2023-2024学年内蒙古自治区优质高中联考高二上学期11月期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古自治区优质高中联考高二上学期11月期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线 3x+y-3=0倾斜角是
( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
2.直线x-y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为
( )
A. 22B. 1C. 2D. 2
3.若平面α的一个法向量为u1=-3,y,2，平面β的一个法向量为u2=6,-2,z，且α//β，则y+z的值是
( )
A. -3B. -4C. 3D. 4
4.设x,y∈R，a=1,1,1，b=1,y,z，c=x,-4,2且a⊥c,b//c，则a+b=( )
A. 2 2B. 10C. 3D. 4
5.若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则m=( )
A. 21B. 19C. 9D. -11
6.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，其中AB=2，AD=4，AA1=3，且∠A1AD=∠A1AB=60∘，则线段AC1的长为
( )
A. 9B. 29C. 47D. 4 3
7.直线y=x+b与曲线y=1- 4-x2有两个不同的交点，则实数b的取值范围是
( )
A. 1-2 2,1+2 2B. 1-2 2,-1
C. -1,1+2 2D. 3,1+2 2
8.过椭圆C：x216+y24=1上一点M作圆x2+y2=3的两条切线，A、B为切点，过A、B的直线l与x轴和y轴分别交于P、Q两点，则△OPQ(O为坐标原点)面积的最小值为
( )
A. 916B. 98C. 34D. 32
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于椭圆3x2+4y2=12有以下结论，其中正确的有
( )
A. 离心率为12B. 长轴长是2 3
C. 焦距2D. 焦点坐标为-1,0,(1,0)
10.下列说法正确的是( )
A. 直线xsinθ+y+2=0θ∈R的倾斜角范围是0,π4∪34π,π
B. 若直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直，则a=1
C. 过两点x1,y1，x2,y2的直线方程为y-y1x2-x1=x-x1y2-y1
D. 经过点1,1且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0
11.下列结论正确的是( )
A. 已知点Px,y在圆C:(x-1)2+(y-1)2=2上，则y+2x的最小值是-7
B. 已知直线kx-y-k-1=0和以M-3,1,N3,2为端点的线段相交，则实数k的取值范围为-12≤k≤32
C. 已知点Pa,b是圆x2+y2=r2外一点，直线l的方程是ax+by=r2，则l与圆相交
D. 若圆M:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)上恰有两点到点N1,0的距离为1，则r的取值范围是4,6
12.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，正方形ABCD的中心为O，棱CC1，B1C1的中点分别为E，F，则
( )
A. OE⋅BC=12
B. S▵FOE= 68
C. 异面直线OD1与EF所成角的余弦值为 336
D. 点F到直线OD1的距离为 144
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.椭圆x225+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为________．
14.已知直线l1:(m+3)x+5y=5-3m，l2:2x+(m+6)y=8，若l1//l2，则m的值是___________．
15.已知圆C:x-12+y-12=16，直线l:2m-1x+m-1y-3m+1=0.当直线l被圆C截得弦长取得最小值时，直线l的方程为__________．
16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy中，A-2,0、B2,0，点P满足PAPB=3，则PA⋅PB的最小值为___________．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知▵ABC的三个顶点为A4,0,B0,2,C2,6．
(1)求AC边上的高BD所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线AE所在直线的方程．
18.(本小题12分)
经过椭圆x24+y23=1的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A,B两点，F2是椭圆的右焦点．
(1)求△ABF2的周长．
(2)求AB的长．
19.(本小题12分)
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=2,BD1和B1D交于点E,F为AB的中点．
(1)求证：EF/​/平面ADD1A1；
(2)已知B1D与平面BCC1B1所成角为π4，求平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值；
20.(本小题12分)
如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形(长、宽分别为8m、4m)和圆弧构成，截面总高度为6m，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度AB=6m．

(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；
(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，PA⊥AD，BE/​/CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．

(1)求点A到平面PCD的距离；
(2)求直线PE与平面PBC所成角的余弦值；
(3)在线段PE上是否存在点M，使得DM//平面PBC？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．
22.(本小题12分)
设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 33，上、下顶点分别为A，B，AB=4，过点E(0,1)且斜率为k的直线l与x轴相交于点F，与椭圆相交于点C，D两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若FC=DE，求k的值；
(3)是否存在实数k，使直线AC平行于直线BD？证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可．
解： 3x+y-3=0 ⇒y=- 3x+3 ，
设该直线的倾斜角为 α ，
因为直线的斜率为 k=tanα=- 3 ，
因数 0≤α<180∘ ，所以 α=120∘ ．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线与圆相交的弦长，属于基础题．
根据圆的方程，写出圆心和半径，利用点到直线的距离公式，求得弦心距，利用弦长公式，可得答案．
【解答】
解：由圆的方程 x2+y2=1 ，得其圆心为 0,0 ，半径为 r=1 ，
圆心到直线 x-y+1=0 的距离 d=0-0+1 1+1= 22 ，
则弦长 l=2 r2-d2=2 1-12= 2 ．
故选：C．
3.【答案】A
【解析】【分析】根据两平面平行得到两法向量平行，进而得到方程组，求出 y=1z=-4 ，得到答案．
解：∵ α//β ，
∴ u1//u2 ，
故存在实数 λ ，使得 u1=λu2 ，
即 -3,y,2=λ6,-2,z ，故 6λ=-3-2λ=yλz=2 ，解得 y=1z=-4 ，
∴ y+z=1-4=-3 ．
故选：A
4.【答案】C
【解析】【分析】根据 a⊥c ，可得 x=2 ， c=2,-4,2 ；再根据 b // c ，可得 b=1,-2,1 ，进而得 a+b=(2,-1,2) ，最后根据向量的坐标求模即可．
解：因为， a=1,1,1 ， c=x,-4,2 且 a⊥c ，
所以 a⋅c=x-4+2=0 ，解得 x=2 ，
所以 c=2,-4,2 ，
又因为 b=1,y,z ， c=2,-4,2=2(1,-2,1) 且 b // c ，
所以 y=-2,z=1 ，
所以 b=1,-2,1 ，
所以 a+b=(2,-1,2) ，
所以 a+b= 22+(-1)2+22=3 ．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查两圆的位置关系，属于基础题．
化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．
【解答】
解：圆C1：x2+y2=1的圆心为C1(0,0)，半径r1=1;
圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m，
所以C2(3,4),r2= 25-m，
又因为圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，
所以C1C2=r1+r2，
即 32+42=1+ 25-m，解得m=9．
故选C．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量数量积运算，属于中档题．
由 AC1=AC+CC1 ，两边平方，利用勾股定理以及数量积的定义求出 AC2,2AC⋅CC1,CC12 的值，进而可得答案
【解答】
解：由 AC1=AC+CC1 ，
AC12=AC12=(AC+CC1)2=AC2+2AC⋅CC1+CC12 ．
因为底面 ABCD 是矩形， AB=2 ， AD=4 ， AA1=3 ，
所以 AC2=AC2=4+16=20 ， CC12=9 ，
因为 ∠A1AB=∠A1AD=60∘ ，
所以 AB⋅CC1=2×3×cs60∘=3,BC⋅CC1=4×3×cs60∘=6，
所以 2AC⋅CC1=2(AB+BC)⋅CC1=2(AB⋅CC1+BC⋅CC1)=18 ，
AC12=20+18+9=47,AC1= 47，
故选：C．
7.【答案】B
【解析】【分析】分析可知，曲线 y=1- 4-x2 表示圆 x2+y-12=4 的下半圆，作出图形，求出当直线 y=x+b 与曲线 y=1- 4-x2 相切以及直线 y=x+b 过点 0,-1 时对应的 b 的值，数形结合可得出实数 b 的取值范围．
解：由 y=1- 4-x2≤1 可得 y-1=- 4-x2 ，整理可得 x2+y-12=4 ，其中 y≤1 ，
所以，曲线 y=1- 4-x2 表示圆 x2+y-12=4 的下半圆，如下图所示：

当直线 y=x+b 与曲线 y=1- 4-x2 相切时，由图可知， b<0 ，
且有 -1+b 2=2 ，解得 b=1-2 2 ，
当直线 y=x+b 过点 0,-1 时，则有 b=-1 ，
由图可知，当 1-2 2故选：B．
8.【答案】B
【解析】【分析】本题求 △OPQ 面积的最小值，因此要想法求得该三角形面积的表达式，故解答本题的关键在于要求出直线AB的方程，从而求得A，B的坐标，即可求得三角形面积表达式，结合基本不等式即可求解．
设点 M(x0,y0) ，结合圆的切线方程求得直线 AB 的方程，即可求得 △OPQ 面积的表达式，结合基本不等式即可求解答案．
解：设点 M(x0,y0),x0y0≠0 ，则 x0216+y024=1 ，

设 A(a,b),B(c,d) ，则点A处 x2+y2=3 的切线方程为 ax+by=3 ，
点B处 x2+y2=3 的切线方程为 cx+dy=3 ，
由于这两条切线都过点 M(x0,y0) ，则 ax0+by0=3,cx0+dy0=3 ，
故直线 AB 的方程为 x0x+y0y=3 ，
令 x=0,∴y=3y0 ，令 y=0,∴x=3x0 ，
即 P(3x0,0),Q(0,3y0) ，则 S▵OPQ=12⋅|3x0|⋅|3y0|=92|1x0y0| ，
由于 1=x0216+y024≥2 x0216⋅y024=|x0y0|4,∴|x0y0|≤4 ，
当且仅当 x0216=y024 ，即 x02=8,y02=2 时等号成立，
故 S▵OPQ=92|1x0y0|≥92×14=98 ，
即 △OPQ 面积的最小值为 98 ，
故选：B
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的简单几何性质，属于基础题．
将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的简单几何性质可得选项．
【解答】
解：将椭圆方程化为标准方程为x24+y23=1,
所以该椭圆的焦点在x轴上，焦点坐标为-1,0,(1,0)，故焦距为2，故C、D正确；
因为a=2所以长轴长是4，故 B错误，
因为a=2,b= 3，所以c=1，离心率e=ca=12，故 A正确．
故选ACD．
10.【答案】AC
【解析】【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系，直线位置关系以及直线方程的应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
解：对A：直线xsinθ+y+2=0，其斜率k=-sinθ∈-1,1，设直线倾斜角为α，
故可得tanα∈-1,1，则α∈0,π4∪34π,π，故 A正确；
对B：直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直，则a2+a=0，
解得a=0或-1，故B错误；
对C：过两点x1,y1，x2,y2的直线方程为y-y1x2-x1=x-x1y2-y1，故 C正确；
对D：经过点1,1且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0和x-y=0，故 D错误；
故选：AC．
11.【答案】CD
【解析】【分析】对于A，令k=y+2x，即kx-y-2=0，根据题意，由圆心到直线的距离d=k-3 1+k2≤ 2求解判断；对于B，根据直线kx-y-k-1=0恒过定点1,-1，求得kPM,kPN判断；对于C，由点Pa,b是圆x2+y2=r2外一点，得到x2+y2>r2判断；对于D，由圆M:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)与圆N:(x-1)2+y2=1相交求解判断．
解：对于A，令k=y+2x，即kx-y-2=0，
因为点Px,y在圆C:(x-1)2+(y-1)2=2上，
则圆心到直线的距离d=k-3 1+k2≤ 2，即k2+6k-7≥0，
解得k≥1或k≤-7，所以无最小值，故 A错误；
对于B，因为直线kx-y-k-1=kx-1-y-1=0，则x-1=0-y-1=0，解得x=1y=-1,
则其恒过定点1,-1，
则kPM=-1-11+3=-12,kPN=-1-21-3=32，
因为以M-3,1,N3,2为端点的线段相交，
所以k≥32或k≤-12，故 B错误；
对于C，因为点Pa,b是圆x2+y2=r2外一点，所以x2+y2>r2，
圆心到直线l的d=r2 a2+b2对于D，圆M:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)，圆N:(x-1)2+y2=1，
圆心距为d=MN=5，
因为圆M:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)上恰有两点到点N1,0的距离为1，
所以两圆相交，则r-1<5解得4故选：CD
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查立体几何，利用空间向量求解立体几何的问题，属于一般难度．
构建空间直角坐标系，运用空间向量解题是本题的思维出发点和突破点；建立空间直角坐标系，结合空间向量逐项判断．
【解答】
解：由题意，以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz ．

B1,1,0,O12,12,0,E0,1,12 ， C0,1,0 ， F12,1,1 ， D10,0,1 ，
OE⋅BC=-12,12,12⋅-1,0,0=12 ，选项A正确；
OF⋅OE=(0,12,1)·(-12,12,12)=34 ，
OF= 52,OE= 32, 所以 csOF,OE=34 52× 32= 155,
根据同角三角函数基本关系，解得： sinOF,OE= 105,
S▵FOE=12OFOEsinOF,OE=12× 52× 32× 105= 68 ，选项B正确；
OD1⋅EF=-12,-12,1⋅12,0,12=14 ，
OD1= 62,EF= 22, csOD1,EF=14 62× 22= 36, 选项C错误；
点 F 到直线 OD1 的距离为： OFsinOF,OD1 ，
而 csOF,OD1=OF⋅OD1OFOD1=34 52× 62=3 30= 3010, sinOF,OD1= 7010,
所以 OFsinOF,OD1= 52× 7010= 144, 选项D正确；
故选：ABD．
13.【答案】8
【解析】【分析】根据椭圆的定义计算即可．
解：设椭圆的左、右焦点分别为 F1,F2,PF1=2 ，结合椭圆定义 PF1+PF2=10 ，可得 PF2=8 ．
故答案为：8
14.【答案】-8
【解析】【分析】利用直线一般式情况下平行的结论即可得解．
解：因为 l1:(m+3)x+5y=5-3m ， l2:2x+(m+6)y=8 ， l1//l2 ，
所以当 m+6=0 ，即 m=-6 时， l1:-3x+5y=23 ， l2:2x=8 ，显然不满足题意；
当 m+6≠0 ，即 m≠-6 时， m+32=5m+6≠5-3m8 ，
由 m+32=5m+6 解得 m=-1 或 m=-8 ，
当 m=-1 时， m+32=5m+6=1=5-3m8 ，舍去；
当 m=-8 时， m+32=5m+6=-52≠5-3m8 ，满足题意；
综上： m=-8 ．
故答案为： -8 ．
15.【答案】x-2y-4=0
【解析】【分析】先求出直线 l 所过的定点 P ，再根据当直线 PC⊥l 时，直线l被圆C截得弦长取得最小值，求出直线 l 的斜率，进而可得出答案．
解：由直线 l:2m-1x+m-1y-3m+1=0 ，
得 2x+y-3m-x-y+1=0 ，
令 2x+y-3=0-x-y+1=0 ，解得 x=2y=-1 ，
即直线 l 过定点 P2,-1 ，
圆 C:x-12+y-12=16 得圆心 C1,1 ，半径 r=4 ，
当直线 PC⊥l 时，直线l被圆C截得弦长取得最小值，
kPC=-1-12-1=-2 ，所以 kl=12 ，
所以直线 l 的方程为 y+1=12x-2 ，即 x-2y-4=0 ．
故答案为： x-2y-4=0 ．
16.【答案】-3
【解析】【分析】设点 Px,y ，利用已知条件求出点 P 的轨迹方程，利用平面向量数量积的运算性质可得出 PA⋅PB=PO2-4 ，求出 PO 的最小值，即可得出 PA⋅PB 的最小值．
解：设点 Px,y ，由 PAPB=3 可得 x+22+y2 x-22+y2=3 ，整理可得 x2+y2-5x+4=0 ，
化为标准方程可得 x-522+y2=94 ，
因为 O 为 AB 的中点，

所以， PA⋅PB=PO+OA⋅PO+OB=PO+OA⋅PO-OA=PO2-OA2
=PO2-4 ，
记圆心为 M52,0 ，当点 P 为线段 OM 与圆 x-522+y2=94 的交点时，
PO 取最小值，此时， PO=52-32=1 ，
所以， PA⋅PB=PO2-4≥1-4=-3 ．
故答案为： -3 ．
17.【答案】解：(1)
因为 ▵ABC 的三个顶点为 A4,0,B0,2,C2,6 ，
所以直线 AC 的斜率为 kAC=6-02-4=-3 ，
所以 AC 边上的高 BD 所在直线的斜率为 kBD=13 ，
所以直线 BD 的方程为 y-2=13x ，
化为一般式方程为 x-3y+6=0 ；
(2)因为 B0,2,C2,6 ，所以 BC 的中点为 E1,4 ，
又因为 A4,0,E1,4 ，所以直线 AE 的斜率为 k=-43 ，
所以直线 AE 的点斜式方程为 y-0=-43x-4 ，
化为一般式为 4x+3y-16=0 ．

【解析】【分析】(1)根据 A､C 两点的坐标求出直线 AC 的斜率，利用垂直关系求出高线 BD 的斜率，利用点斜式写出直线 BD 的方程；
(2)根据 B､C 两点的坐标求出中点 E ，再由 A､E 两点坐标求出直线斜率，利用点斜式写出直线 AE 的方程．
18.【答案】解：(1)由椭圆方程可知： a=2,b= 3 ，则 c= a2-b2=1 ，
所以 △ABF2 的周长为 AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=8 ．
(2)由(1)可知： F1-1,0 ，且直线 l 的斜率 k=tan45∘=1 ，
可得：直线 l:y=x+1 ，设 Ax1,y1,Bx2,y2 ，
联立方程 y=x+1x24+y23=1 ，消去y得 7x2+8x-8=0 ，
则 Δ=82-4×7×-8=288>0 ，且 x1+x2=-87,x1x2=-87 ，
所以 AB= 1+12 -872-4×-87=247 ．

【解析】【分析】(1)根据题意结合椭圆的定义运算求解；
(2)根据弦长公式结合韦达定理运算求解．
19.【答案】解：(1)连接 AD1,B1D1,BD ．
因为长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， BB1 /​/ DD1 且 BB1=DD1 ，
所以四边形 BB1D1D 为平行四边形．
所以 E 为 BD1 的中点，
在 ▵ABD1 中，因为 E,F 分别为 BD1 和 AB 的中点，所以 EF /​/ AD1 ．
因为 EF⊄ 平面 ADD1A1,AD1⊂ 平面 ADD1A1 ，所以 EF /​/ 平面 ADD1A1 ．
(2)B1D 与平面 BCC1B1 所成角为 π4 .连接 B1C ．
因为长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， CD⊥ 平面 BCC1B1,B1C⊂ 平面 BCC1B1 ，
所以 CD⊥B1C .所以 ∠DB1C 为直线 B1D 与平面 BCC1B1 所成角，即 ∠DB1C=π4 ．
所以 ▵DB1C 为等腰直角三角形．
因为长方体中 AA1=AD=2 ，所以 B1C=2 2 .所以 CD=B1C=2 2 ．
如图建立空间直角坐标系 D-xyz ，因为长方体中 AA1=AD=2,CD=2 2 ，
则 D0,0,0,A2,0,0,C0,2 2,0,B2,2 2,0 ，
F2, 2,0,B12,2 2,2,E1,2,1 ．
所以 CE=1,- 2,1,CF=2,- 2,0,CB=2,0,0 ．
设平面 CEF 的法向量为 m=x1,y1,z1 ，则 m⋅CE=0m⋅CF=0 ，即 x1- 2y1+z1=02x1- 2y1=0 ．
令 x1=1 ，则 y1= 2,z1=1 ，可得 m=1, 2,1 ．
设平面 BCE 的法向量为 n=x2,y2,z2 ，
则 n⋅CE=0n⋅CB=0 ，即 x2- 2y2+z2=02x2=0 ．
令 y2=1 ，则 x2=0,z2= 2 ，所以 n=0,1, 2 ．
设平面 CEF 与平面 BCE 的夹角为 θ ，
则 csθ=csm,n=m⋅nmn= 63 ．
所以平面 CEF 与平面 BCE 的夹角的余弦值为 63 ．

【解析】【分析】(1)通过证明 EF /​/ AD1 来证得 EF /​/ 平面 ADD1A1 ．
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面 CEF 与平面 BCE 的夹角的余弦值．
20.【答案】解：(1)以抛物线的顶点 O 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，

故圆心在 y 轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为 x2+y2+Ey=0,
易知，点 4,-2 在圆上，将 4,-2 的坐标代入圆的一般方程得 16+4-2E=0,E=10 ，
则该圆弧所在圆的一般方程为 x2+y2+10y=0 ．
(2)令 x=3 代入圆的方程得 y2+10y+9=0 ，得 y=-1 或 y=-9 (舍)，
由于隧道的总高度为 6 米，且 6-1-0.5=4.5 (米)，
因此，车辆通过隧道的限制高度为 4.5 米．

【解析】【分析】(1)以抛物线的顶点 O 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系，分析可知点 4,-2 在圆上，求出 p 的等式，解之即可；
(2)将 x=3 的方程代入圆的方程，求出 y 值，结合题意可求得车辆通过隧道的限制高度．
21.【答案】解：(1)作 Ez⊥ 平面 ABCD ，又 BE⊥AD ，所以以 EB,ED 的方向分别为 x 轴， y 轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系 E-xyz ：

因为平面 PAD⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD ，且 PA⊥AD ， PA⊂ 平面 PAD ，
所以 PA⊥ 平面 ABCD ，
又因为 E 为 AD 的中点， PA=AE=BE=2 ，且 BE/​/CD ， BE⊥AD ， CD=1 ，
所以由题意有 A0,-2,0,P0,-2,2,D0,2,0,C1,2,0 ，
所以有 PA=0,0,-2,PC=1,4,-2,PD=0,4,-2,
不妨设平面 PCD 的法向量为 n1=x1,y1,z1 ，
所以有 n1⋅PC=0n1⋅PD=0 ，即 x1+4y1-2z1=04y1-2z1=0 ，
取 y1=1 ，解得 n1=0,1,2 ，
所以点 A 到平面 PCD 的距离为 d=PA⋅n1n1=0×0+0×1+-2×2 02+12+22=4 55 ．
(2)如图所示：

由题意有 E0,0,0,P0,-2,2,B2,0,0,C1,2,0 ，
所以有 PE=0,2,-2,PC=1,4,-2,PB=2,2,-2,
不妨设平面 PBC 的法向量为 n2=x2,y2,z2 ，
所以有 n2⋅PC=0n2⋅PB=0 ，即 x2+4y2-2z2=02x2+2y2-2z2=0 ，
取 x2=2 ，解得 n2=2,1,3 ，
不妨设直线 PE 与平面 PBC 所成角为 θ,θ∈0,π2 ，
所以直线 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 sinθ=PE⋅n2PE⋅n2=0×2+2×1+-2×3 02+22+-22⋅ 22+12+32= 77 ，
所以直线 PE 与平面 PBC 所成角的余弦值为 csθ= 1-sin2θ= 427 ．
(3)如图所示：

由题意有 E0,0,0,P0,-2,2,D0,2,0,
所以 DE=0,-2,0,EP=0,-2,2 ，
由题意不妨设 EM=λEP,0<λ<1 ，
所以 DM=DE+EM=DE+λEP=0,-2,0+λ0,-2,2=0,-2-2λ,2λ ，
又由(2)可知平面 PBC 的法向量为 n2=2,1,3 ，
若 DM// 平面 PBC ，则 DM⋅n2=0 ，
即 -2-2λ+6λ=0 ，解得 λ=12 ，
所以当点 M 为 PE 的中点时，有 DM// 平面 PBC ．

【解析】【分析】(1)作 Ez⊥ 平面 ABCD ，结合已知建立空间直角坐标系，先求出平面 PCD 的法向量 n1 以及 PA ，再由公式 d=PA⋅n1n1 即可求解．
(2)分别算出 PE 与平面 PBC 的法向量 n2 ，再由公式 sinθ=PE⋅n2PE⋅n2 即可求解．
(3)若 DM// 平面 PBC ，则 DM⋅n2=0 ，而 n2 在第二问中已经求出，所以只需设 DM=DE+EM=DE+λEP ，待定系数即可求解．
22.【答案】解：(1)由已知得 a2-b2a= 33，b=2，从而a= 6，
所以椭圆的方程为x26+y24=1．
(2)当k=0时，直线l的方程为y=1，此时直线与x轴没有交点，不符合题意；
设直线l的方程为y=kx+1k≠0.设Cx1,y1，Dx2,y2，
联立方程组x26+y24=1y=kx+1消去y，得2+3k2x2+6kx-9=0．
△=36k2+36(2+3k2)>0，
于是x1+x2=-6k2+3k2．
又E0,1，F-1k,0，FC=DE，可得x1+1k,y1=-x2,1-y2．
故x1+x2=-1k，即-6k2+3k2=-1k，解得k=± 63．
(3)由已知可得A0,2，B0,-2，设直线AC、直线BD的斜率分别为k1和k2，
则k1=y1-2x1，k2=y2+2x2，
k12-k22=y1-22x12-y2+22x22=y1-22324-y12-y2+22324-y22=232-y12+y1-2+y22-y2=-8y1+y232+y12-y2，
又y1+y2=kx1+x2+2=42+3k2≠0k∈R，
故使直线AC平行于直线BD的实数k不存在．

【解析】本题考查根据条件确定椭圆的标准方程，进而利用直线与椭圆的位置关系并通过方程组的分析，探索解决问题的逻辑顺序，考查方程思想的运用和运算求解能力，以及推理论证能力，属于较难题．
(1)根据椭圆的概念求出a，b即可；
(2)将椭圆方程与直线方程联立，得2+3k2x2+6kx-9=0，利用韦达定理得到x1+x2=-6k2+3k2，利用向量坐标运算表示出FC=DE，建立关于k的方程，解出k的值；
(3)设出直线AC、直线BD的斜率，证明k12-k22≠0即可．