2024自治区赤峰红山区校级联考高三上学期12月期中考试数学（理）含解析

这是一份2024自治区赤峰红山区校级联考高三上学期12月期中考试数学（理）含解析，共14页。试卷主要包含了执行下面程序框图输出的，若，则，函数的部分图象大致为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考生作答时，请将第I卷选择题的答案用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后重新填涂；请将第II卷的答案用黑色中性笔答在答题卡指定答题区域内，在本试卷上答题无效，考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保留.
2.本试卷共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题共60分）
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3.执行下面程序框图输出的（ ）
A.21 B.34 C.55 D.89
4.如图所示，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的体积为（ ）
A.10 B.20 C.30 D.40
5.在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
7.五一小长假期间，旅游公司决定从6辆旅游大巴A､B､C､D､E､F中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个景区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这6辆大巴中A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（ ）
A.360 B.240 C.216 D.168
8.若，则（ ）
A. B. B. D.
9.设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则（ ）
A. B. C. D.
10.函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
11.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系，为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行，点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为，月球质量为，地月距离为点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中.则的近似值为（ ）
A. B. C. D.
12.在三棱锥中，是等边三角形，，且，点是棱的中点，则平面截三棱锥外接球所得截面的面积为（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题共90分）
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若双曲线的离心率为3，则此双曲线的渐近线方程__________.
14.已知向量，若，则__________.
15.记的内角的对边分别为，面积为，则__________.
16.已知过点与曲线相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
在等差数列中，为其前n项和，且.
（1）求数列的通过项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（12分）
为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.
（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的分布列和数学期望；
（2）测得40只小鼠体重如下（单位：）：（已按从小到大排好）
对照组：
实验组：
（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：
（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
参考数据：
19.（12分）
如图所示，在三棱锥中，平面
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20.（12分）
已知椭圆的一个顶点为，焦距为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为的直线与椭圆区交于不同的两点，直线分别与轴交于点，当时，求的值.
21.（12分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，讨论函数在上的单调性.
（二）选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；
（2）设，曲线的交点为，求的值.
23.（10分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.
参考答案
第I卷（选择题共60分）
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.D 2.C 3.B 4.A 5.C 6.D 7.B 8.A 9.A 10.C
11.B
由，得
因为，
所以，
即，
解得，
所以.
12.C
【详解】
在三棱锥中，是等边三角形，，，
，
则，，则有，
取中点O，连接，有，
因此点O是三棱锥外接球球心，球半径，如图，
因为点是棱的中点，则，
等腰底边上的高，
的面积，取中点F，连接，
则，而平面，于是平面，
在中，，
由余弦定理得，
有，的面积，
，
显然，
令点O到平面的距离为d，
因此，即，解得，
令平面截三棱锥外接球所得截面小圆半径为r，
则有，
所以平面截三棱锥外接球所得截面面积.
第II卷（非选择题共90分）
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15.
16.
【分析】
设出切点坐标，求出函数的导数，即可求出切线的斜率，从而得到切线方程，将代入切线方程，题中相切的直线有且仅有两条等价于方程有两个不等的正实数根.构造函数通过函数的导数，利用函数的极值转化求解即可.
【详解】
∵，
∴.
设切点为，则有，
所以过点P的切线方程为，
又点在切线上，
所以，
整理得，
由题意得方程有两个不等的正实数根.
设，则，
要使的图象与t轴的正半轴有两个不同的交点，则需.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得.
即实数的取值范围是.
故答案为：
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.【解析】设等差数列的公差是，
由已知条件得，
解得，
（1）由（1）得，
18.【分析】
（1）由题意可得的可能取值为，然后求出各自对应的概率，从而可求出的分布列和数学期望；
（2）（i）先对这40个数按从小到大的顺序排列，找出第20个和第21个数，这两个数的平均数就是中位数，然后根据已知数据填2×2列联表；（ii）由列联表中的数据，根据卡方公式求出卡方，再根据临界值可得结论.
（1）依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
故.
（2）（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，
由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，
可得第11位数据为，后续依次为，
故第20位为，第21位数据为，
所以，
故列联表为：
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
19.【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【解析】（1）平面平面
同理
为直角三角形
又
为直角三角形，即
又
平面.
（2）由（1）知平面
又平面
以为原点，为轴，过作与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，
设平面的法向量为，
则，即
令则
20.（12分）
【详解】（1）解：依题意可得，，又，
所以，所以椭圆方程为；
（2）解：依题意过点的直线为，设､，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即
整理得，解得
21.【解析】（1）
，即切点坐标为
又
切线斜率
切线方程为：
（2）
令
则
在上单调递增
在上恒成立
在上的单调递增
（二）选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.【解析】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
则①②，得，
所以曲线的普通方程为.
由，得，两边同时平方，得，
将代入上式，
得，化简得，
所以曲线的直角坐标方程为.
（2）将曲线的参数方程化为（为参数），代入得，设两点对应的参数分别为，则.
所以.
23.【详解】（1）当时，.
当时，，解得：；
当时，，无解；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为或.
（2）（当且仅当时取等号），
，解得：或，对照组
实验组
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40