18计数原理与概率统计--2023-2024学年高三上学期数学期末复习专题练习（苏教版）

这是一份18计数原理与概率统计--2023-2024学年高三上学期数学期末复习专题练习（苏教版），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和4个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，第一次取出的球是红球的概率（ ）
A．B．C．D．
2．（2022上·江苏徐州·高三期末）某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布．随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为（ ）
（注：若，，，）
A．0.8185B．0.84C．0.954D．0.9755
3．（2022上·江苏泰州·高三统考期末）“双十二”网购狂欢节是继“双十一”之后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”.已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（ ）（参考数据：）
A．16B．18C．20D．25
4．（2022上·江苏泰州·高三统考期末）在的展开式中，常数项为（ ）
A．27B．28C．29D．30
5．（2022上·江苏扬州·高三统考期末）的展开式中的系数为（ ）
A．10B．20C．40D．80
6．（2022上·江苏南通·高三统考期末）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布．若某物理量做n次测量，最后结果的误差，Xn ~N(0，)，则为使|Xn|≥的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为（ ）
【附】随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(u－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974．
A．32B．64C．128D．256
7．（2022上·江苏南通·高三统考期末）我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”.古人构建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022上·江苏南通·高三统考期末）梅森素数是指形如2p－1的素数，其中p也是素数(质数)，如27－1＝127是梅森素数，211－1＝23×89不是梅森素数.长期以来，数学家们在寻找梅森素数的同时，不断提出一些关于梅森素数分布的猜测，1992年中国学者周海中提出一个关于梅森素数分布的猜想，并首次给出其分布的精确表达式，被数学界命名为“周氏猜测”.在不超过20的素数中随机抽取2个，则至少含有1个梅森素数的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022上·江苏南通·高三统考期末）甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3.竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（ ）
A．第二名、第三名的总分之和为29分或31分
B．第二名的总分可能超过18分
C．第三名的总分共有3种情形
D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名
10．（2022上·江苏南通·高三统考期末）某校高三年级的名学生中，男生有名，女生有名．从中抽取一个容量为的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（ ）
A．、B．、C．、D．、
11．（2022上·江苏常州·高三统考期末）已知随机变量，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2021上·江苏常州·高三校联考期末）俄国著名飞机设计师埃格•西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的.年，为了远程性和安全性上与美国波音竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为，且各引擎是否有故障是独立的，已知飞机至少有个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；飞机需要个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行.若要使飞机比飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．（2022上·江苏徐州·高三期末）为了确保在发生新冠肺炎疫情时，能够短时间内完成大规模全员核酸检测工作，采用“10合1混采检测”，即：每10个人的咽拭子合进一个采样管一起检测．如果该采样管中检测出来的结果是阴性，表示这10个人都是安全的．否则，立即对该混采的10个受检者暂时单独隔离，并重新采集单管拭子进行复核，以确定这10个人中的阳性者．某地区发现有输入性病例，需要进行全员核酸检测，若该地区共有10万人，设感染率为p（每个人受感染的概率），则（ ）
A．该地区核酸检测结果是阴性的人数的数学期望为人
B．随机的10个一起检测的人所需检测的平均次数为次
C．该区采用“10合1混采检测”，需要重新采集单管拭子的平均人数为人
D．该区采用“10合1混采检测”比一人一检大约少用份检测试剂
14．（2022上·江苏南京·高三期末）对于伯努利数，有定义：.则（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022上·江苏徐州·高三期末）已知变量与具有线性相关关系，统计得到6组数据如下表：
若关于的线性回归方程为，则（ ）
A．变量与之间正相关B．
C．D．当时，的估计值为15.6
16．（2022上·江苏扬州·高三统考期末）下列说法中正确的有（ ）
A．将一组数据中的每个数据都乘以后，平均数也变为原来的倍
B．若一组数据的方差越小，则该组数据越稳定
C．由样本数据点、、、所得到的回归直线至少经过其中的一个点
D．在某项测量中，若测量结果，则
17．（2022上·江苏南通·高三统考期末）某岗位聘用考核设置2个环节，竞聘者需要参加2个环节的全部考核，2个环节的考核同时合格才能录用．规定：第1环节考核3个项目，至少通过2个为合格，否则为不合格；第2环节考核5个项目，至少连续通过3个为合格，否则为不合格．统计已有的测试数据得出第1环节每个项目通过的概率均为，第2环节每个项目通过的概率均为，各环节、各项目间相互独立，则（ ）
A．竞聘者第1环节考核通过的概率为
B．若竞聘者第1环节考核通过X个项目，则X的均值E(X)＝1
C．竞聘者第2环节考核通过的概率为
D．竞聘者不通过岗位聘用考核可能性在95%以上
18．（2022上·江苏南通·高三统考期末）对于二项式的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．各项系数之和为0B．二项式系数的最大值为
C．不存在常数项D．x的系数为－28
三、填空题
19．（2022上·江苏扬州·高三邵伯高级中学校考期末）在的展开式中，的系数为 .
20．（2022上·江苏扬州·高三邵伯高级中学校考期末）国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于年在北京召开，这是我国在年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放个广告，其中个不同的商业广告和个不同的奥运宣传广告，要求第一个和最后一个播放的必须是奥运宣传广告，且个奥运宣传广告不能两两相邻播放，则不同的播放方式有 种.
21．（2023上·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉．由二项式定理可得：，等等，则 ．
22．（2022上·江苏南京·高三南京市第一中学校联考期末）已知随机变量，且，则的展开式中的系数为
23．（2022上·江苏南京·高三期末）小颖和小星在玩抽卡游戏，规则如下：桌面上放有5张背面完全相同的卡牌，卡牌正面印有两种颜色的图案，其中一张为紫色，其余为蓝色.现将这些卡牌背面朝上放置，小颖和小星轮流抽卡，每次抽一张卡，并且抽取后不放回，直至抽到印有紫色图案的卡牌停止抽卡.若小颖先抽卡，则小星抽到紫卡的概率为 .
24．（2022上·江苏南通·高三期末）今天是星期四，经过7天后还是星期四，那么经过天后是 .
25．（2022上·江苏徐州·高三期末）若的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中的系数是 .
四、解答题
26．（2023下·江苏南京·高三校联考期末）2023年的春节期间，某市举办了趣味射击过关比赛.比赛时，有甲、乙两个靶，比赛规则如下：射手先向甲靶射击两次，再向乙靶射击一次，每命中甲靶一次得1分，每命中乙靶一次得4分，没有命中均得0分.现已知A射手向甲靶射击一次，命中的概率为，再向乙靶射击一次，命中的概率为，假设A射手每次射击的结果相互独立.
(1)当时，求A射手命中甲靶次数多于命中乙靶次数的概率；
(2)现规定射手总得分的数学期望超过4，比赛过关，若A射手过关，求实数p的取值范围.
27．（2023上·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)，此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y(单位：万台)关于x(年份)的线性回归方程为＝4.7x－9495.2，且销量y的方差，年份x的方差为．
(1)求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；
(2)该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
能否有99%的把握认为购买电动汽车与性别有关?
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取4人，记这4人中，男性的人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式；
(i)线性回归方程：，其中，；
(ii)相关系数：，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强；
(iii)，其中n＝a＋b＋c＋d．
附表：
28．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）某校为了合理配置校本课程资源，教务部门对学生们进行了问卷调查．据统计，其中的学生计划只选择校本课程一，另外的学生计划既选择校本课程一又选择校本课程二．每位学生若只选择校本课程一，则记1分；若既选择校本课程一又选择校本课程二，则记2分．假设每位选择校本课程一的学生是否计划选择校本课程二相互独立，视频率为概率．
(1)从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从学生中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求．
29．（2023上·江苏南通·高三统考期末）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯卫生习惯分为良好和不够良好两类的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了例称为病例组，同时在未患该疾病的人群中随机调查了人称为对照组，得到如下数据：
(1)能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
(2)为了进一步研究已患该疾病人群的情况，该医疗团队在该地已患该疾病的病例中随机抽取人进行调查根据上表数据估计，要保证抽取的人中至少含有一个卫生习惯不够良好的居民的概率超过，则至少抽取多少人
附，
30．（2022上·江苏南京·高三期末）设（X，Y）是一个二维离散型随机变量，其所有可能取值为（ai，bj），其中i，j∈N*.记pij=P（X=ai，Y=bj）是随机变量（X，Y）的联合分布列.与一维的情形相似，二维分布列可以如下形式表示：
现将3张卡片等可能地放入A，B两盒，记A盒中的卡片数为X，B盒中的卡片数为Y，求（X，Y）的联合分布列.
31．（2022上·江苏扬州·高三统考期末）为了更好满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划（）》．某中学为了解学生对上述相关知识的了解程度，先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为、、、、，由此得到总体的频率分布直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取名学生进行进一步调研，已知频率分布直方图中、、成公比为的等比数列．
(1)若从得分在分以上的样本中随机选取人，用表示得分高于分的人数，求的分布列及期望；
(2)若学校打算从这名学生中依次抽取名学生进行调查分析，求在第一次抽出名学生分数在区间内的条件下，后两次抽出的名学生分数在同一分组区间的概率．
32．（2022上·江苏南通·高三统考期末）某网店为预估今年“双11”期间商品销售情况，随机抽取去年“双11”期间购买该店商品的100位买主的购买记录，得到如下数据：
(1)判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于500元与性别有关；
(2)为增加销量，该网店计划今年“双11”期间推出如下优惠方案：购买金额不少于500元的买主可抽奖3次，每次中奖概率为(每次抽奖互不影响)，中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元．据此优惠方案，求在该网店购买500元商品，实际付款数X(元)的分布列和数学期望．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
2
4
7
10
15
22
8.1
9.4
12
14.4
18.5
24
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
30
20
50
女性
15
35
50
总计
45
55
100
α
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
卫生习惯
不够良好
良好
病例组
对照组
（X，Y）
b1
b2
…
a1
p11
p12
…
a2
p21
p22
…
…
…
…
…
500元及以上
少于500元
合计
男
25
25
50
女
15
35
50
合计
40
60
100
P(χ2≥k)
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考答案：
1．C
【分析】根据取到甲、乙、丙袋分三种情况结合条件概率求解.
【详解】设第一次取到红球为事件，取到甲、乙、丙袋为事件,
由条件概率公式可得
,
故选:C.
2．A
【分析】根据正态分布的对称性，以及即可求得净重在179g与186.5g之间的概率.
【详解】由题意可知，，可得
净重在179g与186.5g之间的概率为
由正态分布的对称性可知，
；
所以净重在179g与186.5g之间的概率为.
故选：A.
3．B
【分析】由题可得，即得.
【详解】∵小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，
∴，
∴该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为.
故选：B.
4．D
【分析】根据二项式展开式通项公式即可求解．
【详解】的展开式中，常数项为
故选：D
5．C
【分析】由二项展开式的通项公式代入即可解决.
【详解】二项式展开式的通式为，
由，得r＝2，此时
即的展开式中的系数为40
故选：C
6．C
【分析】根据得到，进而结合正态分布的概率求法求得答案.
【详解】根据题意，，
而，则，所以.
故选：C.
7．A
【分析】列出随机任取“两行”的所有情况和“两行”相生的情况，由古典概型概率计算公式可得答案.
【详解】金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土共10种，
其中取出的“两行”相生的情况有金生水、水生木、木生火、火生土、土生金共5种，
所以取出的“两行”相生的概率.
故选：A.
8．A
【分析】结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】不超过的素数为：，共个，
其中，即个梅森素数，
所以在不超过20的素数中随机抽取2个，则至少含有1个梅森素数的概率为.
故选：A
9．C
【分析】根据给定条件按甲的得分情况分类，再求出第二名、第三名的得分即可判断作答.
【详解】依题意，甲的得分情况有两种：10，10，5和10，10，3，
显然3人的总得分为54分，甲得分为10，10，5时，第二名、第三名的总分之和为29分，
甲得分为10，10，3时，第二名、第三名的总分之和为31分，A正确；
甲得分为10，10，5时，第二名得分有三种情况：5，5，10；5，3，10；3，3，10，总分分别为20分，18分，16分，
第三名得分对应有三种情况：3，3，3；3，5，3；5，5，3，总分分别为9分，11分，13分，
甲得分为10，10，3时，第二名得分有三种情况：5，5，10；5，3，10；3，3，10，总分分别为20分，18分，16分，
第三名得分对应有三种情况：3，3，5；3，5，5；5，5，5，总分分别为11分，13分，15分，
选项B，D正确，第三名总分有4种情况，C不正确.
故选：C
10．C
【分析】利用分层抽样可计算得出样本中男生和女生的人数.
【详解】设样本中的男生和女生的人数分别为、，由分层抽样可得，解得.
故选：C.
11．B
【分析】根据随机变量可知，再根据，，可求出，利用，建立方程，即可求出结果.
【详解】因为随机变量，所以，
因为，，所以，即，
又
所以，即.
故选：B.
12．C
【解析】由独立重复实验概率公式可得两种飞机正常飞行的概率，解不等式即可得解.
【详解】由题意，飞机引擎正常运行的概率为，
则飞机能成功飞行的概率为，
飞机能成功飞行的概率为，
令即，解得.
所以飞机引擎的故障率应控制的范围是.
故选：C.
13．BD
【分析】根据二项分布即可求解A，设随机变量表示这10个人一共所需的检验次数，求出所有取值和相应的概率，再求出的期望即可即可判断B,根据B选项可求解10万人采用“10合1混采检测”需要检测的次数，即可判断CD.
【详解】感染率为，没有感染的概率为，则为阴性的人数为,则 ，
所以核酸检测结果是阴性的人数的数学期望为，故A错误，
感染率为，10个人的咽拭子混合在一起检测时，设随机变量表示这10个人一共所需的检验次数，若第一次混检都是阴性，所需检测次数为1，；若是阳性，每人还得再单独检测一次，此时，且，，
于是平均检测次数是，故B正确，
采用“10合1混采检测”，1管中需要重新采样的概率为，所以10万人中需要重新采集单管拭子的平均人数为人，故C错误，
采取“10合1混采检测”方案，10万人可能需要进行检测的平均次数大约为：
，
即进行“10合1混采检测”方案，比“一人一检”方案少使用约份检测试剂,故D正确，
故选：BD
14．ACD
【分析】根据伯努利数的定义以及二项式定理，将写成递推公式的形式，逐一代入计算即可判断选项.
【详解】由得，
，
所以，，
同理，，
所以，，
其中第项为
即可得
令，得；
令，得；
令，得
同理，可得；
即可得选项AC正确，B错误；
由上述前12项的值可知，当为奇数时，除了之外其余都是0，
即，也即；所以D正确.
故选：ACD.
15．AB
【分析】根据回归方程可判断选项A，由得到的6组数据可计算样本点中心，可判断B，再根据回归直线过样本点中心可判断C，进而可判断D.
【详解】由关于的线性回归方程为，可知变量与之间正相关，即A正确；
由表中数据可知
，故B正确；
因此样本点中心为，将其代入回归方程可得，故C不正确；
因此，关于的线性回归方程为，将代入回归方程可得，，
即当时，的估计值为16；所以D错误；
故选：AB.
16．ABD
【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用方差的定义可判断B选项；利用回归直线的特点可判断C选项；利用正态密度曲线的对称性可判断D选项.
【详解】对于A，设数据、、、的平均数为，则，
则数据、、、的平均数为，A对；
对于B，由方差的定义可知，方差越小，样本越稳定，B对；
对于C，回归直线一定过样本的中心点，不一定过样本点，C错；
对于D， 在某项测量中，若测量结果，则，D对.
故选：ABD.
17．BC
【分析】设分别为两个环节第个项目通过，则，然后根据相互独立事件的概率的求法逐个分析判断即可
【详解】设分别为两个环节第个项目通过，则，且间相互独立，
对于A，竞聘者第1环节考核通过的概率为，所以A错误，
对于B，由题意可得可能取0，1，2，3，则,
，
，
，
所以，所以B正确，
对于C，竞聘者第2环节考核通过的概率为
，所以C正确，
对于D，由AC选项可得竞聘者不通过岗位聘用考核概率为，所以D错误.
故选：BC
18．AC
【分析】对A，令可得；对B，由可判断；对C，求出通项公式，令的指数为0，求解可判断；对D，令的指数为1可求出.
【详解】对于A，令，则可得各项系数之和为，故A正确；
对于B，二项式系数最大的为，故B不正确；
对于C，的展开式的通项公式为，令，解得，不是非负整数，故不存在常数项，故C正确；
对于D，，令，解得，则的系数为，故D错误.
故选：AC.
19．
【分析】利用二项式展开式通项可求得的系数.
【详解】的展开式通项为，
令，可得，因此，展开式中的系数为.
故答案为：.
20．
【分析】考虑第一个和最后一个播放的必须是奥运宣传广告的排法，以及第一个和最后一个播放的必须是奥运宣传广告，且个奥运宣传广告两两相邻播放的排法种数，作差可得结果.
【详解】先考虑第一个和最后一个播放的必须是奥运宣传广告的排法，共种，
然后考虑第一个和最后一个播放的必须是奥运宣传广告，且个奥运宣传广告两两相邻播放，
此时，不同的排法种数为种，
因此，满足条件的不同的播放方式为种.
故答案为：.
21．
【分析】根据得，再根据二项式定理赋值求解即可.
【详解】解：因为，
所以，，，，，，
所以，
因为，
所以，
所以，令得，即
所以
故答案为：
22．
【分析】由正态分布曲线的对称性可求得，分别确定两个因式的展开式通项，相乘得到新通项后，令，讨论得到可能的取值，结合通项可求得对应的系数.
【详解】，，
由正态分布曲线的对称性知：；
展开式通项为：；
展开式通项为：；
展开式通项可记为：，
令，即，则满足条件的解为和，
的系数为.
故答案为：.
23．/
【分析】小星只可能在第二次和第四次抽到紫卡，将所有情况列表排列可得答案.
【详解】按照规则，两人依次抽卡的所有情形如下表所示，
其中情形二和情形四为小星最终抽到紫卡，则小星抽到紫卡的概率为.
故答案为：.
24．星期五
【分析】利用周期含义以及指数运算即可.
【详解】根据题意，周期为，，所以除以的余数为1，即
经过天后，为星期五.
故答案为：星期五
25．9
【分析】先赋值，求出，再求出的展开式的通项公式，得到，与的对应项相乘后得到展开式中的系数.
【详解】中令得：，解得：，
的展开式的通项公式为，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，不合要求，舍去，
故展开式中的系数为.
故答案为：9.
26．(1)
(2)
【分析】（1）“A射手命中甲靶次数多于命中乙靶次数”包含“射击甲靶击中两次，射击乙靶不中或命中”和“射击甲靶的两次中只击中一次，射击乙靶不击中”，由乘法公式得出所求概率；
（2）求出A射手总得分的所有可能取值以及相应概率，进而由，得出实数p的取值范围.
【详解】（1）记“A射手命中甲靶次数多于命中乙靶次数”为事件B.
事件B发生包含：“射击甲靶击中两次，射击乙靶不中或命中”和“射击甲靶的两次中只击中一次，射击乙靶不击中”，所以.
（2）设A射手总得分为，则的所有可能取值为：.
，
，
，
所以
.
则当时，，所以.
27．(1)，与线性相关较强.
(2)有的把握认为购买电动汽车与车主性别有关.
(3)分布列见解析，.
【分析】（1）利用相关系数的求解公式，并转化为和方差之间的关系，代入计算即可；
（2）直接利用独立性检验公式求出，根据零点假设定理判断购买电动汽车与车主性别是否有关；
（3）采用分层抽样先得出男性车主和女性车主的选取人数，得出可能取值0,1,2，3，4，分别求出对应概率，即可得的分布列，再结合期望公式，即可求解.
【详解】（1）相关系数为
，
所以，故与线性相关较强.
（2）零假设为：购买电动汽车与车主性别相互独立，即购买电动汽车与车主性别无关.
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于.
（3）11人中，男性车主人，女性车主人，
则的可能取值为0，1，2，3，4，故
，，，
，，
故的分布列为：
.
28．(1)分布列见解析，
(2)
【分析】(1)根据题意得出不选择校本课程二的概率为，选择校本课程二的概率为，X的可能取值为3，4，5，6，分别求出对应的概率，由此能求出X的分布列和期望；
(2) 这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划选择校本课程二，
则，设，利用错位相减法即可求解.
【详解】（1）由题意知，每位学生计划不选择校本课程二的概率为，
选择校本课程二的概率为，
则X的可能取值为3，4，5，6，
，，
，，
所以X的分布列如下表所示：
所以．
（2）因为这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划选择校本课程二，
所以，
设，
则，
由两式相减得，
即，
所以.
29．(1)有的把握
(2)至少抽取人
【分析】（1）完善列联表，求出与临界值表进行对比即可；
（2）记抽取的人中至少含有一个卫生习惯不够良好的居民为事件，则，因为，计算即可．
【详解】（1）因为，
又因为，，
所以有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
（2）根据表中数据可估计，病例组中卫生习惯不够良好的居民的概率是，
卫生习惯良好的居民的概率是．
记抽取的人中至少含有一个卫生习惯不够良好的居民为事件，
则，
因为，所以，
所以，所以至少抽取人．
30．
【分析】易知的所有可能取值为，A盒中的卡片数一旦确定则B盒中的卡片数就唯一确定了，利用二项分布考查A盒中的卡片数为0，1，2，3时的概率即可.
【详解】由题意，的所有可能取值为，
且，
所以的联合分布列为：
31．(1)分布列见解析，期望为；
(2).
【分析】（1）求出的值，分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得随机变量的数学期望值；
（2）记事件第一次抽出名学生分数在区间内，记事件后两次抽出的名学生分数在同一分组区间内，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】（1）解：由题意得，，因为，所以．
由分层抽样，抽出的名学生中得分位于区间内有人，
位于内有人，位于内有人，
位于内有人，位于区间学生有人，
这样，得分位于分以上的共有人，其中得分位于的有人，
所以的可能取值有、、，，，，
所以的分布列为：
所以.
（2）解：记事件第一次抽出名学生分数在区间内，
记事件后两次抽出的名学生分数在同一分组区间内，
则，，
由条件概率公式可得.
32．(1)有95%的把握认为购买金额是否少于500元与性别有关
(2)分布列见解析，E(X)＝450
【分析】（1）根据列联表中的数据，可以求得卡方系数，再与3.841比较大小，即可得到答案；
（2）X的可能取值为500，450，400，350，写出分布列，再代入期望公式；
【详解】（1）根据列联表中的数据，可以求得χ2＝≈4.1667＞3.841，
所以我们有95%的把握认为购买金额是否少于500元与性别有关．
（2）因为购买金额不少于500元的买主可抽奖3次，中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元，所以X的可能取值为500，450，400，350，因为每次中奖概率为，所以不中奖的概率为．
所以，
P(X＝450)＝()2＝，
P(X＝400)＝()2＝，
．
实际付款数X(元)的分布列为：
E(X)＝500×＋450×＋400×＋350×＝450．
小颖
小星
小颖
小星
小颖
情形一
紫
情形二
蓝
紫
情形三
蓝
蓝
紫
情形四
蓝
蓝
蓝
紫
情形五
蓝
蓝
蓝
蓝
紫
0
1
2
3
4


X
3
4
5
6
P
3
2
1
0
3
2
1
0
3
2
1
0
3
2
1
0
X
500
450
400
350
P