北师大版七年级数学上册同步精品讲义 第33讲+基本平面图形（全章复习与巩固）

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第33讲 基本平面图形全章复习 目标导航 知识清单 知识点01 直线、射线与线段的概念 知识点02 基本事实 1.经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线. 2.两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短. 知识点03 线段的和与差 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 知识点04 线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 知识点05 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点06 角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB=∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1=∠AOB-∠2． 【说明】（1）用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． （2）利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点07 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，∠AOC=∠BOC =∠AOB． 知识点08 余角和补角 （1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． （2）性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 知识点09 多边形 三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形. 【说明】（1）内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角. （2）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. （3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. （4）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，所以正多边形同时具有各边相等，各角相等的性质. 知识点10 多边形的对角线 知识点11 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，∠AOC=∠BOC =∠AOB． 考点精析 考点一 基础知识过关 1.（1）直线AB与直线BA是否是同一条直线？____（是/否） （2）射线AB与射线BA是否是同一条直线？____（是/否） （3）线段AB与线段BA是否是同一条直线？____（是/否） 2.直线、射线、线段是否有长短？ 3.同一平面上的n个点最多能确定_____条线段． 4.同一平面上，不在同一直线上的n个点最多能确定_____条直线． 5.同一平面内，n条直线相交，最多有_____个交点． 6.若线段，则点是否是线段的中点？为什么？ 7.在计算线段长度时，我们常用的方法是方程思想，例如： （1）线段，则可如何设未知数？________________________. （2）线段，则可如何设未知数？________________________. 8.“如果A、B、C三点共线，线段AB=7cm，BC=5cm，那么A、C两点间的距离是多少？”此类题通常情况有____解，为什么？ 9.角的定义是？________________________. 10.角可以分为______、______、______三类. 11.过同一点的n条射线，可最多组成_____个角. 12.时针一小时转过_____°，分针一分钟转过_____°，秒针一秒转过_____°. 13.若与互余，则_____；若与互补，则_____. 14.什么是正多边形？ 15.过n边形的一个顶点可作对角线_____条，将多边形分为_____个三角形. 16.n边形共有对角线_____条. 考点二 直线、射线、线段的概念 1.下列说法正确的是（ ） 【答案】D 【分析】根据直线、射线、线段的意义和表示方法进行判断即可． 【详解】解：A．直线AB与直线BA是同一条直线，因此A不正确，故A不符合题意； B．射线AB与射线BA不是同一条射线，因此B不正确，故B不符合题意； C．延长线段AB和延长线段BA的含义不一样，因此C不正确，故C不符合题意； D．线段AB与线段BA是同一条线段，故D符合题意； 故选：D． 2.下列说法正确的是（ ） ①射线AB与射线BA是同一条射线；②若线段，则B是线段AC的中点；③线段AB的长度就是点A与点B之间的距离． 【答案】D 【分析】根据射线的性质，中点的定义，两点之间距离的定义即可判断各个说法的正确性． 【详解】①射线AB与射线BA是同一条射线；错误，射线是有方向的，故射线AB和射线BA不是同一条射线； ②若线段，则B是线段AC的中点；错误，当A、B、C三点在同一条直线上且点A和点C不重合时，B是线段AC的中点； ③线段AB的长度就是点A与点B之间的距离；正确； 正确的只有③， 故选：D. 3.下列说法：①射线与射线是同一条射线；②线段是直线的一部分；③延长线段到，使；④射线与射线的公共部分是线段．正确的个数是（ ） 【答案】B 【分析】根据直线、射线、线段的定义以及表示方法进行判断即可． 【详解】①射线与射线不是同一条射线；故①错误； ②线段是直线的一部分；故②正确； ③延长线段到，则AC>AB；故③错误； ④射线与射线的公共部分是线段；故④正确； 综上：正确的有②④，共两个； 故选：B． 考点三 基本事实 1.下列现象能用“两点确定一条直线”来解释的是（ ） ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设； ③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 【答案】A 【分析】直接利用直线的性质以及两点之间线段最短分析得出答案． 【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，根据是两点确定一条直线； ②从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，根据是两点之间线段最短； ③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，根据是两点确定一条直线； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，根据是两点之间线段最短． 故选：A． 2.下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（ ） 【答案】B 【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，进行解答即可． 【详解】解：A、用两根钉子将细木条固定在墙上，依据是两点确定一条直线，故此选项不合题意； B、如果把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释，故此选项符合题意； C、利用圆规可以比较两条线段的大小关系，是两点之间的距离，线段长度的比较，故此选项不合题意； D、植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，依据是两点确定一条直线，故此选项不合题意； 故选：B． 3.下列生产.生活中的现象可用“两点之间，线段最短”来解释的是（ ） 【答案】A 【分析】利用两点确定一条直线以及两点之间线段最短的性质得出即可． 【详解】解：A. 把弯曲的河道改直，可以缩短航程，可用“两点之间，线段最短”来解释，故本选项符合题意； B. 用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意； C. 植树时只要定出两棵树的位置，就能确定一行树所在的直线，可用“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意； D. 将甲. 乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直的，可用“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意； 故选：A 考点四 直线、射线、线段计数问题 1.下面图形中共有线段（ ）条． 【答案】D 【分析】分别以为线段的一个端点找出线段即可求解． 【详解】解：图中线段有：共10条， 故选D． 2.如图是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制_____种车票（任何两站之间，往返两种车票），需要_____种不同的票价． 【答案】     20     10 【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可． 【详解】解：5个点中线段的总条数是（种）， ∵任何两站之间，往返两种车票， ∴应印制（种）， 又∵往返票价是一样的， ∴需要10种票价， 故答案为：20；10． 3.（1）如图，直线上有个点，则图中有_____条线段； ②如图，直线上有个点，则图中有_____条线段； ③如图，直线上有个点，则图中有_____条线段； （2）如图，直线上有个点，则图中有_____条线段． 【答案】（1）①3；②6；③10；（2） 【分析】①结合图形，直接数出线段的个数即可； ②结合图形，直接数出线段的个数即可； ③结合图形，直接数出线段的个数即可； 结合图形，找出规律即可． 【详解】解：①线段有：，，共条； ②线段有：，，，，，共条； ③线段有：，，，，，，，，，，共10条． 故答案为：3，6，10； 直线上有个点，则图中有1+2+3+4+…+（n-1）=条线段． 故答案为： 4.表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系： 按此规律，6条直线相交，最多有_____个交点；n条直线相交，最多有_____个交点．（n为正整 数） 【解题思路】根据观察，可发现规律：n条直线最多的交点是1+2+3+…+（n﹣1），可得答案． 【解答过程】解：6条直线相交，最多有个交点1+2+3+4+5＝15； n条直线相交，最多有个交点， 故答案为：15，． 考点五 线段的和差计算 1.延长线段AB到C，使，反向延长AC到D，使，若AB=8cm，则CD=　 　cm． 【解题思路】根据题中线段的长度关系，即能求出CD的长度． 【解答过程】解：如图，BC4，AC＝AB+BC＝8+4＝12cm， AD6，CD＝AD+AC＝12+6＝18cm． 故答案为18． 2.如图，点C为线段AB上任意一点，点E、F分别为AC、BC的中点，若AB＝10，求线段EF的长度． 【解题思路】根据线段的中点得出AE＝CEAC，CF＝FBCB，求出EFAB，代入求出即可； 【解答过程】解：∵点E、F分别是线段AC、BC的中点， ∴AE＝CEAC，CF＝FBCB， ∵AB＝10， ∴EF＝CE+CFACCB（AC+CB）AB＝5， 故线段EF的长度为5． 3.如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M、N分别是AC、BC的中点． （1）求线段MN的长； （2）若C为线段AB上任一点，满足AC＝acm，CB＝bcm，点M、N分别是AC、BC的中点，猜想： MN＝　 　cm． （3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC＝acm，CB＝bcm（a＞b），点M、N分别为AC、BC的中 点，猜想：MN＝　 　cm． 【解题思路】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN＝CM+CN即可求出MN的长度即可； （2）当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则存在MN（a+b）； （3）点在AB的延长线上时，根据M、N分别为AC、BC的中点，即可求出MN的长度． 【解答过程】解：（1）∵AC＝6cm，点M是AC的中点， ∴CMAC＝3cm， ∵CB＝4cm，点N是BC的中点， ∴CNBC＝2cm， ∴MN＝CM+CN＝5cm， ∴线段MN的长度为5cm； （2）∵AC＝acm，点M是AC的中点， ∴CMACacm， ∵CB＝bcm，点N是BC的中点， ∴CNBCbcm， ∴MN＝CM+CNab（a+b）cm， ∴线段MN的长度为（a+b）cm， 故答案为：（a+b）； （3）当点C在线段AB的延长线时，如图： 则AC＞BC， ∵M是AC的中点， ∴CMACacm， ∵点N是BC的中点， ∴CNBCbcm， ∴MN＝CM﹣CN（AC﹣BC）（a﹣b）cm， 故答案为：（a﹣b）． 4.已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM＝6cm，求CM和AD的 长． 【解题思路】由已知B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，所以设AB＝2xcm，BC＝5xcm，CD＝3xcm，根据已知分别用x表示出AD，MD，从而得出BM，继而求出x，则求出CM和AD的长． 【解答过程】解：设AB＝2xcm，BC＝5xcm，CD＝3xcm 所以AD＝AB+BC+CD＝10xcm 因为M是AD的中点 所以AM＝MDAD＝5xcm 所以BM＝AM﹣AB＝5x﹣2x＝3xcm 因为BM＝6 cm， 所以3x＝6，x＝2， 故CM＝MD﹣CD＝5x﹣3x＝2x＝2×2＝4cm， AD＝10x＝10×2＝20 cm． 5.如图，已知C、D两点将线段AB分成2：3：4三段，点E是BD的中点，点F是线段CD上一点，且CF ＝2DF，EF＝12cm，求AB的长． 【解题思路】首先设AC＝2xcm，则线段CD＝3xcm，DB＝4xcm，然后根据E是线段BD的中点，CF＝2DF，分别用x表示出DE、EF，根据EF＝12cm，求出x的值，即可求出线段AB的长是多少． 【解答过程】解：设AC＝2x， ∵C、D两点将线段AB分成2：3：4三段， ∴CD＝3x，BD＝4x， ∵CF＝2DF，CD＝CF+DF， ∴DF＝x， ∵点E是BD的中点， ∴DE＝2x， ∴EF＝DF+DE＝3x， ∵EF＝12cm， ∴x＝4cm， ∴AC＝8cm，CD＝12cm，BD＝16cm， ∴AB＝AC+CD+BD＝36cm． 6.如图，已知AB和CD的公共部分，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是 10cm，则AB的长是　 　． 【解题思路】设BD＝x，则AB＝3x，CD＝4x，由中点的定义可得EF（3x+4x）＝10，即可求解x值，进而可求得AB的长． 【解答过程】解：设BD＝x， ∵BDABCD， ∴AB＝3x，CD＝4x， ∵线段AB，CD的中点E，F之间的距离是10cm， ∴EF＝BE+BFABCD﹣BD（AB+CD）﹣BD（3x+4x）﹣x＝10cm， 解得x＝4， ∴AB＝3x＝12（cm）． 故答案为12cm． 7.如图，点、、在线段上，，是的中点，，求线段的长． 【答案】 【分析】由是的中点，可求得BC=2BE=4cm，又由，可求出AC=10cm，从而求得AB=6cm，再根据，可求得BD=4cm，即可由DE=BD+BE求解． 【详解】解：∵，且是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴(cm)，， ∵，AD+BD=AB， ∴BD+BD=6cm ∴. ∴， 答：长为. 8.若点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，线段AB＝18cm，则线段的BD长为（ ） 【答案】C 【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义画出图形即可得到结论． 【详解】解∶∵C是线段AB的中点， AB= 18cm， ∴AC=BC=AB=×18=9cm， 点D是线段AC的三等分点， 当点D离点A较近，即AD=AC时，如图1， ∵AD=AC，AC=9cm， ∴AD=3cm， ∴BD=AB-AD= 18-3=15cm； ②当点D离点C较近，即CD=AC时，如图2， ∵CD=AC，AC=9cm， ∴CD=3cm， ∵BC=9cm， ∴BD= BC+CD=9+3=12cm， 故选：C． 9.一条直线上有，，三点，，，点，分别是，的中点，则______． 【答案】或 【分析】因为直线上三点A、B、C的位置不明确，所以要分B在A，C两点之间和A在C、B两点之间两种情况，分别结合图形并根据中点的定义即可求解． 【详解】解：根据题意由两种情况 若B在A，C两点之间，如图： 则, ， (cm)； 若C在A，B两点之间，如图： 则 ， (cm)， 故答案为：13cm或5cm． 10.如果A、B、C三点共线，线段cm，cm，那么A、C两点间的距离是______． 【答案】12cm或2cm 【分析】分两种情况：点C在点B的右边时，点C在点B的左边时，根据直线上两点间的距离来解决问题即可． 【详解】解：如图所示，点C、点C'的位置就是点C位置的两种情况． 点C的位置有两种情况， 点C在点B的右边时，AC=7+5-12cm； 点C在点B的左边时，AC=7-5=2cm． 故答案为：12cm或2cm． 11.已知点在直线上，且线段，，点、分别是、的中点，则的长为______． 【答案】6或12##12或6 【分析】由线段的中点，线段的和差倍分求出线段PQ的长为6或12． 【详解】解：①点M在线段AB上时，如图所示： ∵AB＝AM＋MB，AM＝BM，AB＝16， ∴AM＝4，BM＝12， 又∵Q是AB的中点， ∴AQ＝BQ＝AB＝×16＝8， 又∵MQ＝BM−BQ， ∴MQ＝12−8＝4， 又∵点P是AM的中点， ∴AP＝PM＝AM＝×4＝2， 又∵PQ＝PM＋MQ， ∴PQ＝2＋4＝6； ②点M在线段AB的反向延长线上时，如图所示： 同理可得：AQ＝AB＝×16＝8， 又∵AM＝BM， ∴AM＝AB＝×16＝8， 又∵点P是AM的中点， ∴AP＝AM＝8＝4， 又∵PQ＝PA＋AQ， ∴PQ＝4＋8＝12， 综合所述PQ的长为6或12． 故答案为：6或12． 12.如图，、是线段上的点，若，，则图中以、、、为端点的所有 线段的长度之和为（ ） 【分析】先根据线段的定义表示出所有的线段，然后整理成用、表示形式，再代入数据进行计算即可得解． 【解答】解：以、、、为端点的所有线段分别是、、、、、共6条， 长度之和为： ． 故选：． 13.如图，点、在线段上．，，，则图中所有线段的和 是　 　． 【分析】根据线段的和差，可得的长，根据拆项法，可得，，根据交换律、结合律，可得答案． 【解答】解：图中线段有、、、、、，共六条线段． 其中， ， ，， ， ， 故图中所有线段的和为， 故答案为：53． 14.如图，，是线段上的两点，且，已知图中所有线段长度之和为81，则长为（ ） 【分析】设，根据，得到，，，，，再把各线段相加即可． 【解答】解：设， ， ，， ，，， 所有线段长度之和为81， ． ， ． 故选：． 考点六 线段和差的动点问题 1.如图，P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts． （1）若AP＝8cm， ①运动1s后，求CD的长； ②当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD； （2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值． 【解题思路】（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD＝CP+PB﹣DB即可求出答案．②用t表示出AC、DP、CD的长度即可求证AC＝2CD； （2）当t＝2时，求出CP、DB的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【解答过程】解：（1）①由题意可知：CP＝2×1＝2cm，DB＝3×1＝3cm ∵AP＝8cm，AB＝12cm ∴PB＝AB﹣AP＝4cm ∴CD＝CP+PB﹣DB＝2+4﹣3＝3cm ②∵AP＝8，AB＝12， ∴BP＝4，AC＝8﹣2t， ∴DP＝4﹣3t， ∴CD＝DP+CP＝2t+4﹣3t＝4﹣t， ∴AC＝2CD； （2）当t＝2时， CP＝2×2＝4cm，DB＝3×2＝6cm， 当点D在C的右边时，如图所示： 由于CD＝1cm， ∴CB＝CD+DB＝7cm， ∴AC＝AB﹣CB＝5cm， ∴AP＝AC+CP＝9cm， 当点D在C的左边时，如图所示： ∴AD＝AB﹣DB＝6cm， ∴AP＝AD+CD+CP＝11cm 综上所述，AP＝9cm或11cm 2.如图，P是线段AB上任一点，AB＝12厘米，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2厘米/秒，D点的运动速度为3厘米/秒，运动的时间为t秒． （1）若AP＝8厘米． ①运动1秒后，求CD的长； ②当D在线段PB运动上时，试说明AC＝2CD； （2）如果t＝2秒时，CD＝1厘米，直接写出AP的值是　9或11　厘米． 【解题思路】（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD＝CP+PB﹣DB即可求出答案．②用t表示出AC、DP、CD的长度即可求证AC＝2CD； （2）当t＝2时，求出CP、DB的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【解答过程】解：（1）①由题意可知：CP＝2×1＝2（cm），DB＝3×1＝3（cm）， ∵AP＝8cm，AB＝12cm， ∴PB＝AB﹣AP＝4（cm）， ∴CD＝CP+PB﹣DB＝2+4﹣3＝3（cm）， ②∵AP＝8，AB＝12， ∴BP＝4，AC＝8﹣2t， ∴DP＝4﹣3t， ∴CD＝DP+CP＝2t+4﹣3t＝4﹣t， ∴AC＝2CD； （2）当t＝2时， CP＝2×2＝4（cm），DB＝3×2＝6（cm）， 当点D在C的右边时，如图所示： 由于CD＝1cm， ∴CB＝CD+DB＝7（cm）， ∴AC＝AB﹣CB＝5（cm）， ∴AP＝AC+CP＝9（cm）， 当点D在C的左边时，如图所示： ∴AD＝AB﹣DB＝6（cm）， ∴AP＝AD+CD+CP＝11（cm）， 综上所述，AP＝9或11， 故答案为：9或11． 3.如图，C是线段AB上一点，AC＝5cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度匀速向点B运动，点Q从点C出发沿CB以1cm/s的速度匀速向点B运动，两点同时出发，结果点P比点Q先到3s． （1）求AB的长； （2）设点P、Q出发时间为ts， ①求点P与点Q重合时（未到达点B），t的值； ②直接写出点P与点Q相距2cm时，t的值． 【解题思路】（1）设AB的长为xcm，则BC＝（x﹣5）cm，根据时间＝路程÷速度结合点P比点Q先到3s，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）①根据路程＝速度×时间结合点P与点Q重合得出等式，即可得出结论； ②分别利用点P追上点Q前和追上后分别相距2cm分别得出答案． 【解答过程】解：（1）设AB＝xcm，根据题意可得： （x﹣5）3， 解得：x＝12， 答：AB的长为12cm； （2）①由题意可得：3t＝t+5， 解得：t， 故点P与点Q重合时（未到达点B），t的值为； ②当点P追上点Q前相距2cm， 由题意可得：3t+2＝t+5， 解得：t， 当追上后相距2cm， 由题意可得：3t﹣2＝t+5， 解得：t， 当点P到达终点，点Q距离点P2cm，此时t＝5， 综上所述：t或t或5． 4.如图，C是线段AB上一点，AC＝5cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度匀速向点B运动，点Q从点C出发沿CB以1cm/s的速度匀速向点B运动，两点同时出发，结果点P比点Q先到3s． （1）求AB的长； （2）设点P、Q出发时间为ts， ①求点P与点Q重合时（未到达点B），t的值； ②直接写出点P与点Q相距2cm时，t的值． 【解题思路】（1）设AB的长为xcm，则BC＝（x﹣5）cm，根据时间＝路程÷速度结合点P比点Q先到3s，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）①根据路程＝速度×时间结合点P与点Q重合得出等式，即可得出结论； ②分别利用点P追上点Q前和追上后分别相距2cm分别得出答案． 【解答过程】解：（1）设AB＝xcm，根据题意可得： （x﹣5）3， 解得：x＝12， 答：AB的长为12cm； （2）①由题意可得：3t＝t+5， 解得：t， 故点P与点Q重合时（未到达点B），t的值为； ②当点P追上点Q前相距2cm， 由题意可得：3t+2＝t+5， 解得：t， 当追上后相距2cm， 由题意可得：3t﹣2＝t+5， 解得：t， 当点P到达终点，点Q距离点P2cm，此时t＝5， 综上所述：t或t或5． 5.已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动． ①如图1，当E为BC中点时，求AD的长； ②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长． 【解题思路】①根据AC＝2BC，AB＝18，可求得BC＝6，AC＝12，根据中点定义求出BE，由线段的和差即可得到AD的长； ②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，确定点F是BC的中点，即可求AD的长． 【解答过程】解：①AC＝2BC，AB＝18， ∴BC＝6，AC＝12， 如图1， ∵E为BC中点， ∴CE＝BE＝3， ∵DE＝8， ∴BD＝DE+BE＝8+3＝11， ∴AD＝AB﹣DB＝18﹣11＝7； ②Ⅰ、当点E在点F的左侧，如图2， 或 ∵CE+EF＝3，BC＝6， ∴点F是BC的中点， ∴CF＝BF＝3， ∴AF＝AB﹣BF＝18﹣3＝15， ∴ADAF＝5； ∵CE+EF＝3，故图2（b）这种情况求不出； Ⅱ、如图3，当点E在点F的右侧， 或 ∵AC＝12，CE+EF＝CF＝3， ∴AF＝AC﹣CF＝9， ∴AF＝3AD＝9， ∴AD＝3． ∵CE+EF＝3，故图3（b）这种情况求不出； 综上所述：AD的长为3或5． 6.如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． （1）求线段MN的长度； （2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度； （3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？ 【解题思路】（1）（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案． 【解答过程】解：（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点， ∴CMAC＝5厘米，CNBC＝3厘米， ∴MN＝CM+CN＝8厘米； （2）∵点M，N分别是AC，BC的中点， ∴CMAC，CNBC， ∴MN＝CM+CNACBCa； （3）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得 10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4； ②当5＜t时，P为线段CQ的中点，2t﹣10＝16﹣3t，解得t； ③当t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t＝3t﹣16，解得t； ④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍）， 综上所述：t＝4或或． 考点七 角的四则运算与转化 1.下列换算中，错误的是（ ） 【分析】根据度分秒的进制，进行计算即可解答． 【解答】解：、， ， ， ， ， 故不符合题意； 、， ， ， 故符合题意； 、， ， ， ， ， 故不符合题意； 、， ， 故不符合题意； 故选：． 2.若，，，则下列结论正确的是（ ） 【分析】根据等于，八分化成度，可得答案． 【解答】解：， ， ， 故选：． 3.计算： ① ② 【分析】①根据度分秒的进制进行计算即可解答； ②根据度分秒的进制进行计算即可解答． 【解答】解：① ； ② ． 4.计算： （1） （2） 【分析】（1）首先计算乘法，然后计算加减即可； （2）首先把化为，然后再利用度减度、分减分、秒减秒进行计算即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式． 考点八 钟面角 1.小明晚上放学到家时，钟表的时间显示为6点15分（如图），此时时钟的分针与时针所成角的度数是（ ） 【答案】C 【分析】根据钟面平均分为12份，每份的圆心角度数为30°，再根据时针和分钟相距的份数乘以30°即可求解． 【详解】解：6点15分时，时针和分钟相距的份数是3+=， ∴6点15分时时钟的分针与时针所成角的度数是×30°=97.5°， 故选：C． 2.钟表在9：10时，时针与分针所成的钝角为（ ） 【答案】C 【分析】由钟面角的定义可求出∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOB=30°，由钟面上时针、分针在转动过程中所成角度的变化关系可求出∠AOC=25°，进而求出答案． 【详解】解：如图， 由钟面角的定义可知， ∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOB=360°×=30°， ∠AOC=30°×（1-）=25°， ∴∠AOB=30°×4+25° =145°， 故选：C． 3.北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻为15：40时，时钟上的时针与分针夹角的度数为______． 【答案】130°##130度 【分析】根据时钟上一大格是30°，时针1分钟转0.5°进行计算即可． 【详解】解：由题意得： 5×30°-40×0.5°=150°-20°=130°， ∴在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是：130°， 故答案为：130°． 考点九 方位角 1.如图，甲沿北偏东50°方向前进，乙沿图示方向前进 ，甲与乙前进方向的夹角∠BAC为100°，则此时乙位于A地的（ ） 【答案】A 【分析】根据题意，结合角的关系，即可得出结论． 【详解】解：∵甲沿北偏东50°方向前进， 又∵甲与乙前进方向的夹角∠BAC为100°， ∴根据角的关系，可得：， ∴乙位于A地的南偏东30° 故选：A 2.如图，下列说法中错误的是（ ） 【答案】C 【分析】利用方向角的概念进行判定即可． 【详解】解：A. OA方向是北偏东60°，正确，故该选项不符合题意；     B. OB方向是北偏西15°，正确，故该选项不符合题意；     C. OC方向是南偏西25°，故原选项错误，故该选项符合题意；         D. OD方向是东南方向，正确，故该选项不符合题意．     故选：C． 3.如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东40°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（ ） 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，进而分析得出从乙船看甲船的方向． 【详解】解：如图：从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东40°方向， ∴从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西40°方向； 故选：A 考点十 余角与补角 1.已知，则的补角的度数为（ ） 【分析】根据互补，即两角的和为，由此即可得出的补角度数． 【解答】解：， 的补角的度数为． 故选：． 2.若，则的余角的度数为（ ） 【分析】根据互为余角的两个角的和等于列式进行计算即可得解． 【解答】解：， 的余角． 故选：． 3.一个角比它的补角的少，这个角等于　 　． 【分析】根据补角的意义，设未知数列方程求解即可． 【解答】解：设这个角为，则它的补角为，由题意得， ， 解得， 故答案为：． 4.如果与互余，与互补，则与的关系是（ ） 【分析】根据与互余，与互补，可得①，②，通过求差，可得与的关系． 【解答】解：由题意得，①，②， ②①得，， 变形为：， 故选：． 5.已知一个角的余角比它的补角的还少，求这个角． 【分析】设这个角的度数是，根据题意得出，再求出方程的解即可． 【解答】解：设这个角的度数是， 则， 解得：， 即这个角的度数是， 答：这个角的度数是． 考点十一 角度计算 1.已知：如图，∠AOB=40°，∠BOC=60°，OD平分∠AOC，求∠BOD的度数． 解：∵∠AOC=∠AOB+∠　 　， 又∵∠AOB=40°，∠BOC=60°， ∴∠AOC=　 　°． ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD=∠AOC（ 　 　）． ∴∠AOD=50°． ∴∠BOD=∠AOD﹣∠　 　． ∴∠BOD=　 　°． 【答案】，，角平分线定义，，． 【分析】根据题意结合角平分线定义填空即可． 【详解】∵， 又∵， ∴． ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD=∠AOC（角平分线定义）． ∴， ∴， ∴． 故答案为：，，角平分线定义，，． 2.如图，为的平分线，是的平分线． （1）若，，求为多少度？ （2）若，，求为多少度？ 【分析】（1）根据角平分线的定义可以求得； （2）根据角平分线的定义易求得，所以由图中的角与角间的和差关系可以求得，最后由角平分线的定义求解． 【解答】解：（1）为的平分线，是的平分线， ，， ； （2）是的平分线，， ． ，． 又为的平分线， ． 3.如图，已知∠AOB=160°，OD是∠AOB内一条射线，OE平分∠AOD，OC平分∠BOD． （1）若∠AOE=55°，求∠EOC的度数； （2）若∠BOC=19°，求∠EOD的度数． 【答案】(1)∠EOC=80° (2)∠EOD=61° 【分析】（1）先根据角平分线定义，结合∠AOE=55°得到∠EOD=∠AOE=55°，∠AOD=110°，求出∠DOB=50°，再根据角平分线的定义求出∠DOC=25°，根据∠EOC=∠EOD+∠DOC=80°； （2）先根据角平分线定义得到∠DOB=2∠BOC=38°，再求出∠AOD=∠AOB﹣∠DOB=122°，然后根据角平分线定义得出∠EOD=∠AOD=61°． （1） 解：∵OE平分∠AOD，∠AOE=55°， ∴，， ∵∠AOB=160°， ∴， ∵OC平分∠BOD， ∴， ∴∠EOC=∠EOD+∠DOC=55°+25°=80°． （2） 解：∵OC平分∠BOD，∠BOC=19°， ∴∠DOB=2∠BOC=38°， ∵∠AOB=160°， ∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=122°， ∵OE平分∠AOD， ∴∠EOD=∠AOD=61°． 4.如图，将一副三角尺的两个直角项点O按如图方式叠放在一起，若∠AOC=130°，则∠BOD=（ ） 【答案】B 【分析】根据题意可得，推算出的度数，即可得出的度数． 【详解】解：由题可知，， ∵∠AOC=130°， ∴ ∴ 故选B． 5.如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点O重合，若∠AOB=165°，则∠COD的度数为______． 【答案】15°##15度 【分析】先根据直角三角板的性质得出∠AOD+∠COB=180°，进而可得出∠COD的度数． 【详解】解：∵△AOD与△BOC是一副直角三角板， ∴∠AOD+∠COB=180°， ∴∠AOC+2∠COD+∠BOD=∠AOB+∠COD=180°． ∵∠AOB=165°， ∴∠COD=180°﹣∠AOB=180°﹣165°=15°． 故答案为15°． 6.如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知∠AOB =160°，则∠COD的度数为（ ） 【答案】A 【分析】先根据直角三角板的性质得出，进而可得出的度数． 【详解】解：，是一副直角三角板， ， ， ， ， 故选：． 7.一副三角板如图叠放，已知∠OAB=∠OCD=90°，∠AOB=45°，∠COD=60°，OB平分∠COD，则∠AOC=_____度． 【答案】15 【分析】先根据OB平分∠COD求出∠BOC，即可根据∠AOC=∠AOB-∠BOC求解 【详解】∵OB平分∠COD，∠COD=60°， ∴∠BOC=30°， ∵∠AOB=45°， ∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=45°-30°=15°， 故答案为：15． 8.如图1，一块三角板的一条直角边OC放在直线AB上．将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，使它的两直角边OC、OD均在直线AB的上方，得图2；将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使它的直角边OC在直线AB下方，OD在直线AB的上方得图3．OE始终平分． （1）图1中，的度数为______，______；图2中，若，则______． （2）在图2中，猜想与数量关系，并说明理由． （3）在图3中，直接写出与的数量关系．不必说明理由． 【答案】(1)，， (2)∠BOD=2∠COE．理由见解析 (3)∠BOD=2∠COE 【分析】（1）由角的平分线的定义及平角、补角的定义来求解； （2）由角的平分线的定义及平角、余角补角的定义来求解； （3）由角的平分线的定义及平角、余角补角的定义来求解； （1） 由题意知，∠AOD=90°，则∠BOD=180°-90°=90° ∵OE平分． ∴ 图2中， ∵OE平分 ∠AOD=2∠DOE = ， 故答案是：45°，90°，70°； （2） 猜想: ∠BOD=2∠COE；理由如下： 设∠COE=.得∠DOE=， ∴∠AOD=2∠DOE =2() ∴∠BOD=∠AOD=2()=2 ∴∠BOD=2∠COE． （3） ∠BOD=2∠COE，理由如下： 设∠COE=.得∠DOE=， ∴∠AOD=2∠DOE =2() ∴∠BOD=∠AOD=2()=2 ∴∠BOD=2∠COE． 9.如图，若，，且OC在∠AOB的内部，则（ ） 【答案】D 【分析】根据，分析出∠AOC与∠AOB的倍分关系即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 10.如图，，，，则（ ） 【答案】B 【分析】根据，可得，根据，，即可求解． 【详解】解：∵， ， 即， ， ， ， ． 故选B 11.如图，与的度数比为，平分，若，求的度数． 【分析】先设，再根据，列出关于的方程进行求解，最后计算的度数． 【解答】解：设，则，， 平分， ， ， 解得， ． 12.已知，，平分，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）将顺时针旋转至图2的位置，求的度数． 【分析】（1）设，则，根据角平分线的定义可得，解方程可得答案； （2）设，则，，根据角平分线的定义与角的和差计算即可． 【解答】解：（1）设，则， 平分，平分， ，， ， ， 解得， ，，， ， ， 答：的度数是； （2）设，则，， 平分，平分． ，， ， ． 答：的度数是． 13.如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，再计算出的度数，再根据邻补角互补可得的度数． 【解答】解：平分， ， ， 设，则，， ， 解得：， ，， ， 平分， ， ， ． 14.如图，点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE=∠ECA，∠FCE=∠ECB． （1）求∠DCF的大小，并说明理由； （2）当∠DCE=∠ECA，∠FCE=∠ECB时，直接写出∠DCF的大小（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)∠DCF=60°，理由见解析 (2)∠DCF=． 【分析】（1）利用角的和与角的差，平角的定义来计算即可； （2）根据（1）的计算模式，把换成就可得出结果． （1） 解：∵点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE=∠ECA，∠FCE=∠ECB， ∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=（∠ECA+∠ECB）=×180°=60°； （2） 解：∵点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE=∠ECA，∠FCE=∠ECB， ∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=（∠ECA+∠ECB）=×180°=． 15.点在直线上，在直线的同侧作射线，． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，若平分，平分，，求的度数． 【分析】（1）先利用平角定义求出，然后设，，列出方程进行计算即可解答； （2）先利用平角定义求出，然后根据角平分线的定义求出，即可解答． 【解答】解：（1）， ， ， ， 设，， ， ， ， 的度数为； （2）， ， 平分，平分， ，， ， ， 的度数为． 16.如图，以的顶点O为端点画一条射线，分别是和的角平分线． （1）如图①，若，则的度数是_________； （2）如图②，若，则的度数是_________． （3）根据以上解答过程，完成下列探究： ①探究一：如图③，当射线位于内部时，请写出与的数量关系：__________． ②探究二：如图④，当射线位于外部时，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②，见解析 【分析】（1）直接根据角平分线的进行计算即可求解； （2）先求得，再根据角平分线的性质即可求解； （3）直接根据角平分线的进行分类计算探究即可． (1) 解：∵， ，分别是和的角平分线 ∴， ∴ (2) 解：∵， ∴ ∵，分别是和的角平分线 ∴， ∴； (3) 解：①，理由如下： 如图③，当射线位于内部时， 证明：，分别是和的角平分线， ，， ②如图④，当射线位于外部时，，理由如下： ，分别是和的角平分线， ，， 17.如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． （1）如图1，、分别是、的角平分线，已知，，求的度数； （2）如图2，若，，且，求的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再由，求出，再由角平分线的定义求出答案； （2）设，由，可得，进而得出，由可得，由列方程求出，进而求出答案． 【解答】解：（1）如图1， 、分别是、的角平分线， ， ， ， ， ； （2）如图2， 由于，设，则， ， 又， ， ， ， ， ． 18.已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC=120°，∠DOE=80°． （1）如图1，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数； （2）点F在射线OB上，若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0