河北省秦皇岛市2023-2024学年高一上学期期中联考数学试卷

这是一份河北省秦皇岛市2023-2024学年高一上学期期中联考数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2，B＝{0，1，5}U（A∪B）＝（ ）
A．{1，5}B．{0，2，3，4}C．{3，4}D．{0，1，2，5}
2．（5分）若命题p：∀n∈N，n∈Z，则p的否定为（ ）
A．∀n∈N，n∉ZB．∀n∉N，n∉ZC．∃n∈N，n∉ZD．∃n∈N，n∈Z
3．（5分）已知P＝x2+2，Q＝4x+3，则（ ）
A．P＞QB．P＜Q
C．P＝QD．P，Q的大小与x有关
4．（5分）函数f（2x+1）＝x2﹣3x+1，则f（3）＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
5．（5分）“ac＜0”是“关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0有两个不同实根”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+5在[m，n]上的值域是[1，10]（ ）
A．3B．6C．4D．8
7．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+2b﹣2ab＝0（ ）
A．B．25C．4D．8
8．（5分）某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加人篮球协会的学生人数之和，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（ ）
A．9B．12C．15D．18
二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）设集合A＝{1，2}，B＝{x|ax﹣4＝0}，则a的取值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．4
10．（5分）已知a＞b，则下列结论一定成立的是（ ）
A．a2＞b2B．C．ac＞bcD．a3＞b3
（多选）11．（5分）已知集合M有2个元素，集合M∪N有4个元素，则集合N的子集个数可能是（ ）
A．4B．8C．16D．32
（多选）12．（5分）已知关于x的不等式a（x2﹣2x﹣3）﹣2＞0的解集是{x|x1＜x＜x2}，则（ ）
A．﹣1＜x1＜x2＜3B．x1+x2＝2
C．x1x2＜﹣3D．x2﹣x1＜4
三、填空题.本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（5分）某班有36名学生参加了数学和英语兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的学生有25人，参加英语兴趣小组的学生有22人 人．
14．（5分）已知函数f（x）的定义域是[0，4]的定义域是 ．
15．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+4图象的顶点坐标为，则不等式bx2+4x+a≥0的解集为 ．
16．（5分）设集合M＝[0，1），N＝[1，函数f（x）＝已知a∈M（a））∈M，则a的取值范围为 ．
四、解答题。本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）命题p：∀x∈（0，+∞），有；命题q：存在一个偶数能被3整除．
（1）写出p的否定；
（2）写出q的否定．
18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|2a﹣3＜x＜2a+1}．
（1）当a＝0时，求A∩B；
（2）若A∪B＝A，求a的取值范围．
19．（12分）已知正数a，b满足．
（1）求ab的最大值；
（2）证明：．
20．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣ax+b＞0}，B＝{x|﹣1≤x≤5}．
（1）若A∩B＝∅，A⋃B＝R，求a，b；
（2）若b＝4，（∁RA）⊆B，求a的取值范围．
21．（12分）某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单价为x元，且0＜x＜y，现有两种购买方案（0＜a＜b）；
方案一，流心月饼的购买数量为a个，冰淇淋月饼的购买数量为b个；
方案二，流心月饼的购买数量为b个，冰淇淋月饼的购买数量为a个．
（1）试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由．
（2）若a，b，x，y满足，，求这两种方案花费的差值S的最小值（注：差值S＝较大值﹣较小值）．
22．（12分）已知二次函数y＝x2﹣2ax﹣3a2，a∈R．
（1）若不等式y＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，求实数a的值及该二次函数的最小值；
（2）若﹣1＜x＜2是不等式y＜0成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
2023-2024学年河北省秦皇岛市联考高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2，B＝{0，1，5}U（A∪B）＝（ ）
A．{1，5}B．{0，2，3，4}C．{3，4}D．{0，1，2，5}
【答案】C
【分析】根据题意，由集合的运算，即可得到结果．
【解答】解：由题意可得A⋃B＝{0，1，6，5}U（A⋃B）＝{3，6}．
故选：C．
2．（5分）若命题p：∀n∈N，n∈Z，则p的否定为（ ）
A．∀n∈N，n∉ZB．∀n∉N，n∉ZC．∃n∈N，n∉ZD．∃n∈N，n∈Z
【答案】C
【分析】由全称命题的否定：任意改存在并否定结论，即得答案．
【解答】解：由全称量词命题的否定是存在量词命题，故原命题的否定为∃n∈N．
故选：C．
3．（5分）已知P＝x2+2，Q＝4x+3，则（ ）
A．P＞QB．P＜Q
C．P＝QD．P，Q的大小与x有关
【答案】D
【分析】利用作差法比较大小即可．
【解答】解：由题意可得P﹣Q＝x2+2﹣（2x+3）＝x2﹣8x﹣1＝（x﹣2）8﹣5，
当（x﹣2）8＞5即或时，P＞Q5＝5即时，P＝Q，
当（x﹣2）2＜2即时，P＜Q、Q的大小与x有关．
故选：D．
4．（5分）函数f（2x+1）＝x2﹣3x+1，则f（3）＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【答案】A
【分析】由解析式代入计算函数值即可．
【解答】解：设2x+1＝4，得x＝1．
故选：A．
5．（5分）“ac＜0”是“关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0有两个不同实根”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断．
【解答】解：由ac＜0，得Δ＝b2﹣7ac＞0，则关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝2有两个不同实根，
所以由“ac＜0”可以推出“关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝7有两个不同实根”，
由关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0有两个不同实根，得Δ＝b8﹣4ac＞0，即，
所以由“关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝2有两个不同实根”推不出“ac＜0”，
故“ac＜0”是“关于x的一元二次方程ax6﹣bx+c＝0有两个不同实根”的充分不必要条件．
故选：A．
6．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+5在[m，n]上的值域是[1，10]（ ）
A．3B．6C．4D．8
【答案】B
【分析】根据二次函数图像特点，要使得区间长度最大，则对称轴两边（能取到对称轴的前提下）距离越大，区间长度越大．
【解答】解：f（x）＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+4，
因为值域为[1，10]，必须取到对称轴，
又对称轴两边距离越大，则区间长度越大，
令f（x）＝10，得x＝﹣1或x＝2，
所以当n＝5，m＝﹣1时（n﹣m）max＝6．
故选：B．
7．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+2b﹣2ab＝0（ ）
A．B．25C．4D．8
【答案】A
【分析】由已知利用乘1法结合基本不等式可求．
【解答】解：因为a+2b﹣2ab＝3，
所以，
所以8a+b＝（8a+b）（（+17）≥）＝且a+2b﹣2ab＝0，即，，
故选：A．
8．（5分）某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加人篮球协会的学生人数之和，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（ ）
A．9B．12C．15D．18
【答案】C
【分析】依题意列出不等式，结合其整数的性质依次从小到大分析即可得解．
【解答】解：依题意，设加入乒乓球协会、足球协会的学生人数分别为a，b，c，
则，又a，b*，
若c＝1，则a+b≥5+2＝5；
若c＝4，则a+b≥4+3＝8；
若c＝3，则a+b≥5+3＝9；
若c＝4，则a+b≥4+5＝11；
则cmin＝4，amin＝5，bmin＝5，则（a+b+c）min＝15．
故选：C．
二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）设集合A＝{1，2}，B＝{x|ax﹣4＝0}，则a的取值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】ACD
【分析】由子集的定义可得B＝∅或B＝{1}或B＝{2}，代入求解即可．
【解答】解：当a＝0时，B＝∅．
当a≠0时，因为B⊆A．
由B＝{6}，得a﹣4＝0；
由B＝{2}，得2a﹣4＝7．
故选：ACD．
10．（5分）已知a＞b，则下列结论一定成立的是（ ）
A．a2＞b2B．C．ac＞bcD．a3＞b3
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可．
【解答】解：当b＜a＜0时，比如令b＝﹣2，a6＜b2，则A错误；
当0＞a+c＞b+c时，比如令a＝﹣2，c＝0时，，
当c＜0时，ac＜bc；
由a＞b，得 a3＞b5，则D正确．
故选：D．
（多选）11．（5分）已知集合M有2个元素，集合M∪N有4个元素，则集合N的子集个数可能是（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】ABC
【分析】根据集合的基本运算，即可求解．
【解答】解：由题意可知集合N中最多有4个元素，最少有2个元素，
则集合N的子集个数可能是8，8，16．
故选：ABC．
（多选）12．（5分）已知关于x的不等式a（x2﹣2x﹣3）﹣2＞0的解集是{x|x1＜x＜x2}，则（ ）
A．﹣1＜x1＜x2＜3B．x1+x2＝2
C．x1x2＜﹣3D．x2﹣x1＜4
【答案】ABD
【分析】设y＝a（x2﹣2x﹣3），则不等式y＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，结合题意画出图形，由此得出不等式a（x2﹣2x﹣3）﹣2＞0 的解集满足的条件，判断选项中的结论是否正确．
【解答】解：设y＝a（x2﹣2x﹣8），则不等式y＞0的解集是{x|﹣1＜x＜4}
因为关于x的不等式a（x2﹣2x﹣3）﹣2＞0 的解集是{x|x7＜x＜x2}，所以﹣1＜x4＜x2＜3，选项A正确．
不等式a（x3﹣2x﹣3）﹣2＞0 等价于不等式ax2﹣5ax﹣3a﹣2＞6，
因为关于x的不等式 a（x2﹣2x﹣8）﹣2＞0的解集是 {x|x6＜x＜x2}，
所以a＜0，x4+x2＝2，选项B正确；
，选项C错误；
所以x2﹣，选项D正确．
故选：ABD．
三、填空题.本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（5分）某班有36名学生参加了数学和英语兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的学生有25人，参加英语兴趣小组的学生有22人 11 人．
【答案】11．
【分析】根据题意，列出方程，即可得到结果．
【解答】解：设同时参加数学和英语兴趣小组的学生有x人，由题意可得25+22﹣x＝36．
故答案为：11．
14．（5分）已知函数f（x）的定义域是[0，4]的定义域是 （2，5] ．
【答案】（2，5]．
【分析】根据抽象函数定义域求法和分式、根式有意义的要求可构造方程组求得结果．
【解答】解：由题意知：，解得：6＜x≤5，
∴的定义域为（2．
故答案为：（2，4]．
15．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+4图象的顶点坐标为，则不等式bx2+4x+a≥0的解集为 {1} ．
【答案】{1}．
【分析】根据二次函数定点坐标得到a＝b＝﹣2，代入数据解不等式得到答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+4＝a（x+）2+4﹣图象的顶点坐标为，
∴，解得a＝b＝﹣2，
∴不等式bx2+8x+a≥0⇔﹣2x2+4x﹣2≥3，
即x2﹣2x+7＝（x﹣1）2≤8，所以x＝1，
所以所求不等式的解集为{1}．
故答案为：{8}．
16．（5分）设集合M＝[0，1），N＝[1，函数f（x）＝已知a∈M（a））∈M，则a的取值范围为 （，] ．
【答案】（，]．
【分析】由分段函数的解析式和元素与集合的关系，解不等式可得所求取值范围．
【解答】解：因为a∈M，所以f（a）＝2a+1∈[5，
则f（f（a））＝6﹣3（2a+1）＝3﹣3a，
由f（f（a））∈M，可得0≤3﹣3a＜1，
解得．
故答案为：（，]．
四、解答题。本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）命题p：∀x∈（0，+∞），有；命题q：存在一个偶数能被3整除．
（1）写出p的否定；
（2）写出q的否定．
【答案】（1）p：∀x∈（0，+∞），有，是全称量词命题，其否定为：∃x∈（0，+∞），．
（2）命题q：存在一个偶数能被3整除，是存在两次命题，其否定为：每个偶数都不能被3整除．
【分析】根据题意，由全称量词命题与存在量词命题的关系，分析可得答案．
【解答】解：（1）p的否定：∃x∈（0，+∞），．
（2）q的否定：每个偶数都不能被3整除．
18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|2a﹣3＜x＜2a+1}．
（1）当a＝0时，求A∩B；
（2）若A∪B＝A，求a的取值范围．
【答案】（1）A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}．
（2）．
【分析】（1）根据题意，由交集的运算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得B⊆A，列出不等式，即可得到结果．
【解答】解：（1）由题意可得A＝{x|﹣2＜x＜3}．
当a＝5时，B＝{x|﹣3＜x＜1}，
则A∩B＝{x|﹣3＜x＜1}．
（2）因为A∪B＝A，所以B⊆A，
显然B≠∅，则
解得，
即a的取值范围是．
19．（12分）已知正数a，b满足．
（1）求ab的最大值；
（2）证明：．
【答案】（1）2；
（2）详见解答过程．
【分析】（1）由已知直接利用基本不等式可求；
（2）由已知利用乘1法，结合基本不等式可证．
【解答】（1）解 ，当且仅当a＝b＝2时．
故ab的最大值为2．
（2）证明：＝（10++），
当且仅当，即时，等号成立，
故 ．
20．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣ax+b＞0}，B＝{x|﹣1≤x≤5}．
（1）若A∩B＝∅，A⋃B＝R，求a，b；
（2）若b＝4，（∁RA）⊆B，求a的取值范围．
【答案】（1）a＝4，b＝﹣5；
（2）．
【分析】（1）根据集合的关系，确定x2﹣ax+b＝0的两个根分别为﹣1、5，由此列式算出a、b的值．
（2）确定，考虑∁RA＝∅和∁RA≠∅两种情况，计算得到答案．
【解答】解：（1）因为A∩B＝∅，A⋃B＝R，
所以A＝{x|x2﹣ax+b＞0}＝{x|x＜﹣2或x＞5}，
关于x的方程x2﹣ax+b＝3的两个根分别为﹣1、5，由，解得a＝4．
（2）由b＝4，得．
当Δ＝a2﹣16＜0，即﹣4＜a＜5时，∁RA＝∅，符合题意．
当Δ＝a2﹣16≥0，即a≤﹣4或a≥4时，．
综上所述：a的取值范围是，即．
21．（12分）某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单价为x元，且0＜x＜y，现有两种购买方案（0＜a＜b）；
方案一，流心月饼的购买数量为a个，冰淇淋月饼的购买数量为b个；
方案二，流心月饼的购买数量为b个，冰淇淋月饼的购买数量为a个．
（1）试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由．
（2）若a，b，x，y满足，，求这两种方案花费的差值S的最小值（注：差值S＝较大值﹣较小值）．
【答案】（1）采用方案二花费更少，理由见解答；（2）32元．
【分析】（1）方案一的总费用为S1＝ax+by（元），方案二的总费用为S2＝ay+bx（元），然后作差比较大小，即可确定哪个方案花费更少；
（2）根据条件，利用基本不等式求出差值S的最小值即可．
【解答】解：（1）方案一的总费用为S1＝ax+by（元），方案二的总费用为S2＝ay+bx（元），
则S5﹣S1＝ay+bx﹣（ax+by）＝a（y﹣x）+b（x﹣y）＝（y﹣x）（a﹣b），
因为x＜y，a＜b，即S2＜S4，
所以采用方案二花费更少．
（2）由（1）可知，，
令，x＝4+6，x﹣42+6﹣4t＝（t﹣7）2+2≥6，
因为a＞6，所以，
所以差值S的最小值为2×16＝32，
当且仅当t＝2，x＝10，，即a＝7，等号成立，
故两种方案花费的差值S的最小值为32元．
22．（12分）已知二次函数y＝x2﹣2ax﹣3a2，a∈R．
（1）若不等式y＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，求实数a的值及该二次函数的最小值；
（2）若﹣1＜x＜2是不等式y＜0成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）a＝1，ymin＝﹣4；
（2）．
【分析】（1）根据题意，列出不等式，利用二次不等式的性质，可得参数的值，结合二次函数的性质，可得答案；
（2）根据题意，列出不等式，利用十字相乘法，结合分类讨论，可得其解集，根据必要不充分条件，可得答案．
【解答】解：（1）由题意知不等式x2﹣2ax﹣6a2＜0的解集为{x|﹣8＜x＜3}，
即方程x2﹣2ax﹣3a2＝8的两根为﹣1，3，所以，
因为y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣8，所以当x＝1时，ymin＝﹣4．
（2）不等式y＜3，即x2﹣2ax﹣8a2＝（x﹣3a）（x+a）＜7，
当a＝0时，不等式y＜0的解集为∅，
当a＞7时，不等式y＜0的解集为{x|﹣a＜x＜3a}，
当a＜3时，不等式y＜0的解集为{x|3a＜x＜﹣a}．
因为﹣7＜x＜2是不等式y＜0成立的必要不充分条件，
所以不等式y＜2的解集是{x|﹣1＜x＜2}的真子集，
当a＝5时，满足题意；
当a＞0时，由，得；
当a＜0时，由，得；
所以实数a的取值范围是．