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第09讲 动态平衡 平衡中的临界与极值问题（讲义）（解析版）—高中物理
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复习目标
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考点一 动态平衡
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 动态平衡及基本思路
知识点2 处理动态平衡问题的四种方法
【提升·必考题型归纳】
考向1 解析法
考向2 图解法
考向3 相似三角形法
考向4 拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法）
考点二 平衡中的临界与极值问题
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点 平衡中的临界、极值问题的处理方法
【提升·必考题型归纳】
考向1 图解法
考向2 数学解析法
真题感悟
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掌握处理动态平衡问题的方法。
会利用数学的方法处理临界极值问题。
考点一 动态平衡
知识点1 动态平衡及基本思路
1.所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，常利用图解法解决此类问题。
2.基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。
知识点2 处理动态平衡问题的四种方法
1.解析法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
2.图解法：
(1)特点：物体受三个共点力，有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。
(2)方法：
eq \x(\a\al(受力,分析))eq \(――→,\s\up7(化“动”为“静”))eq \x(\a\al(画不同状态,下的平衡图))eq \(――→,\s\up7(“静”中求“动”))eq \x(\a\al(确定力,的变化))
3.三角形相似法：
(1)特点：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系。(2)方法：①对物体在某个位置作受力分析；②以两个变力为邻边，利用平行四边形定则，作平行四边形；③找出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；④利用相似三角形对应边的比例关系确定力的变化。
4.拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法）：
(1)特点：物体受三个共点力，这三个力其中一个力为恒力，另外两个力都变化，且变化两个力的夹角不变。
(2)拉密定理：
（3）辅助圆法：画出三个力的矢量三角形的外接圆，不便力为一固定弦，因为固定弦所对的圆周角大小始终不变，改变一力的方向，另一大小方向变化情况可得。
考向1 解析法
1．如图所示，P为光滑定滑轮，O为光滑轻质动滑轮，轻绳跨过滑轮，左端与物体A相连，右端固定在杆Q上，重物B悬挂在动滑轮上。将A置于静止在粗糙水平面的斜面体上，轻绳段与斜面平行，系统处于静止状态。若将杆Q向右移动一小段距离，斜面体与物体A仍保持静止状态，待动滑轮静止后，下列说法正确的是（ ）
A．轻绳中拉力减小
B．物体A与斜面体之间的摩擦力一定增大
C．斜面体与地面之间的弹力增大
D．斜面体与地面之间的摩擦力增大
【答案】D
【详解】A．若将杆Q移动一段距离，斜面体与物体A仍保持静止状态，待动滑轮静止后， 变大，两绳拉力大小相等，合力与B的重力等大反向，设绳OP与竖直方向夹角为，则有角度变大，则绳中拉力变大，A错误；
B．根据上述，绳中拉力变大，如果开始A受到的摩擦力沿斜面向上，则摩擦力可能减小，也有可能反向，如果开始A受到摩擦力沿斜面向下，则摩擦力增大，B错误；
C．对A和斜面整体分析，斜面倾角为，水平方向有竖直方向有绳的拉力变大，斜面体与地面之间的摩擦力变大，斜面体与地面之间的弹力变小，C错误，D正确。故选D。
2．如图所示，A是圆柱体的横截面，其弧形表面光滑，与地面接触的下表面粗糙，在光滑竖直墙壁与柱体之间放置一质量为m的球体，系统处于平衡状态。若使柱体向左移动少许，球体m仍未与地面接触，系统仍处于平衡状态，则（ ）
A．球对墙的压力变大B．柱体与球之间的作用力变小
C．柱体对地面的压力大小不变D．柱体对地面的摩擦力大小变小
【答案】AC
【详解】AB．对小球进行受力分析可得，如图所示
根据平衡条件可得；柱体向左移动，增大，、都增大，又因为球对墙的压力大小等于墙对球的支持力，故A正确，B错误；
C．把柱体和球看做一个整体进行受力分析，根据平衡条件可得；，增大，增大，柱体所受地面的摩擦力增大，而柱体对地面的压力大小等于地面对柱体的支持力，由于整体的重力不变，柱体对地面的压力也不变，故C正确，D错误。故选AC。
考向2 图解法
3．在没有起重机的情况下，工人要将油桶搬运上汽车，常常用如图所示的方法。已知油桶重力大小为G，斜面的倾角为。当工人对油桶施加方向不同的推力F时，油桶始终处于匀速运动状态。假设斜面与油桶的接触面光滑。在推力F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，以下关于油桶受力的说法正确的是（ ）
A．若力F沿水平方向，F的大小为
B．若力F沿水平方向，斜面对油桶的支持力大小为
C．F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，斜面对油桶的支持力逐渐变大
D．F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，推力F的最小值为
【答案】D
【详解】AB．当力F沿水平方向时，由于油箱为匀速运动状态，因此受力平衡，则水平和竖直方向上有
解得故AB错误；
CD．当力F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，油桶的受力分析图如下所示
故支持力在逐渐变小，且推力最小为力F和支持力N垂直，也即沿斜面方向，此时最小值为
故C错误，D正确。故选D。
4．质量均匀分布的直导体棒放置于四分之一的光滑圆弧轨道上，其截面如图所示。导体棒中通有电流强度大小为I的电流，空间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场的方向竖直向上。导体棒平衡时，导体棒与圆心的连线跟竖直方向的夹角为），轨道对导体棒的弹力为。下列说法正确的是（ ）
A．若仅将电流强度I缓慢增大，则θ逐渐减小
B．若仅将电流强度I缓慢增大，则逐渐减小
C．若仅将磁场方向沿逆时针缓慢转过，则逐渐增大再减小
D．若仅将磁场方向沿逆时针缓慢转过，则θ逐渐增大再减小
【答案】D
【详解】AB．对导体棒受力分析，受重力、支持力和电场力，受力如图
若仅将电流强度Ⅰ缓慢增大，安培力的逐渐增大，根据受力平衡和平行四边形法则可知θ逐渐增大，FN逐渐增大，故AB错误；
CD．导体棒受到重力、安培力和弹力，安培力和弹力的合力始终与重力等大反向，的大小不变，作出矢量图如下图所示
的方向始终与磁场方向垂直，根据矢量图可知若仅将磁场方向沿逆时针缓慢转过90°，先增大再减小，逐渐减小，故C错误，D正确。故选D。
考向3 相似三角形法
5．如图，在竖直平面内固定一光滑的半圆环，圆心为O、半径为R，OA为半圆环的竖直半径，AB为与OA在同一直线上的光滑固定杆，半圆环上套有一小球a，杆AB上套有另一小球b。两小球之间连接一轻弹簧，初始时小球a在距圆环A点右侧不远处的P点，小球b固定于杆AB上的Q点，两小球间距离为R。现用外力使小球b沿杆AB缓慢向上移动一段距离，但未到达A点。在移动过程中弹簧始终在弹性限度内且在一条直线上，两小球均可视为质点，则下列说法正确的是（ ）
A．初始时弹簧弹力大于半圆环对小球a的弹力
B．初始时弹簧弹力大于小球a的重力
C．小球b沿杆缓慢向上移动过程中，环对小球a的支持力先增大后减小
D．小球b沿杆缓慢向上移动过程中，弹簧弹力增大
【答案】D
【详解】AB．对小球a进行受力分析，小球a受重力G，半圆环对小球a的支持力和弹簧弹力F，三力平移后构成一首尾相连的三角形，如图所示，力的三角形与三角形OPQ相似，根据三角形相似有
初始时，所以选项AB错误；
C．小球b缓慢上移过程，小球a处于动态平衡状态，随着小球b上移，OQ减小，OP不变，重力G不变，半圆环对小球的支持力增大，选项C错误；
D．设弹簧的原长为L，弹簧的形变量为x，根据胡克定律有则，OQ减小，重力G不变，L不变，则弹簧形变量x增大，弹簧弹力F增大，选项D正确。故选D。
6．如图所示，木板B放置在粗糙水平地面上，O为光滑铰链。轻杆一端与铰链O固定连接，另一端固定连接一质量为m的小球A。现将轻绳一端拴在小球A上，另一端通过光滑的定滑轮由力F牵引，定滑轮位于O的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F的大小使小球A和轻杆从图示位置缓慢运动到正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中（ ）
A．外力F大小不变B．轻杆对小球的作用力大小变小
C．地面对木板的支持力逐渐变小D．地面对木板的摩擦力逐渐减小
【答案】D
【详解】A．对小球A进行受力分析，三力构成矢量三角形，如图所示
根据几何关系可知两三角形相似，因此缓慢运动过程越来越小，则F逐渐减小，故A错误；
B．由于OA长度不变，杆对小球的作用力大小不变，故B错误；
CD．对木板，由于杆对木板的作用力大小不变，方向向右下，但杆的作用力与竖直方向的夹角越来越小，所以地面对木板的支持力逐渐增大，地面对木板的摩擦力逐渐减小，故C错误，D正确。
故选D。
考向4 拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法）
7．如图所示，V型光滑挡板AOB之间放置有一质量均匀的球体，初始时系统处于静止状态，现将整个装置以O点为轴顺时针缓慢转动（∠AOB保持不变），在AO由水平转动90°到竖直的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．挡板AO的弹力逐渐增大B．挡板AO的弹力先增大后减小
C．挡板BO的弹力逐渐减小D．挡板BO的弹力先增大后减小
【答案】B
【详解】AB．V型光滑挡板转动过程中，对小球受力分析，各个力的夹角如图所示
由拉密定理可得因为整个装置以O点为轴顺时针缓慢转动，
∠AOB保持不变，故不变，不变，保持不变，在AO由水平转动90°到竖直的过程中，从锐角增大到钝角，先增大后减小，故挡板AO的弹力先增大后减小，A错误，B正确；
CD．从180°减小到90°，一直增大，故挡板BO的弹力一直增大，CD错误。故选B。
8．如图所示为某独轮车搬运光滑圆柱体的截面图，两挡板OA、OB可绕O点转动，且保持不变，初始时OB与水平方向夹角为60°。保持O点的位置不变，使两挡板沿逆时针方向缓慢转动至OA水平。在此过程中关于圆柱体的受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．挡板OA对圆柱的作用力一直增大
B．挡板OA对圆柱的作用力先增大后减小
C．挡板OB对圆柱的作用力一直增大
D．小车对圆柱的作用力先减小后增大
【答案】B
【详解】由题意可知，初始状态两挡板对圆柱弹力均等于mg，重力个两弹力组成闭合三角形，如图
两挡板沿逆时针方向缓慢转动至OA水平过程中，两挡板弹力夹角不变，则挡板OA对圆柱的作用力先增大后减小，挡板OB对圆柱的作用力逐渐减小。小车对圆柱的作用力等于mg保持不变。
故选B。
考点二 平衡中的临界与极值问题
知识点 平衡中的临界、极值问题的处理方法
1．临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等语言叙述。
2．极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值或最小值。
3．解决极值问题和临界问题的方法
(1)图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
(2)数学解析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、三角函数极值等)。
考向1 图解法
1．一不可伸长的细线套在两光滑且大小不计的定滑轮上，质量为m的圆环穿过细线，如图所示。现施加一作用力F使圆环保持静止状态，且细线始终有张力作用，若AC段竖直，BC段水平，AC长度等于BC长度，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．F的大小不可能为mgB．F的最小值为
C．大小为2mg的力F对应有两个方向D．F的方向可能竖直向下
【答案】B
【详解】同一根细线上拉力大小相等，AC细线、BC细线的合力为T，方向与竖直方向成45°角，如图所示
A．力F在水平方向时，大小为mg，A错误；
B．当F与T垂直时取最小值，可知F的最小值为，B正确；
C．大小为2mg的力F只对应一个方向，C错误；
D．F的方向与竖直向下时，不能构成闭合矢量三角形，无解，D错误；故选B。
2．如图所示，将质量为m的球放在和两个与纸面垂直的光滑板之间，两板与水平面夹角并保持静止。板固定，板与板活动连接，板可绕通过点且垂直纸面的轴转动。在角缓慢地由增大到的过程中（ ）
A．球对板压力的最大值为B．球对板压力的最大值为
C．球对板压力的最大值为D．球对板压力的最大值为
【答案】B
【详解】小球受到重力，板的支持力，板的支持力三个力作用下保持平衡状态，在角缓慢地由增大到的过程中，小球的重力保持不变，板对球的支持力方向不变，只有板对球的支持力方向在变化，如图所示分别是小球在与水平面夹角在和的受力情景图
根据三角形定则，可知随着角缓慢地增大，板的对球支持力也逐渐增大，当时，板对球的支持力最大，从受力图可知板对球的支持力等于小球的重力，根据牛顿第三定律可得球对板压力的最大值为，B正确，ACD错误；故选B。
考向2 数学解析法
3．一个质量为1kg的物体放在粗糙的水平地面上，现用最小的拉力拉它，使其做匀速运动，已知这个最小拉力为6N，g取10m/s2，滑动摩擦力等于最大静摩擦力。则物体与地面间的动摩擦因数μ及最小拉力与水平方向的夹角θ的正切值tanθ分别为（ ）
A．μ=，tanθ=0B．μ=，tanθ=
C．μ=，tanθ=D．μ=，tanθ=
【答案】B
【详解】物体在水平地面上做匀速运动，因拉力与水平方向的夹角θ不同，物体与水平地面间的弹力不同，因而滑动摩擦力也不同，但拉力在水平方向的分力与滑动摩擦力大小相等。以物体为研究对象，受力分析如图所示
因为物体处于平衡状态，在水平方向上有Fcsθ=μFN在竖直方向上有Fsinθ+FN=mg
解得F=其中tanφ=当θ+φ=90°即θ=arctanμ时sin(θ+φ)=1
F有最小值Fmin=代入数值得μ=此时tanθ=故选项B正确。
4．如图所示，天花板下方通过支架固定一光滑轻滑轮，一足够长的细绳跨过滑轮，一端悬挂小球b，另一端与套在水平细杆上的小球a连接，小球a与b的质量分别为m和2m。在水平拉力F作用下小球a从图示虚线（最初是竖直的）位置开始缓慢向右移动至（细绳中张力大小视为不变，b球始终未触及细杆）。小球a与细杆间的动摩擦因数为。则此过程中拉力F的可能值为（ ）
A．mgB．C．D．
【答案】ABC
【详解】对小球b有对小球a有进行受力分析如图所示
由于小球a从图示虚线（最初是竖直的）位置开始缓慢向右移动至过程中
可知则在竖直方向上有则在水平方向有
解得假设
，解得则可求得小球a从图示虚线位置开始缓慢向右移动过程中，减小，可知F逐渐增大，解得故选ABC。
1．（2022年河北高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（ ）
A．圆柱体对木板的压力逐渐增大
B．圆柱体对木板的压力先增大后减小
C．两根细绳上的拉力均先增大后减小
D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
【答案】B
【详解】设两绳子对圆柱体的拉力的合力为，木板对圆柱体的支持力为，绳子与木板夹角为，从右向左看如图所示
在矢量三角形中，根据正弦定理在木板以直线为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，不变，从逐渐减小到0，又且可知则可知从锐角逐渐增大到钝角，根据由于不断减小，可知不断减小，先增大后减小，可知先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，设两绳子之间的夹角为，绳子拉力为，则可得，不变，逐渐减小，可知绳子拉力不断减小，故B正确，ACD错误。故选B。
2．（2022年浙江高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（ ）
A．轻绳的合拉力大小为
B．轻绳的合拉力大小为
C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
【答案】B
【详解】AB．对石墩受力分析，由平衡条件可知；；
联立解得故A错误，B正确；
C．拉力的大小为其中，可知当时，拉力有最小值，即减小夹角，轻绳的合拉力不一定减小，故C错误；
D．摩擦力大小为可知增大夹角，摩擦力一直减小，当趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，故D错误；
故选B。考点要求
考题统计
考情分析
（1）共点力的动态平衡
（2）平衡中的临界极值问题
2022年河北卷第7题
2022年湖南卷第3题
2022年1月浙江卷第5题
高考对共点力的动态平衡考查相对较为频繁，解决此类问题的主要方法有解析法、图解法、三角形相似法、拉密定理法等，模型的特点相对明显。对于平衡中的临界极值问题考查的频度不是太高，如果考查，解决的方法主要是图解法和数学解析法。两个考点所考查题目的主要出现在选择题部分，难度不是太大。
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考点一 动态平衡
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 动态平衡及基本思路
知识点2 处理动态平衡问题的四种方法
【提升·必考题型归纳】
考向1 解析法
考向2 图解法
考向3 相似三角形法
考向4 拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法）
考点二 平衡中的临界与极值问题
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点 平衡中的临界、极值问题的处理方法
【提升·必考题型归纳】
考向1 图解法
考向2 数学解析法
真题感悟
更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663
掌握处理动态平衡问题的方法。
会利用数学的方法处理临界极值问题。
考点一 动态平衡
知识点1 动态平衡及基本思路
1.所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，常利用图解法解决此类问题。
2.基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。
知识点2 处理动态平衡问题的四种方法
1.解析法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
2.图解法：
(1)特点：物体受三个共点力，有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。
(2)方法：
eq \x(\a\al(受力,分析))eq \(――→,\s\up7(化“动”为“静”))eq \x(\a\al(画不同状态,下的平衡图))eq \(――→,\s\up7(“静”中求“动”))eq \x(\a\al(确定力,的变化))
3.三角形相似法：
(1)特点：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系。(2)方法：①对物体在某个位置作受力分析；②以两个变力为邻边，利用平行四边形定则，作平行四边形；③找出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；④利用相似三角形对应边的比例关系确定力的变化。
4.拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法）：
(1)特点：物体受三个共点力，这三个力其中一个力为恒力，另外两个力都变化，且变化两个力的夹角不变。
(2)拉密定理：
（3）辅助圆法：画出三个力的矢量三角形的外接圆，不便力为一固定弦，因为固定弦所对的圆周角大小始终不变，改变一力的方向，另一大小方向变化情况可得。
考向1 解析法
1．如图所示，P为光滑定滑轮，O为光滑轻质动滑轮，轻绳跨过滑轮，左端与物体A相连，右端固定在杆Q上，重物B悬挂在动滑轮上。将A置于静止在粗糙水平面的斜面体上，轻绳段与斜面平行，系统处于静止状态。若将杆Q向右移动一小段距离，斜面体与物体A仍保持静止状态，待动滑轮静止后，下列说法正确的是（ ）
A．轻绳中拉力减小
B．物体A与斜面体之间的摩擦力一定增大
C．斜面体与地面之间的弹力增大
D．斜面体与地面之间的摩擦力增大
【答案】D
【详解】A．若将杆Q移动一段距离，斜面体与物体A仍保持静止状态，待动滑轮静止后， 变大，两绳拉力大小相等，合力与B的重力等大反向，设绳OP与竖直方向夹角为，则有角度变大，则绳中拉力变大，A错误；
B．根据上述，绳中拉力变大，如果开始A受到的摩擦力沿斜面向上，则摩擦力可能减小，也有可能反向，如果开始A受到摩擦力沿斜面向下，则摩擦力增大，B错误；
C．对A和斜面整体分析，斜面倾角为，水平方向有竖直方向有绳的拉力变大，斜面体与地面之间的摩擦力变大，斜面体与地面之间的弹力变小，C错误，D正确。故选D。
2．如图所示，A是圆柱体的横截面，其弧形表面光滑，与地面接触的下表面粗糙，在光滑竖直墙壁与柱体之间放置一质量为m的球体，系统处于平衡状态。若使柱体向左移动少许，球体m仍未与地面接触，系统仍处于平衡状态，则（ ）
A．球对墙的压力变大B．柱体与球之间的作用力变小
C．柱体对地面的压力大小不变D．柱体对地面的摩擦力大小变小
【答案】AC
【详解】AB．对小球进行受力分析可得，如图所示
根据平衡条件可得；柱体向左移动，增大，、都增大，又因为球对墙的压力大小等于墙对球的支持力，故A正确，B错误；
C．把柱体和球看做一个整体进行受力分析，根据平衡条件可得；，增大，增大，柱体所受地面的摩擦力增大，而柱体对地面的压力大小等于地面对柱体的支持力，由于整体的重力不变，柱体对地面的压力也不变，故C正确，D错误。故选AC。
考向2 图解法
3．在没有起重机的情况下，工人要将油桶搬运上汽车，常常用如图所示的方法。已知油桶重力大小为G，斜面的倾角为。当工人对油桶施加方向不同的推力F时，油桶始终处于匀速运动状态。假设斜面与油桶的接触面光滑。在推力F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，以下关于油桶受力的说法正确的是（ ）
A．若力F沿水平方向，F的大小为
B．若力F沿水平方向，斜面对油桶的支持力大小为
C．F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，斜面对油桶的支持力逐渐变大
D．F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，推力F的最小值为
【答案】D
【详解】AB．当力F沿水平方向时，由于油箱为匀速运动状态，因此受力平衡，则水平和竖直方向上有
解得故AB错误；
CD．当力F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，油桶的受力分析图如下所示
故支持力在逐渐变小，且推力最小为力F和支持力N垂直，也即沿斜面方向，此时最小值为
故C错误，D正确。故选D。
4．质量均匀分布的直导体棒放置于四分之一的光滑圆弧轨道上，其截面如图所示。导体棒中通有电流强度大小为I的电流，空间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场的方向竖直向上。导体棒平衡时，导体棒与圆心的连线跟竖直方向的夹角为），轨道对导体棒的弹力为。下列说法正确的是（ ）
A．若仅将电流强度I缓慢增大，则θ逐渐减小
B．若仅将电流强度I缓慢增大，则逐渐减小
C．若仅将磁场方向沿逆时针缓慢转过，则逐渐增大再减小
D．若仅将磁场方向沿逆时针缓慢转过，则θ逐渐增大再减小
【答案】D
【详解】AB．对导体棒受力分析，受重力、支持力和电场力，受力如图
若仅将电流强度Ⅰ缓慢增大，安培力的逐渐增大，根据受力平衡和平行四边形法则可知θ逐渐增大，FN逐渐增大，故AB错误；
CD．导体棒受到重力、安培力和弹力，安培力和弹力的合力始终与重力等大反向，的大小不变，作出矢量图如下图所示
的方向始终与磁场方向垂直，根据矢量图可知若仅将磁场方向沿逆时针缓慢转过90°，先增大再减小，逐渐减小，故C错误，D正确。故选D。
考向3 相似三角形法
5．如图，在竖直平面内固定一光滑的半圆环，圆心为O、半径为R，OA为半圆环的竖直半径，AB为与OA在同一直线上的光滑固定杆，半圆环上套有一小球a，杆AB上套有另一小球b。两小球之间连接一轻弹簧，初始时小球a在距圆环A点右侧不远处的P点，小球b固定于杆AB上的Q点，两小球间距离为R。现用外力使小球b沿杆AB缓慢向上移动一段距离，但未到达A点。在移动过程中弹簧始终在弹性限度内且在一条直线上，两小球均可视为质点，则下列说法正确的是（ ）
A．初始时弹簧弹力大于半圆环对小球a的弹力
B．初始时弹簧弹力大于小球a的重力
C．小球b沿杆缓慢向上移动过程中，环对小球a的支持力先增大后减小
D．小球b沿杆缓慢向上移动过程中，弹簧弹力增大
【答案】D
【详解】AB．对小球a进行受力分析，小球a受重力G，半圆环对小球a的支持力和弹簧弹力F，三力平移后构成一首尾相连的三角形，如图所示，力的三角形与三角形OPQ相似，根据三角形相似有
初始时，所以选项AB错误；
C．小球b缓慢上移过程，小球a处于动态平衡状态，随着小球b上移，OQ减小，OP不变，重力G不变，半圆环对小球的支持力增大，选项C错误；
D．设弹簧的原长为L，弹簧的形变量为x，根据胡克定律有则，OQ减小，重力G不变，L不变，则弹簧形变量x增大，弹簧弹力F增大，选项D正确。故选D。
6．如图所示，木板B放置在粗糙水平地面上，O为光滑铰链。轻杆一端与铰链O固定连接，另一端固定连接一质量为m的小球A。现将轻绳一端拴在小球A上，另一端通过光滑的定滑轮由力F牵引，定滑轮位于O的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F的大小使小球A和轻杆从图示位置缓慢运动到正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中（ ）
A．外力F大小不变B．轻杆对小球的作用力大小变小
C．地面对木板的支持力逐渐变小D．地面对木板的摩擦力逐渐减小
【答案】D
【详解】A．对小球A进行受力分析，三力构成矢量三角形，如图所示
根据几何关系可知两三角形相似，因此缓慢运动过程越来越小，则F逐渐减小，故A错误；
B．由于OA长度不变，杆对小球的作用力大小不变，故B错误；
CD．对木板，由于杆对木板的作用力大小不变，方向向右下，但杆的作用力与竖直方向的夹角越来越小，所以地面对木板的支持力逐渐增大，地面对木板的摩擦力逐渐减小，故C错误，D正确。
故选D。
考向4 拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法）
7．如图所示，V型光滑挡板AOB之间放置有一质量均匀的球体，初始时系统处于静止状态，现将整个装置以O点为轴顺时针缓慢转动（∠AOB保持不变），在AO由水平转动90°到竖直的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．挡板AO的弹力逐渐增大B．挡板AO的弹力先增大后减小
C．挡板BO的弹力逐渐减小D．挡板BO的弹力先增大后减小
【答案】B
【详解】AB．V型光滑挡板转动过程中，对小球受力分析，各个力的夹角如图所示
由拉密定理可得因为整个装置以O点为轴顺时针缓慢转动，
∠AOB保持不变，故不变，不变，保持不变，在AO由水平转动90°到竖直的过程中，从锐角增大到钝角，先增大后减小，故挡板AO的弹力先增大后减小，A错误，B正确；
CD．从180°减小到90°，一直增大，故挡板BO的弹力一直增大，CD错误。故选B。
8．如图所示为某独轮车搬运光滑圆柱体的截面图，两挡板OA、OB可绕O点转动，且保持不变，初始时OB与水平方向夹角为60°。保持O点的位置不变，使两挡板沿逆时针方向缓慢转动至OA水平。在此过程中关于圆柱体的受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．挡板OA对圆柱的作用力一直增大
B．挡板OA对圆柱的作用力先增大后减小
C．挡板OB对圆柱的作用力一直增大
D．小车对圆柱的作用力先减小后增大
【答案】B
【详解】由题意可知，初始状态两挡板对圆柱弹力均等于mg，重力个两弹力组成闭合三角形，如图
两挡板沿逆时针方向缓慢转动至OA水平过程中，两挡板弹力夹角不变，则挡板OA对圆柱的作用力先增大后减小，挡板OB对圆柱的作用力逐渐减小。小车对圆柱的作用力等于mg保持不变。
故选B。
考点二 平衡中的临界与极值问题
知识点 平衡中的临界、极值问题的处理方法
1．临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等语言叙述。
2．极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值或最小值。
3．解决极值问题和临界问题的方法
(1)图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
(2)数学解析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、三角函数极值等)。
考向1 图解法
1．一不可伸长的细线套在两光滑且大小不计的定滑轮上，质量为m的圆环穿过细线，如图所示。现施加一作用力F使圆环保持静止状态，且细线始终有张力作用，若AC段竖直，BC段水平，AC长度等于BC长度，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．F的大小不可能为mgB．F的最小值为
C．大小为2mg的力F对应有两个方向D．F的方向可能竖直向下
【答案】B
【详解】同一根细线上拉力大小相等，AC细线、BC细线的合力为T，方向与竖直方向成45°角，如图所示
A．力F在水平方向时，大小为mg，A错误；
B．当F与T垂直时取最小值，可知F的最小值为，B正确；
C．大小为2mg的力F只对应一个方向，C错误；
D．F的方向与竖直向下时，不能构成闭合矢量三角形，无解，D错误；故选B。
2．如图所示，将质量为m的球放在和两个与纸面垂直的光滑板之间，两板与水平面夹角并保持静止。板固定，板与板活动连接，板可绕通过点且垂直纸面的轴转动。在角缓慢地由增大到的过程中（ ）
A．球对板压力的最大值为B．球对板压力的最大值为
C．球对板压力的最大值为D．球对板压力的最大值为
【答案】B
【详解】小球受到重力，板的支持力，板的支持力三个力作用下保持平衡状态，在角缓慢地由增大到的过程中，小球的重力保持不变，板对球的支持力方向不变，只有板对球的支持力方向在变化，如图所示分别是小球在与水平面夹角在和的受力情景图
根据三角形定则，可知随着角缓慢地增大，板的对球支持力也逐渐增大，当时，板对球的支持力最大，从受力图可知板对球的支持力等于小球的重力，根据牛顿第三定律可得球对板压力的最大值为，B正确，ACD错误；故选B。
考向2 数学解析法
3．一个质量为1kg的物体放在粗糙的水平地面上，现用最小的拉力拉它，使其做匀速运动，已知这个最小拉力为6N，g取10m/s2，滑动摩擦力等于最大静摩擦力。则物体与地面间的动摩擦因数μ及最小拉力与水平方向的夹角θ的正切值tanθ分别为（ ）
A．μ=，tanθ=0B．μ=，tanθ=
C．μ=，tanθ=D．μ=，tanθ=
【答案】B
【详解】物体在水平地面上做匀速运动，因拉力与水平方向的夹角θ不同，物体与水平地面间的弹力不同，因而滑动摩擦力也不同，但拉力在水平方向的分力与滑动摩擦力大小相等。以物体为研究对象，受力分析如图所示
因为物体处于平衡状态，在水平方向上有Fcsθ=μFN在竖直方向上有Fsinθ+FN=mg
解得F=其中tanφ=当θ+φ=90°即θ=arctanμ时sin(θ+φ)=1
F有最小值Fmin=代入数值得μ=此时tanθ=故选项B正确。
4．如图所示，天花板下方通过支架固定一光滑轻滑轮，一足够长的细绳跨过滑轮，一端悬挂小球b，另一端与套在水平细杆上的小球a连接，小球a与b的质量分别为m和2m。在水平拉力F作用下小球a从图示虚线（最初是竖直的）位置开始缓慢向右移动至（细绳中张力大小视为不变，b球始终未触及细杆）。小球a与细杆间的动摩擦因数为。则此过程中拉力F的可能值为（ ）
A．mgB．C．D．
【答案】ABC
【详解】对小球b有对小球a有进行受力分析如图所示
由于小球a从图示虚线（最初是竖直的）位置开始缓慢向右移动至过程中
可知则在竖直方向上有则在水平方向有
解得假设
，解得则可求得小球a从图示虚线位置开始缓慢向右移动过程中，减小，可知F逐渐增大，解得故选ABC。
1．（2022年河北高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（ ）
A．圆柱体对木板的压力逐渐增大
B．圆柱体对木板的压力先增大后减小
C．两根细绳上的拉力均先增大后减小
D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
【答案】B
【详解】设两绳子对圆柱体的拉力的合力为，木板对圆柱体的支持力为，绳子与木板夹角为，从右向左看如图所示
在矢量三角形中，根据正弦定理在木板以直线为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，不变，从逐渐减小到0，又且可知则可知从锐角逐渐增大到钝角，根据由于不断减小，可知不断减小，先增大后减小，可知先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，设两绳子之间的夹角为，绳子拉力为，则可得，不变，逐渐减小，可知绳子拉力不断减小，故B正确，ACD错误。故选B。
2．（2022年浙江高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（ ）
A．轻绳的合拉力大小为
B．轻绳的合拉力大小为
C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
【答案】B
【详解】AB．对石墩受力分析，由平衡条件可知；；
联立解得故A错误，B正确；
C．拉力的大小为其中，可知当时，拉力有最小值，即减小夹角，轻绳的合拉力不一定减小，故C错误；
D．摩擦力大小为可知增大夹角，摩擦力一直减小，当趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，故D错误；
故选B。考点要求
考题统计
考情分析
（1）共点力的动态平衡
（2）平衡中的临界极值问题
2022年河北卷第7题
2022年湖南卷第3题
2022年1月浙江卷第5题
高考对共点力的动态平衡考查相对较为频繁，解决此类问题的主要方法有解析法、图解法、三角形相似法、拉密定理法等，模型的特点相对明显。对于平衡中的临界极值问题考查的频度不是太高，如果考查，解决的方法主要是图解法和数学解析法。两个考点所考查题目的主要出现在选择题部分，难度不是太大。
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