2023-2024学年天津市和平区耀华中学高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市和平区耀华中学高二上学期12月月考数学试卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.双曲线x24−y29=1的渐近线方程是(    )A. y=±32x B. y=±23x C. y=±94x D. y=±49x2.已知数列 an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2⋅a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则S5=．A. 35 B. 33 C. 31 D. 293.已知A(−1,0),B(1,0)，点C(x,y)满足： (x−1)2+y2|x−4|=12,则|AC|+|BC|=(    )A. 6 B. 4 C. 2 D. 不能确定4.抛物线y2=2px与直线ax+y−4=0交于A，B两点，其中A点的坐标是(1,2).该抛物线的焦点为F，则|FA|+|FB|=A. 7 B. 3 5 C. 6 D. 55.双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左、右焦点分别为F₁,F₂,过焦点F₂且垂直于x轴的弦为AB，若∠AF₁B=90°,则双曲线的离心率为(    )A. 122− 2 B. 2−1 C. 2+1 D. 122+ 26.若椭圆x2a+y2b=1(a>b>0)和双曲线x2m−y2n=1(m,n>0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的交点，则PF1⋅PF2的值是(    )A. b− n B. a− m C. b−n D. a−m7.规定：直线l:x=a2c是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右准线，以原点为圆心且的圆，且过双曲线的顶点的圆，被直线l分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是(    )A. 2 B. 2 C. 62 D. 58.直线x4+y3=1与椭圆x216+y29=1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得△APB的面积等于3.这样的点P共有(    )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9.曲线y=- 4−x2(x≤1)的长度是(    )A. 4π3 B. 2π3 C. 8π3 D. 3π10.已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(−12,−15)，则E的方程式为A. x23−y26=1 B. x24−y25=1 C. x26−y23=1 D. x25−y24=111.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x−3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(    )A. (x−3)2+(y−73)2=1 B. (x−2)2+(y−1)2=1C. (x−1)2+(y−3)2=1 D. (x−32)2+(y−1)2=112.给出下列结论，其中正确的个数是(    )①渐近线方程为y=±bax(a>0,b>0)的双曲线的标准方程一定是x2a2−y2b2=1②抛物线y=-12x2的准线方程是x=12  ③等轴双曲线的离心率是 2④椭圆x2m2+y2n2=1(m>0,n>0)的焦点坐标是F1− m2−n2,0,F2 m2−n2,0A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.如果正△ABC中，D∈AB,E∈AC，向量DE=12BC，那么以B,C为焦点且过点D,E的双曲线的离心率是          14.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则P=          ．15.与直线x+y−2=0和曲线x2+y2−12x−12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是          ．16.已知数列an满足a1=33,an+1−an=2n,则ann的最小值为          ．三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)已知圆锥曲线C经过定点P(3,2 3)，它的一个焦点为F(1,0)，对应于该焦点的准线为x=−1，斜率为2的直线l交圆锥曲线C于A、B两点，且AB =3 5，求圆锥曲线C和直线l的方程．18.(本小题12分)如图所示，已知圆C:(x+1)2+y2=8，定点A(1,0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM=2AP，NP⋅AM=0，点N的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G､H(点G在点F､H之间)，且满足FG=λFH，求λ的取值范围．19.(本小题12分)如图所示的几何体ABCDE 中，DA⊥平面EAB ，AB=AD=AE=2BC=2，CB//DA,EA⊥AB, M是EC上的点(不与端点重合)，F为AD上的点，N为BE的中点．(1)若M为CE的中点，AF=3FD.(i)求证：FN//平面MBD(ii)求点F 到平面MBD的距离．(2)若平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为13,试确定点M在EC上的位置．答案和解析1.【答案】A 【解析】【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可．【详解】双曲线x24−y29=1的渐近线方程是：y=±32x故选：A2.【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q，则a2a3=a1q⋅a1q2=2a1，所以a4=2，又a4+2a7=a4+2a4q3=2×54，解得q=12,a1=16，所以S5=a1(1−q5)1−q=16(1−(12)5)1−12=31，故选C．考点：等比数列的通项公式及性质．3.【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的第二定义，结合椭圆的定义进行求解即可．【详解】因为 (x−1)2+y2|x−4|=12,所以点C(x,y)是以B(1,0)为右焦点，x=4为右准线，离心率为12的椭圆，则有c=1,ca=12⇒a=2，显然|AC|+|BC|=2a=4，故选：B4.【答案】A 【解析】【详解】分析：首先应用曲线的交点应该同时落在各条曲线上，得到点A(1,2)既在抛物线y2=2px上，又在直线ax+y−4=0上，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线方程，从而求得p,a的值，联立方程组求得另一个交点B的坐标，之后结合抛物线的定义求得最后的结果．详解：将点A(1,2)的坐标代入抛物线y2=2px与直线ax+y−4=0，得a=p=2，所以得抛物线y2=4x与直线2x+y−4=0，由2x+y−4=0y2=4x得x=1y=2或x=4y=-4，所以得B(4,-4)，又抛物线的准线是x=-1，再结合抛物线的定义得|FA|+|FB|=[1−(−1)]+[4−(−1)]=7，故选A．点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交的问题，在解题的过程中，需要明确两曲线相交交点的特征以及点在曲线上的条件，求得参数的值，从而确定抛物线和直线的方程，再联立方程组求得直线与抛物线的另一个交点，之后借助抛物线的定义，将其转化为到准线的距离即可求得结果．5.【答案】C 【解析】【分析】直接利用双曲线的通径与∠AF1B=90o，得到a，b，c的关系，根据离心率公式，求出双曲线的离心率．【详解】由题意可知，双曲线的通径为：2b2a，因为过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB，则|AB|=2b2a，若∠AF1B=90o，所以2c=b2a，所以2ac=b2=c2−a2，由于e=ca，所以e2−2e−1=0，解得e=1± 2，因为e>1，所以e=1+ 2．故选：C．6.【答案】D 【解析】【分析】由椭圆和双曲线的定义可得PF1+PF2=2 a，PF1−PF2=2 m，从而由|PF1|⋅|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2−(|PF1|-|PF2|)24即可得解．【详解】∵椭圆x2a+y2b=1(a>b>0)和双曲线x2m−y2n=1(m,n>0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的交点，∴PF1+PF2=2 a，PF1−PF2=2 m，∴|PF1|⋅|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2−(|PF1|-|PF2|)24=a−m，故选D．【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义，属于基础题．7.【答案】A 【解析】【分析】先根据圆被直线l 分成弧长为2：1的两段圆弧及圆的对称性，得出∠AOB=60∘；再根据三角形中的边角关系即可求解．【详解】设圆与直线l相交于点B和C，双曲线的右顶点为A，如图所示：由题意得：圆的圆心为O，半径为|OB|=|OC|=a．由圆被直线l 分成弧长为2：1的两段圆弧，可得∠COB=120∘．所以根据圆的对称性可得∠AOB=60∘．由直线方程l: x=a2c可得：a2ca=cos∠AOB，即c=2a．所以双曲线的离心率e=ca=2．故选：A．8.【答案】B 【解析】【解析】设出P1的坐标，表示出四边形P1AOB面积S，利用辅角公式整理化简，再利用三角函数的性质求得面积的最大值，进而求得△P1AB的最大值，利用6 2−6<3判断出点P不可能在直线AB的上方，进而推断出在直线AB的下方有两个点P．【详解】设P1(4cosα,3sinα)0<α<π2，即点P1在第一象限的椭圆上，考虑四边形P1AOB面积S，S=S△OAP1+S△OBP1=12×43sinα+12×34cosα=6sinα+cosα=6 2sinα+π4 ，∴Smax=6 2．∵S△OAB=12×4×3=6为定值，∴S△P1AB的最大值为6 2−6．∵6 2−6<3，∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P．故选：B．【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生分析问题和解决问题的能力．9.【答案】A 【解析】【分析】根据题意，化简得到曲线表示的轨迹为弧AB⌢，所在圆的半径为2，且∠AOB=2π3，结合弧长公式，即可求解．【详解】由曲线y=- 4−x2(x≤1)，可得x2+y2=4，其中x≤1,y≤0，如图所示，曲线表示的轨迹为弧AB⌢，且扇形OAB所在圆的半径为2，且∠AOB=2π3，所以曲线表示的长度为2π3×2=4π3．故选：A．10.【答案】B 【解析】【详解】∵kAB=0+153+12=1，∴直线AB的方程为y=x−3．由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c=3，c2=9．设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，则x2a2−(x−3)2b2=1.整理，得(b2−a2)x2+6a2x−9a2−a2b2=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=6a2a2−b2=2×(−12)，∴a2=−4a2+4b2，∴5a2=4b2．又a2+b2=9，∴a2=4，b2=5．∴双曲线E的方程为x24−y25=1.故选B．11.【答案】B 【解析】【详解】由题意知圆心坐标为(x0,1)，圆心到直线4x−3y=0的距离d=|4x0−3| 42+32=1，解得x0=2或x0=-12(舍去)，所以圆的方程为(x−2)2+(y−1)2=1．故选：B．12.【答案】A 【解析】【分析】分别利用双曲线渐近线方程与标准方程之间的关系，抛物线开口方向与标准方程的关系，等轴双曲线的概念，椭圆焦点位置与标准方程之间的关系对每个选项逐一判断即可．【详解】对于①：渐近线方程为y=±bax(a>0,b>0)的双曲线的标准方程是 x2a2−y2b2=λ(λ≠0)，故①错；对于②：抛物线y=-12x2即x2=-2y，它的准线方程是y=12，故②错；对于③：等轴双曲线中a=b，故c2=a2+b2=2a2，所以离心率e=ca= 2，③正确；对于④：椭圆x2m2+y2n2=1(m>0,n>0)的焦点位置不确定，焦点可能在x轴，也可能在y轴，故④错；故选：A．13.【答案】 3+1 【解析】【分析】设出正三角形的边长，根据DE=12BC判断出D,E的位置，根据双曲线的定义和离心率的计算公式，计算出离心率．【详解】依题意，不妨设正三角形ABC的边长为2，由于DE=12BC，所以DE是三角形ABC的中位线，即D是AB的中点，由于D在双曲线上，B,C是双曲线的焦点，而|CD|= 3,|BD|=1,|BC|=2，所以e=2c2a=|BC||CD|−|BD|=2 3−1= 3+1．故答案为： 3+1．14.【答案】2 【解析】【详解】设点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线方程为y=x−p2，把y=x−p2代入y2=2px，得x2−3px+14p2=0，∴x1+x2=3p，∵|AB|=x1+x2+p=4p=8，∴p=2．15.【答案】(x−2)2+(y−2)2=2 【解析】【详解】曲线化为(x−6)2+(y−6)2=18，其圆心到直线x+y−2=0的距离为d=|6+6−2| 2=5 2.所求的最小圆的圆心在直线y=x上，其到直线的距离为 2，圆心坐标为(2,2).标准方程为(x−2)2+(y−2)2=2．16.【答案】212 【解析】【分析】先利用累加法求出an=33+n2−n，所以ann=33n+n−1，设f=33n+n−1，由此能导出n=5或6时f有最小值．借此能得到ann的最小值．(    )【详解】解：∵an+1−an=2n，∴当n≥2时，an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+…+(a2−a1)+a1=2[1+2+…+(n−1)]+33=n2−n+33且对n=1也适合，所以an=n2−n+33．从而ann=33n+n−1设f=33n+n−1，令f′=−33n2+1>0，(    )则f在( 33,+∞)上是单调递增，在(0, 33)上是递减的，(    )因为n∈N+，所以当n=5或6时f有最小值．(    )又因为a55=535，a66=636=212，所以ann的最小值为a66=212故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．17.【答案】由于曲线C的焦点对应的数量是1，而准线对应的数量是−1，故猜想曲线C是抛物线，根据p2=1，求得2p=4，故抛物线的方程是y2=4x，将P3,2 3代入得2 32=4×3，符合题意，故曲线C的方程是y2=4x.由于直线的斜率为2，故可设直线的方程为y=2x+b，代入抛物线方程并化简得4x2+(4b−4)x+b2=0，故x1+x2=1−b,x1⋅x2=b24，所以|AB|= 1+22⋅ (1−b)2−4⋅b24=3 5，解得b=-4，故直线l的方程是y=2x−4． 【解析】根据焦点和准线判断出曲线C为抛物线，由此写出抛物线的方程.设出直线l的方程斜截式，利用弦长公式和弦长|AB|=3 5列方程，解方程求得直线的截距.由此求得直线l的方程．【点睛】本小题考查抛物线的概念的识别，考查抛物线的方程，考查直线和抛物线相交所得弦长公式的应用，属于中档题．18.【答案】(1)连接AN，∵AM=2AP ，NP⋅AM=0，∴NP 为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM| ，又|CN|+|NM|=2 2，∴|CN|+|AN|=2 2>2 ，∴动点N的轨迹是以点C(−1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为2a=2 2，焦距2c=2，∴a= 2 ，c=1，∴b2=a2−c2=1，∴曲线E的方程为x22+y2=1．(2)①当直线GH斜率不存在，方程为x=0，则FG=13FH，∴λ=13．②当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为y=kx+2，代入椭圆方程x22+y2=1得：12+k2x2+4kx+3=0．由Δ=16k2−1212+k2>0得：k2>32．设Gx1,y1，Hx2,y2，则x1+x2=−4k12+k2=−8k1+2k2，x1x2=312+k2=61+2k2，又FG=λFH，∴x1,y1−2=λx2,y2−2 ，∴x1=λx2 ，则λ=x1x2，∴x1+x22x1x2=x1x2+x2x1+2=λ+1λ+2=32k231+2k2=3232+1k2∵k2>32 ，∴4<3231k2+2<163 ，∴4<λ+1λ+2<163 ，解得：13<λ<3．又0<λ<1，∴13<λ<1 ．综上所述：λ的取值范围为13,1 【解析】(1)由垂直平分线性质可推导得到|CN|+|AN|=|CN|+|NM|=2 2>2，由椭圆定义可确定曲线E的方程；(2)当直线GH斜率不存在时，易得λ=13；当直线GH斜率不存在时，将直线GH方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，根据FG=λFH可得λ=x1x2，利用x1+x22x1x2可构造k与λ的方程，由k的范围可得关于λ的不等式，解不等式可求得结果；综合两种情况可得结果．【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中取值范围问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；②利用Δ>0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；④化简所得函数式，利用函数值域的求解方法求得取值范围．19.【答案】(1)∵ DA⊥平面 EAB，EA⊥AB,，∴以点A为坐标原点，AE、AB、AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：∵AB=AD=AE=2BC=2 ，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,2)，E(2,0,0)，C(0,2,1)，∵M 为CE的中点，AF=3FD，N 为BE的中点，∴M1,1,12 ，F0,0,32，N(1,1,0)，∴FN=1,1,−32 ，BD=(0,-2,2)，BM=1,-1,12，CE=(2,-2,-1)，设平面MBD的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅BD=0n⋅BM=0，即−2y+2z=0x−y+12z=0，令y=2，得n=(1,2,2)．(i) ∵FN⋅n=1×1+1×2−32×2=0 ，∴FN⊥n ，又∵FN⊄ 平面MBD，∴FN/\!/ 平面MBD；(ii) ∵FD=0,0,12 ，平面MBD的法向量为n=(1,2,2)，∴点F 到平面MBD的距离为：FD⋅nn=1 12+22+22=13；(2)由M是EC上的点(不与端点重合)，可设CM=λCE，0<λ<1，∵CE=(2,-2,-1) ，C(0,2,1)，∴点M坐标为(2λ,-2λ+2,-λ+1)∴BM=(2λ,-2λ,-λ+1)设平面MBD的法向量为m=x1,y1,z1，则m⋅BM=0m⋅BD=0，即2λx1−2λy1+(1−λ)z1=0−2y1+2z1=0，令y1=1，得m=3λ−12λ,1,1．∵DA⊥平面 EAB ，AE⊂平面 EAB∴DA⊥AE又∵EA⊥AB ，AD∩AB=A，AD⊂平面ABD，AB⊂平面ABD，∴AE⊥ 平面ABD，∴平面ABD的一个法向量为AE=(2,0,0)∵平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为 13，∴AE⋅mAEm=3λ−12λ×22× 3λ−12λ2+12+12=13 ，解得λ=12或λ=14∴点M是EC的中点或是EC上的靠近点C的四等分点． 【解析】(1)建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标；(i)求出FN的方向向量和平面MBD法向量即可证明FN//平面MBD；(ii)根据点到平面距离的向量计算方法即可求解．(2)先根据点M是EC上的点(不与端点重合)，利用向量共线的坐标表示得出点M坐标；再求出平面MBD与平面ABD的法向量；最后根据面面所成角的向量计算方法即可求解．