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2024届高考物理一轮复习——4.5天体运动热点问题讲义
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这是一份2024届高考物理一轮复习——4.5天体运动热点问题讲义，文件包含45天体运动热点问题答案docx、45天体运动热点问题docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
【考点预测】
1. 卫星的变轨问题
2. 星球稳定自转的临界问题
3. 双星、多星模型
4. 天体的“追及”问题
5. 万有引力定律与几何知识的结合
【方法技巧与总结】
卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1【题型归纳目录】
题型一：卫星的变轨问题
题型二：星球稳定自转的临界问题
题型三：双星模型
题型四：天体的“追及”问题
【题型一】卫星的变轨问题
【典型例题】
例1．（2023·安徽·校联考模拟预测）《天问》是中国战国时期诗人屈原创作的一首长诗，全诗问天问地问自然，表现了作者对传统的质疑和对真理的探索精神，我国探测飞船天问一号发射成功飞向火星，屈原的“天问”梦想成为现实，也标志着我国深空探测迈向一个新台阶，如图所示，轨道1是圆轨道，轨道2是椭圆轨道，轨道3是近火圆轨道，天问一号经过变轨成功进入近火圆轨道3，已知引力常量G，以下选项中正确的是（ ）
A．天问一号在B点需要点火加速才能从轨道2进入轨道3
B．天问一号在轨道2上经过B点时的加速度大于在轨道3上经过B点时的加速度
C．天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的平均密度
D．天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的质量
【方法技巧与总结】
卫星的变轨问题
卫星变轨的实质
练1． （2023·广东·广州市第二中学校联考三模）天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射意味着中国航天开启了走向深空的新旅程。由着陆巡视器和环绕器组成的天问一号经过如图所示的发射、地火转移、火星捕获、火星停泊和离轨着陆等阶段，其中的着陆巡视器于2021年5月15日着陆火星，则（ ）
A．天问一号发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度
B．天问一号在“火星捕获段”运行的周期小于它在“火星停泊段”运行的周期
C．天问一号从图示“火星捕获段”需在合适位置减速才能运动到“火星停泊段”
D．着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，机械能守恒
【题型二】星球稳定自转的临界问题
【典型例题】
例2．为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T.则太阳的质量为(忽略地球自转)( )
A.eq \f(4π2r3,T2R2g) B.eq \f(T2R2g,4π2mr3)
C.eq \f(4π2mgr2,R3T2) D.eq \f(4π2mr3,T2R2g)
【方法技巧与总结】
当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是eq \f(GMm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R.
练2．2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
【题型三】双星、多星模型
【典型例题】
例3．（2023·福建福州·福建师大附中校考模拟预测）宇宙中的两个距离较近的天体组成双星系统，两天体可看作在同一平面内绕其连线上某一点做匀速圆周运动，由于某些原因两天体间的距离会发生变化，持续对这两个天体进行观测，每隔固定时间记录一次，得到两天体转动周期随观测次数的图像如图所示。若两天体的总质量保持不变，且每次观测的双星系统稳定转动，则第3次观测时两天体间的距离变为第1次观测时距离的（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
1. 双星特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq \\al(2,1)r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq \\al(2,2)r2；
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2；
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。
(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1)。
2．多星模型
练3．（2023·山东聊城·统考三模）如图所示，双星系统由质量不相等的两颗恒星组成，质量分别是M、m，它们围绕共同的圆心O做匀速圆周运动。从地球A看过去，双星运动的平面与AO垂直，A、O间距离恒为L。观测发现质量较大的恒星M做圆周运动的周期为T，运动范围的最大张角为（单位是弧度）。已知引力常量为G，很小，可认为，忽略其他星体对双星系统的作用力。则（ ）
A．恒星m的角速度大小为
B．恒星m的轨道半径大小为
C．恒星m的线速度大小为
D．两颗恒星的质量m和M满足关系式
【题型四】天体的“追及”问题
【典型例题】
例4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）地球的两颗卫星绕地球在同一平面内做匀速圆周运动，环绕方向如图所示。已知卫星一运行的周期为，地球的半径为，卫星一和卫星二到地球中心的距离分别为，，引力常量为G，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为，下列说法正确的是（ ）
A．卫星二的机械能一定大于卫星一的机械能
B．地球的质量
C．卫星二围绕地球做圆周运动的周期
D．从图示时刻开始，经过时间两卫星第一次相距最近
【方法技巧与总结】
天体的“追及”问题
天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(图甲)，根据eq \f(GMm,r2)＝mω2r可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题：
1．角度关系
ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…)
2．圈数关系
eq \f(t,T1)－eq \f(t,T2)＝n(n＝1、2、3…)
解得t＝eq \f(nT1T2,T2－T1)(n＝1、2、3…)
同理，若两者相距最远(行星处在地球和太阳的延长线上)(图乙)，有关系式：ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1、2、3…)或eq \f(t,T1)－eq \f(t,T2)＝eq \f(2n－1,2)(n＝1、2、3…)
练4．（2023·辽宁大连·辽师大附中校考模拟预测）拉格朗日点指的是在太空中类似于“地一月”或“日一地”的天体系统中的某些特殊位置，在该位置处的第三个相对小得多（质量可忽略不计）的物体靠两个天体的引力的矢量和提供其转动所需要的向心力，进而使得该物体与该天体系统处于相对静止状态，即具有相同的角速度。如图所示是地一月天体系统，在月球外侧的地月连线上存在一个拉格朗日点，发射一颗质量为m的人造卫星至该点跟着月球一起转动，距离月球的距离为s。已知地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，地月球心之间的距离为r，月球的公转周期为T，则由以上数据可以算出（ ）
A．地球的密度为
B．在拉格朗日点的卫星的线速度比月球的线速度小
C．在拉格朗日点的卫星的向心加速度比月球的向心加速度小
D．月球对该卫星的引力为
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·福建福州·校考模拟预测）2022年7月14日下午，长征五号B火箭成功将我国空间站的首个实验舱“问天”实验舱送入太空与天和核心舱进行对接，随后神舟十四号乘组顺利进入问天实验舱，开启了太空实验的新阶段。如图所示，已知空间站在距地球表面高约400km的近地轨道上做匀速圆周运动，地球半径约为6400km，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．空间站绕地球运行的速度大于第一宇宙速度
B．若已知空间站的运行周期则可以计算出地球的质量
C．“问天”实验舱需先进入核心舱所在的轨道，再加速追上核心舱完成对接
D．核心舱在轨运行时，舱内宇航员的加速度为0
2．（2023·江西赣州·统考一模）2022年10月9日，我国将卫星“夸父一号”成功送入太阳同步晨昏轨道。从宇宙中看，卫星一方面可视为绕地球做匀速圆周运动，轨道平面与地球的晨昏分界线共面，卫星轨道离地高度，周期。另一方面卫星随地球绕太阳做匀速圆周运动，周期，卫星轨道平面能保持垂直太阳光线，如图所示。已知地球的半径为R，引力常量为G，则下列表述正确的是（ ）
A．晨昏轨道平面与地球同步卫星轨道平面重合
B．根据以上信息可以估算出地球的质量
C．“夸父一号”的发射速度大于
D．根据，可估算出地球到太阳的距离r
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）2022年11月29日23时08分，搭载着神舟十五号载人飞船的长征二号F遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心升空，11月30日5时42分，神舟十五号载人飞船与天和核心舱成功完成自主交会对接。如图为神舟十五号的发射与交会对接过程示意图，图中①为近地圆轨道，其轨道半径为，②为椭圆变轨轨道，③为天和核心舱所在轨道，其轨道半径为，P、Q分别为②轨道与①、③轨道的交会点，已知神舟十五号的质量为m，地球表面重力加速度为g。关于神舟十五号载人飞船与天和核心舱交会对接过程，下列说法正确的是（ ）
A．卫星在椭圆轨道2上运行的速度一直大于第一宇宙速度
B．卫星在轨道3上运行的速度小于第一宇宙速度
C．地球质量为
D．在轨道2上运行周期为
4．（2023·江苏·模拟预测）若某载人宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T，由于地球遮挡，宇航员发现有时间会经历“日全食”过程，如图所示，已知引力常量为G，太阳光可看作平行光，则地球的平均密度为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）北京时间2021年5月15日，在经历“黑色九分钟”后，中国首辆火星车“祝融号”与着陆器成功登陆火星，这也意味着“天问一号”火星探测器已经实现了“绕”和“落”两项目标。火星可以看成半径为，质量为的均匀球体，“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动一周的时间为，“祝融号”与着陆器总质量为，假如登陆后运动到火星赤道上，静止时对水平地面压力大小为，引力常量为，下列说法正确的是（ ）
A．火星的第一宇宙速度大小为
B．“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的加速度小于“祝融号”与着陆器静止在赤道上的加速度
C．火星自转角速度大小为
D．火星的平均密度为
6．（2023·陕西·校联考模拟预测）北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒之后，神舟十四号载人飞船成功进入预定轨道，神舟十四号载人飞船采用自主快速交会对接模式，经过6次自主交轨成功对接于天和核心舱径向端口，天和核心舱在距地面约390km的近圆轨道上飞行，已知引力常量为，地球半径。则下列说法正确的是（ ）
A．天和核心舱绕地球运行的速度大于第一宇宙速度
B．为了实现对接，载人飞船应该到达天和核心舱轨道，再点火加速追上天和核心舱
C．若已知天和核心舱的运行周期，则可以求出地球的密度
D．载人飞船进入预定轨道后，飞船内的航天员在空间站内受到的合外力为零
7．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）2022年11月29日晚，长征二号运载火箭将神舟十五号载人飞船精准送入预定轨道，并于11月30日7时33分对接天和核心舱，形成三舱三船组合体，这是中国太空站目前最大的构型。如图所示为“神舟十五号”对接前变轨过程的简化示意图，先将“神舟十五号”送入圆形轨道Ⅰ，在a点发动机点火加速，由轨道Ⅰ变为近地点高度为、远地点高度为的轨道Ⅱ上，飞船在轨道Ⅱ上经过c点的速度大小为v，然后再变轨到圆轨道Ⅲ，与在圆轨道Ⅲ运行的天和核心舱实施对接。已知ac是椭圆轨道Ⅱ的长轴，地球的半径R，地球质量为M，卫星质量为m。飞船与地球中心的距离为r时，引力势能为，取无穷远处引力势能为零。下列说法正确的是（ ）
A．“神舟十五号”在轨道Ⅱ上由a到c运行时，机械能增大
B．“神舟十五号”在轨道Ⅰ上运动的速度大小约
C．“神舟十五号”在轨道Ⅱ上从a到c的时间
D．“神舟十五号”在轨道Ⅱ上经过a点时的速度大小为
8．（2023·安徽·模拟预测）天文学家发现了一对被称为“灾难变星”的罕见双星系统，约每51分钟彼此绕行一圈，通过天文观测的数据，模拟该双星系统的运动，推测在接下来的7000万年里，这对双星彼此绕行的周期逐渐减小至18分钟。如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动。不考虑其他天体的影响，两颗星球的质量不变，在彼此绕行的周期逐渐减小的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．每颗星球的角速度都在逐渐变小
B．两颗星球的距离在逐渐的变大
C．两颗星球的轨道半径之比保持不变
D．每颗星球的加速度都在变小
9．（2023·四川成都·统考三模）电影《流浪地球2》中的太空电梯令人震撼。太空电梯的结构设计如右图所示，地球半径约，太空电梯空间站位于离地面约的地球同步轨道上，其上方约高度有平衡锤，空间站上、下方均用缆绳分别连接地面和平衡锤，运载仓与缆绳间的作用力可忽略。下列说法正确的是（ ）
A．运载仓由地面上升至空间站的过程中始终处于失重状态
B．连接空间站的上、下两根缆绳对空间站的拉力大小相等
C．平衡锤、空间站的加速度与地球表面重力加速度的大小关系为
D．若平衡锤下方的缆绳突然断裂，则平衡锤将做近心运动跌落至地球表面
二、多选题
10．（2023·江西·校联考模拟预测）如图，神舟十六号载人飞船与天和核心舱对接前经B点由椭圆轨道Ⅰ变轨至圆形轨道Ⅱ，A、B两点分别为椭圆轨道Ⅰ的近地点和远地点，飞船在A点时对地球的张角为，在B点时对地球的张角为，飞船在轨道Ⅰ上A点加速度为、运动周期为，在轨道Ⅱ上B点加速度为、运动周期为，下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·福建宁德·福建省福安市第一中学校考一模）2021年2月，天问一号火星探测器被火星捕获，经过系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。如图所示，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面积，下列说法正确的是（ ）
A．图中两阴影部分的面积不相等
B．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器周期变大
C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器机械能变大
D．探测器在P点的加速度大于在N点的加速度
12．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）2021年5月15日，我国“天问一号”探测器成功在火星表面着陆。若某探测器登陆火星前先后沿图示圆轨道I、椭圆轨道II、圆轨道II运行，B为轨道II的近火点。假设探测器的质量不变，则探测器（ ）
A．在轨道I上运行的周期大于在轨道II上运行的周期
B．在轨道II上运行的向心加速度小于在轨道I上运行的向心加速度
C．在轨道II上的动能总是大于在轨道III上的动能
D．由轨道II变轨到轨道III时在B处需要点火减速
13．（2023·山东济南·山东师范大学附中校考模拟预测）某载人飞船发射过程可以简化为如图所示，轨道1是椭圆轨道，变轨后到圆轨道2，A点和C点分别是轨道1的远日点和近日点，B点是轨道2上与A、C共线的点，A点距地心的距离为2r，C点距地心的距离为r，则（ ）
A．飞船在轨道1上过C点的速度大于轨道2过A点的速度
B．若轨道2的速度为v，则轨道1在A点的加速度为
C．在轨道1上运行的周期与轨道2上运行周期的之比为
D．在轨道1上由C点运动到A点的过程中，由于离地高度越来越大，所以机械能逐渐增大
14．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考一模）2020年6月15日，中国科学院宣布“墨子号”量子科学实验卫星在国际上首次实现千公里级基于纠缠的量子密钥分发。若“墨子号”卫星绕地球在赤道平面内做匀速圆周运动，大约每90分钟绕一圈。时刻，“墨子号”卫星A与地球静止轨道卫星B相距最远，如图所示，则（ ）
A．卫星A的轨道半径为卫星B的
B．卫星A的速度大小是卫星B的4倍
C．卫星A的向心加速度大小是卫星B的8倍
D．卫星A、B每隔48min与地心共线一次
15．（2023·湖南·校联考模拟预测）科学家在太空发现了一颗未知天体，并发射探测器对该天体进行观测。探测器在圆形轨道Ⅰ上绕行，探测器的周期为T，距该星体表面的高度为h，飞行器对星球观测张角为θ，如图所示。观测到该星体有一颗低轨道卫星在圆形轨道Ⅱ上运动（绕行方向与探测器方向相同），探测器和卫星两次靠得最近的时间间隔为t。已知万有引力常量为G，不计探测器和卫星之间的引力及其他天体引力影响，根据题目所给的信息，可得出的是（ ）
A．可以求出探测器在轨道Ⅰ上运行时探测器与该未知天体之间的万有引力
B．可以求出该未知天体的质量M
C．可以求出轨道Ⅱ离该天体表面的高度
D．探测器在轨道Ⅱ上运行的速度一定小于7.9km/s
16．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图所示，神舟十五号飞船A、空间站B分别沿逆时针方向绕地球的中心O做匀速圆周运动，周期分别为T1、T2。在某时刻飞船和空间站相距最近，空间站B离地面高度约为400km。下列说法正确的是（ ）
A．飞船A和空间站B下一次相距最近需经过时间
B．飞船A要与空间站B对接，可以向其运动相反方向喷气
C．飞船A与空间站B对接后的周期大于地球同步卫星的周期
D．飞船A与空间站B绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为
17．（2023·福建南平·统考模拟预测）水星是地球上较难观测的行星，因为它离太阳太近，总是湮没在太阳的光辉里，只有水星和太阳的距角（地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角）达最大时（称为大距，如图所示），公众才最有希望目睹水星。2023年1月30日凌晨，上演今年首次水星大距。已知水星公转周期约为地球公转周期的，水星和地球公转轨道均视为圆形。则（ ）
A．可以求出水星与地球质量之比
B．一年内至少可以看到6次水星大距
C．大距时，水星和太阳距角的正弦值约为
D．太阳分别与水星和地球的连线在相同时间内扫过的面积相等
18．（2023·山东济南·山东省实验中学校考二模）如图所示，地球和月球组成“地月双星系统”，两者绕共同的圆心C点（图中未画出）做周期相同的圆周运动。数学家拉格朗日发现，处在如图所示拉格朗日点的航天器在地球和月球引力的共同作用下可以绕“地月双星系统”的圆心C点做周期相同的圆周运动，从而使地、月、航天器三者在太空的相对位置保持不变。不考虑航天器对“地月双星系统”的影响，不考虑其他天体对该系统的影响。已知地球质量为M，月球质量为m，地球与月球球心距离为d。则下列说法正确的是（ ）
A．位于拉格朗日点的绕C点稳定运行的航天器，其向心加速度大于月球的向心加速度
B．地月双星系统的周期为
C．圆心C点在地球和月球的连线上，距离地球和月球球心的距离之比等于地球和月球的质量之比
D．该拉格朗日点距月球球心的距离x满足关系式两类变轨
离心运动
近心运动
示意图
变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
万有引力与向心
力的大小关系
Geq \f(Mm,r2)Geq \f(Mm,r2)>meq \f(v2,r)
变轨结果
转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动
转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
新圆轨道上运动的速率比原轨道的小，周期比原轨道的大
新圆轨道上运动的速率比原轨道的大，周期比原轨道的小
动能减小、势能增大、机械能增大
动能增大、势能减小、机械能减小
模型
三星模型
(正三角排列)
三星模型
(直线等间距排列)
四星模型
图示
向心力
的来源
另外两星球对其万有引力的合力
另外两星球对其万有引力的合力
另外三星球对其万有引力的合力
【考点预测】
1. 卫星的变轨问题
2. 星球稳定自转的临界问题
3. 双星、多星模型
4. 天体的“追及”问题
5. 万有引力定律与几何知识的结合
【方法技巧与总结】
卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1
题型一：卫星的变轨问题
题型二：星球稳定自转的临界问题
题型三：双星模型
题型四：天体的“追及”问题
【题型一】卫星的变轨问题
【典型例题】
例1．（2023·安徽·校联考模拟预测）《天问》是中国战国时期诗人屈原创作的一首长诗，全诗问天问地问自然，表现了作者对传统的质疑和对真理的探索精神，我国探测飞船天问一号发射成功飞向火星，屈原的“天问”梦想成为现实，也标志着我国深空探测迈向一个新台阶，如图所示，轨道1是圆轨道，轨道2是椭圆轨道，轨道3是近火圆轨道，天问一号经过变轨成功进入近火圆轨道3，已知引力常量G，以下选项中正确的是（ ）
A．天问一号在B点需要点火加速才能从轨道2进入轨道3
B．天问一号在轨道2上经过B点时的加速度大于在轨道3上经过B点时的加速度
C．天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的平均密度
D．天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的质量
【方法技巧与总结】
卫星的变轨问题
卫星变轨的实质
练1． （2023·广东·广州市第二中学校联考三模）天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射意味着中国航天开启了走向深空的新旅程。由着陆巡视器和环绕器组成的天问一号经过如图所示的发射、地火转移、火星捕获、火星停泊和离轨着陆等阶段，其中的着陆巡视器于2021年5月15日着陆火星，则（ ）
A．天问一号发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度
B．天问一号在“火星捕获段”运行的周期小于它在“火星停泊段”运行的周期
C．天问一号从图示“火星捕获段”需在合适位置减速才能运动到“火星停泊段”
D．着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，机械能守恒
【题型二】星球稳定自转的临界问题
【典型例题】
例2．为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T.则太阳的质量为(忽略地球自转)( )
A.eq \f(4π2r3,T2R2g) B.eq \f(T2R2g,4π2mr3)
C.eq \f(4π2mgr2,R3T2) D.eq \f(4π2mr3,T2R2g)
【方法技巧与总结】
当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是eq \f(GMm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R.
练2．2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
【题型三】双星、多星模型
【典型例题】
例3．（2023·福建福州·福建师大附中校考模拟预测）宇宙中的两个距离较近的天体组成双星系统，两天体可看作在同一平面内绕其连线上某一点做匀速圆周运动，由于某些原因两天体间的距离会发生变化，持续对这两个天体进行观测，每隔固定时间记录一次，得到两天体转动周期随观测次数的图像如图所示。若两天体的总质量保持不变，且每次观测的双星系统稳定转动，则第3次观测时两天体间的距离变为第1次观测时距离的（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
1. 双星特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq \\al(2,1)r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq \\al(2,2)r2；
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2；
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。
(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1)。
2．多星模型
练3．（2023·山东聊城·统考三模）如图所示，双星系统由质量不相等的两颗恒星组成，质量分别是M、m，它们围绕共同的圆心O做匀速圆周运动。从地球A看过去，双星运动的平面与AO垂直，A、O间距离恒为L。观测发现质量较大的恒星M做圆周运动的周期为T，运动范围的最大张角为（单位是弧度）。已知引力常量为G，很小，可认为，忽略其他星体对双星系统的作用力。则（ ）
A．恒星m的角速度大小为
B．恒星m的轨道半径大小为
C．恒星m的线速度大小为
D．两颗恒星的质量m和M满足关系式
【题型四】天体的“追及”问题
【典型例题】
例4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）地球的两颗卫星绕地球在同一平面内做匀速圆周运动，环绕方向如图所示。已知卫星一运行的周期为，地球的半径为，卫星一和卫星二到地球中心的距离分别为，，引力常量为G，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为，下列说法正确的是（ ）
A．卫星二的机械能一定大于卫星一的机械能
B．地球的质量
C．卫星二围绕地球做圆周运动的周期
D．从图示时刻开始，经过时间两卫星第一次相距最近
【方法技巧与总结】
天体的“追及”问题
天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(图甲)，根据eq \f(GMm,r2)＝mω2r可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题：
1．角度关系
ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…)
2．圈数关系
eq \f(t,T1)－eq \f(t,T2)＝n(n＝1、2、3…)
解得t＝eq \f(nT1T2,T2－T1)(n＝1、2、3…)
同理，若两者相距最远(行星处在地球和太阳的延长线上)(图乙)，有关系式：ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1、2、3…)或eq \f(t,T1)－eq \f(t,T2)＝eq \f(2n－1,2)(n＝1、2、3…)
练4．（2023·辽宁大连·辽师大附中校考模拟预测）拉格朗日点指的是在太空中类似于“地一月”或“日一地”的天体系统中的某些特殊位置，在该位置处的第三个相对小得多（质量可忽略不计）的物体靠两个天体的引力的矢量和提供其转动所需要的向心力，进而使得该物体与该天体系统处于相对静止状态，即具有相同的角速度。如图所示是地一月天体系统，在月球外侧的地月连线上存在一个拉格朗日点，发射一颗质量为m的人造卫星至该点跟着月球一起转动，距离月球的距离为s。已知地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，地月球心之间的距离为r，月球的公转周期为T，则由以上数据可以算出（ ）
A．地球的密度为
B．在拉格朗日点的卫星的线速度比月球的线速度小
C．在拉格朗日点的卫星的向心加速度比月球的向心加速度小
D．月球对该卫星的引力为
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·福建福州·校考模拟预测）2022年7月14日下午，长征五号B火箭成功将我国空间站的首个实验舱“问天”实验舱送入太空与天和核心舱进行对接，随后神舟十四号乘组顺利进入问天实验舱，开启了太空实验的新阶段。如图所示，已知空间站在距地球表面高约400km的近地轨道上做匀速圆周运动，地球半径约为6400km，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．空间站绕地球运行的速度大于第一宇宙速度
B．若已知空间站的运行周期则可以计算出地球的质量
C．“问天”实验舱需先进入核心舱所在的轨道，再加速追上核心舱完成对接
D．核心舱在轨运行时，舱内宇航员的加速度为0
2．（2023·江西赣州·统考一模）2022年10月9日，我国将卫星“夸父一号”成功送入太阳同步晨昏轨道。从宇宙中看，卫星一方面可视为绕地球做匀速圆周运动，轨道平面与地球的晨昏分界线共面，卫星轨道离地高度，周期。另一方面卫星随地球绕太阳做匀速圆周运动，周期，卫星轨道平面能保持垂直太阳光线，如图所示。已知地球的半径为R，引力常量为G，则下列表述正确的是（ ）
A．晨昏轨道平面与地球同步卫星轨道平面重合
B．根据以上信息可以估算出地球的质量
C．“夸父一号”的发射速度大于
D．根据，可估算出地球到太阳的距离r
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）2022年11月29日23时08分，搭载着神舟十五号载人飞船的长征二号F遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心升空，11月30日5时42分，神舟十五号载人飞船与天和核心舱成功完成自主交会对接。如图为神舟十五号的发射与交会对接过程示意图，图中①为近地圆轨道，其轨道半径为，②为椭圆变轨轨道，③为天和核心舱所在轨道，其轨道半径为，P、Q分别为②轨道与①、③轨道的交会点，已知神舟十五号的质量为m，地球表面重力加速度为g。关于神舟十五号载人飞船与天和核心舱交会对接过程，下列说法正确的是（ ）
A．卫星在椭圆轨道2上运行的速度一直大于第一宇宙速度
B．卫星在轨道3上运行的速度小于第一宇宙速度
C．地球质量为
D．在轨道2上运行周期为
4．（2023·江苏·模拟预测）若某载人宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T，由于地球遮挡，宇航员发现有时间会经历“日全食”过程，如图所示，已知引力常量为G，太阳光可看作平行光，则地球的平均密度为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）北京时间2021年5月15日，在经历“黑色九分钟”后，中国首辆火星车“祝融号”与着陆器成功登陆火星，这也意味着“天问一号”火星探测器已经实现了“绕”和“落”两项目标。火星可以看成半径为，质量为的均匀球体，“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动一周的时间为，“祝融号”与着陆器总质量为，假如登陆后运动到火星赤道上，静止时对水平地面压力大小为，引力常量为，下列说法正确的是（ ）
A．火星的第一宇宙速度大小为
B．“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的加速度小于“祝融号”与着陆器静止在赤道上的加速度
C．火星自转角速度大小为
D．火星的平均密度为
6．（2023·陕西·校联考模拟预测）北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒之后，神舟十四号载人飞船成功进入预定轨道，神舟十四号载人飞船采用自主快速交会对接模式，经过6次自主交轨成功对接于天和核心舱径向端口，天和核心舱在距地面约390km的近圆轨道上飞行，已知引力常量为，地球半径。则下列说法正确的是（ ）
A．天和核心舱绕地球运行的速度大于第一宇宙速度
B．为了实现对接，载人飞船应该到达天和核心舱轨道，再点火加速追上天和核心舱
C．若已知天和核心舱的运行周期，则可以求出地球的密度
D．载人飞船进入预定轨道后，飞船内的航天员在空间站内受到的合外力为零
7．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）2022年11月29日晚，长征二号运载火箭将神舟十五号载人飞船精准送入预定轨道，并于11月30日7时33分对接天和核心舱，形成三舱三船组合体，这是中国太空站目前最大的构型。如图所示为“神舟十五号”对接前变轨过程的简化示意图，先将“神舟十五号”送入圆形轨道Ⅰ，在a点发动机点火加速，由轨道Ⅰ变为近地点高度为、远地点高度为的轨道Ⅱ上，飞船在轨道Ⅱ上经过c点的速度大小为v，然后再变轨到圆轨道Ⅲ，与在圆轨道Ⅲ运行的天和核心舱实施对接。已知ac是椭圆轨道Ⅱ的长轴，地球的半径R，地球质量为M，卫星质量为m。飞船与地球中心的距离为r时，引力势能为，取无穷远处引力势能为零。下列说法正确的是（ ）
A．“神舟十五号”在轨道Ⅱ上由a到c运行时，机械能增大
B．“神舟十五号”在轨道Ⅰ上运动的速度大小约
C．“神舟十五号”在轨道Ⅱ上从a到c的时间
D．“神舟十五号”在轨道Ⅱ上经过a点时的速度大小为
8．（2023·安徽·模拟预测）天文学家发现了一对被称为“灾难变星”的罕见双星系统，约每51分钟彼此绕行一圈，通过天文观测的数据，模拟该双星系统的运动，推测在接下来的7000万年里，这对双星彼此绕行的周期逐渐减小至18分钟。如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动。不考虑其他天体的影响，两颗星球的质量不变，在彼此绕行的周期逐渐减小的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．每颗星球的角速度都在逐渐变小
B．两颗星球的距离在逐渐的变大
C．两颗星球的轨道半径之比保持不变
D．每颗星球的加速度都在变小
9．（2023·四川成都·统考三模）电影《流浪地球2》中的太空电梯令人震撼。太空电梯的结构设计如右图所示，地球半径约，太空电梯空间站位于离地面约的地球同步轨道上，其上方约高度有平衡锤，空间站上、下方均用缆绳分别连接地面和平衡锤，运载仓与缆绳间的作用力可忽略。下列说法正确的是（ ）
A．运载仓由地面上升至空间站的过程中始终处于失重状态
B．连接空间站的上、下两根缆绳对空间站的拉力大小相等
C．平衡锤、空间站的加速度与地球表面重力加速度的大小关系为
D．若平衡锤下方的缆绳突然断裂，则平衡锤将做近心运动跌落至地球表面
二、多选题
10．（2023·江西·校联考模拟预测）如图，神舟十六号载人飞船与天和核心舱对接前经B点由椭圆轨道Ⅰ变轨至圆形轨道Ⅱ，A、B两点分别为椭圆轨道Ⅰ的近地点和远地点，飞船在A点时对地球的张角为，在B点时对地球的张角为，飞船在轨道Ⅰ上A点加速度为、运动周期为，在轨道Ⅱ上B点加速度为、运动周期为，下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·福建宁德·福建省福安市第一中学校考一模）2021年2月，天问一号火星探测器被火星捕获，经过系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。如图所示，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面积，下列说法正确的是（ ）
A．图中两阴影部分的面积不相等
B．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器周期变大
C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器机械能变大
D．探测器在P点的加速度大于在N点的加速度
12．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）2021年5月15日，我国“天问一号”探测器成功在火星表面着陆。若某探测器登陆火星前先后沿图示圆轨道I、椭圆轨道II、圆轨道II运行，B为轨道II的近火点。假设探测器的质量不变，则探测器（ ）
A．在轨道I上运行的周期大于在轨道II上运行的周期
B．在轨道II上运行的向心加速度小于在轨道I上运行的向心加速度
C．在轨道II上的动能总是大于在轨道III上的动能
D．由轨道II变轨到轨道III时在B处需要点火减速
13．（2023·山东济南·山东师范大学附中校考模拟预测）某载人飞船发射过程可以简化为如图所示，轨道1是椭圆轨道，变轨后到圆轨道2，A点和C点分别是轨道1的远日点和近日点，B点是轨道2上与A、C共线的点，A点距地心的距离为2r，C点距地心的距离为r，则（ ）
A．飞船在轨道1上过C点的速度大于轨道2过A点的速度
B．若轨道2的速度为v，则轨道1在A点的加速度为
C．在轨道1上运行的周期与轨道2上运行周期的之比为
D．在轨道1上由C点运动到A点的过程中，由于离地高度越来越大，所以机械能逐渐增大
14．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考一模）2020年6月15日，中国科学院宣布“墨子号”量子科学实验卫星在国际上首次实现千公里级基于纠缠的量子密钥分发。若“墨子号”卫星绕地球在赤道平面内做匀速圆周运动，大约每90分钟绕一圈。时刻，“墨子号”卫星A与地球静止轨道卫星B相距最远，如图所示，则（ ）
A．卫星A的轨道半径为卫星B的
B．卫星A的速度大小是卫星B的4倍
C．卫星A的向心加速度大小是卫星B的8倍
D．卫星A、B每隔48min与地心共线一次
15．（2023·湖南·校联考模拟预测）科学家在太空发现了一颗未知天体，并发射探测器对该天体进行观测。探测器在圆形轨道Ⅰ上绕行，探测器的周期为T，距该星体表面的高度为h，飞行器对星球观测张角为θ，如图所示。观测到该星体有一颗低轨道卫星在圆形轨道Ⅱ上运动（绕行方向与探测器方向相同），探测器和卫星两次靠得最近的时间间隔为t。已知万有引力常量为G，不计探测器和卫星之间的引力及其他天体引力影响，根据题目所给的信息，可得出的是（ ）
A．可以求出探测器在轨道Ⅰ上运行时探测器与该未知天体之间的万有引力
B．可以求出该未知天体的质量M
C．可以求出轨道Ⅱ离该天体表面的高度
D．探测器在轨道Ⅱ上运行的速度一定小于7.9km/s
16．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图所示，神舟十五号飞船A、空间站B分别沿逆时针方向绕地球的中心O做匀速圆周运动，周期分别为T1、T2。在某时刻飞船和空间站相距最近，空间站B离地面高度约为400km。下列说法正确的是（ ）
A．飞船A和空间站B下一次相距最近需经过时间
B．飞船A要与空间站B对接，可以向其运动相反方向喷气
C．飞船A与空间站B对接后的周期大于地球同步卫星的周期
D．飞船A与空间站B绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为
17．（2023·福建南平·统考模拟预测）水星是地球上较难观测的行星，因为它离太阳太近，总是湮没在太阳的光辉里，只有水星和太阳的距角（地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角）达最大时（称为大距，如图所示），公众才最有希望目睹水星。2023年1月30日凌晨，上演今年首次水星大距。已知水星公转周期约为地球公转周期的，水星和地球公转轨道均视为圆形。则（ ）
A．可以求出水星与地球质量之比
B．一年内至少可以看到6次水星大距
C．大距时，水星和太阳距角的正弦值约为
D．太阳分别与水星和地球的连线在相同时间内扫过的面积相等
18．（2023·山东济南·山东省实验中学校考二模）如图所示，地球和月球组成“地月双星系统”，两者绕共同的圆心C点（图中未画出）做周期相同的圆周运动。数学家拉格朗日发现，处在如图所示拉格朗日点的航天器在地球和月球引力的共同作用下可以绕“地月双星系统”的圆心C点做周期相同的圆周运动，从而使地、月、航天器三者在太空的相对位置保持不变。不考虑航天器对“地月双星系统”的影响，不考虑其他天体对该系统的影响。已知地球质量为M，月球质量为m，地球与月球球心距离为d。则下列说法正确的是（ ）
A．位于拉格朗日点的绕C点稳定运行的航天器，其向心加速度大于月球的向心加速度
B．地月双星系统的周期为
C．圆心C点在地球和月球的连线上，距离地球和月球球心的距离之比等于地球和月球的质量之比
D．该拉格朗日点距月球球心的距离x满足关系式两类变轨
离心运动
近心运动
示意图
变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
万有引力与向心
力的大小关系
Geq \f(Mm,r2)
变轨结果
转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动
转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
新圆轨道上运动的速率比原轨道的小，周期比原轨道的大
新圆轨道上运动的速率比原轨道的大，周期比原轨道的小
动能减小、势能增大、机械能增大
动能增大、势能减小、机械能减小
模型
三星模型
(正三角排列)
三星模型
(直线等间距排列)
四星模型
图示
向心力
的来源
另外两星球对其万有引力的合力
另外两星球对其万有引力的合力
另外三星球对其万有引力的合力
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