2023-2024学年河北省沧州市部分学校高一上学期11月月考数学试题（含解析)

这是一份2023-2024学年河北省沧州市部分学校高一上学期11月月考数学试题（含解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|x−2≥0}，B={x|x2−2x−8<0}，则A∪B=( )
A. (−2,+∞)B. (−∞,4)C. (−2,4)D. (−∞,−2]
2.函数y=lg(2−x)的定义域是( )
A. (0,2)B. [0,2]C. (−∞,2)D. (−∞,2]
3.下列表示同一个函数的是( )
A. y=lnex与y=elnxB. y=t12与y=4x2
C. y=x0与y=1x0D. y=lg2x与y=lg12−x
4.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2, 22)，则f(8)=( )
A. − 24B. 24C. −2 2D. 2 2
5.已知2023a=2024，2024b=2023，c=lgab，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. c>a>bC. b>a>cD. a>c>b
6.用二分法研究函数f(x)=x3+2x−1的零点时，第一次计算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1=( )
A. 1B. 0.75C. 0.25D. −1
7.若存在正实数x，y满足4y+1x=1，且使不等式x+y4A. (−4,1)B. (−1,4)
C. (−∞,−4)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(4,+∞)
8.已知函数f(x)=2x−12x+1,x⩽02x,x>0，若对任意的正数t，恒有f(m+t)>2f( t)，则m的取值范围是( )
A. (14,+∞)B. (916,+∞)C. (54,+∞)D. (94,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列函数有最小值的是( )
A. f(x)=x2+1x2B. f(x)=2x+2x
C. f(x)=x−1x+1D. f(x)=lg( x+1)
10.下列计算正确的是( )
A. (27a3)13÷0.3a−1=10a2B. (a23−b23)÷(a13+b13)=a13−b13
C. a 2⋅a 2=a2D. 4a3a2 a=24a11
11.若lgab<0，则函数f(x)=ax+b的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
12.已知函数f(x)=lgax−a−a(a>0，且a≠1)，则
( )
A. f(x)有两个零点B. f(x)不可能为偶函数
C. f(x)的单调递增区间为(a,+∞)D. f(x)的单调递减区间为0,aa
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知函数f(x)=lgx,x>0,3−x,x⩽0,则f(f(110))= ．
14.函数f(x)=2ax−1−3(a>0且a≠1)的图象恒过定点是 ．
15.请写出“x>|y|”的一个必要不充分条件： ．
16.欧拉函数φ(n)(n∈N∗)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如φ(2)=1，φ(4)=2，则φ(6n)= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
计算：
(1)42×80.25+(π−2)0− (−18)23;
(2)lg40+lg25lg 10⋅lg0.1+lg23×lg38.
18.(本小题12分)
已知集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|(x−a)(x−a−1)<0}，a∈R.
(1)若1∈B，求实数a取值范围;
(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+mx，函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)讨论关于x的方程f(x)−a=0的根的个数．
20.(本小题12分)
已知f(x)=1+2b2x−b是R上的奇函数．
(1)求b的值;
(2)若不等式f(mx2−2x)+f(mx+2)≥0对x∈R恒成立，求m的取值范围．
21.(本小题12分)
过去，新材料的发现主要依赖“试错”的实验方案或者偶然性的发现，一种新材料从研发到应用需要10∼20年，已无法满足工业快速发展对新材料的需求.随着计算与信息技术的发展，利用计算系统发现新材料成为了可能.科学家们正在构建由数千种化合物组成的数据库，用算法来预测是什么让材料变得坚固和更轻.某科研单位在研发某种产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x≤2时，y是x的指数函数;当x≥2时，y是x的二次函数.性能指标值y越大，性能越好，测得数据如下表(部分):
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)求这种新材料的含量为何值时该产品的性能达到最佳．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg44x−1,g(x)=lg2 x+a．
(1)求f(x)的定义域，并证明f(x)的图象关于点(2,0)对称；
(2)若关于x的方程f(x)=g(x)有解，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合并集运算，属基础题目．
分别化简集合A，B，再利用并集运算求解即可．
【解答】
解：A=xx⩾2， B=x−2所以A∪B=xx>−2=−2,+∞，
故选A．
2.【答案】C
【解析】【分析】
考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域，以及区间表示集合的方法，属于基础题．
要使得函数y=lg(2−x)有意义，则需满足2−x>0，解出x的范围即可．
【解答】
解：要使函数y=lg(2−x)有意义，则2−x>0；
解得x<2；
∴f(x)的定义域为：(−∞, 2)．
故选C．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
根据两个函数相同的两要素(定义域和对应法则)逐一判断即可．
【解答】
解：对于A，y=lnex的定义域为R，y=elnx的定义域为(0,+∞)，定义域不同，不是同一个函数，故A错误；
对于B，y=t12的定义域为[0,+∞),y=4x2的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数，故B错误；
对于C，y=x0=1,y=1x0=1，
这两个函数的定义域都是xx≠0，且对应法则也相同，故是同一个函数，故C正确；
对于D，y=lg2x与y=lg12(−x)的定义域和对应法则都不同，不是同一个函数，故D错误．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．由题意，利用幂函数的定义和性质，求得函数的解析式．
【解答】解：∵设幂函数y=f(x)=xα，根据它的图象过点(2, 22)，
则f(2)= 22=2α，∴α=−12，故f(8)=8−12= 24，
故选：B．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数的单调性，考查运算求解能力，是基础题．
先求出a，b，利用对数函数的性质，可得a>1，0【解答】
解：由题意可知，
a=lg20232024>lg20232023=1，
0所以c=lgabb>c．
故选A．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查二分法的应用，关键是掌握由二分法求函数零点的步骤，属于基础题．
根据题意，由二分法求函数零点的步骤，分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，对于函数f(x)=x3+2x−1，
计算可得：f(0)<0，f(0.5)>0，
则其中一个零点x0∈(0,0.5)，
第二次应计算f(0+0.52)，即f(0.25)的值．
所以x1=0.25．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查不等式有解及利用基本不等式求最值，属于中档题．
将不等式x+y4【解答】
解：∵不等式x+y4∴x+y4min∵两个正实数x,y满足1x+4y=1，
∴x+y4=x+y41x+4y=4xy+y4x+2≥2 4xy·y4x+2=4，
当且仅当4xy=y4x，即x=2,y=8时取等号，
∴x+y4min=4，
故m2−3m>4，解得m<−1或m>4．
∴实数m的取值范围是(−∞,−1)∪(4,+∞)．
故选D．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的图像与单调性，主要考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力．
根据函数图像与单调性分析求解即可．
【解答】
解：因为函数y=2x−12x+1=1−22x+1，
函数y=2x−12x+1单调递增，
故函数f(x)大致图象如下：
由图可知：对于正数t，
当m+t⩽0时，f(m+t)>2f( t) 不成立，
故m+t>0，
即2m+t>2×2 t对于任意t>0恒成立，
即m+t> t+1等价于m> t−t+1恒成立，
设 t=u，(u>0)，则t=u2，
即m>u−u2+1对于任意u>0恒成立，
令g(u)=u−u2+1，则当u=12时g(u)取最大值，
g(12)=54，
则m>54，
故选C．
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查由基本不等式求最值、对数函数的单调性与最值，属于一般题．
对A、B：利用基本不等式分析判断；对C：结合分离常数法分析判断；对D：先根据复合函数的单调性判断f(x)的单调性，再根据单调性求最值．
【解答】
解：对于A：
f(x)=x2+1x2≥2，当且仅当x2=1x2，即x=±1时等号成立，故f(x)min=2，A正确；
对于B：
当x>0时，则f(x)=2x+2x≥2 2x⋅2x=4，当且仅当2x=2x，即x=1时等号成立；
当x<0时，则−f(x)=2−x+2−x≥2 2−x⋅2−x=4，当且仅当2−x=2−x，即x=−1时等号成立，故f(x)≤−4；
∴f(x)=2x+2x的值域为(−∞,−4]∪[4,+∞)，无最小值，B错误；
对于C：
f(x)=x−1x+1=1−2x+1的值域为yy≠1，无最小值，C错误；
对于D：
由题意可得f(x)=lg( x+1)的定义域为0,+∞．
∵y=lgu在定义域内单调递增，u= x+1在定义域0,+∞内单调递增，
∴f(x)=lg( x+1)在定义域0,+∞内单调递增，
则f(x)=lg( x+1)≥f(0)=0，故f(x)=lg( x+1)有最小值0，D正确．
故选：AD．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查指数幂的运算，属于基础题．
解答本题的关键是知道指数幂运算的法则，根据此法则计算即可．
【解答】
解：对于A，原式=[(3a)3]13÷0.3a−1=3a×103a=10a2，A正确;
对于B，原式=(a13)2−(b13)2a13+b13=(a13−b13)(a13+b13)a13+b13=a13−b13，B正确;
对于C，原式a 2⋅a 2=a2 2，C错误;
对于D，原式=4a3a2⋅a12=4a3a52=4a⋅a56=4a116=24a11，D正确．
故选ABD．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查判断指数函数的图象，属于一般题．
分01两种情况讨论，结合对数函数单调性解lgab<0，再根据指数函数单调性分析判断．
【解答】
解：由lgab<0=lga1，可得：
当0∴b>1，
此时f(x)=ax+b>1，且f(x)在定义域内单调递减，B成立，D错误；
当a>1时，∵y=lgax在定义域内单调递增，
∴0此时f(x)=ax+b>b,b<1，且f(x)在定义域内单调递增，A错误，C成立．
故选：BC．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查对数函数的单调性与最值、判断函数的奇偶性、函数零点的个数，属于一般题．
由函数可知，定义域为(0,+∞)，故为非奇非偶函数，令f(x)=lgax−a−a=0，根据对数的运算法则可计算出方程的根，去绝对值，把函数写成分段函数，分类讨论求函数的单调区间．
【解答】
解：对于A，令f(x)=lgax−a−a=0，则lgax=0或lgax=2a，所以x=1或a2a,f(x)有两个零点，A正确；
对于B，f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)为非奇非偶函数，B正确；
对于C，当a>1时，f(x)={lgax−2a,x⩾aa−lgax,01时相同，C错误，D正确．
故选：ABD．
13.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了求分段函数的函数值，是基础题．
先得出f(110)，再代入计算即可．
【解答】
解：f(110)=lg110=lg10−1=−1，
f(f(110))=f(−1)=3−(−1)=3．
14.【答案】(1,−1)
【解析】【分析】
本题主要考查了指数型函数恒过定点问题，是基础题．
令x−1=0，结合a0=1即可求出定点P的坐标．
【解答】
解：当x−1=0，即x=1时，ax−1=1为定值，此时f(1)=2a0−3=−1，
故f(x)=2ax−1−3(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,−1)．
15.【答案】x2>y2(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查了充要条件的判断，是基础题．
根据充要条件的判断可得结论．
【解答】
解：对于x>|y|，两边平方可得x2>y2，
即“x2>y2”是“x>|y|”的必要条件;
对于x2>y2，两边开平方可得|x|>|y|;
即“x2>y2”不是“x>|y|”的充分条件，
所以“x2>y2”是“x>|y|”的必要不充分条件．
16.【答案】2×6n−1
【解析】【分析】
本题主要考查新定义的理解，属于中档题．
根据给定的欧拉函数定义分析计算即可．
【解答】
解：在1∼6n中，2的倍数共有6n2个，
3的倍数共有6n3个，6的倍数共有6n−1个，
所以φ(6n)=6n−6n2−6n3+6n−1=2×6n−1．
17.【答案】解：(1)原式=214×(23)14+1−(18)13=214+34+1−12=3−12=52．
(2)原式=lg(40×25)12lg10×(−lg10)+lg23×lg28lg23=−6+3=−3．
【解析】(1)直接利用指数幂的运算法则化简得解；
(2)利用对数的运算法则化简得解．
本题考查实数指数幂以及对数运算，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)若 1∈B ，则 (1−a)(1−a−1)<0 ，解得 0即实数 a 的取值范围 0,1;
(2)由题知， A=x−1≤x≤2 ， B=xx−ax−a−1<0=xa因为“ x∈B ”是“ x∈A ”的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集，
即 a≥−1a+1≤2 ，解得 −1≤a≤1 ，
经检验，此范围内，两个集合并不相等，
故实数a的取值范围是 −1,1 ．

【解析】本题考查元素与集合的关系，以及充分不必要条件的应用，属于基础题．
(1)将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可．
(2)根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．
19.【答案】解：(1)由图可知f(−2)=(−2)2+m(−2)=0，解得m=2，
所以当x≤0时，f(x)=x2+2x，
设x>0，则−x<0，
∴f(−x)=(−x)2+2(−x)=x2−2x，
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(x)=f(−x)=x2−2x(x>0)，
∴f(x)=x2+2x(x≤0)x2−2x(x>0)．
(2)作出函数f(x)的图象如图所示：
易知f(−1)=f(1)=−1，
方程f(x)−a=0的根的个数等价于y=a与函数f(x)的图象交点的个数，
由图可知，当a<−1时，关于x的方程f(x)−a=0的根的个数为0，
当a>0或a=−1时，关于x的方程f(x)−a=0的根的个数为2，
当−1当a=0时，关于x的方程f(x)−a=0的根的个数为3．
【解析】本题考查偶函数的性质，函数与方程之间的关系，解题中注意转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题．
(1)由图可知f(−2)=0，解得m，因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x，求出当x>0时，函数f(x)的解析式，即可求出函数f(x)在R上的解析式．
(2)作出函数f(x)的图象，得f(−1)=f(1)=−1，问题可转化为y=a与函数f(x)的图象交点的个数，结合图像可得答案．
20.【答案】解：(1)∵f(x)=1+2b2x−b是R上的奇函数，
∴f(0)=1+2b1−b=0，可得b=−1，
经检验，此时f(x)=1−22x+1=2x−12x+1为奇函数，满足题意．
∴f(x)=1−22x+1．
(2)∵f(x)=1−22x+1，∴f(x)在R上单调递增，
又f(x)为R上的奇函数，
∴由f(mx2−2x)+f(mx+2)≥0，得f(mx2−2x)≥−f(mx+2)=f(−mx−2)，
∴mx2−2x≥−mx−2，即mx2+(m−2)x+2≥0恒成立，
当m=0时，不等式为−2x+2≥0不可能对x∈R恒成立，故m=0不合题意;
当m≠0时，要满足题意，需m>0,△=(m−2)2−8m≤0,解得6−4 2≤m≤6+4 2．
∴实数m的取值范围为{m|6−4 2≤m≤6+4 2}.
【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于一般题．
(1)利用f(−x)=−f(x)对∀x∈R恒成立即可求解，注意要检验;
(2)由(1)知f(x)=1−22x+1，求出单调性，将不等式转化为mx2+(m−2)x+2≥0恒成立，然后利用二次函数的性质进行求解可得．
21.【答案】解：(1)当0≤x≤2时，y是x的指数函数，设y=ax(a>0且a≠1)，
由数表知，(1,2)满足指数函数解析式，于是得a=2，
即当0≤x≤2时，y=2x;
易知x=2时，y=22=4．
当x≥2时，y是x的二次函数，设y=mx2+bx+c(m≠0)，
显然(2,4)，(4,8)，(6,4)满足二次函数解析式，即36m+6b+c=416m+4b+c=84m+2b+c=4,
解得m=−1，b=8，c=−8，
即当x≥2时，y=−x2+8x−8．
所以y关于x的函数关系式y=2x,0≤x≤2,−x2+8x−8,x>2.
(2)当0≤x≤2时，y=2x，则当x=2时，y取得最大值4;
当x>2时，y=−(x−4)2+8，则当x=4时，y取得最大值8，而4<8．
因此当x=4时，y取得最大值8．
综上可知，当这种新材料的含量为4克时，该产品的性能达到最佳．
【解析】本题考查了指数函数的概念、函数模型的应用，是中档题
(1)由指数函数的概念可解得a的值，再结合待定系数法可得二次函数解析式，故可得y关于x的函数关系式;
(2)分0≤x≤2和x>4讨论可求得答案
22.【答案】解：(1)由题设可得4x−1>0，解得0而f(x)+f(4−x)=lg44x−1+lg444−x−1=lg44−xx+lg4x4−x=0，
故f(x)的图象关于点(2,0)对称．
(2)法一：因为关于x的方程f(x)=g(x)，即lg44x−1=lg2 x+a=lg4(x+a)有解，
故4x−1=x+a在x∈(0,4)上有解．
下面求a+1=4x−x在x∈(0,4)上有解时实数a的取值范围．
因为y=4x与y=−x在区间(0,4)上都是减函数，
所以函数y=4x−x在区间(0,4)上也是减函数，
所以0令a+1>−3，解得a>−4．
因此，所求实数a的取值范围是(−4,+∞)．
法二：f(x)=g(x)，即lg44x−1=lg2 x+a=lg4(x+a)，
因为f(x)=g(x)有解，故4−xx=x+a在(0,4)上有解，
整理得到x2+(a+1)x−4=0在(0,4)上有解，
设ℎ(x)=x2+(a+1)x−4，显然ℎ(0)=−4<0，则ℎ4>0，
解得a>−4．
故实数a的取值范围为(−4,+∞)．

【解析】本题考查对数型函数的定义域、值域，函数零点、方程根的分布，属于较难题．
(1)直接根据4x−1>0，即可得定义域，通过fx+f4−x=0可得对称性；
(2)法一、根据题意转化方程为a+1=4x−x在x∈(0,4)上有解，通过y=4x−x的单调性得其范围，进而得a的取值范围；
法二、根据题意转化方程为x2+(a+1)x−4=0在(0,4)上有解，根据一元二次方程根的分布列出不等式组得出a的范围．
x(单位：克)
1
4
6
…
y
2
8
4
…