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初中1.2 展开与折叠学案设计
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这是一份初中1.2 展开与折叠学案设计，文件包含第02讲-展开与折叠教师版帮课堂2022-2023学年七年级数学上册同步精品讲义北师大版docx、第02讲-展开与折叠学生版帮课堂2022-2023学年七年级数学上册同步精品讲义北师大版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共55页， 欢迎下载使用。
知识点01 几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③直棱柱的侧面展开图是长方形．
知识点02 展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
知识点03 正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
考点一 正方体的展开图
【方法点睛】1.正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种.
2.正方体展开图口诀：一线不过四；田凹应弃之.
例1
下列平面图形中，经过折叠能围成一个正方体的是（ ）
【答案】D
根据正方体展开图的特点，可以判断各个选项中的图形，哪个可以围成正方体．
【详解】
解：A．折叠后重合了一个面，故选项不符合题意；
B．折叠后重合了一个面，故选项不符合题意；
C．折叠后重合了一个面，故选项不符合题意；
D．折叠后能围成一个正方体，故选项符合题意．
故选：D．
例2
下列图形中，不是正方体表面展开图的是（ ）
【答案】D
【分析】
正方体的展开图的11种情况可分为“1-4-1型”6种，“2-3-1型”的3种，“2-2-2型”的1种，“3-3型”的1种，综合判断即可．
【详解】
解：根据正方体的展开图的11种情况可得，D选项中的图形不是正方体的展开图．
故选：D．
变1
下列图形中，不能折成正方体的是（ ）
【答案】C
【分析】
围成正方体的“一四一”，“二三一”，“三三”，“二二二”的基本形态要记牢．解题时，据此即可判断答案．
【详解】
解：C、折叠后有一个面重合，缺少一个底面，故不能折成正方体；
A、B、D都可以折成正方体．
故选：C．
变2
下列各图中，不是正方体的表面展开图的是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体的表面展开图的每个面都有对面，可得答案．
【详解】
解：A图中每个面都有对面，故A不符合题意；
B图中每个面都有对面，故B不符合题意；
C图中每个面都有对面，故C不符合题意；
D图中中间层的左边的面没有对面，故D符合题意；
故选：D．
变3
如图是一个不完整的正方体平面展开图，需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体．下列添加方式（图中阴影部分）正确的是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
正方体的展开图中每个面都能找到相对的面，如果找不到或者一个面对多个面，就不是正方形的展开图，据此逐一分析即可．
【详解】
A．后面有“田”字形，四个连面无法折起来，因此A不能围成正方体，不符合题意；
B．图形中有“凹”字形，折叠后缺一个面，有一个面重复，因此C不能围成正方体，不符合；
C．第一行的第一个正方形和黑色正方形相对的面是同一个，因此D不能围成正方体，不符合；
D．每一个面都能找到相对面，因此D可围成成正方体，符合；
故选：D．
例3
如图，正方体纸盒三个面上印有文字“十，四，运”，将该纸盒沿着某些棱剪开，能展开的平面图形是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
将展开图复原成正方体，能复原者即是所求答案，在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．
【详解】
解：把四个选项的展开图折叠，能复原的是C．
故选：C．
例4
如图所示的正方体的展开图是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体的展开和折叠，对正方体展开图的形状进行逐个判断即可．
【详解】
A：将其还原成正方体， 与 是对立面，不符合原几何体；
B：将其还原成正方体，则 在几何体右手边，不符合原几何体；
C：将其还原成正方体， 与是对立面，不符合原几何体；
D：将其还原成正方体，各特点均符合原几何体；
故选：D．
变4
如图正方体纸盒，展开图可以得到（ ）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折叠后圆、等于符号及小于符号所在的面的位置进行判断即可.
【详解】
解：A.圆、等于符号及小于符号所在的面折叠后互为邻面，且小于符号的开口与等于符号开口一致，符合题意；
B.小于符号与等于符号的面折叠后是对面，不符合题意;
C.折叠后，小于符号的开口方向与等于符号开口方向不同，不符合题意;
D.折叠后，小于符号开口没有指向圆，不符合题意.
故答案选A.
变5
如图是一个正方体，下列哪个选项是它的展开图（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给立体图形对展开图进行想象解可得出正确答案
【详解】
由图中正方体观察可知：
A项应该为： ，不符合题意；
B项应该为：，符合题意；
C项应该为：，不符合题意；
D项应该为：，不符合题意
故选B
例5
如图所示是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与数字4重合的数字是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
将有数字3、6、11、14的面固定为正方体的底面，再根据正方体的展开图即可求解．
【详解】
解：当把这个平面图形折成正方体时，将有数字3、6、11、14的面固定为正方体的底面，数字2、3、14、1的面固定为正方体的左面，数字7、8、9、10的面固定为正方体的上面，此时与4重合的数字是2、8，
故选：B．
变6
一个正方体盒子的展开图如图所示，如果要把它粘成一个正方体，那么与点A重合的点是点_________．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体展开图还原几何体，找邻面公共点即可得到答案．
【详解】
解：与点A重合的点是点D；
故答案为：D．
考点二 正方体展开图的相对面
例1
某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可．
【详解】
解：在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是“家”，
故选：D．
变1
下图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对面上的字是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体的平面展开图的特点即可得．
【详解】
解：由正方体的平面展开图的特点得：“恩”字与“乡”字在相对面上，“施”字与“村”字在相对面上，“振”字与“兴”字在相对面上，
故选：D．
例2
如图是一个正方体的表面展开图，在原正方体中，与“诚”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
故“诚”字对面的字是“担”．
故选：C．
变2
如图，是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“文”字一面的相对面上的字是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】
解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，
其中面“强”与“主”相对，
面“民”与面“明”相对，
“富”与面“文”相对．
故答案为B．
变3
2022年2月7日，中国女足不屈不挠、力闯难关，以骄人战绩时隔16年再次夺得亚洲杯冠军．如图所示，小楠将“中国女足夺冠”这句话写在了一个正方体的表面展开图上，那么在原正方体中，与“冠”所在面相对的面上的汉字是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】
解：由正方体的表面展开图可知，与“冠”所在面相对的面上的汉字是“国”．
故选：B．
例3
图1是一个小正方体的展开图，小正方体从图2的所示位置依次翻到第1格，第2格，第3格，
这时小正方体朝上一面的字是（ ）
【解题思路】利用正方体的表面展开图的特征判断对面，利用翻转得出答案．
【解答过程】解：由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“常”与“来”是对面，
“州”与“好”是对面，
“越”与“越”是对面，
翻动第1次，第2次时，“好”在前面，“州”在后面，
翻动第3次时，“好”在下面，“州”在上面，
故选：B．
例4
图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格，第2格，第3格，此时小正方体朝上一面的字是____国_____．
【答案】国
【解析】
【分析】
动手进行实验操作，或者在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动即可求解．
【详解】
由图1可得：“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对；
由图2可得：该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格时，“我”在下面，则这时小正方体朝上一面的字是“国”．
故答案为：国．
变4
如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是____路______．
【答案】路
【解析】
【分析】
先由图1分析出：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和“路”是对面，再由图2结合空间想象得出答案．
【详解】
解：由图1可知：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和“路”是对面，
再由图2可知，1、2、3、4、5分别对应的面是“兴”、“梦”、“中”、“兴”、“复”，
所以第5格朝上的字是“路”．
所以答案是路．
考点三 柱体与椎体的展开图
例1
如图所示的三棱柱的展开图不可能是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个三角形的底面组成．从而可得答案.
【详解】
解：选项A、B、C均可能是该三棱柱展开图，不符合题意，
而选项D中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，符合题意，
故选：D．
例2
下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
【答案】A
【解析】
【分析】
由平面图形的折叠及棱柱的展开图解题．
【详解】
A不能围成棱柱，B可以围成五棱柱，C可以围成三棱柱，D可以围成四棱柱．
故选：A．
例3
如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
把每一个几何体的平面展开图经过折叠，再判断能围成什么几何体．
【详解】
解：经过折叠后，这些几何体的平面展开图围成的几何体分别是：圆柱，圆锥，三棱柱，正方体
故选D
变1
下列不是三棱柱的表面展开图的是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
利用棱柱及其表面展开图的特点解题．
【详解】
三棱柱为上下两底面均为三角形，故展开图的两个三角形应处在矩形的上下两侧，不可能位于矩形的同侧，
故选D．
变2
如图长方体的展开图，不可能是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
结合长方体的面与面之间的连接判断即可；
【详解】
解：A．选项正确，不符合题意；
B．选项正确，不符合题意；
C．选项正确，不符合题意；
D．组合后缺少上表面，选项错误，符合题意；
故选：D
变3
如图的展开图中，能围成三棱柱的是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
一般三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形，进而得出答案．
【详解】
解：把选项中的平面展开图经过折叠后．
A选项展开图能围成四棱锥．
B选项展开图能围成圆柱体．
C选项展开图能围成圆锥
因此A、B、C都不能围成三棱柱．
选项展开图能围成三棱柱．
故选：D．
变4
下面的图形是圆锥展开的形状的是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据常见几何体展开图的形状特征，或折叠成几何体的形状得出判断即可．
【详解】
解：A、是三棱柱展开图，不符合题意；
B、是圆锥展开图，符合题意；
C、是圆柱展开图，不符合题意；
D、是长方体展开图，不符合题意；
故选：B．
变5
图中的图形是由某立方体图形展开得到的，则该立方体图形是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆柱表面展开图的特点解题即可．
【详解】
解：观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形是圆柱．
故选：C．
考点四 展开图的相关计算
例1
如图，把这个圆柱的侧面沿高剪开后，可以得到一个长是______dm，宽是___10___dm的长方形．（若涉及不取近似值，用表示既可）
【答案】 10
【解析】
【分析】
结合题意，根据圆形周长、几何图形侧面展开图的性质分析，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，这个圆柱的上下底面的周长dm
把这个圆柱的侧面沿高剪开后，得到的长方形的长=这个圆柱的上下底面的周长
∴得到的长方形的长dm
根据题意，把这个圆柱的侧面沿高剪开后，得到的长方形的宽dm
故答案为：，10．
例2
如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为何？（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据展开图，可以求得原来长方体的底面的边长和高，然后根据长方体的体积公式计算即可．
【详解】
解：设原长方体底面边长为，长方体高为，
，，
解得，，
长方体的体积为：，
故选：．
变1
圆柱的底面周长为2π，高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为__2π___．
【答案】2π
【解析】
【分析】
圆柱的侧面展开图的面积=圆柱的底面周长×圆柱的高，把相关数值代入即可求解．
【详解】
解：∵圆柱的侧面展开图为长方形，长为圆柱的底面周长，
∴圆柱的侧面展开图的面积为：2π×1=2π．
故答案为：2π
变2
如图是一张铁片．（单位：米）
（1）计算这张铁片的面积；
（2）这张铁片能否做成一个无盖长方体盒子？若能，请计算它的体积；若不能请说明理由．
【答案】(1)16m2；
(2)能，6m3．
【解析】
【分析】
（1）把图形分为两个长方形，一个正方形求解即可；
（2）折叠图形，利用体积公式求解即可．
(1)
解：由题意可得
S＝1×2+3×3+1×5＝16（m2）；
答：这张铁片的面积是16 m2．
(2)
解：能，如图：
盒子的体积V＝3×2×1＝6（m3）．
答：这张铁片能做成一个无盖长方体盒子，体积是6m3．
例3
如果一个圆柱的底面半径扩大3倍，高不变，侧面积就扩大___3__倍，体积 扩大__9___倍．
【答案】 3； 9．
【解析】
【分析】
①，②，根据以上公式代入解答即可．
【详解】
,
解 ，当底面半径扩大3倍时，半径变为3r，
；
故当底面半径扩大三倍，侧面积扩大3倍；
又，当底面半径扩大3倍时，半径变为3r，
；
故当底面半径扩大三倍，体积扩大9倍．
故答案为：3，9．
变3
两个圆柱的高相等，底面半径的比是1：2，那么圆柱的体积比是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆柱的体积计算公式即可解答．
【详解】
解：∵两个圆柱的高相等，底面半径的比是1：2，
∴设两个圆柱的高都为h，底面半径分别为：r和2r，
∴两个圆柱的体积比，
故答案为：1：4．
例4
如图是一个长方体形状的纸质包装盒，它的长、宽、高分别为25cm、15cm、20cm．将该纸袋沿一些棱剪开得到它的平面展开图，则平面展开图的最大周长为____310___cm．
【答案】310
【解析】
【分析】
根据边长最长的多剪，边长最短的剪的最少，可得答案．
【详解】
解：根据题意，沿边长最长的棱多剪，边长最短的剪的最少，得到下图：
这个平面图形的最大周长是25×8＋20×4＋15×2＝310（cm）．
故答案为：310．
变4
圆柱的侧面展开图是一个相邻的两边长分别为4，2π的长方形，则圆柱体的体积为_8或4π____．
【答案】4π或8##8或4π
【解析】
【分析】
分两种情况：①以2π为底面周长，4为高；②以4为圆柱体的底面周长，2π为高；分别求解即可．
【详解】
解：①以2π为底面周长，4为高，
此时圆柱体的底面半径为＝1，
∴圆柱体的体积为π×12×4＝4π，
②以4为圆柱体的底面周长，2π为高，
此时圆柱体的底面半径为，
∴圆柱体的体积为π×（）2×2π＝8，
故答案为：4π或8．
例5
如图1是墨水瓶包装盒实物图，图2是粉笔包装盒实物图，图3是墨水瓶包装盒展开图，图4是粉笔包装盒展开图，尺寸数据如下（单位：cm．以下问题结果用含a，b，c的式子表示，其中阴影部分为内部粘贴角料，计算纸片面积时内部粘贴角料忽略不计）：
（1）做一个墨水瓶包装盒需要纸片的面积为__（2ab+2ac+2bc）cm2_，做一个粉笔包装盒需要纸片的面积为__（6ab+6ac+8bc）cm2_；（直接写出答案）
（2）做一个墨水瓶包装盒和一个粉笔包装盒共用纸片多少平方厘米？
（3）做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用多少平方厘米纸片？
【答案】(1)（2ab+2ac+2bc）cm2；（6ab+6ac+8bc）cm2
(2)（8ab+8ac+10bc）平方厘米
(3)做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用（14ab+14ac+20bc）平方厘米纸片．
【解析】
【分析】
（1）将墨水瓶包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为a cm、b cm、c cm；将粉笔包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为1.5a cm、2b cm、2c cm；再根据长方体的表面积公式计算即可；
（2）利用（1）的结论列式计算解答即可；
（3）利用（1）的结论列式计算解答即可．
(1)
解：将墨水瓶包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为a cm、b cm、c cm，
故做一个墨水瓶包装盒需要纸片的面积为：（2ab+2ac+2bc）cm2；
将粉笔包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为1.5a cm、2b cm、2c cm，
故做一个粉笔包装盒需要纸片的面积为：2×1.5a×2b+2×1.5a×2c+2×2b×2c=（6ab+6ac+8bc）cm2；
故答案为：（2ab+2ac+2bc）cm2；（6ab+6ac+8bc）cm2；
(2)
解：做一个墨水瓶包装盒和一个粉笔包装盒共用纸片：
（2ab+2ac+2bc）+（6ab+6ac+8bc）
=（8ab+8ac+10bc）cm2；
(3)
解：3（6ab+6ac+8bc）-2（2ab+2ac+2bc）
=18ab+18ac+24bc-4ab-4ac-4bc
=14ab+14ac+20bc（cm2），
即做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用（14ab+14ac+20bc）平方厘米纸片．
变5
如图是一个食品包装盒的表面展开图．
（1）请写出这个包装盒的形状的名称；
（2）根据图中所标的尺寸，计算此包装盒的表面积和体积．
【答案】(1)此包装盒是一个长方体
(2)此包装盒的表面积为：，体积为：．
【解析】
【分析】
（1）根据图示可知有四个长方形和2个正方形组成，故可知是长方体；
（2）根据长方体的表面积公式和体积公式分别进行计算即可．
(1)
由展开图可以得出：此包装盒是一个长方体．
(2)
此包装盒的表面积为：2×b2+4×ab=2b2+4ab；
体积为b2×a=ab2．
课后强化
1.下列图形中，不是正方体的展开图形的是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面图形的折叠及正方体的展开图解答，中间四联方，上下各一个，可以围成正方体．
【详解】
正方体共有11种表面展开图，
A、B、D能围成正方体；
C不能，折叠后有两个面重合，不能折成正方体．
故选：C．
2.下列图形中，不能经过折叠围成正方体的是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【详解】
解：A．可以经过折叠成正方体，不符合题意；
B．可以经过折叠成正方体，不符合题意；
C．可以经过折叠成正方体，不符合题意；
D．不可以经过折叠成正方体，符合题意．
故选：D
3.在图中剪去1个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形对应的数字是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
结合正方体的平面展开图的特征（141型、132型、222型、33型），只要折叠后能围成正方体即可．
【详解】
解：由正方体的平面展开图得，要剪去的正方形对应的数字是2．
故选：B．
4.小英准备用如图所示的纸片做一个礼品盒，为了美观，他想在六个正方形的纸片上画上图案，使做成后三组对面的图案相同，则她画上图案后正确的是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可．
【详解】
解：观察正方体的表面展开图，根据“Z”字两端是对面，可得：
正确的应是：C，
故选：C．
5.成功没有快车道，努力才是通往成功的光明大道．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“功”字所在面相对面上的汉字是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形，根据这一特点即可求解．
【详解】
解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形，
∴与“功”所在面相对面上的汉字是“然”，
故选：D
6.如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“牢”字一面的相对面上的字是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】
解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形可知：“牢”与“命”是相对面，“记”与“心”是相对面，“初”与“使”是相对面．
故选：D．
7.有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子如图所示顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动
第70次后，骰子朝下一面的数字是（ ）
【解题思路】观察图形知道第一次点数五和点二数相对，第二次点数四和点数三相对，第三次点数二和点数五相对，第四次点数三和点数四相对，第五次点数五和点二数相对，且四次一循环，从而确定答案．
【解答过程】解：观察图形知道第一次点数五和点二数相对，第二次点数四和点数三相对，第三次点数二和点数五相对，第四次点数三和点数四相对，第五次点数五和点二数相对，且四次一循环，
∵70÷4＝17…2，
∴滚动第70次后与第二次相同，
∴朝下的数字是4的对面3，
故选：B．
8.将如图所示的无盖正方体沿边AB，BC，DE，EF剪开后展开，则下列展开图的示意图正确的是（ ）
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：根据正方体表面展开图的特征可知，
将无盖正方体沿边AB，BC，DE，EF剪开后展开，得到的展开图是
故选：B．
9.如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
侧面为3个三角形，底面为三角形，故原几何体为三棱锥．
【详解】
观察图形可知，这个几何体是三棱锥．
故选C．
10.根据表面展开图依次写出立体图形的名称：_____、_____、_____．
【答案】 圆锥 四棱锥 三棱柱
【解析】
【分析】
根据表面展开图的形状判断即可．
【详解】
解：圆锥的表面展开图是一个扇形和圆，四棱锥的表面展开是一个四边形和四个三角形，三棱柱的表面展开是三个长方形和两个三角形．
故答案为：圆锥，四棱锥，三棱柱．
11.一个正方体的展开图已有一部分（如图），还有一个正方形未画，现有10个位置可供选择，请问：放在哪些位置能围成正方体，放在哪些位置不能围成正方体？仔细观察下图，或许你还要动手做做呢！放在_____①⑦⑧⑨______处可围成正方体，放在___②③④⑤⑥⑩________处不可以围成正方体．
【答案】 ①⑦⑧⑨ ②③④⑤⑥⑩
【解析】
【分析】
根据正方体的展开图的特征进行判断即可．凡是符合“1-4-1型”6种，“2-3-1型”3种，“2-2-2型”1种，“3-3型”1种，都能围成正方体．
【详解】
解：由图可得，一个正方形放在①或⑦或⑧或⑨能围成正方体，放在②、③、④、⑤、⑥、⑩不能围成正方体．
故答案为：①⑦⑧⑨，②③④⑤⑥⑩
12.如图，右面哪一个图形是左面正方体的展开图？
（1） A． B. C. D.
（2） A． B. C. D.
【答案】（1）D；（2）C
【解析】
【分析】
根据正方体三个面上的图案特征以及位置分析，进而可得展开图．
【详解】
（1）根据正方体的展开图，分析三个面上的特征与位置对应关系，展开图为D选项；
（2）根据正方体的展开图，分析三个面上的特征与位置对应关系，展开图为C选项
13.如图所示的是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母（字母朝外），回答下列问题：
（1）如果面在长方体的底部放置，那么哪一个面会在它的上面？
（2）如果面在前面，从左面看是面，那么哪一个面会在上面？
（3）从右面看是面，面在左面，那么哪一个面会在上面？
【答案】(1)F面
(2)“C”面或“E面
(3)“B面或“D面
【解析】
【分析】
根据长方体表面展开图的特征进行判断即可．
(1)
根据“相间、端是对面”可知，
“”与“”相对，
“”与“”相对，
“”与““相对，
所以面A在长方体的底部，那么面会在它的上面；
(2)
若面在前面，左面是面，则“”在后面，“”在右面，此时“”在上面，“”在下面，或“”在上面，“”在下面；
答：如果面在前面，从左面看是面，那么“”面或“”面会在上面；
(3)
从右面看是面，面在左面，则“”面或“”面在上面．
14.如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为2cm，长方形的长为3cm，宽为2cm，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
【答案】(1)拼图存在问题，多了，图见解析
(2)12cm3
【解析】
【分析】
（1）根据长方体展开图判断．
（2）求出长方体的长，宽，高即可．
(1)
解：拼图存在问题，多了，如图：
(2)
解：由题意得，围成的长方体长，宽，高分别为2cm，2cm，3cm，
∴体积为：2×2×3＝12（cm3）．
15.如图，是底面为正方形的长方体的表面展开图，折叠成一个长方体，那么：
（1）与N重合的点是哪几个？
（2）若AB＝3cm，AH＝5cm，则该长方体的表面积和体积分别是多少？
【答案】(1)点H和点J
(2)表面积为：，体积为：
【解析】
【分析】
（1）把展开图折叠成一个长方体，找到与N重合的点即可；
（2）由已知得到长方体的长、宽、高，再根据长方体的表面积和体积计算方法求解．
【小题1】
解：与N重合的点有点H和点J．
【小题2】
∵长方体的底面为正方形，
由长方体展开图可知：
AB=BC=3cm，而AH=5cm，
∴长方体的长、宽、高分别为：5cm，3cm，3cm，
∴长方体的表面积为：，
体积为：．
16.请阅读下列材料，并完成相应的任务：
任务：（1）在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置是 A ；
A．字母B
B．字母A
C．字母R
D．字母T
（2）若在图③中，网格中每个小正方形的边长为1，求包装盒的表面积．
【分析】（1）根据长方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，判断即可；
（2）根据长方体的表面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：（1）在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置：字母B，
故答案为：A；
（2）由题意得：
2×3×2+2×3×1+2×2×1＝12+6+4＝22，
∴包装盒的表面积为22．
课程标准
1.掌握各类立体图形的展开图；
2.掌握正方体展开图的判断方法；
3.掌握正方体展开图的相对面的判断方法；
4.掌握展开图的计算方法.
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．2和5
B．2和8
C．2和10
D．2和13
A．老
B．南
C．河
D．家
A．“恩”
B．“乡”
C．“村”
D．“兴”
A．守
B．信
C．担
D．当
A．强
B．富
C．文
D．主
A．中
B．国
C．女
D．足
A．常
B．州
C．越
D．来
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．圆柱，圆锥，四棱柱，正方体
B．四棱锥，圆锥，正方体，圆柱
C．圆柱，圆锥，正方体，三棱锥
D．圆柱，圆锥，三棱柱，正方体
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．长方体
B．圆锥
C．圆柱
D．球体
A．144
B．224
C．264
D．300
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．3
D．4
A．
B．
C．
D．
A．成
B．绝
C．偶
D．然
A．初
B．心
C．使
D．命
A．2
B．3
C．4
D．5
A．
B．
C．
D．
A．长方体
B．圆锥
C．三棱锥
D．四棱锥
包装盒的展开图
如图①是一个同学们熟悉的包装盒如图②是它的一种表面展开图，小明将图②画在如图③所示的8×8的网格中．
知识点01 几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③直棱柱的侧面展开图是长方形．
知识点02 展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
知识点03 正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
考点一 正方体的展开图
【方法点睛】1.正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种.
2.正方体展开图口诀：一线不过四；田凹应弃之.
例1
下列平面图形中，经过折叠能围成一个正方体的是（ ）
【答案】D
根据正方体展开图的特点，可以判断各个选项中的图形，哪个可以围成正方体．
【详解】
解：A．折叠后重合了一个面，故选项不符合题意；
B．折叠后重合了一个面，故选项不符合题意；
C．折叠后重合了一个面，故选项不符合题意；
D．折叠后能围成一个正方体，故选项符合题意．
故选：D．
例2
下列图形中，不是正方体表面展开图的是（ ）
【答案】D
【分析】
正方体的展开图的11种情况可分为“1-4-1型”6种，“2-3-1型”的3种，“2-2-2型”的1种，“3-3型”的1种，综合判断即可．
【详解】
解：根据正方体的展开图的11种情况可得，D选项中的图形不是正方体的展开图．
故选：D．
变1
下列图形中，不能折成正方体的是（ ）
【答案】C
【分析】
围成正方体的“一四一”，“二三一”，“三三”，“二二二”的基本形态要记牢．解题时，据此即可判断答案．
【详解】
解：C、折叠后有一个面重合，缺少一个底面，故不能折成正方体；
A、B、D都可以折成正方体．
故选：C．
变2
下列各图中，不是正方体的表面展开图的是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体的表面展开图的每个面都有对面，可得答案．
【详解】
解：A图中每个面都有对面，故A不符合题意；
B图中每个面都有对面，故B不符合题意；
C图中每个面都有对面，故C不符合题意；
D图中中间层的左边的面没有对面，故D符合题意；
故选：D．
变3
如图是一个不完整的正方体平面展开图，需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体．下列添加方式（图中阴影部分）正确的是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
正方体的展开图中每个面都能找到相对的面，如果找不到或者一个面对多个面，就不是正方形的展开图，据此逐一分析即可．
【详解】
A．后面有“田”字形，四个连面无法折起来，因此A不能围成正方体，不符合题意；
B．图形中有“凹”字形，折叠后缺一个面，有一个面重复，因此C不能围成正方体，不符合；
C．第一行的第一个正方形和黑色正方形相对的面是同一个，因此D不能围成正方体，不符合；
D．每一个面都能找到相对面，因此D可围成成正方体，符合；
故选：D．
例3
如图，正方体纸盒三个面上印有文字“十，四，运”，将该纸盒沿着某些棱剪开，能展开的平面图形是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
将展开图复原成正方体，能复原者即是所求答案，在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．
【详解】
解：把四个选项的展开图折叠，能复原的是C．
故选：C．
例4
如图所示的正方体的展开图是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体的展开和折叠，对正方体展开图的形状进行逐个判断即可．
【详解】
A：将其还原成正方体， 与 是对立面，不符合原几何体；
B：将其还原成正方体，则 在几何体右手边，不符合原几何体；
C：将其还原成正方体， 与是对立面，不符合原几何体；
D：将其还原成正方体，各特点均符合原几何体；
故选：D．
变4
如图正方体纸盒，展开图可以得到（ ）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折叠后圆、等于符号及小于符号所在的面的位置进行判断即可.
【详解】
解：A.圆、等于符号及小于符号所在的面折叠后互为邻面，且小于符号的开口与等于符号开口一致，符合题意；
B.小于符号与等于符号的面折叠后是对面，不符合题意;
C.折叠后，小于符号的开口方向与等于符号开口方向不同，不符合题意;
D.折叠后，小于符号开口没有指向圆，不符合题意.
故答案选A.
变5
如图是一个正方体，下列哪个选项是它的展开图（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给立体图形对展开图进行想象解可得出正确答案
【详解】
由图中正方体观察可知：
A项应该为： ，不符合题意；
B项应该为：，符合题意；
C项应该为：，不符合题意；
D项应该为：，不符合题意
故选B
例5
如图所示是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与数字4重合的数字是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
将有数字3、6、11、14的面固定为正方体的底面，再根据正方体的展开图即可求解．
【详解】
解：当把这个平面图形折成正方体时，将有数字3、6、11、14的面固定为正方体的底面，数字2、3、14、1的面固定为正方体的左面，数字7、8、9、10的面固定为正方体的上面，此时与4重合的数字是2、8，
故选：B．
变6
一个正方体盒子的展开图如图所示，如果要把它粘成一个正方体，那么与点A重合的点是点_________．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体展开图还原几何体，找邻面公共点即可得到答案．
【详解】
解：与点A重合的点是点D；
故答案为：D．
考点二 正方体展开图的相对面
例1
某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可．
【详解】
解：在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是“家”，
故选：D．
变1
下图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对面上的字是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体的平面展开图的特点即可得．
【详解】
解：由正方体的平面展开图的特点得：“恩”字与“乡”字在相对面上，“施”字与“村”字在相对面上，“振”字与“兴”字在相对面上，
故选：D．
例2
如图是一个正方体的表面展开图，在原正方体中，与“诚”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
故“诚”字对面的字是“担”．
故选：C．
变2
如图，是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“文”字一面的相对面上的字是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】
解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，
其中面“强”与“主”相对，
面“民”与面“明”相对，
“富”与面“文”相对．
故答案为B．
变3
2022年2月7日，中国女足不屈不挠、力闯难关，以骄人战绩时隔16年再次夺得亚洲杯冠军．如图所示，小楠将“中国女足夺冠”这句话写在了一个正方体的表面展开图上，那么在原正方体中，与“冠”所在面相对的面上的汉字是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】
解：由正方体的表面展开图可知，与“冠”所在面相对的面上的汉字是“国”．
故选：B．
例3
图1是一个小正方体的展开图，小正方体从图2的所示位置依次翻到第1格，第2格，第3格，
这时小正方体朝上一面的字是（ ）
【解题思路】利用正方体的表面展开图的特征判断对面，利用翻转得出答案．
【解答过程】解：由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“常”与“来”是对面，
“州”与“好”是对面，
“越”与“越”是对面，
翻动第1次，第2次时，“好”在前面，“州”在后面，
翻动第3次时，“好”在下面，“州”在上面，
故选：B．
例4
图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格，第2格，第3格，此时小正方体朝上一面的字是____国_____．
【答案】国
【解析】
【分析】
动手进行实验操作，或者在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动即可求解．
【详解】
由图1可得：“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对；
由图2可得：该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格时，“我”在下面，则这时小正方体朝上一面的字是“国”．
故答案为：国．
变4
如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是____路______．
【答案】路
【解析】
【分析】
先由图1分析出：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和“路”是对面，再由图2结合空间想象得出答案．
【详解】
解：由图1可知：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和“路”是对面，
再由图2可知，1、2、3、4、5分别对应的面是“兴”、“梦”、“中”、“兴”、“复”，
所以第5格朝上的字是“路”．
所以答案是路．
考点三 柱体与椎体的展开图
例1
如图所示的三棱柱的展开图不可能是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个三角形的底面组成．从而可得答案.
【详解】
解：选项A、B、C均可能是该三棱柱展开图，不符合题意，
而选项D中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，符合题意，
故选：D．
例2
下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
【答案】A
【解析】
【分析】
由平面图形的折叠及棱柱的展开图解题．
【详解】
A不能围成棱柱，B可以围成五棱柱，C可以围成三棱柱，D可以围成四棱柱．
故选：A．
例3
如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
把每一个几何体的平面展开图经过折叠，再判断能围成什么几何体．
【详解】
解：经过折叠后，这些几何体的平面展开图围成的几何体分别是：圆柱，圆锥，三棱柱，正方体
故选D
变1
下列不是三棱柱的表面展开图的是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
利用棱柱及其表面展开图的特点解题．
【详解】
三棱柱为上下两底面均为三角形，故展开图的两个三角形应处在矩形的上下两侧，不可能位于矩形的同侧，
故选D．
变2
如图长方体的展开图，不可能是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
结合长方体的面与面之间的连接判断即可；
【详解】
解：A．选项正确，不符合题意；
B．选项正确，不符合题意；
C．选项正确，不符合题意；
D．组合后缺少上表面，选项错误，符合题意；
故选：D
变3
如图的展开图中，能围成三棱柱的是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
一般三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形，进而得出答案．
【详解】
解：把选项中的平面展开图经过折叠后．
A选项展开图能围成四棱锥．
B选项展开图能围成圆柱体．
C选项展开图能围成圆锥
因此A、B、C都不能围成三棱柱．
选项展开图能围成三棱柱．
故选：D．
变4
下面的图形是圆锥展开的形状的是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据常见几何体展开图的形状特征，或折叠成几何体的形状得出判断即可．
【详解】
解：A、是三棱柱展开图，不符合题意；
B、是圆锥展开图，符合题意；
C、是圆柱展开图，不符合题意；
D、是长方体展开图，不符合题意；
故选：B．
变5
图中的图形是由某立方体图形展开得到的，则该立方体图形是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆柱表面展开图的特点解题即可．
【详解】
解：观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形是圆柱．
故选：C．
考点四 展开图的相关计算
例1
如图，把这个圆柱的侧面沿高剪开后，可以得到一个长是______dm，宽是___10___dm的长方形．（若涉及不取近似值，用表示既可）
【答案】 10
【解析】
【分析】
结合题意，根据圆形周长、几何图形侧面展开图的性质分析，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，这个圆柱的上下底面的周长dm
把这个圆柱的侧面沿高剪开后，得到的长方形的长=这个圆柱的上下底面的周长
∴得到的长方形的长dm
根据题意，把这个圆柱的侧面沿高剪开后，得到的长方形的宽dm
故答案为：，10．
例2
如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为何？（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据展开图，可以求得原来长方体的底面的边长和高，然后根据长方体的体积公式计算即可．
【详解】
解：设原长方体底面边长为，长方体高为，
，，
解得，，
长方体的体积为：，
故选：．
变1
圆柱的底面周长为2π，高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为__2π___．
【答案】2π
【解析】
【分析】
圆柱的侧面展开图的面积=圆柱的底面周长×圆柱的高，把相关数值代入即可求解．
【详解】
解：∵圆柱的侧面展开图为长方形，长为圆柱的底面周长，
∴圆柱的侧面展开图的面积为：2π×1=2π．
故答案为：2π
变2
如图是一张铁片．（单位：米）
（1）计算这张铁片的面积；
（2）这张铁片能否做成一个无盖长方体盒子？若能，请计算它的体积；若不能请说明理由．
【答案】(1)16m2；
(2)能，6m3．
【解析】
【分析】
（1）把图形分为两个长方形，一个正方形求解即可；
（2）折叠图形，利用体积公式求解即可．
(1)
解：由题意可得
S＝1×2+3×3+1×5＝16（m2）；
答：这张铁片的面积是16 m2．
(2)
解：能，如图：
盒子的体积V＝3×2×1＝6（m3）．
答：这张铁片能做成一个无盖长方体盒子，体积是6m3．
例3
如果一个圆柱的底面半径扩大3倍，高不变，侧面积就扩大___3__倍，体积 扩大__9___倍．
【答案】 3； 9．
【解析】
【分析】
①，②，根据以上公式代入解答即可．
【详解】
,
解 ，当底面半径扩大3倍时，半径变为3r，
；
故当底面半径扩大三倍，侧面积扩大3倍；
又，当底面半径扩大3倍时，半径变为3r，
；
故当底面半径扩大三倍，体积扩大9倍．
故答案为：3，9．
变3
两个圆柱的高相等，底面半径的比是1：2，那么圆柱的体积比是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆柱的体积计算公式即可解答．
【详解】
解：∵两个圆柱的高相等，底面半径的比是1：2，
∴设两个圆柱的高都为h，底面半径分别为：r和2r，
∴两个圆柱的体积比，
故答案为：1：4．
例4
如图是一个长方体形状的纸质包装盒，它的长、宽、高分别为25cm、15cm、20cm．将该纸袋沿一些棱剪开得到它的平面展开图，则平面展开图的最大周长为____310___cm．
【答案】310
【解析】
【分析】
根据边长最长的多剪，边长最短的剪的最少，可得答案．
【详解】
解：根据题意，沿边长最长的棱多剪，边长最短的剪的最少，得到下图：
这个平面图形的最大周长是25×8＋20×4＋15×2＝310（cm）．
故答案为：310．
变4
圆柱的侧面展开图是一个相邻的两边长分别为4，2π的长方形，则圆柱体的体积为_8或4π____．
【答案】4π或8##8或4π
【解析】
【分析】
分两种情况：①以2π为底面周长，4为高；②以4为圆柱体的底面周长，2π为高；分别求解即可．
【详解】
解：①以2π为底面周长，4为高，
此时圆柱体的底面半径为＝1，
∴圆柱体的体积为π×12×4＝4π，
②以4为圆柱体的底面周长，2π为高，
此时圆柱体的底面半径为，
∴圆柱体的体积为π×（）2×2π＝8，
故答案为：4π或8．
例5
如图1是墨水瓶包装盒实物图，图2是粉笔包装盒实物图，图3是墨水瓶包装盒展开图，图4是粉笔包装盒展开图，尺寸数据如下（单位：cm．以下问题结果用含a，b，c的式子表示，其中阴影部分为内部粘贴角料，计算纸片面积时内部粘贴角料忽略不计）：
（1）做一个墨水瓶包装盒需要纸片的面积为__（2ab+2ac+2bc）cm2_，做一个粉笔包装盒需要纸片的面积为__（6ab+6ac+8bc）cm2_；（直接写出答案）
（2）做一个墨水瓶包装盒和一个粉笔包装盒共用纸片多少平方厘米？
（3）做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用多少平方厘米纸片？
【答案】(1)（2ab+2ac+2bc）cm2；（6ab+6ac+8bc）cm2
(2)（8ab+8ac+10bc）平方厘米
(3)做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用（14ab+14ac+20bc）平方厘米纸片．
【解析】
【分析】
（1）将墨水瓶包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为a cm、b cm、c cm；将粉笔包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为1.5a cm、2b cm、2c cm；再根据长方体的表面积公式计算即可；
（2）利用（1）的结论列式计算解答即可；
（3）利用（1）的结论列式计算解答即可．
(1)
解：将墨水瓶包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为a cm、b cm、c cm，
故做一个墨水瓶包装盒需要纸片的面积为：（2ab+2ac+2bc）cm2；
将粉笔包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为1.5a cm、2b cm、2c cm，
故做一个粉笔包装盒需要纸片的面积为：2×1.5a×2b+2×1.5a×2c+2×2b×2c=（6ab+6ac+8bc）cm2；
故答案为：（2ab+2ac+2bc）cm2；（6ab+6ac+8bc）cm2；
(2)
解：做一个墨水瓶包装盒和一个粉笔包装盒共用纸片：
（2ab+2ac+2bc）+（6ab+6ac+8bc）
=（8ab+8ac+10bc）cm2；
(3)
解：3（6ab+6ac+8bc）-2（2ab+2ac+2bc）
=18ab+18ac+24bc-4ab-4ac-4bc
=14ab+14ac+20bc（cm2），
即做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用（14ab+14ac+20bc）平方厘米纸片．
变5
如图是一个食品包装盒的表面展开图．
（1）请写出这个包装盒的形状的名称；
（2）根据图中所标的尺寸，计算此包装盒的表面积和体积．
【答案】(1)此包装盒是一个长方体
(2)此包装盒的表面积为：，体积为：．
【解析】
【分析】
（1）根据图示可知有四个长方形和2个正方形组成，故可知是长方体；
（2）根据长方体的表面积公式和体积公式分别进行计算即可．
(1)
由展开图可以得出：此包装盒是一个长方体．
(2)
此包装盒的表面积为：2×b2+4×ab=2b2+4ab；
体积为b2×a=ab2．
课后强化
1.下列图形中，不是正方体的展开图形的是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面图形的折叠及正方体的展开图解答，中间四联方，上下各一个，可以围成正方体．
【详解】
正方体共有11种表面展开图，
A、B、D能围成正方体；
C不能，折叠后有两个面重合，不能折成正方体．
故选：C．
2.下列图形中，不能经过折叠围成正方体的是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【详解】
解：A．可以经过折叠成正方体，不符合题意；
B．可以经过折叠成正方体，不符合题意；
C．可以经过折叠成正方体，不符合题意；
D．不可以经过折叠成正方体，符合题意．
故选：D
3.在图中剪去1个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形对应的数字是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
结合正方体的平面展开图的特征（141型、132型、222型、33型），只要折叠后能围成正方体即可．
【详解】
解：由正方体的平面展开图得，要剪去的正方形对应的数字是2．
故选：B．
4.小英准备用如图所示的纸片做一个礼品盒，为了美观，他想在六个正方形的纸片上画上图案，使做成后三组对面的图案相同，则她画上图案后正确的是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可．
【详解】
解：观察正方体的表面展开图，根据“Z”字两端是对面，可得：
正确的应是：C，
故选：C．
5.成功没有快车道，努力才是通往成功的光明大道．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“功”字所在面相对面上的汉字是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形，根据这一特点即可求解．
【详解】
解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形，
∴与“功”所在面相对面上的汉字是“然”，
故选：D
6.如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“牢”字一面的相对面上的字是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】
解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形可知：“牢”与“命”是相对面，“记”与“心”是相对面，“初”与“使”是相对面．
故选：D．
7.有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子如图所示顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动
第70次后，骰子朝下一面的数字是（ ）
【解题思路】观察图形知道第一次点数五和点二数相对，第二次点数四和点数三相对，第三次点数二和点数五相对，第四次点数三和点数四相对，第五次点数五和点二数相对，且四次一循环，从而确定答案．
【解答过程】解：观察图形知道第一次点数五和点二数相对，第二次点数四和点数三相对，第三次点数二和点数五相对，第四次点数三和点数四相对，第五次点数五和点二数相对，且四次一循环，
∵70÷4＝17…2，
∴滚动第70次后与第二次相同，
∴朝下的数字是4的对面3，
故选：B．
8.将如图所示的无盖正方体沿边AB，BC，DE，EF剪开后展开，则下列展开图的示意图正确的是（ ）
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：根据正方体表面展开图的特征可知，
将无盖正方体沿边AB，BC，DE，EF剪开后展开，得到的展开图是
故选：B．
9.如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
侧面为3个三角形，底面为三角形，故原几何体为三棱锥．
【详解】
观察图形可知，这个几何体是三棱锥．
故选C．
10.根据表面展开图依次写出立体图形的名称：_____、_____、_____．
【答案】 圆锥 四棱锥 三棱柱
【解析】
【分析】
根据表面展开图的形状判断即可．
【详解】
解：圆锥的表面展开图是一个扇形和圆，四棱锥的表面展开是一个四边形和四个三角形，三棱柱的表面展开是三个长方形和两个三角形．
故答案为：圆锥，四棱锥，三棱柱．
11.一个正方体的展开图已有一部分（如图），还有一个正方形未画，现有10个位置可供选择，请问：放在哪些位置能围成正方体，放在哪些位置不能围成正方体？仔细观察下图，或许你还要动手做做呢！放在_____①⑦⑧⑨______处可围成正方体，放在___②③④⑤⑥⑩________处不可以围成正方体．
【答案】 ①⑦⑧⑨ ②③④⑤⑥⑩
【解析】
【分析】
根据正方体的展开图的特征进行判断即可．凡是符合“1-4-1型”6种，“2-3-1型”3种，“2-2-2型”1种，“3-3型”1种，都能围成正方体．
【详解】
解：由图可得，一个正方形放在①或⑦或⑧或⑨能围成正方体，放在②、③、④、⑤、⑥、⑩不能围成正方体．
故答案为：①⑦⑧⑨，②③④⑤⑥⑩
12.如图，右面哪一个图形是左面正方体的展开图？
（1） A． B. C. D.
（2） A． B. C. D.
【答案】（1）D；（2）C
【解析】
【分析】
根据正方体三个面上的图案特征以及位置分析，进而可得展开图．
【详解】
（1）根据正方体的展开图，分析三个面上的特征与位置对应关系，展开图为D选项；
（2）根据正方体的展开图，分析三个面上的特征与位置对应关系，展开图为C选项
13.如图所示的是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母（字母朝外），回答下列问题：
（1）如果面在长方体的底部放置，那么哪一个面会在它的上面？
（2）如果面在前面，从左面看是面，那么哪一个面会在上面？
（3）从右面看是面，面在左面，那么哪一个面会在上面？
【答案】(1)F面
(2)“C”面或“E面
(3)“B面或“D面
【解析】
【分析】
根据长方体表面展开图的特征进行判断即可．
(1)
根据“相间、端是对面”可知，
“”与“”相对，
“”与“”相对，
“”与““相对，
所以面A在长方体的底部，那么面会在它的上面；
(2)
若面在前面，左面是面，则“”在后面，“”在右面，此时“”在上面，“”在下面，或“”在上面，“”在下面；
答：如果面在前面，从左面看是面，那么“”面或“”面会在上面；
(3)
从右面看是面，面在左面，则“”面或“”面在上面．
14.如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为2cm，长方形的长为3cm，宽为2cm，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
【答案】(1)拼图存在问题，多了，图见解析
(2)12cm3
【解析】
【分析】
（1）根据长方体展开图判断．
（2）求出长方体的长，宽，高即可．
(1)
解：拼图存在问题，多了，如图：
(2)
解：由题意得，围成的长方体长，宽，高分别为2cm，2cm，3cm，
∴体积为：2×2×3＝12（cm3）．
15.如图，是底面为正方形的长方体的表面展开图，折叠成一个长方体，那么：
（1）与N重合的点是哪几个？
（2）若AB＝3cm，AH＝5cm，则该长方体的表面积和体积分别是多少？
【答案】(1)点H和点J
(2)表面积为：，体积为：
【解析】
【分析】
（1）把展开图折叠成一个长方体，找到与N重合的点即可；
（2）由已知得到长方体的长、宽、高，再根据长方体的表面积和体积计算方法求解．
【小题1】
解：与N重合的点有点H和点J．
【小题2】
∵长方体的底面为正方形，
由长方体展开图可知：
AB=BC=3cm，而AH=5cm，
∴长方体的长、宽、高分别为：5cm，3cm，3cm，
∴长方体的表面积为：，
体积为：．
16.请阅读下列材料，并完成相应的任务：
任务：（1）在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置是 A ；
A．字母B
B．字母A
C．字母R
D．字母T
（2）若在图③中，网格中每个小正方形的边长为1，求包装盒的表面积．
【分析】（1）根据长方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，判断即可；
（2）根据长方体的表面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：（1）在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置：字母B，
故答案为：A；
（2）由题意得：
2×3×2+2×3×1+2×2×1＝12+6+4＝22，
∴包装盒的表面积为22．
课程标准
1.掌握各类立体图形的展开图；
2.掌握正方体展开图的判断方法；
3.掌握正方体展开图的相对面的判断方法；
4.掌握展开图的计算方法.
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．2和5
B．2和8
C．2和10
D．2和13
A．老
B．南
C．河
D．家
A．“恩”
B．“乡”
C．“村”
D．“兴”
A．守
B．信
C．担
D．当
A．强
B．富
C．文
D．主
A．中
B．国
C．女
D．足
A．常
B．州
C．越
D．来
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．圆柱，圆锥，四棱柱，正方体
B．四棱锥，圆锥，正方体，圆柱
C．圆柱，圆锥，正方体，三棱锥
D．圆柱，圆锥，三棱柱，正方体
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．长方体
B．圆锥
C．圆柱
D．球体
A．144
B．224
C．264
D．300
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．3
D．4
A．
B．
C．
D．
A．成
B．绝
C．偶
D．然
A．初
B．心
C．使
D．命
A．2
B．3
C．4
D．5
A．
B．
C．
D．
A．长方体
B．圆锥
C．三棱锥
D．四棱锥
包装盒的展开图
如图①是一个同学们熟悉的包装盒如图②是它的一种表面展开图，小明将图②画在如图③所示的8×8的网格中．
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