2023-2024学年河南省开封市五县联考高一上学期11月期中考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省开封市五县联考高一上学期11月期中考试数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=xx2-x-2≤0,B=xx(3-x)>0，则A∩B=( )
A. [0,2]B. (0,2]C. [-1,3)D. [-1,3]
2.已知a，b为实数，则“a> b”是“a>b2”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若a>b>c，则下列不等式恒成立的是
( )
A. ab>acB. a2>c2
C. a-bc-b>0D. ac>bc
4.已知f(x)是R上的奇函数，则函数g(x)=f(x-1)+2的图象恒过点
( )
A. (1,2)B. (1,-2)C. (-1,2)D. (-1,-2)
5.当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为
( )
A. y=Q⋅xNB. y=Q1-xN
C. y=Q1-1Nx2D. y=Q12xN
6.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且满足f(x)+2f1x=6x+4x，则f(x)的最小值为
( )
A. 2B. 3C. 4D. 83
7.若a，b，c>0且aa+b+c+bc=4，则2a+b+c的最小值是
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.已知函数fx=-x2+2ax,x≤2a-x+42-x,x>2的最大值为1，则实数a的值为
( )
A. a=±1B. a=54C. a=7D. a=54或a=7
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2，且x1( )
A. m>-14B. 当m=0时，x1=-2,x2=3
C. 当m>0时，x1<2<30时，210.在同一坐标系中，对于函数f(x)=x2与g(x)=2x的图象，下列说法错误的是
( )
A. f(x)与gx有两个交点
B. f(x)与gx有三个交点
C. ∃x0>0，当x>x0时，f(x)恒在gx的上方
D. ∃x0>0，当x>x0时，gx恒在f(x)的上方
11.狄利克雷函数是由著名德国数学家狄利克雷创造的，它是定义在实数上、值域不连续的函数，它在数学的发展过程中有很重大的研究意义，例如对研究微积分就有很重要的作用，其函数表达式为D(x)=1,x∈Q0,x∈QC(其中Q为有理数集，QC为无理数集)，则关于狄利克雷函数说法正确的是
( )
A. D(D(e))=0B. 它是偶函数
C. 它是周期函数，但不存在最小正周期D. 它的值域为[0,1]
12.奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域均为R，在区间(a,b)(aA. 0∉(a,b)
B. f(x)在区间(-b,-a)上是增函数，g(x)在区间(-b,-a)上是减函数
C. f(x)g(x)是奇函数，且在区间(a,b)上是增函数
D. f(x)-g(x)不具有奇偶性，且在区间(a,b)上不一定单调
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知全集U=R,A⊂U,B⊂U，如果命题p:x∈A∩B，那么¬p是________________．
14.已知x>0，y∈R，定义x*y=xy，则12* 32*- 3= ．
15.当m>12时，关于x的分式不等式x-m+1x+m<0的解区间为________．
16.定义：如果任取一个正常数T，使得定义在R上的函数y=f(x)对于任意实数x，存在非零常数m，使f(x+T)f(x)=m，则称函数y=f(x)是“ξ函数”.在①y=2x+1，②y=123x-2，③y=x3这三个函数中，为“ξ函数”的是__________(只填写序号)．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知命题p:∃x∈R，x2-ax+1≤0．
(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)命题q:关于x的一元二次方程x2+a-1x+a-2=0的一根小于0，另一根大于3，若p、q至少有一个是真命题，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数fx=b-a2x+1a∈R,b∈R．
(1)当b=2时，是否存在实数a，使得y=fx是奇函数；
(2)对于任意给定的非零实数b,y=fx与x轴负半轴总有交点，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知定义在R上的奇函数fx，当x>0时，fx=xx-4．

(1)求函数fx在R上的解析式；
(2)在坐标系中作出函数fx的图象；
(3)若函数fx在区间t,t+2上是单调函数，求实数t的取值范围．
20.(本小题12分)
某服装厂为扩大生产增加收益，新引进了一套某种服装的生产设备，用该设备生产制作服装每月的成本t(单位：元)由两部分构成：①固定成本(与生产服装的数量无关)：2×105元；②生产所需材料成本：100x+x220(单位：元)，x为每月生产服装的件数．
(1)用该设备生产服装，每月产量x为何值时，平均每件服装的成本最低，每件的最低成本为多少？
(2)若每月生产x件服装，每件售价为：360+x10(单位：元)，假设每件服装都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于4万元？
21.(本小题12分)
已知函数fx=2x+a2-x奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断fx在-∞,+∞上的单调性并用定义证明；
(3)设Fx=22x+2-2x-2mfx，求Fx在0,1上的最小值．
22.(本小题12分)
设函数fx的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有f(m+n)=f(m)⋅f，且当x>0时，0(1)求证：f(0)=1，且当x<0时，有f(x)>1；
(2)判断f(x)在R上的单调性；
(3)试举出一个满足条件的函数fx，并说明举例的理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】解一元二次不等式得集合A和B，然后利用交集运算的定义求解即可．
解：因为 A=xx2-x-2≤0=x-1≤x≤2=-1,2 ，
B=xx(3-x)>0=x0所以 A∩B=x0故选：B．
2.【答案】D
【解析】【分析】分别判断命题“若 a> b 则 a>b2 ”和“若 a>b2 则 a> b ”的真假，得到正确结果．
解：命题“若 a> b 则 a>b2 ”为假命题，∵取 a=b=2 ，则 2> 2 ，但 2>22 不成立.所以“ a> b ”不是“ a>b2 ”的充分条件；
命题“若 a>b2 则 a> b ”为假命题，因为取 a=b=14 ，则 14>142=116 ，但 14> 14=12 不成立.所以“ a> b ”不是“ a>b2 ”的必要条件．
综上：“ a> b ”是“ a>b2 ”的既不充分也不必要条件．
故选：D
3.【答案】C
【解析】【分析】代入特殊值以及不等式的性质即可求解．
解：当 a=0 ， b=-1 ， c=-2 时，满足 a>b>c ，不满足 ab>ac ，故A错误；
当 a=1 ， b=0 ， c=-2 时，满足 a>b>c ，不满足 a2>c2 ，故B错误；
因为 a>b ，所以 a-b>0 ，因为 b>c ，所以 c-b>0 ，
所以 a-bc-b>0 ，故C正确；
当 a=2 ， b=1 ， c=0 时，满足 a>b>c ，不满足 ac>bc ，故D错误．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】结合奇函数的性质，利用函数图象平移即可求得函数 gx 图象恒过的定点．
解：因为 fx 是 R 上的奇函数，所以 f0=0 ，即函数 f(x) 的图象恒过点 0,0 ．
又函数 g(x)=f(x-1)+2 的图象是由函数 fx 的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，
所以函数 gx 的图象恒过点 1,2 ．
故选：A．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了“半衰期”的意义，利用指数函数模型解决实际问题，属于基础题．
根据“半衰期”的意义即可得出．
【解答】
解：根据大约每经过N年衰减为原来的一半，
生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为y=Q12xN，
故选：D．
6.【答案】D
【解析】【分析】令 x=1x ，可得 2f(x)+f(1x)=4x+6x ，然后化简求得 f(x)=23x+83x ，利用基本不等式即可求解．
解：由 f(x)+2f(1x)=6x+4x ①，
令 x=1x ， 2f(x)+f(1x)=4x+6x ②，
由 ②×2-① 得 3f(x)=2x+8x ，
所以 f(x)=23x+83x≥2 2x3×83x=83 ，
当且仅当 23x=83x ，即 x=2 时，取等号，
所以 fx 的最小值为 83 ．
故选：D
7.【答案】D
【解析】【分析】首先变形等式，再利用基本不等式，即可求解．
解： aa+b+c+bc=a2+ab+ac+bc=a+ba+c=4 ，
2a+b+c=a+b+a+c≥2 a+ba+c=4 ，
当 a+b=a+c ，即 b=c 时等号成立．
故选：D
8.【答案】A
【解析】【分析】根据给定的函数，分段讨论并结合二次函数、均值不等式求出最大值即可作答．
解：当 x>2 时， f(x)=a-2-[(x-2)+4x-2]≤a-2-2 (x-2)⋅4x-2=a-6 ，
当且仅当 x-2=4x-2 ，即 x=4 时取等号，依题意， a-6≤1 ，即 a≤7 ，
当 x≤2 时， f(x)=-(x-a)2+a2 ，若 a≤2 ，则当 x=a 时， f(x)max=a2=1 ，解得 a=±1 ，符合题意，
若 2所以实数 a 的值为 ±1 ．
故选：A
9.【答案】AC
【解析】【分析】利用二次方程的性质判断AB，利用数形结合，结合零点的知识判断CD，从而得解．
解：将方程 x-2x-3=m 化为 x2-5x+6-m=0 ，
由题意可知，关于 x 的方程 x2-5x+6-m=0 有两个不等的实根，
则 Δ=25-46-m>0 ，解得 m>-14 ，故A正确；
当 m=0 时，方程为 (x-2)(x-3)=0 ，所以 x1=2 ， x2=3 ，故B错误；
当 m>0 时，在同一坐标系下，分别作出函数 y=(x-2)(x-3) 和 y=m 的图象，
可得 x1<2<3故选：AC．
10.【答案】AC
【解析】【分析】在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得两函数交点个数，即可判断选项 A,B ；由指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，即可判断选项 C,D ．
解： f1=1,g1=2 ， f2=g2=4 ， f3=9,g3=8 ， f4=g4=16 ， f5=25,g5=32 ，
则可在同一坐标系内作出两函数图像如下图所示：
显然两函数有三个交点 A,B,C ，故A错误，B正确，
由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，
所以当 x>4 时， g(x) 恒在 f(x) 的上方，故C错误，D正确，
故选：AC．
11.【答案】BC
【解析】【分析】根据狄利克雷函数的解析式，结合函数的性质逐一分析判断即可．
解：因为 De=0 ，则 DDe=D0=1 ，故A错误；
由 D(x) 的解析式可知 D(x) 的定义域为 R ，
若 x∈Q ，则 -x∈Q ，则 Dx=D-x=1 ；
若 x∈QC ，则 -x∈QC ，则 Dx=D-x=0 ；
综上， Dx=D-x ，所以 Dx 为偶函数，故B正确；
设任意 T1∈Q,T2∈QC ，则 Dx+T1=1,x∈Q0,x∈QC=Dx ，
当 x∈Q 时，则 Dx+T2=0 ，当 x∈QC 时， Dx+T2=0 或 1 ，则 Dx+T2≠Dx ，
即任意非零有理数均是 Dx 的周期，任何无理数都不是 Dx 的周期，故C正确；
函数 Dx 的值域为 0,1 ，故D错误．
故选：BC．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性，奇偶性，属于中档题．
利用函数奇偶性和单调性定义证明B；利用B的结论判断A；举实例判断C，D，即可得到结果．
【解答】
解：对于B，不妨设a-x1>-x2>-b，f(x1)-f(x2)，
∵f(x)为R上的奇函数，∴f(-x1)>f(-x2)，∴f(x)在区间( -b,-a)上是增函数;
由g(x)在区间(a,b)(a∵g(x)为定义在R上的偶函数，可得g(-x1)∴g(x)在区间( -b,-a)上是减函数，故B正确；
对于A，利用B的结论，偶函数在其对称区间上单调性相反，
故当0∈(a,b)时，偶函数g(x)在(a,b) (a对于C，令F(x)=f(x)g(x)，定义域为R，F(-x)=f( -x)g( -x)=-f(x)g(x)=-F(x)，
∴函数F(x)为奇函数；
不妨取f(x)=x，g(x)=-x2，函数在x∈(-1,0)上均为增函数，
但f(x)g(x)=-x3在(-1,0)为减函数，故C错误；
对于D，不妨设G(x)=f(x) -g(x)，定义域为R，
G(-x)=f( -x) -g( -x)=-f(x)-g(x)，不等于-G(x)，且不等于G(x)，
∴G(x)=f(x) -g(x)不具有奇偶性，
不妨取f(x)=x，g(x)=-x2，在(-1,0)上f(x)，g(x)均为增函数，
G(x)=x+x2，在(-1,-12)上递减，(-12,0)上递增，故D正确．
故选ABD．
13.【答案】x∉A 或 x∉B
【解析】【分析】由命题否定的定义可得答案．
解： x∈A∩B 即 x∈A 且 x∈B ，所以 ¬P： x∉A 或 x∉B ．
14.【答案】2​2
【解析】【分析】
本题考查了指数幂的运算，属于基础题．
利用定义可得相应指数运算，结合运算法则求解即可．
【解答】
解：(12* 32)*(- 3)=[(12) 32](- 3)
=(12) 32×(- 3)=(12)-32=232=2 2
故答案为：2 2．
15.【答案】(-m,m-1)
【解析】【分析】由题设可得 (x-m+1)(x+m)<0 ，根据已知条件判断 m-1,-m 的大小关系，即可求解区间．
解：由 x-m+1x+m<0⇔(x-m+1)(x+m)<0 ，
当 m>12 时，有 (m-1)-(-m)=2m-1>0 ，
∴解区间为 (-m,m-1) ．
故答案为： (-m,m-1) ．
16.【答案】②
【解析】【分析】根据 ξ 函数的定义逐一分析即可．
解：对于①，令 fx=2x+1 ，
则 fx+Tfx=2x+2T+12x+1=1+2T2x+1 ，不是常数，
∴y=2x+1 不是“ ξ 函数”；
对于②，令 fx=123x-2 ，
则 fx+Tfx=123x+3T-2123x-2=123T 为常数，
∴y=123x-2 是“ ξ 函数”；
对于③，令 fx=x3 ，
则 fx+Tfx=x+T3x3
=x3+3T⋅x2+3T2x+T3x3=1+3T⋅x2+3T2x+T3x3 ，不是常数，
∴y=x3 不是“ ξ 函数”；
故答案为：②．
17.【答案】解：(1)解：由题意，若 p 为真，则 Δ=a2-4≥0 ，解得 a≤-2或a≥2 ．
(2)若 q 为真， x2+a-1x+a-2=0⇔x+1x+a-2=0 ，方程两根为 -1 和 2-a ，
则由题意得 2-a>3 ，所以 a<-1 ，
当 p 、 q 均为假命题时，有 -2因此，如果 p 、 q 中至少有一个为真时， a<-1 或 a≥2 ．

【解析】【分析】(1)由题意可得 Δ≥0 ，即可解得实数 a 的取值范围；
(2)求出当命题 q 为真命题时 a 的取值范围，然后考虑当 p 、 q 均为假命题时实数 a 的取值范围，结合补集思想可求得 p 、 q 至少有一个是真命题，实数 a 的取值范围．
18.【答案】解：(1)当 b=2 时，则 fx=2-a2x+1 ，可知 fx 的定义域为 R ，
若 y=fx 是奇函数，则 f0=2-a2=0 ，解得 a=4 ，
且当 a=4 时， fx+f-x=2-42x+1+2-42-x+1=4-42x+1-4×2x2x+1=0 ，
即 fx=-f-x ， y=fx 是奇函数，
综上所述：当 a=4 时， y=fx 是奇函数．
(2)令 fx=b-a2x+1=0 ，可得 a=b2x+1,x<0 ，
因为 x<0 ，则 1<2x+1<2 ，且 b≠0 ，
当 b>0 时，则 a=b2x+1∈b,2b ；
当 b<0 时，则 a=b2x+1∈2b,b ；
综上所述：当 b>0 时，实数 a 的取值范围为 b,2b ；
当 b<0 时，实数 a 的取值范围为 2b,b ．

【解析】【分析】(1)根据奇函数的定义和性质分析求解；
(2)根据题意可知： a=b2x+1,x<0 ，分 b>0 和 b<0 两种情况，运算求解．
19.【答案】解：(1)当 x<0 时， -x>0 ，
因为函数是奇函数，所以 fx=-f-x=--x-x-4=-xx+4 ，
且 f0=0 ，
所以函数 fx 在 R 上的解析式为 fx=xx-4,x>00,x=0-xx+4,x<0 ;
(2)根据函数的解析式，作出函数的图象，

(3)函数 fx 在区间 t,t+2 上是单调函数，根据图象可知，
t≥2 ，或 t+2≤-2 ，或 -2≤t≤t+2≤2 ，
解得： t≥2 或 t≤-4 或 -2≤t≤0 ．

【解析】【分析】(1)根据函数是奇函数，求函数的解析式；
(2)根据函数的解析式，作出函数的图象；
(3)根据函数的图象，结合函数的单调性，转化为子集问题，即可求解．
20.【答案】解：(1)解：设平均每套所需的成本费用为 y 元，则有
y=tx=100x+x220+200000x=120x+200000x+100≥2 120x⋅200000x+100=300 ．
当且仅当 120x=200000x ，即 x=2000 时，等号成立，此时 ymin=300 ．
所以该用该设备每月生产2000件服装时，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本为300元；
(2)解：设月利润为 P (元)，则有：
P=x360+x10-100x+x220+200000=120x2-260x-200000≥40000 ，
整理得： x2-5200x-4800000≥0 ，解得 x≤-6000 (舍)或 x≥800 ，
所以该设备每月至少生产800件产品，才能确保该设备每月的利润不低于4万元．

【解析】【分析】(1)根据题意，可知平均每套所需的成本费用为 y=tx=120x+200000x+100 ，再利用基本不等式即可求出结果；
(2)由题意可知月利润 P=x360+x10-100x+x220+200000≥40000 ，解一元二次不等式即可求出结果．
21.【答案】解：(1)解： ∵f(x) 是定义域为 R 的奇函数，
∴f0=1+a=0,
∴a=-1 ；
经检验符合题意；
(2)f(x) 在 R 上单调递增．证明如下：
∀x1,x2∈R,x1则 fx1-fx2=2x1-12x1-2x2+12x2=2x1-2x21+12x12x2 ，
因为 x1所以 0<2x1<2x2 ，所以 2x1-2x2<0 ， 1+12x12x2>0 ，
可得 f(x1)-f(x2)<0 ．
即当 x1所以 f(x) 在 R 上单调递增．
(3)Fx=22x+2-2x-2mfx,
=22x+2-2x-2m2x-2-x,
=2x-2-x2-2m2x-2-x+2 ，
令 t=2x-2-x ，又 x∈0,1 ，则 t∈0,32 ，
所以 y=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2 ， t∈0,32 ，对称轴为 t=m ，
则当 m≤0 时， ymin=2 ；
当 0当 m≥32 时， ymin=174-3m ．

【解析】【分析】(1)根据 fx 是定义域为 R 的奇函数，由 f0=0 求解；
(2)利用函数的单调性定义证明；
(3)由 Fx=2x-2-x2-2m2x-2-x+2 ，令 t=2x-2-x ，转化为二次函数，利用二次函数的性质求解．
22.【答案】解：(1)对任意实数 m,n ，恒有 fm+n=fm⋅fn ，
令 m=1 ， n=0 ，则 f1=f1⋅f0 .
因为当 x>0 时， 0设 m=x<0 ， n=-x>0 ，则 f0=fx⋅f-x ，其中 0所以 fx=f0f-x=1f-x>1 ．
即当 x<0 时，有 fx>1 ．
(2)设 x10 ，所以 0由(1)知， fx1>0 ，所以 fx2-fx1=fx2-x1+x1-fx1=fx2-x1⋅fx1-fx1
=fx1⋅fx2-x1-1<0 ，即 fx2(3)答案不唯一．如： fx=12x .
因为 fm+n=12m+n=12m⋅12n=fm⋅fn ，
且当 x>0 时， 0
【解析】【分析】(1)根据题设条件利用赋值法证明即可；
(2)利用函数单调性的定义判断即可；
(3)根据题设条件从所学的基本初等函数中，选择一个函数即可．