山东省莱州市第一中学2022-2023学年高二上学期第一次质量检测数学试卷(含答案)

这是一份山东省莱州市第一中学2022-2023学年高二上学期第一次质量检测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、经过点,两点的直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2、若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则( )
A.B.C.或D.与斜交
3、直线恒过一定点,则该定点的坐标( )
A.B.C.D.
4、已知空间直角坐标系中的点,,,则点P到直线AB的距离为( )
A.B.C.D.
5、若正方体的棱长为1,则直线到平面的距离为( )
A.1B.C.D.
6、设是单位正交基底,已知,,,若向量在基底下的坐标为,则向量在基底下的坐标是( )
A.B.C.D.
7、如图,锐二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知,,,则锐二面角的平面角的余弦值是( )
A.B.C.D.
8、在棱长为1的正四面体中,点满足,点满足,当最短时,( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知直线和直线垂直,则( )
A.B.1C.2D.
10、给出下列命题,其中正确命题有( )
A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B.已知向量,则存在向量可以与,构成空间的一个基底
C.A,B,M,N是空间四点若,,不能构成空间的一个基底那么A,B,M,N共面
D.已知向量组是空间的一个基底,若,则也是空间的一个基底
11、下列说法正确的是( )
A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B.直线关于x轴对称的直线方程为直线
C.过,两点的直线方程为
D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
12、如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的正方形,为等边三角形,平面平面ABCD,点M在线段PB上,AC,BD交于点E,则下列结论正确的是( )
A.若平面MAC,则M为PB的中点
B.若M为PB的中点,则三棱锥的体积为
C.平面BPD与平面的夹角为
D.若,则直线MC与平面BDP所成角的正弦值为
三、填空题
13、若直线和直线平行,则________.
14、设k为实数,若直线不经过第四象限,则k的取值范围为________.
15、已知向量,点,.在直线AB上,存在一点E,使得,则点E的坐标为________.
16、在棱长为1的正方体中,已知点P是正方形内部(不含边界)的一个动点,若直线AP与平面所成角的正弦值和异面直线AP与所成角的余弦值相等,则线段DP长度的最小值是________.
四、解答题
17、在平面直角坐标系xOy中,已知三个顶点坐标为,,.
（1）求BC边上的中线所在直线的方程;
（2）求BC边上的高所在直线的方程.
18、如图,一块矿石晶体的形状为四棱柱,底面ABCD是正方形,,,且.
（1）设,,,试用,,表示;
（2）已知为四棱柱的中心(体对角线中点),求OC的长.
19、如图,在正四棱柱中,已知,,E,F分别为,上的点,且.
（1）求证:平面ACF;
（2）求点E到平面ACF的距离.
20、如图,四棱锥中,底面ABCD为矩形,平面ABCD,E是PD的中点,过BC作平面BCEF交平面PAD于EF.
（1）证明:F是PA的中点;
（2）设二面角为60°,,,求三棱锥的体积.
21、如图1,在等边中,点D,E分别为边AB,AC上的动点且满足,记.将沿DE翻折到的位置并使得平面平面DECB,连接MB,MC得到图2,点N为MC的中点.
（1）当平面时,求的值;
（2）试探究:随着值的变化,二面角的大小是否改变?如果改变,请求出实数与二面角平面角的正弦值的函数关系;如果不改变,请求出二面角的正弦值大小.
22、如图,在中,,.O为的外心,平面ABC,且.
（1）求证:平面PAC;
（2）设平面平面;若点M在线段PC上运动,且,当直线l与平面ABM所成角取最大值时,求的值
参考答案
1、答案：D
解析:,设倾斜角为,则,又,所以.
故选:D.
2、答案：C
解析:,,
即,
或.
故选:C.
3、答案：B
解析:由得,所以,
解得,,所以定点坐标为.
故选:B
4、答案：D
解析:,,,
,,,
在上的投影为,
则点P到直线AB的距离为.
故选:D.
5、答案：B
解析:因为,平面,平面,所以A1C1//平面,
则点到平面的距离即为直线到平面的距离.
建立如图所示的空间直角坐标系,易知,
由题得,,,BD,平面,
所以平面,所以,同理,
因为,AC,平面,
所以平面,所以是平面的一个法向量,
所以平面的一个法向量为,
故所求的距离为.
故选:B
6、答案：C
解析:因为向量在基底下的坐标为,所以,所以向量在基底下的坐标为.
故选:C.
7、答案：B
解析:过点B作,且,连接DE,CE,
因为,所以,
因为,,所以是二面角的平面角,
且平面DBE,所以,所以,
因为,,
所以,
所以.
故选:B.
8、答案：A
解析:,,
,,
即:,;
平面BCD,直线AB,
所以当AM,DN最短时,平面BCD,,
为的中心,N为线段AB的中点,
如图:
又正四面体的棱长为1,
,
平面,
,
.
故选:A.
9、答案：BC
解析:直线和直线垂直,
直线的斜率为,直线的斜率为,
则,即,解得或2,经检验成立
故选:BC
10、答案：ACD
解析:选项A中,根据空间基底的概念,可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底,所以A正确;
选项B中,因为,根据空间基底的概念,可得B不正确;
选项C中,由,,不能构成空间的一个基底,可得,,共面,
又由过相同点B,可得A,B,M,N四点共面,所以C正确;
选项D中:由是空间的一个基底,则基向量,与向量一定不共面,所以可以构成空间另一个基底,所以D正确.
故选:ACD.
11、答案：AB
解析:对于A,令,则,令,则,
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是,故A正确;
对于B,直线的斜率为,则倾斜角为,与轴的交点坐标为,
故其关于x轴对称的直线的倾斜角为,斜率为,且过点,
所以所求直线方程为,即,故B正确;
对于C,当时,过,两点的直线的倾斜角为,斜率不存在,
则不能用两点式方程,故C错误;
对于D,当直线过原点时,直线在x轴和y轴上截距都为0,
此时直线方程为,
当直线不过原点时,可设直线方程为,
则,所以,此时方程为,
综上,所求直线方程为或,故D错误.
故选:AB.
12、答案：AB
解析:
A选项:因为平面MAC,平面PDB,平面平面,所以,因为ABCD为正方形,所以E为BD中点,又,所以M为PB中点,故A正确;
B选项:取AD中点F,连接PF,因为为等边三角形,所以,又平面平面ABCD,平面平面,平面,所以平面,,因为为中点,所以点M到平面ABCD的距离为,所以,故B正确;
C选项:取中点,连接,,因为为等边三角形,所以,因为底面ABCD为正方形,所以,又平面平面ABCD,平面平面,平面ABCD,所以平面PAD,因为平面PAD,所以,又,所以平面ABH,因为平面ABH,所以,又,平面平面,所以为二面角的平面角,,故二面角不是,C错;
D选项:由题意知,,因为,所以,,解得,在三角形PBD中,,,所以,设点C到平面PBD的距离为h,利用等体积的思路得到,所以,解得,所以直线与平面所成角的正弦值为,故D错.
故选:AB.
13、答案：3
解析:因为直线和直线平行,
所以,解得,
故答案为:3.
14、答案：
解析:直线经过定点,当时,此时直线,符合要求;当时,直线,要想不经过第四象限,则满足,解得:,综上:
故答案为:
15、答案：
解析:设,因为,,所以,,,,
因为,所以,解得,又,,所以点E的坐标为.
故答案为:.
16、答案：
解析:如图,以D为坐标原点,DA,DC,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
设,,,由,,,
,,,
设直线AP与平面所成角为和异面直线AP与所成角为,
可得,
,,
由,可得,
则,
当时,线段DP长度的最小值为.
故答案为:.
17、答案：（1）;
（2）
解析:（1）由,,得BC中点D的坐标为,
所以AD的斜率为,
所以BC边上的中线AD所在直线的方程为,
即.
（2）由,,得BC所在直线的斜率为,
所以BC边上的高所在直线的斜率为,
所以BC边上的高所在直线的方程为,即.
18、答案：（1）;
（2）.
解析:（1）由,,,
由向量加法的平行四边形法则可得,
因此,;
（2）O为四棱柱的中心,即O为线段的中点.
由已知条件得,,,,.
由（1）得,
则
.
所以的长为,所以OC的长为.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析:（1）如图,以D为原点,DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴
建立空间直角坐标系,则,,,
,,,,
,,,.
,,
,,且,平面ACF,
平面ACF
（2）由（1）知,为平面ACF的一个法向量,,,
向量在上的射影长即为到平面ACF的距离设为d,于是,
故点E到平面ACF的距离;
20、答案：（1）证明见解析;
（2）
解析:（1）证明四棱锥中,底面ABCD为矩形,
,
平面PAD,平面PAD,
平面PAD,
过BC作平面BCEF交平面PAD于EF.
平面PAD,且,
,
是PD的中点,是PA的中点;
（2）以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,
设,,则,,,,
,,,
平面ADE的法向量,
设平面ACE的法向量,
则,取,得,
二面角为,
,由,解得,,
,
到平面ACD的距离,
三棱锥的体积.
21、答案：（1）
（2）
解析:（1）取MB的中点为P,连接DP,PN,
因为,,所以,又,所以,即N,E,D,P四点共面,又面BMD,面NEDP,平面平面,所以,即NEDP为平行四边形,所以,且,即,即
（2）取DE的中点O,由平面平面DECB,且,所以平面DECB,
如图建立空间直角坐标系,
不妨设,则,,所以,
设平面BMD的法向量为则
令即又平面EMD的法向量
所以即随着λ值的变化,二面角B﹣MD﹣E的大小不变.
且
所以二面角B﹣MD﹣E的正弦值为.
22、答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析:（1）如图,连接OC,交AB于点D,O为的外心,
,,所以,
所以
故和都为等边三角形,
即四边形OACB为菱形,所以
又平面PAC,平面PAC,所以平面PAC.
（2）由（1）同理可知因为平面POA,平面PBC,
平面平面,所以.
如图所示:以点D为原点,DA,DC和垂直平面ABC的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
则,,,,.
设所以,
设平面ABM的法向量为.
,
得,
令得.
所以直线l与平面ABM所成角的正弦值为:
,
即当即点M是线段PC的中点时,直线l与平面ABM所成角取最大值.