高考数学一轮复习第3章第2课时导数与函数的单调性学案

这是一份高考数学一轮复习第3章第2课时导数与函数的单调性学案，共23页。

2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
1．函数的单调性与导数的关系
2．利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
[常用结论]
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( )
(2)若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．( )
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．( )
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P103T3改编) f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
A B C D
C [由f′(x)的图象知，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，
∴f(x)单调递增；
当x∈(0，x1)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减；
当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)单调递增．]
2．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f(x)＝cs x－x在(0，π)上的单调性是( )
A．先增后减 B．先减后增
C．增函数 D．减函数
D [因为f′(x)＝－sin x－1＜0在(0，π)上恒成立，
所以f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.]
3．(人教A版选择性必修第二册P97 习题5.3T1改编)函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________．
(0，1) [函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，由f′(x)＝1－1x＜0，得0＜x＜1，
所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)．]
4．(人教A版选择性必修第二册P87 例3改编)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的最大值是________．
3 [f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，
又因为x∈[1，＋∞ )，所以a≤3，即a的最大值是3.]
考点一 不含参数的函数的单调性
[典例1] 已知函数f(x)＝lnx+kex(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1) 求实数k的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解] (1)由题意知f′(x)＝1x-lnx-kex(x＞0)，
又f′(1)＝1-ke＝0，所以k＝1.
(2)由(1)得f′(x)＝1x-lnx-1ex(x＞0)．
设h(x)＝1x－ln x－1(x＞0)，则h′(x)＝－1x2-1x＜0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，
所以f′(x)＞0；
当x＞1时，h(x)＜0，所以f′(x)＜0.
综上，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
[跟进训练]
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝sin 2x B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x
B [对于A，f(x)＝sin 2x的单调递增区间是kπ-π4，kπ+π4(k∈Z)；对于B，f′(x)＝ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)＝xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>33或x<－33，所以函数f(x)＝x3－x在-∞，-33和33，+∞上单调递增；对于D，f′(x)＝－1＋1x＝－x-1x，令f′(x)>0，得0考点二 含参数的函数的单调性
[典例2] 已知函数f(x)＝12ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．
[解] 函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2-a+1x+1x＝ax-1x-1x.
①当01，
∴x∈(0，1)∪1a，+∞时，f′(x)>0；
x∈1，1a时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0，1)和1a，+∞上单调递增，
在1，1a上单调递减；
②当a＝1时，1a＝1，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③当a>1时，0<1a<1，
∴x∈0，1a∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；
x∈1a，1时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在0，1a和(1，＋∞)上单调递增，
在1a，1上单调递减．
综上，当0当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>1时，函数f(x)在0，1a和(1，＋∞)上单调递增，在1a，1上单调递减．
[拓展变式] 若将本例中参数a的范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性．
[解] 当a>0时，讨论同例题解析；
当a≤0时，ax－1<0，
∴x∈(0，1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
综上，当a≤0时，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当0当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>1时，函数f(x)在0，1a和(1，＋∞)上单调递增，在1a，1上单调递减．

【教师备选题】
讨论下列函数的单调性．
(1)f(x)＝x－a ln x；
(2)g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2.
[解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞), f′(x)＝1－ax＝x-ax，
令f′(x)＝0，得x＝a，
①当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
②当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0，
x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，
在(a，＋∞)上单调递增．
(2)g(x)的定义域为R，
g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，
令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln 2，
①当a>ln 2时，
x∈(－∞，ln 2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，
x∈(ln 2，a)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减．
②当a＝ln 2时，g′(x)≥0恒成立，
∴g(x)在R上单调递增．
③当ax∈(－∞，a)∪(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0，
x∈(a，ln 2)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减．
综上，当a>ln 2时，g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减；
当a＝ln 2时，g(x)在R上单调递增；
当a 对于含参数的函数的单调性，常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个：
分类讨论点1：求导后，考虑f′(x)＝0是否有实数根，从而引起分类讨论；
分类讨论点2：求导后，f′(x)＝0有实数根，但不清楚f′(x)＝0的实数根是否落在定义域内，从而引起分类讨论；
分类讨论点3：求导后，f′(x)＝0有实数根，f′(x)＝0的实数根也落在定义域内，但不清楚这些实数根的大小关系，从而引起分类讨论．
[跟进训练]
2．讨论函数f(x)＝1x－x＋a ln x的单调性．
[解] f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－1x2－1＋ax＝－x2-ax+1x2.
设y＝x2－ax＋1，其图象过定点(0，1)，开口向上，
对称轴为x＝a2，
①当a2≤0，即a≤0时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a2＞0，即a＞0时，
令x2－ax＋1＝0，Δ＝a2－4，
(ⅰ)当Δ≤0，即0＜a≤2时，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
故0＜a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(ⅱ)当Δ＞0，即a＞2时，令f′(x)＝0，得
x＝a-a2-42或x＝a+a2-42.
当x∈0，a-a2-42∪a+a2-42，+∞时，f′(x)<0；
当x∈a-a2-42，a+a2-42时，f′(x)>0.
所以f(x)在0，a-a2-42，a+a2-42，+∞上单调递减，在a-a2-42，a+a2-42上单调递增．
考点三 函数单调性的应用
比较大小或解不等式
[典例3] (1) 已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则( )
A．cC．a(2)(2022·广东茂名二模)已知fx＝x－sin x，则不等式f2m+1＋f1-m>0的解集为( )
A．-∞，-2 B．-2，+∞
C．0，+∞ D．-∞，0
(1)D (2)B [(1)由题意得0令f(x)＝exx(x>0)，则f′(x)＝exx-1x2，
当01时，f′(x)>0，
故f(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，因为ae5＝5ea，所以e55＝eaa，
即f(5)＝f(a)，而0故0因为f(5)>f(4)>f(3)，所以f(a)>f(b)>f(c)，
所以0(2)由题意知fx的定义域为R，且f-x＝－x＋sin x＝－fx，得fx为奇函数，且f′x＝1－cs x≥0，所以fx在-∞，+∞上单调递增．
由f2m+1＋f1-m>0得f2m+1>fm-1，
即2m＋1>m－1．解得m>－2.
故选B.]
求参数的取值范围
[典例4] (链接常用结论1，2)已知g(x)＝2x＋ln x－ax.
(1)若函数g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若g(x)在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围．
[解] (1)g(x)＝2x＋ln x－ax(x>0), g′(x)＝2＋1x+ax2(x>0)．
∵函数g(x)在[1，2]上单调递增，
∴g′(x)≥0在[1，2]上恒成立，
即2＋1x+ax2≥0在[1，2]上恒成立，
∴a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，
∴a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2].
在[1，2]上，(－2x2－x)max＝－3，
∴a≥－3.
∴实数a的取值范围是[－3，＋∞)．
(2)g(x)在[1，2]上存在单调递增区间，
则g′(x)＞0在[1，2]上有解，
即a＞－2x2－x在[1，2]上有解，
∴a＞(－2x2－x)min，
又(－2x2－x)min＝－10，∴a＞－10.
∴实数a的取值范围为(－10，＋∞)．
[拓展变式] (1)(变条件)若函数g(x)在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围．
(2)(变条件)若函数g(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围．
[解] (1)依题意g′(x)＝2＋1x+ax2在[1，2]上满足g′(x)≤0恒成立，∴当x∈[1，2]时，a≤－2x2－x恒成立，
又t＝－2x2－x＝－2x+142＋18，x∈[1，2]是减函数，
∴当x＝2时，t＝－2x2－x取得最小值－10.
∴a≤－10，即实数a的取值范围为(－∞，
－10].
(2)∵函数g(x)在区间[1，2]上不单调，
∴g′(x)＝0在区间(1，2)内有解，
则a＝－2x2－x＝－2x+142＋18在(1，2)内有解，易知该函数在(1，2)上是减函数，
∴y＝－2x2－x的值域为(－10，－3)，
因此实数a的取值范围为(－10，－3)．
根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)在区间(a，b)上为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
[跟进训练]
3．(1)已知函数f(x)＝x sin x，x∈R，则fπ5，f(1)，f-π3的大小关系为( )
A．f-π3>f(1)>fπ5
B．f(1)>f-π3>fπ5
C．fπ5>f(1)>f-π3
D．f-π3>fπ5>f(1)
(2)已知函数f(x)＝x3－kx在(－3，1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
(1)A (2)(0，27) [(1)因为f(x)＝x sin x，所以f(－x)＝(－x)·sin (－x)＝xsin x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以f-π3＝fπ3.又当x∈0，π2时，f′(x)＝sin x＋x cs x>0，所以函数f(x)在0，π2上单调递增，所以fπ5f(1)>fπ5.
故选A.
(2)法一(间接法)：若f(x)＝x3－kx在(－3，1)上是单调递增函数，则f′(x)＝3x2－k≥0在(－3，1)上恒成立，
即k≤3x2在(－3，1)上恒成立，故k≤0.
若f(x)＝x3－kx在(－3，1)上是单调递减函数，则f′(x)＝3x2－k≤0在(－3，1)上恒成立，
即k≥3x2在(－3，1)上恒成立，故k≥27.
所以当函数f(x)＝x3－kx在(－3，1)上是单调函数时，实数k的取值范围是k≤0或k≥27，
当函数f(x)＝x3－kx在(－3，1)上不是单调函数时，实数k的取值范围是0法二(直接法)：由奇函数f(x)＝x3－kx得f′(x)＝3x2－k.当k≤0时，f′(x)＝3x2－k≥0，f(x)在R上是增函数，不满足题意；
当k>0时，由f′(x)＝3x2－k<0，得－k3由f′(x)＝3x2－k>0，得x<－k3或x>k3.在-∞，-k3，k3，+∞上f(x)是增函数．
要满足函数f(x)＝x3－kx在(－3，1)上不是单调函数，由对称性得，－k3>－3，所以k<27.
综上所述，实数k的取值范围是(0，27)．]
课时分层作业(十六) 导数与函数的单调性
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( )
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，1)
A [因为f′(x)＝2x－2x＝2x+1x-1x(x>0)，
令f′(x)<0得0所以函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(0，1)．]
2．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是( )
A B
C D
C [列表如下：
故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1)．故函数f(x)的图象是C选项中的图象．]
3．设函数f(x)的定义域为R，f′(x)是其导函数，若f(x)＋f′(x)＜0，f(0)＝1，则不等式f(x)＞e－x的解集是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0，1)
C [令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)，因为f(x)＋f′(x)＜0，所以g′(x)＜0，所以g(x)在R上单调递减．因为g(0)＝e0f(0)＝f(0)＝1，所以不等式f(x)＞e－x可转化为exf(x)＞1，即g(x)＞1＝g(0)，又g(x)在R上单调递减，所以x＜0，故不等式f(x)＞e－x的解集为(－∞，0)．故选C.]
4．(多选)若函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是( )
A．－3 B．－1
C．0 D．2
BD [依题意知，f′(x)＝3ax2＋6x－1有两个不相等的零点，故a≠0， Δ=36+12a＞0，
解得a>－3且a≠0．故选BD.]
5．若函数f(x)＝x－13sin 2x＋a sin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．[－1，1] B．-1，13
C．-13，13 D．-1，-13
C [∵f(x)＝x－13sin 2x＋a sin x，∴f′(x)＝1－23cs 2x＋a cs x＝－43cs2x＋a csx＋53.
由f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立．
令t＝cs x，t∈[－1，1]，
则－43t2＋at＋53≥0在t∈[－1，1]上恒成立．
∴4t2－3at－5≤0在t∈[－1，1]上恒成立．
令g(t)＝4t2－3at－5，
则g1=-3a-1≤0，g-1=3a-1≤0. 解得－13≤a≤13.]
6．(多选)(2023·湖南师大附中模拟)下列两数的大小关系中错误的是( )
A．π3>3π B．33>44
C．2ln 3<3ln 2 D．tan 1<1
ACD [对于A，设fx＝lnxxx>e，则f′x＝1-lnxx2，则当x>e时，f′x<0，∴fx在e，+∞上单调递减，∴f3>fπ，即ln33>lnππ，即πln 3>3ln π，∴ln 3π>ln π3，则3π>π3，A错误；对于B，∵3312＝34＝81，4412＝43＝64，∴3312>4412，则33>44，B正确；对于C，
∵2ln 3＝ln 32＝ln 9，3ln 2＝ln 23＝ln 8，ln 9>ln 8，∴2ln 3>3ln 2，C错误；对于D，tan 1>tan π4＝1，D错误．故选ACD.]
二、填空题
7．(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：________．
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0；③f′(x)是奇函数．
f(x)＝x2(答案不唯一) [本题属于开放性问题，答案不唯一，
例如取f(x)＝x2，x4，x6…都可以，还可以取f(x)＝x23，x43，x25，x45，….]
8．已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)>1的解集为________．
32，+∞ [f(x)＝ex－e－x－2x＋1，定义域为R，
f′(x)＝ex＋e－x－2≥2ex·e-x－2＝0，
当且仅当x＝0时取“＝”，
∴f(x)在R上单调递增，
又f(0)＝1，
∴原不等式可化为f(2x－3)>f(0)，
即2x－3>0，解得x>32，
∴原不等式的解集为32，+∞.]
9．若函数f(x)＝ln x－12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．
(－1，＋∞) [f′(x)＝1x－ax－2＝1-ax2-2xx，由题意知f′(x)＜0有实数解，
∵x＞0，
∴ax2＋2x－1＞0有实数解．
当a≥0时，显然满足；
当a＜0时，只需Δ＝4＋4a＞0，
∴－1＜a＜0.
综上知a＞－1.]
三、解答题
10．函数f(x)＝(x2＋ax＋b)e－x，若f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为6x－y－5＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解] (1)f′(x)＝(2x＋a)e－x－(x2＋ax＋b)·e－x＝[－x2＋(2－a)x＋a－b]e－x，
∴f′(0)＝a－b，
又f(0)＝b，
∴f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－b＝(a－b)x，
即(a－b)x－y＋b＝0，
∴a-b=6，b=-5， 解得a=1，b=-5.
(2)∵f(x)＝(x2＋x－5)e－x，x∈R，
∴f′(x)＝(－x2＋x＋6)e－x
＝－(x＋2)(x－3)e－x，
当x<－2或x>3时，f′(x)<0；
当－20，
故f(x)的单调递增区间是(－2，3)，
单调递减区间是(－∞，－2)，(3，＋∞)．
11. (2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标．
[解] (1)由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)．
①当a≥13时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；
②当a＜13时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝1-1-3a3，x2＝1+1-3a3，
令f′(x)＞0，则x＜x1或x＞x2；
令f′(x)＜0，则x1＜x＜x2.
所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．
综上，当a≥13时，f(x)在R上单调递增；当a＜13时，f(x)在-∞，1-1-3a3上单调递增，在1-1-3a3，1+1-3a3上单调递减，在1+1-3a3，+∞上单调递增．
(2)设曲线y＝f(x)过坐标原点的切线为l，切点为P(x0，x03-x02)＋ax0＋1)，
因为f′(x0)＝3x02－2x0＋a，所以切线l的方程为y-(x03-x02)＋ax0＋1)＝(3x02)－2x0＋a)(x－x0)．
由l过坐标原点，得2x03-x02－1＝0，解得x0＝1，所以切线l的方程为y＝(1＋a)x.
令x3－x2＋ax＋1＝(1＋a)x，则x3－x2－x＋1＝0，解得x＝±1.
所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a)．
12．若e＜a＜b＜π(e为自然对数的底数)，则ab，ba，lgba的大小关系为( )
A．ab＜ba＜lgba B．ba＜ab＜lgba
C．lgba＜ab＜ba D．lgba＜ba＜ab
D [因为e＜a＜b＜π，所以ab＞1，ba＞1，lgba＜lgbb＝1．要比较ab，ba的大小，只需比较b ln a，a ln b的大小，因为b ln a－a ln b＝ab·lnaa-lnbb，所以构造函数f(x)＝lnxx(e＜x＜π)，则f′(x)＝1-lnxx2＜0，所以f(x)在(e，π)上单调递减，因为e＜a＜b＜π，所以b ln a－a ln b＝ab·lnaa-lnbb＞0，所以b ln a＞a ln b，所以ab＞ba，所以ab＞ba＞lgba.故选D.]
13．已知两个不等的正实数x，y满足ln xy＝x-yxy，则下列结论一定正确的是( )
A．x＋y＝1 B．xy＝1
C．x＋y＞2 D．x＋y＞3
C [法一(构造函数)：由ln xy＝x-yxy，得ln x－ln y＝1y-1x，
即ln x＋1x＝ln y＋1y.设f(t)＝ln t＋1t(t＞0)，
则f′(t)＝1t-1t2＝t-1t2，当0＜t＜1时，f′(t)＜0，
函数f(t)单调递减，当t＞1时，f′(t)＞0，函数f(t)单调递增，所以f(t)min＝f(1)＝1，当t→0时，f(t)→＋∞，当t→＋∞时，f(t)→＋∞，作出函数f(t)的大致图象，如图所示，f(x)＝f(y)，x，y一个大于1，一个小于1，不妨设x＜1＜y，则点(y，f(y))到直线x＝1的距离大于点(x，f(x))到直线x＝1的距离，所以x＋y＞2×1，即x＋y＞2，故选C.
法二(对数均值不等式)：由xy＜x-ylnx-lny＝xy＜x+y2，得xy＞1，故x＋y＞2xy＞2．故选C.]
14．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(0，1) [因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，
所以f(1)＝－f(－1)＝0.
当x≠0时，令g(x)＝fxx，
则g(x)为偶函数，g(1)＝g(－1)＝0.
则当x＞0时，g′(x)＝fxx′＝xf'x-fxx2＜0，
故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．
所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝0，得fxx＞0，所以f(x)＞0；
在(－∞，0)上，当x＜－1时，由g(x)＜g(－1)＝0，得fxx＜0，所以f(x)＞0.
综上知，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．]
15．已知函数f(x)＝aexx.
(1)若a>0，求f(x)的单调区间；
(2)若对∀x1，x2∈[1，3]，x1≠x2，都有fx1-fx2x1-x2<2恒成立，求实数a的取值范围．
[解] (1)f(x)的定义域为{x|x≠0}，
f′(x)＝aexx-1x2，
∵a>0，
∴当x∈(－∞，0)∪(0，1)时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)∵∀x1，x2∈[1，3]，x1≠x2，
都有fx1-fx2x1-x2<2恒成立，即fx1-fx2x1-x2－2<0恒成立，
即fx1-2x1-fx2-2x2x1-x2<0恒成立，
令g(x)＝f(x)－2x，则gx1-gx2x1-x2<0在x∈[1，3]上恒成立，
即函数g(x)＝f(x)－2x在区间[1，3]上单调递减，
又∵g′(x)＝f′(x)－2＝aexx-1x2－2，
∴aexx-1x2－2≤0在[1，3]上恒成立，
当x＝1时，－2≤0显然成立；
当x∈(1，3]时，a≤2x2x-1ex，
令h(x)＝2x2x-1ex，
则h′(x)＝4xx-1ex-2x3exx-12e2x＝-2x3+4x2-4xx-12ex
＝-2xx2-2x+2x-12ex＝-2xx-12+1x-12ex<0在x∈(1，3]上恒成立，
∴函数h(x)＝2x2x-1ex在x∈(1，3]上单调递减，
∴h(x)min＝h(3)＝2×323-1e3＝9e3，∴a≤9e3，
即实数a的取值范围是-∞，9e3.
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)>0
f(x)在区间(a，b)上单调递增
f′(x)<0
f(x)在区间(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在区间(a，b)上是常数函数
x
(－∞，－1)
(－1，0)
(0，1)
(1，＋∞)
xf′(x)
－
＋
－
＋
f′(x)
＋
－
－
＋
f(x)
单调递增
单调递减
单调递减
单调递增