求数列{bn}的前n项和Tn．
21．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴，点Q（m，2）抛物线上，Q到抛物线的准线的距离为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）动点P在抛物线的准线上，过点P作抛物线C的两条切线分别交y轴于A，B两点，当△PAB面积为时，求点P的坐标．
22．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆的一个焦点作垂直于x轴的直线与椭圆交于M，N两点，|MN|＝1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C外一点P（2，2）任作一条直线与椭圆交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足2|PA||PB|＝|PQ||PA|+|PQ||PB|，证明：点Q必在某确定直线上．
2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个诜项中，只有一项是特合题目要求的.
1．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标为（ ）
A．（1，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）
【解答】解：整理抛物线方程得x2y
∴焦点在y轴，p
∴焦点坐标为（0，）
故选：D．
2．（5分）直线l1：ax+y﹣1＝0，l2：（a﹣2）x﹣ay+1＝0，则a＝﹣2是l1∥l2的（ ）条件．
A．必要不充分B．充分不必要
C．充要D．既不充分也不必要
【解答】解：直线l1：ax+y﹣1＝0，l2：（a﹣2）x﹣ay+1＝0，l1∥l2，
则﹣a2＝a﹣2，即a2+a﹣2＝0，解得a＝﹣2或a＝1，
当a＝﹣2时，直线l1，l2不重合，符合题意，
当a＝1时，直线l1，l2重合，不符合题意，
故a＝﹣2，
所以a＝﹣2是l1∥l2的充要条件．
故选：C．
3．（5分）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2a2+7a1，则公比q为（ ）
A．2或﹣3B．3C．2D．﹣3
【解答】解：∵S3＝2a2+7a1，
∴2a1q+7a1，
∵a1≠0，
∴q2﹣q﹣6＝0，即（q﹣3）（q+2）＝0，解得q＝3或q＝﹣2（舍去），
∴q＝3．
故选：B．
4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a4+a7＝22，则S19＝（ ）
A．380B．200C．190D．100
【解答】解：a1＝2，
则a1+a10＝a4+a7＝22，解得a10＝20，
故．
故选：A．
5．（5分）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：已知双曲线的渐近线方程为，
则，b＝2t，（t＞0），
又双曲线过点，
则，
则t2＝1，
则t＝1，
则双曲线的标准方程为，
故选：C．
6．（5分）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为4，若该塔形几何体是由7个正方体构成，则该塔形的表面积（含最底层的正方体的底面面积）为（ ）
A．127B．C．143D．159
【解答】解：最底层正方体的棱长为4，则该正方体的表面积为6×42＝96；
自下向上第二层正方体的棱长为2，它的侧面积为432；
自下向上第三层正方体的棱长为2，它的侧面积为4×22＝16；
自下向上第四层正方体的棱长为，它的侧面积为8；
自下向上第五层正方体的棱长为1，它的侧面积为4×12＝4；
自下向上第五层正方体的棱长为，它的侧面积为4×（）2＝2；
最上层正方体的棱长为，它的侧面积为4×（）2＝1．
∴该塔形几何体的表面积为S＝96+32+16+8+4+2+1＝159．
故选：D．
7．（5分）已知椭圆和点P（2，﹣1），直线l与椭圆C交于A，B两点，若四边形OAPB为平行四边形，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．x﹣2y﹣2＝0D．x+2y﹣2＝0
【解答】解：由题意可得OP的中点（1，），
设A（x1，y1），B（x2，y2），由四边形OAPB为平行四边形可得AB的中点（1，），即1，，
将A，B的坐标代入椭圆的方程可得，作差可得0，
整理可得：4••，
即直线l的斜率为，
示意图直线l的方程为y（x﹣1），整理可得：x﹣2y﹣2＝0，
故选：C．
8．（5分）已知双曲线，直线l过坐标原点并与双曲线交于P，Q两点（P在第一象限），过点P作l的垂线与双曲线交于另一个点A，直线QA交x轴于点B，若点B的横坐标为点Q横坐标的两倍，则双曲线的离心率为（ ）
A．1B．C．D．
【解答】解：已知点B的横生标为点Q横坐标的两倍，
则|QO|＝|QB|，
即∠OBQ＝∠BOQ，
则kPQ+kAQ＝0，
设P（x，y），Q（﹣x，﹣y），A（m，n），
则，①
又AP⊥PQ，
则，②
由①②可得y2﹣n2＝x2﹣m2，
又，，
则，
则a2＝b2，
则，
即双曲线的离心率为，
故选：C．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，且S5＝S9，则下列命题正确的有（ ）
A．S7是数列{Sn}中的最大项
B．a7是数列{an}中的最大项
C．S14＝0
D．满足Sn＞0的n的最大值为13
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0，公差d≠0，且S5＝S9，
∴5a1+10d＝9a1+36d，整理得a1d，
∴an＝a1+（n﹣1）dnd﹣d＝（n）d，
∵d＜0，∴a7＞0，a8＜0，∴S7是数列{Sn}中的最大项，故A正确；
∵d＜0，a7＞0，∴a1是数列{an}中的最大项，故B错误；
S14＝14a114×（d）d＝0，故C正确；
∵S14＝0，d＜0，a7＞0，a8＜0，∴满足Sn＞0的n的最大值为13，故D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（5分）设圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，直线l：3x+4y+3＝0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点为A、B，M、N为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．|PA|的取值范围为[1，+∞）
B．四边形PACB面积的最大值为
C．满足∠APB＝60°的点P有两个
D．△CAB的面积最大值为
【解答】解：圆心C（1，1）到直线l：3x+4y+3＝0的距离d2，
所以|PC|≥d＝2，因为圆的半径为r，
根据切线长公式可得|PA|1，
当PC⊥l时取得等号，所以|PA|的取值范围为[1，+∞），故A正确；
因为PA⊥AC，所以四边形PACB的面积等于2×S△PAC＝|PA|×|AC||PA|，
四边形PACB的最小值为，故B错误；
因为∠APB＝60°，所以∠APC＝30°，
在直角三角形APC中，sin30°，所以|CP|＝2，
设P（a，），因为|CP|2，
整理得25a2+10a﹣127＝0，
则有Δ＝100+12700＞0，所以满足条件的点P有两个，故C正确；
因为S△CAB|CA||CB|sin∠ACBsin∠ACB，
所以当sin∠ACB＝1，即∠ACB＝90°，面积有最大值为，
此时四边形PACB为正方形，则|PC|2，满足要求，故D错误，
故选：AC．
（多选）11．（5分）数列{an}满足an+2＝Aan+1+Ban（A，B为非零常数），则下列说法正确的有（ ）
A．若A＝1，B＝﹣1，则数列{an}是周期为6的数列
B．对任意的非零常数A，B，数列{an}不可能为等差数列
C．若A＝3，B＝﹣2，则数列{an+1﹣an}是等比数列
D．若正数A，B满足A+1＝B，a1＝0，a2＝B，则数列{a2n}为递增数列
【解答】解：对于A，因为A＝1，B＝﹣1，所以an+2＝an+1﹣an，n∈N*，
所以an+3＝an+2﹣an+1＝an+1﹣an﹣an+1，n∈N*，
所以an+6＝a（n+3）+3＝﹣an+3＝an，n∈N*，
所以数列{an}是周期为6的数列，故正确；
对于B，当A＝2，B＝﹣1时，则有an+2＝2an+1﹣an，n∈N*，
即有an+1，n∈N*，
由等差中项的性质可知{an}为等差数列，故错误；
对于C，当A＝3，B＝﹣2时，an+2＝3an+1﹣2an，n∈N*，
即有an+2﹣an+1＝2（an+1﹣an），n∈N*，
当an+1﹣an≠0时，数列{an+1﹣an}是以2为公比的等比数列，故错误；
对于D，因为正数A，B满足A+1＝B，a1＝0，a2＝B，所以A＝B﹣1＞0，则B＞1，
所以an+2＝Aan+1+Ban＝（B﹣1）an+1+Ban，n∈N*，
所以an+2+an+1＝B（an+1+an），n∈N*，设数列前n项和为Sn，则有
S2n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）＝（a1+a2）[1+B2+B4+…+B2（n﹣1）]＝B•，n∈N*，
所以S2n﹣1＝B•，n∈N*，
所以a2n＝S2n﹣S2n﹣1，n∈N*，
所以a2（n+1），n∈N*，
所以a2（n+1）﹣a2n•（B2﹣1）＝B2n（B﹣1）＞0，n∈N*，所以数列{a2n}为递增数列，故正确．
故选：AD．
（多选）12．（5分）已知抛物线E：y2＝2x的焦点为F，直线AB，CD过焦点F分别交抛物线E于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），其中A，C位于x轴上方，且直线BC经过点，记BC，AD的斜率分别为kBC，kAD，则下列正确的有（ ）
A．y1y2＝﹣1B．
C．y1y4＝﹣2D．
【解答】解：由抛物线E：y2＝2x可得，抛物线的焦点，
设直线AB的方程为，
联立，整理可得：y2﹣2ty﹣1＝0，
所以y1y2＝﹣1，故选项A正确；同理可得：y3y4＝﹣1，
由直线BC经过点，设，
则，
而，所以，
则，
整理可得：，
也即，
因为y2≠y3，所以，
又y1y2＝﹣1，y3y4＝﹣1，所以y1y4＝﹣2，故选项C正确；
，故选项B错误；
因为，同理，
则．故D选项正确，
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小鿒5分，共20分.
13．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣kx+2y+1＝0与圆C2：x2+y2+2ky﹣1＝0的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为 （2，﹣1） ．
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2﹣kx+2y+1＝0与圆C2：x2+y2+2ky﹣1＝0，
联立两圆方程可得：2ky﹣1+kx﹣2y﹣1＝0，变形可得k（2y+x）﹣2（y+1）＝0，
即两圆公共弦所在直线的方程为k（2y+x）﹣2（y+1）＝0，
则有，即，故两圆的公共弦所在直线恒过点P（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
14．（5分）已知抛物线E：y2＝4x，直线l：y＝2（x﹣1）与E相交于A，B两点，若E的准线上一点M满足∠AMB＝90°，则M的坐标为 （﹣1，1） ．
【解答】解：由抛物线E：y2＝4x的方程可知，准线方程为x＝﹣1，
因为M在准线上，
设M（﹣1，y），则，
由∠AMB＝90°，则，
所以，
联立，消去y整理得x2﹣3x+1＝0，
则xA+xB＝3，xAxB＝1，
所以yA+yB＝2（xA+xB﹣2）＝2，yAyB＝4（xAxB﹣xA﹣xB+1）＝﹣4，
综上，y2﹣2y+1＝0，则y＝1，故M（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
15．（5分）已知双曲线的右焦点为F，离心率为e，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若|MF||NF|＝4，∠MFN＝60°，则的最小值为 ．
【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，离心率为e，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，
设双曲线的左焦点为F1，
由双曲线的性质可得：四边形MF1NF为平行四边形，
又∠MFN＝60°，
则∠F1MF＝120°，
在△MFF1中，由余弦定理可得，
又||MF1|﹣|MF||＝2a，|MF||MF1|＝4，
则4c2＝4a2+12，
即c2＝a2+3，
则，
当且仅当时取等号，
则的最小值为，
故答案为：．
16．（5分）已知数列{an}满足为公差为1的等差数列，若不等式对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围是 （﹣∞，] ．
【解答】解：由题意，可知1，
则1+1•（n﹣1）＝n，
故an，n∈N*，
∴对任意的n∈N*，不等式即为2n﹣λ（1）≥0，
化简，得2n﹣λ（4n﹣1）≥0，
整理，得λ，n∈N*，
构造数列{bn}：令bn，则bn+1，
∵bn+1﹣bn，
∴当n∈N*时，4n﹣1≥4×1﹣1＝3＞0，4n+3＞0，2n＞0，
则当4n﹣5＜0，即n时，bn+1＜bn，
当4n﹣5＞0，即n时，bn+1＞bn，
∴b1＞b2＜b3＜b4＜•••
∴当n＝2时，数列{bn}取得最小值b2，
∴λ≤{bn}min＝b2，
故实数λ的取值范围为：（﹣∞，]．
故答案为：（﹣∞，]．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步㶹.
17．（10分）已知圆C的圆心坐标为（1，2），且圆C与直线l：x﹣2y﹣7＝0相切，过点A（3，0）的动直线m与圆C相交于M，N两点，点P为MN的中点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求的最大值．
【解答】解：（1）由题意知点C到直线l的距离为d2，也是圆 C 的半径，
∴圆C的半径为2，
则圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝20；
（2）依题意作出图形如图所示，
∵P为弦MN的中点，由垂径定理知：CP⊥MN，又MN过定点 A ，
∴点P的轨迹为以CA为直径的圆，圆心为 A ， C 的中点（2，1），半径为|CA|，
∴max；
的最大值为．
18．（12分）已知数列{an}是等差数列，Sn是等比数列{bn}的前n项和，a4＝b1＝8，a2＝b3，S3＝6
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求Sn的最大值和最小值．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由，解得．
an＝﹣1+3（n﹣1）＝3n﹣4，bn＝8•；
（2），
当n＝1时，Sn有最大值为8，当n＝2时，Sn有最小值为4．
19．（12分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，且ED＝FB＝1．
（1）求证：EC⊥平面ADF
（2）在线段EC上是否存在点G（不含端点），使得平面GBD与平面ADF的夹角为45°，若存在，指出G点的位置；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，1），F（1，1，1），
∴（0，1，﹣1），（1，0，00，（1，1，1），
∵0，0，∴EC⊥DF，EC⊥DA，
∵DA∩DF＝D，∴EC⊥平面ADF．
（2）设（0＜λ＜1），则G（0，λ，1﹣λ），（0，λ，1﹣λ），
设平面GBD的法向量为（m，n，t），
则，令n＝1﹣λ，则（λ﹣1，1﹣λ，﹣λ），
∵平面GBD与平面ADF的夹角为45°，且平面ADF的法向量为（0，1，﹣1），
∴cs45°，
∵0＜λ＜1，∴解得，
∴存在点G（不含端点），使得平面GBD与平面ADF的夹角为45°，G为线段EC上靠近E的三等分点．
20．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，3an﹣2Sn＝2n﹣1．
（1）求证：数列{an+1}为等比数列；
（2）若，则求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）证明：由a1＝1，3an﹣2Sn＝2n﹣1，
可得n≥2时，3an﹣1﹣2Sn﹣1＝2n﹣3，
上面两式相减可得3an﹣3an﹣1﹣2Sn+2Sn﹣1＝2n﹣1﹣2n+3，
化为an﹣3an﹣1＝2，
可得an+1＝3（an﹣1+1），
则数列{an+1}首项为2，公比为3的等比数列；
（2）（），
所以Tn（1...）（1）．
21．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴，点Q（m，2）抛物线上，Q到抛物线的准线的距离为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）动点P在抛物线的准线上，过点P作抛物线C的两条切线分别交y轴于A，B两点，当△PAB面积为时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）依题意，设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），
因为点Q（m，2）在抛物线上，所以4＝2pm，则pm＝2，
因为Q到抛物线准线的距离为2，所以，
联立，解得p＝2，m＝1，
所以抛物线的方程为y2＝4x；
（2）设动点P的坐标为（﹣1，t），设直线PA，PB的斜率为k1，k2，
则直线PA的方程为y＝k1（x+1）+t，直线PB的方程为y＝k2（x+1）+t，
令两个方程中的x＝0，则可得A（0，k1+t），B（0，k2+t），
此时，
因为，所以，则，
设过点P的抛物线的切线方程为y＝k（x+1）+t，
联立方程，消去x，得，
因为直线与抛物线相切，所以，整理得k2+tk﹣1＝0，
由题知直线PA，PB为抛物线的两条切线，则k1，k2为方程的两根，
所以k1+k2＝﹣t，k1k2＝﹣1，
由得，解得t＝±2，
此时，对于k2+tk﹣1＝0，有Δ＝t2+4＞0，满足题意，
所以点P的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）．
22．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆的一个焦点作垂直于x轴的直线与椭圆交于M，N两点，|MN|＝1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C外一点P（2，2）任作一条直线与椭圆交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足2|PA||PB|＝|PQ||PA|+|PQ||PB|，证明：点Q必在某确定直线上．
【解答】解：（1）由题意可得，解得a＝2，b2＝1，
所以椭圆的方程为：y2＝1；
（2）证明：Q在线段AB上，又因为2|PA||PB|＝|PQ||PA|+|PQ||PB|，可得|PA|（|PB|﹣|PQ|）＝|PB|（|PQ|﹣|PA|），
即|PA|•|BQ|＝|PB|•|AQ|，
所以，
设λ，λ，设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），P（2，2），
由λ，可得，由λ，可得，
因为A，B在椭圆上，所以，
整理可得：，作差化简可得x+4y＝2，
可证得：Q必在直线x+4y﹣2＝0．