山西省部分学校2023-2024学年高三上学期12月联考数学试题

这是一份山西省部分学校2023-2024学年高三上学期12月联考数学试题，共13页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，向量在向量上的投影向量为，则，若函数在上恰有10个零点，则，已知正数满足，现有下列4个结论，已知直线与圆交于两点，则等内容，欢迎下载使用。

1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语､不等式､函数､导数､三角函数与解三角形､平面向量､复数､数列､立体几何､直线与圆､圆锥曲线.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数的模不大于5，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3.“”是“是质数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若平面截球所得截面圆的面积分别为，且球心到平面的距离为3，则球心到平面的距离为（ ）
A. B.2 C. D.4
5.向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. C.8 D.12
6.若函数在上恰有10个零点，则（ ）
A.有最大值，且最大值为58
B.有最小值，且最小值为52
C.有最大值，且最大值为60
D.有最小值，且最小值为58
7.如图，在棱长都相等的正三棱柱中，为棱的中点，则直线与直线所成的角为（ ）
A. B. C. D.
8.已知正数满足，现有下列4个结论：①；②；③；④.其中，所有可能成立的结论的序号为（ ）
A.③ B.①④ C.②④ D.①③
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知直线与圆交于两点，则（ ）
A.直线的倾斜角为 B.
C.直线的倾斜角为 D.
10.已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A.的斜率的最小值为-2 B.的斜率的最小值为-3
C.的方程为 D.的方程为
11.如图，在正方体中，均为棱的中点，则（ ）
A.平面平面
B.梯形内存在一点，使得平面
C.过可作一个平面，使得到这个平面的距离相等
D.梯形的面积是面积的倍
12.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点（在第一象限），为坐标原点，若，则（ ）
A.
B.直线的斜率是
C.线段的中点到轴的距离是
D.的面积是
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数是__________.（填入“偶”“奇”“非奇非偶”中的一个）函数
14.已知是椭圆的两个焦点，若上存在一点满足，则的离心率的取值范围是__________.
15.在等比数列中，，则__________.
16.若是平面内不同的两定点，动点满足且，则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知是圆上的动点，点，则的最大值为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在等差数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（12分）
如图，在四棱锥中，底面为梯形，底面，.
（1）若四棱锥的体积为2，求的长；
（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值.
19.（12分）
如图，在四边形中，.
（1）证明：.
（2）证明：.
20.（12分）
已知是椭圆的左顶点，且经过点.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点，且，求弦的长.
21.（12分）
已知函数.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若，证明：当，且时，恒成立.
22.（12分）
已知过点的双曲线的渐近线方程为.
（1）求的方程；
（2）已知是的实轴端点，过点的直线与交于（异于）两点，直线与交于点，证明：点在一条定直线上.
高三数学试题参考答案
1.B 因为，所以，解得.
2.D .
3.D 因为，所以481不是质数，故“”是“是质数”的既不充分也不必要条件.
4.A 平面截球所得截面圆的半径分别为，则，则.设球的半径为，球心到平面的距离为，则，所以.
5.B 因为向量在向量上的投影向量为，所以.
6.C 当时，，令，得，要使在上恰有10个零点，则需满足，解得.
7.D 设分别为棱的中点，连接，易得，所以（或其补角）为直线与直线所成的角.设正三棱柱的棱长为，则，，所以.
8.D 由，得，
在同一直角坐标系中，作出函数的大致图象，如图所示，由图可知，或.
9.CD 因为直线的斜率为-1，所以直线的倾斜角为.因为圆心到直线的
距离为，所以.
10.BCD 因为，所以的斜率的最小值为-3.因为，所以的方程为.因为，所以的方程为，即.
11.ABC 在正方体中，均为棱的中点，
可证，因为，
所以平面平面正确.连接，，
设，连接，过点作的垂线，交于，交于，因为在上底面的射影为，易证，则，又，所以平面，所以平面，B正确.连接，取的中点，连接，所以过直线的平面一定满足到这个平面的距离相等，C正确.因为梯形与的高分别为，且，所以梯形的面积与面积的比值为，错误.
12.ACD 由题意可得直线的斜率不为0，则可设直线.联立整理得，则.因为，所以，所以，所以，所以，则，即，解得.因为，所以，解得，则正确.因为，所以，则直线的斜率是.因为点在第一象限，所以直线的斜率大于0，所以直线的斜率是，则错误.设线段的中点为，则，即线段的中点到轴的距离是，则C正确.因为，所以，则的面积，故D正确.
13.奇 因为，所以是奇函数.
14. 因为，所以，所以，则，又，所以的取值范围是.
15. 设等比数列的公比为，
因为，所以，所以，
则当时，，
则.又也满足，所以.
16. 设，则，故，当且仅当三点共线，且在之间时取得最大值.
17.解：（1）设的公差为，则
解得
所以.
（2）（方法一）
.
（方法二）当为偶数时，
当为奇数时，
.
综上，
18.解：（1）依题意可得梯形的面积，
因为底面，所以四棱锥的体积，
解得.
（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
.
设平面的法向量为，
则，即
令，得.
因为，所以.
故直线与平面所成角的正弦值为.
19.证明：（1）在中，由正弦定理得，
所以，解得，
所以，则.
（2）由（1）知，
在中，由余弦定理得，
则.
在中，.
所以，
因为，所以，
所以，
故.
20.解：（1）依题意可得.
解得，
所以的方程为.
（2）联立消去得，
则.
因为经过定点，且点在的内部，所以恒成立.
由，
解得.
所以，
所以
.
21.（1）解：当时，.
当时，；当时，.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
所以在处取得极小值，且极小值为无极大值.
（2）证明：的导函数的导函数.
当，且时，，
所以在上单调递增，所以，当且仅当时，等号成立.
令函数，
则.
当时，，所以在上单调递增，
则，所以在上单调递增，
则，
即，
因为，所以，
又，所以.
22.（1）解：因为的渐近线方程为，所以，
又点在上，所以，
解得，故的方程为.
（2）证明：由题意可得直线的斜率不为0，设的方程为，
设，
联立得，
则，
根据双曲线的对称性，不妨设是左顶点，
则直线，
同理得，
联立与，
得
，
解得，故点在定直线上.