四川省成都高新实验中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷

这是一份四川省成都高新实验中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了若直线的斜率为，则的倾斜角为，若直线与直线平行，则的值为，已知，，则的最小值是，直线与直线之间的距离为，若，则直线经过等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟，总分：150分）
一､单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有1个选项正确，共40分）
1.若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.若直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B. C.或 D.或
3.已知，，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
4.直线与直线之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
5.已知P为空间中任意一点，A､B､C､D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（ ）
A. B.
C. D.
7.如图是某闭合电路的一部分，每个元件畅通的概率是，且是相互独立的，则从A到这部分电路畅通的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.已知点M在椭圆上运动，点N在圆上运动，则|MN|最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（共4小题，每小题5分，选对但不全得2分，全对得5分，共20分）
9.若，则直线经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（ ）
A.与是共线向量
B.与同向的单位向量是
C.与的夹角的余弦值是
D.平面的一个法向量是
11.已知圆上至多有一点到直线的距离为2，则实数a可能取的是为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.10
12.如图，在直三棱柱中，，，点分别是线段上的动点（不含端点），且，则下列说法正确的是（ ）
A.平面
B.该三棱柱的外接球的表面积为
C.异面直线与所成角的正切值为
D.二面角的余弦值为
三､填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知双曲线，其实轴长为5，虚轴长为8，则该双曲线的离心率为___________
14.已知椭圆的左､右焦点分别为，点P为椭圆上一点，且点P位于第一象限，，则___________，___________
15.已知为圆上一动点，则的取值范围为___________
16.已知点P是双曲线右支上的一点，点M､N分别是圆和上的一点，的最大值为___________
四､解答题（本题共6小题，共70分.）
17.（10分）已知圆C经过，两点，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）求过点且与圆C相切的直线方程.
18.（12分）如图，在三棱锥中，⊥平面，，分别为的中点，，，.
（1）证明：平面平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（12分）2022年4月16日，神州13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣.某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中抽取了200名学生进行笔试（试卷满分100分），并记录下他们的成绩，将数据分成5组；，并整理得到如下频率分布直方图.
（1）求这部分学生成绩的中位数､平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第4､5组中用分层抽样的方法抽取6名学生，进行第二轮面试，最终从这6名学生中随机抽取2人参加市太空知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率.
20.（12分）在平面直角坐标系中，有两个圆和圆，一动圆P与圆内切与圆外切.动圆圆心P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于两个不同的点.
（1）求曲线E的方程；
（2）求实数的取值范围.
21.（12分）已知椭圆的离心率为，上､下顶点分别为，有顶点为C，且的面积为6.
（1）求E的方程；
（2）若点P为E上异于顶点的一点，直线AP与BC交于点M，直线CP交y轴于点N，试判断直线MN是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由.
22.（12分）在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设为双曲线上的动点，直线AM与y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q.
（1）求双曲线C的方程；
（2）在x轴上是否存在一点T，使得，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）求M点的坐标，使得的面积最小.
成都高新实验中学2022-2023学年高二上学期十二月考试卷
一､单选题
1.C 2.B 3.A 4.C 5.A 6.D 7.A 8.B
二､多选题
9.ABC 10.AC 11.BC 12.ABD
三､填空题
13. 14.①② 15. 16.
四､解答题
17.（1）（2）或
（1）设圆心的坐标为
则有，解得，即圆心坐标为，半径
圆的方程为
（2）过点作圆的切线，斜率必定存在，设切线的斜率为，
则切线的方程为，即；
则有，解可得或；
故切线的方程为或
18.（1）略（2）
（1）因为，，，所以，
在平面中作，因为平面，所以平面，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
，，所以，，
设平面的法向量为，则，
取，
又平面的法向量可以为，
所以，所以平面平面.
（2）因为，
设直线与平面所成角为，
则，即直线与平面所成角的正弦值为.
19.（1）中位数为73.33，平均数为73.5（2）
（1）平均数为设中位数为，则，解得
（2）根据分层抽样的方法抽取的6名学生，有4人，有2人，
所以90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率.
20.（1）（2）
（1）圆和圆的圆心分别为，半径均为1，令动圆的半径为，显然，当动圆与圆内切，与圆外切时，，
即，图此动圆圆心的轨迹是以为焦点，且实轴长为2的双曲线的左支，故曲线的方程为：
（2）直线与曲线交于两个不同的点.
联立，消去得，该方程有两不等负框，
所以，解得.
21.（1）（2）直线MN过定点.
（1）由题意知解得，，，所以E的方程为.
（2）显然直线AP的斜率存在，设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为，
又直线BC的方程为，由，解得，，
即.由得，解得或，
当时，，即，
所以直线CP的斜率，
所以直线CP的方程为，令，得，即.
所以直线MN的斜率，所以直线MN的方程为，
即，所以直线MN过定点.
22.（1）（2）存在或（3）的坐标是或.
（1）由已知得，解得，所以双曲线的方程为.
（2）设，如图：根据题意知，直线斜率存在，则，则
则直线：，令得，
因为点关于轴的对称点为，所以，
则，令得，
因为，平方可得，因为
则，因为即，所以，
则，即，所以存在或满足条件；
（3）如图因为
又，则，代入上式得：
当时，时，，
则
当且仅当，即时取等.
当时，，则，
当且仅当，即时等号成立，
故应在时取得取最小值，
此时，即
所以的坐标是或时，的面积最小.