湖南省永州市宁远县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份湖南省永州市宁远县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A．B．C．D．
2．下列属于一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，，成比例线段，其中，，，则（ ）
A．8cmB．9.5cmC．4cmD．4.5cm
4．下列说法正确的有个（ ）
（1）任意两个矩形都相似 （2）任意两个正方形都相似
（3）任意两个等边三角形都相似 （4）任意两个菱形都相似．
A．0B．1C．2D．3
5．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．B．C．.D．
6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C，A分别在x轴，y轴上，，，且斜边轴．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
7．某班毕业时，每位同学将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程（ ）
A．B．
C．D．
8．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙的顶端处，已知，，米，米，米，那么该城墙的高度为( )

A．6B．8C．10D．18
10．用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，的边上有两点、，且是正三角形，则下列条件不一定能使与相似的是（ ）

A．B．C．D．
12．实数满足方程，则的值等于（ ）
A．B．C．或D．或
二、填空题
13．两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的周长比为 ．
14．方程的解是 ．
15．一个游泳池的容积为，游泳池注满水所用时间与注水速度 （填“成正比例”、“成反比例”、“不成比例”）．
16．若，则 ．
17．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干，支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为 ．
18．如下图，跷跷板支架的高为0.3米，是的中点，那么跷跷板能骁起的最大高度等于 米．

19．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
20．如图，在正方形网格上，若使，则点P应在 ．
三、解答题
21．解下列一元二次方程．
(1)
(2)
22．如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为多少．

23．水果店店主张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干，以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出200斤，张阿姨决定降价销售．设这种水果每斤的售价降低元．
(1)每天的销售量为___________斤（用含的代数式表示）；
(2)为尽量减少天气炎热带来的损耗，最大化减少库存，如果销售这种水果每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
24．如图，一次函数与反比例函数图像交于点，．

(1)求的值；
(2)结合图像直接写出关于的不等式的解集．
25．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
26．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点，坐标轴交于两点，连接（是坐标原点）．

(1)利用图中条件，求反比例函数的解析式和的值；
(2)求的面积．
27．有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上．
(1)问加工成的正方形零件的边长是多少？
小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请计算．
答案与解析
1．B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，得出答案．
【详解】解：，，
∴图象一定经过的点是，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；掌握反比例函数图象上点的坐标特征，即纵横坐标的积等于k（定值）是解决问题的关键．
2．A
【分析】根据一元二次方程定义：等式两边是整式，含有一个未知数，未知数的最高指数为2的方程叫一元二次方程，直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
是一元二次方程，符合题意；
含有分式不是一元二次方程，不符合题意；
是二元方程，不符合题意；
是三次方程，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程定义：等式两边是整式，含有一个未知数，未知数的最高指数为2的方程叫一元二次方程，熟练掌握此定义是解题关键．
3．A
【分析】根据成比例线段列式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选A．
【点睛】此题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键．
4．C
【分析】利用相似多边形的定义：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，即可进行判断．
【详解】解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误；
（2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确；
（3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确；
（4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误．
故选C．
【点睛】本题考查了相似多边形的定义．注意从对应边与对应角两个方面考虑．
5．B
【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可．
【详解】解：A、，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意；
B、，则方程没有实数根，所以该选项符合题意；
C、，则方程有两个相等的实数根，所以该选项不符合题意；
D、，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
6．C
【分析】根据轴得到点坐标，结合中点得到点坐标，在利用勾股定理即可得到答案；
【详解】解：∵，且斜边轴，比例函数的图象恰好经过的中点D，
∴，，
∵，
∴，，
在中，
，
解得：，
故选：C；
【点睛】本题考查反比例函数的应用及勾股定理，解题的关键是根据题意得到，．
7．B
【分析】设全班有x名同学，每位同学送出张照片，据此列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设全班有x名同学，根据题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
8．A
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质逐一分析判断即可．
【详解】、∵反比例函数经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，，
∴二者的取值范围相同，符合题意；
、∵反比例函数经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，，
∴二者的取值范围不相同，不符合题意；
、∵反比例函数经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，，
∴二者的取值范围不相同，不符合题意；
、∵反比例函数经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，，
∴二者的取值范围不相同，不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，灵活应用反比例函数及一次函数的性质是解题的关键．
9．B
【分析】由镜面反射的知识可得，结合即可得到，由相似三角形的对应边成比例可得，代入数值即可得到答案．
【详解】解：由镜面反射原理知
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵米，米，米，
∴（米）.
故该古城墙的高度是8米．
故选：B.
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
10．D
【分析】方程左右两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：，
，
，
故选：D.
【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
11．B
【分析】由是正三角形，所以，，再根据相似三角形的判定方法逐项分析即可．
【详解】解：∵是正三角形，
∴，
∴
选项A，当时，，
∵，
∴，
∴，
选项C，由，
∴
∵
∴
又∵，
∴，
选项D，由，，
∴，
∵
∴，
选项B条件不足以证明与，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和等边三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是关键．
12．B
【分析】运用换元法解方程，再根据根的判别式判断根的情况，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，设，则原式变形得，
因式分解法解一元二次方程得，，
∴，，
当时，，变形得，，根据判别式，无实根；
当时，，变形得，，根据判别式，方程有两个实根；
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查换元法解高次方程，掌握换元法解方程的方法，根的判别式判断根的情况等知识是解题的关键．
13．##
【分析】根据相似三角形周长的比、两个相似三角形对应边上的高的比等于相似比解答即可．
【详解】解：两个相似三角形对应边上的高的比为，
这两个三角形的相似比为，
两个相似三角形的周长比为；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
14．或
【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得，方程就可转化为一元一次方程或，然后解一元一次方程即可．
【详解】解：方程整理可得：，
因式分解可得：，
解得：或．
【点睛】本题考查解一元二次方程，关键是掌握因式分解法．
15．成反比例
【分析】根据注水速度注水时间=游泳池的容积可得，变形即可求出与的函数解析式
【详解】解：由题意得
整理得
答案为：成反比例
【点睛】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，掌握注水速度注水时间=游泳池的容积是解题关键
16．
【分析】根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可．
【详解】由可得，，
代入．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键．
17．
【分析】由题意设每个支干长出个小分支，每个小分支又长出个分支，则又长出个分支，则共有个分支，即可列方程．
【详解】解：设每个支干长出个小分支，
根据题意列方程得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
18．0.6##
【分析】当时，BC最大，根据，得，从而得，再根据E是的中点，得，代入即可求解．
【详解】解：当时，BC最大，
∵
∴
∴
∵E是的中点，
∴
∴米，
故答案为：0.6．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
19．0
【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得
故答案为0．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
20．
【分析】本题考查了三角形相似的条件的相关知识．由图可知一定是钝角，若要，则，可据此进行判断．
【详解】解：由图知：一定是钝角；
∵，
，，
，
，
，
，
只有点符合这样的要求，
故P点应该在处，
故答案为：．
21．(1)，
(2)
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
因式分解为，
则或，
∴，
（2）
由题意可得，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择是解题的关键．
22．
【分析】根据，可得，进而得出即可．
【详解】解：如图，过作于，则，
∴，即，
解得，
答：坝高为．

【点睛】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．
23．(1)
(2)张阿姨需将每斤的售价降低1元
【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用：
（1）每降低元，每天可多售出20斤，则每降低元，每天多售出斤；
（2）根据销量每斤的利润总利润，列一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：将这种水果每斤的售价降低x元，
则每天的销售量是斤，
故答案为：；
（2）解：根据题意，得：，
解得：或．
当时，每天销售量（斤），
当时，每天销售量（斤），
为了最大化减少库存，应取．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
24．(1)
(2)或
【分析】（1）先把点坐标代入中求出得到反比例函数解析式，再将点B坐标代入求解即可；
（2）结合函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为；
∵反比例函数经过，代入得
∴，
则；
（2）由图可知：即反比例函数图象在一次函数图象上方，
当或时，．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是将图象和对应不等式联系起来．
25．（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析；（2）△ABC是直角三角形.理由见解析.
【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0，即a=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）由判别式的意义得到△=0，整理得，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
试题解析：解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，∴△=，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．
考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．
26．(1)，
(2)7.5
【分析】（1）把代入求出，把代入求出即可；
（2）把，代入得出解析式，求出，，得出一次函数的解析式，把代入求出，得出，根据的面积代入求出即可．
【详解】（1）解：把代入，
得：，
反比例函数解析式为，
把代入，得，
反比例函数的解析式为，；
（2）解：把，代入得，
解得，，
一次函数的解析式为，
把代入，得，
，
，
．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了用待定系数法求一次函数的解析式，求三角形的面积等知识点的应用，用了数形结合思想．
27．(1)
(2)，
【分析】（1）根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，从而得出边长之比，，得到，进行求出正方形的边长；
（2）设，则，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可．
【详解】（1）解：设正方形零件的边长为a，
在正方形中，，
∴，
∴，，
∴，
即：，
解得：．
即正方形零件的边长为．
（2）解：设矩形的边长，则，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
答：这个矩形零件的两条边长分别为，．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．