2023-2024学年山西省长治市部分学校高一上学期11月质量检测数学联考试题（含解析)

这是一份2023-2024学年山西省长治市部分学校高一上学期11月质量检测数学联考试题（含解析)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−32,0,23,1,5}，B={x|x<12}，则A∩B=( )
A. {−32,0}B. {−32,0,23}C. {−32}D. {−32,0,23,1}
2.函数f(x)=1 2x+4+ 2−x的定义域为
( )
A. (−2,2)∪(2,+∞)B. [2,+∞)
C. (−2,2]D. [−2,2]
3.已知集合A={1,a}，B={a2,−1}，若A=B，则a=
( )
A. −1B. 1C. 0D. 2
4.已知函数fx满足f2x=4x2+2x，则
( )
A. fx=2x2+xB. fx=x2+2xC. fx=2x2+2xD. fx=x2+x
5.某企业为了鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每个月用水量不超过15吨，按每吨3元收费;每个月用水量超过15吨，超过部分按每吨5元收费.职工小王10月份的水费为70元，则小王10月份的实际用水量为( )
A. 18吨B. 20吨C. 22吨D. 24吨
6.若关于x的不等式ax2−5ax+1>0的解集为R，则实数a的取值范围是
( )
A. (0,425)B. [0,425)
C. (−∞,0]∪(425，+∞)D. (1,+∞)
7.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且f(3)=0，则不等式f(x)( )
A. (−∞,−3)∪(0,3)B. (−3,0)∪(3,+∞)
C. (−3,3)D. (−∞,−3)∪(3,+∞)
8.若关于x的不等式2x2+mx−3m2<0的解集中恰好有3个整数，则实数m的取值范围为
( )
A. (−∞,−43)∪(43,+∞)B. (−1,0)∪(0,1)
C. (−2,−1)∪(1,2)D. [−43,−1)∪(1,43]
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知a>b>0，则下列不等式成立的是
( )
A. a> bB. ab>baC. a2>abD. b3>a2b
10.下列命题中为真命题的是( )
A. “四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是长方形”的充分不必要条件
B. 若a是无理数，则a3也是无理数
C. 函数f(x)= x−2+ 2−x和g(x)=0是同一个函数
D. 在平面直角坐标系中，第一象限内的点构成的集合为(x,y)|x>0,y>0
11.已知集合A={x|x=2k−1,k∈Z}，B={x|x=2k,k∈Z}，则
( )
A. 20232∈AB. A∪B=Z
C. A∩B={0}D. 若a∈A，b∈B，则ab∈B
12.已知函数f(x)=x2−1x2+1，则下列说法正确的是
( )
A. 函数f(x)为偶函数
B. 当x≠0时，f(x)=−f(1x)
C. 函数f(x)的值域为[−1,910]
D. 若f(a−1)三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.命题“∀x∈R，xx2+1<1”的否定是 ．
14.已知函数f(x)=−1x,x<0x2,x>0则f(f(−3))= ．
15.已知016.已知函数f(x)=−18x2+ax+12 (x<2)|x−a| (x⩾2) 在R上单调递增，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A={x|x2−4x<0}，B={x|x−a>0}．
(1)当a=1时，求A∩(∁RB);
(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−(3a−2)x+b．
(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(−2,3)，求实数a，b的值;
(2)若函数f(x)在区间[−103,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知命题p:“∃x∈R，x2−ax+1=0”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为A．
(1)求集合A;
(2)设集合B={x|m+120.(本小题12分)
已知正数a，b满足a2+b2+ab=3．
(1)求 ab的最大值;
(2)求a+b的最大值．
21.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=(m2+52m−12)x4m2−m既不是奇函数，也不是偶函数．
(1)求m的值;
(2)若函数g(x)=x−2af(x)+12a−32的最小值为−3，求实数a的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x2−3)|x|．
(1)证明：函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增;
(2)若直线y=k2−4与函数f(x)的图象有且仅有4个交点，求实数k的取值范围;
(3)求函数f(x)在区间[−m,m]上的值域．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了交集运算，属基础题．
根据交集的定义直接求解即可．
【解答】
解：A⋂B={−32,0,23,1,5}⋂{x|x<12}=−32,0．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数定义域，属于基础题型．
根据函数成立的意义，列不等式组，从而解出答案．
【解答】
解：若使得函数表达式有意义，必有2x+4>0,2−x⩾0,解得−23.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合相等的概念，属于基础题．
根据集合A=B列出关于a的方程组，解之即可．
【解答】
解：由A=B，有a=−1,a2=1,可得a=−1，故选A．
4.【答案】D
【解析】【分析】利用换元法，即令 t=2x ，即可求得函数解析式，即得答案．
解：令 t=2x ，则由 f2x=2x2+2x ，可得 ft=t2+t ，
即 fx=x2+x ，
故选：D．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数模型的应用，属于基础题目．
由题意根据函数直接求解即可．
【解答】
解：小王10月份的实际用水量为15×(70−15×3)+15=20(吨)，
故选B．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查不等式恒成立，属于基础题．
分a=0和a≠0讨论即可求解．
【解答】解：当a=0时，1>0，符合题意；
当a≠0时，则a>0Δ=25a2−4a<0⇒0综上，实数a的取值范围是[0,425)，
故选B．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．
首先由奇函数单调性的关系得出f(x)的单调区间，再由奇函数的定义化简原不等式，然后根据单调性得解．
【解答】
解：∵f(x)为定义在R上奇函数且在[0,1]上单调递减，(1,+∞)上单调递增，
∴ f(x)的减区间为[−1,1]，增区为(−∞,−1),(1,+∞)，
又f(3)=0，∴当x<−3或03时,f(x)>0,
不等式f(x)故选A．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查解含参的一元二次不等式，属于中档题．
由题意不等式2xz+mx−3m2<0因式分解为(x−m)(2x+3m)<0，讨论m可得符合题意的m的范围．
【解答】
解：不等式2xz+mx−3m2<0因式分解为(x−m)(2x+3m)<0．
①当m=0时，不等式为2x2<0，不等式无解，不合题意;
②当m>0时，不等式的解为−32m−1，0，1，必有1 ③当m<0时，不等式的解为m9.【答案】ABC
【解析】【分析】根据不等式的性质，结合作差法，即可判断．
解：若a>b>0，则 a> b，故 A正确；
ab−ba=a2−b2ab=a+ba−bab，
因为a>b>0，所以a+b>0，a−b>0，ab>0，
所以ab−ba>0，即ab>ba，故 B正确；
因为a>b>0，根据不等式的性质可知，a2>ab，故 C正确；
a2b−b3=ba2−b2=ba+ba−b，
因为a>b>0，所以a+b>0，a−b>0，所以a2b−b3>0，即a2b>b3，故 D错误．
故选：ABC
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了命题的真假判断、充分不必要条件的判断、函数的概念、点集等知识，属基础题．
根据充分条件和必要条件的定义判断A；通过举出反例判断B；由相等函数的定义判断C；根据集合的表示法判断D．
【解答】
解：若四形边ABCD是正方形，可得四边形ABCD是长方形;若四边形ABCD是长方形，但是四边形ABCD不一定是正方形，则“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是长方形”的充分不必要条件，故A选项正确;
若a=33，则a3=3是有理数，故B选项错误;
函数f(x)= x−2+ 2−x的定义域为{2}，函数g(x)的定义域为R，可得函数f(x)和g(x)不是同一个函数，故C选项错误;
平面直角坐标系中第一象限内的点的横坐标和纵坐标都为正，故D选项正确．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了交集运算、并集运算、元素与集合的关系，是基础题．
先得出集合A为奇数集，集合B为偶数集，再根据交集运算、并集运算、元素与集合的关系逐一判定即可．
【解答】
解：集合A为奇数集，集合B为偶数集，
可得20232∉A，A∪B=Z，A∩B=⌀;
若a∈A，b∈B，则ab∈B，
故选BD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了函数单调性、奇偶性的综合应用，是中档题．
根据函数单调性、奇偶性的综合应用逐一判定即可．
【解答】
解：由f(−x)=(−x)2−1(−x)2+1=x2−1x2+1=f(x)，且函数f(x)的定义域为实数集R，
可得函数f(x)为偶函数，故A选项正确;
由f(1x)=(1x)2−1(1x)2+1=1−x21+x2=−x2−1x2+1=−f(x)，可得f(x)=−f(1x)，故B选项正确;
由f(x)=(x2+1)−2x2+1=1−2x2+1，
又由x2+1≥1，有0<1x2+1≤1，有−1≤1−2x2+1<1，
可得函数f(x)的值域为[−1,1)，故C选项错误;
当x>0时，由f(x)=1−2x2+1，可得函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，
又由函数f(x)为偶函数，可得函数f(x)的减区间为(−∞,0)，增区间为[0,+∞)，
若f(a−1)不等式两边平方后可解得a>0或a<−2，故D选项正确．
故选ABD．
13.【答案】∃x∈R，xx2+1≥1
【解析】【分析】
本题考查了全称量词命题的否定，是基础题．
利用全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得到答案．
【解答】
解：命题“∀x∈R，xx2+1<1”的否定为：∃x∈R，xx2+1≥1．
故答案为：∃x∈R，xx2+1≥1．
14.【答案】19
【解析】【分析】
本题考查分求段函数的函数值，属于基础题．
根据分段函数在各个区间的解析式直接代入即可．
【解答】
解：由f(−3)=−1−3=13，有f(f(−3))=f(13)=(13)2=19．
15.【答案】92
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用，是基础题．
将原式变形得到y=12[(2−x)+x](12−x+4x)=12[4(2−x)x+x2−x+5]，根据基本不等式即可得出．
【解答】
解：y=12[(2−x)+x](12−x+4x)=12[4(2−x)x+x2−x+5]≥12[2 4(2−x)x×x2−x+5]=92(当且仅当x=43时取等号)．
16.【答案】[12,23]
【解析】【分析】
本题考查利用函数的单调性解决参数问题，属于中档题．
【解答】
解：二次函数y=−18x2+ax+12的对称轴为x=−a2×(−18)=4a，又由函数y=|x−a|的减区间为
(−∞,a)，增区间为[a,+∞)，若函数f(x)在R上单调递增，有4a≥2,a≤2,|2−a|≥2a,解得12≤a≤23，故实数a的取值范围为[12,23].
17.【答案】解：(1)当a=1时，A={x|0B={x|x>1}，
有∁RB={x|x≤1}，
可得A∩(∁RB)={x|0(2)由A={x|0a}，
若A∩B=⌀，则实数a的取值范围为[4,+∞).
【解析】本题主要考查了集合的基本运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．
(1)先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解；
(2)求出集合A，B，由A∩B=⌀，求出a的取值范围．
18.【答案】解：(1)由关于x的不等式f(x)<0的解集为(−2,3)，
可得关于x的一元二次方程f(x)=0的两根为−2和3，
有3a−2=−2+3,b=−2×3,解得a=1,b=−6,
当a=1，b=−6时，f(x)=x2−x−6=(x−3)(x+2)，符合题意，
故实数a的值为1，b的值为−6;
(2)二次函数y=f(x)的对称轴为x=3a−22，
可得函数f(x)的减区间为(−∞,3a−22]，增区间为(3a−22,+∞)，
若函数f(x)在[−103,+∞)上单调递增，
必有3a−22≤−103，解得a≤−149，
故实数a的取值范围为(−∞,−149].
【解析】本题考查了三个“二次”的关系和利用函数的单调性解决参数问题，是中档题．
(1)由题意得关于x的一元二次方程f(x)=0的两根为−2和3，由韦达定理得出a、b的值；
(2)二次函数y=f(x)的对称轴为x=3a−22，则3a−22≤−103，解出即可．
19.【答案】解：(1)由命题p为假命题，关于x的一元二次方程x2−ax+1=0无解，
可得△=(−a)2−4=a2−4<0，解得−2故集合A=(−2,2);
(2)由若t∈A是t∈B的必要不充分条件，可知B⫋A，
①当m+1≥2m+1时，可得m≤0，B=⌀，满足B⫋A;
②当m+1<2m+1时，可得m>0，若满足B⫋A，必有m+1⩾−2, 2m+1⩽2, m>0, (等号不可能同时成立)，
解得0由 ① ②可知，实数m的取值范围为(−∞,12].

【解析】本题考查了充分、必要、充要条件与集合的关系，存在量词命题的否定，含参数的集合关系的问题，属中档题．
20.【答案】解：(1)由a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号)，
有3=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，
可得ab≤1(当且仅当a=b=1时取等号)，
故 ab的最大值为1;
(2)由a2+b2+ab=3，有(a+b)2=ab+3，
又由ab≤(a+b)24(当且仅当a=b时取等号)，
有ab+3≤(a+b)24+3，
有(a+b)2≤(a+b)24+3，
有(a+b)2≤4，
可得a+b≤2(当且仅当a=b=1时取等号)，
故a+b的最大值为2．
【解析】本题主要考查了利用基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
(1)由题意，可得3=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，从而求解即可；
(2)利用基本不等式求解即可得ab+3≤(a+b)24+3，即得(a+b)2≤(a+b)24+3，故得答案．
21.【答案】解：(1)令m2+52m−12=1，整理为(m+3)(2m−1)=0，解得m=−3或m=12，
①当m=−3时，4m2−m=39，可得f(x)=x39，
由f(−x)=(−x)39=−x39=−f(x)，知函数f(x)为奇函数，不合题意;
②当m=12时，4m2−m=12，可得f(x)=x12，由函数的定义域为[0,+∞)，满足题意；
由 ① ②知，m的值为12;
(2)由(1)有f(x)= x，可得g(x)=x−2a x+12a−32，
令t= x(t≥0)，有x=t2，可得g(x)=t2−2at+12a−32，可化为g(x)=(t−a)2−a2+12a−32，
令ℎ(t)=(t−a)2−a2+12a−32(t≥0)，
①当a≤0时，ℎ(t)min=ℎ(0)=12a−32，
又由g(x)的最小值为−3，有12a−32=−3，解得a=−3;
②当a>0时，ℎ(t)min=ℎ(a)=−a2+12a−32，
又由g(x)的最小值为−3，有−a2+12a−32=−3，解得a=−1(舍去)或a=32，
由 ① ②知a=−3或a=32．
【解析】本题考查了幂函数，函数单调奇偶性，由函数的最值求参，是中档题．
(1)由幂函数的概念可求得m的值，再根据函数的奇偶性进行排除；
(2)由(1)有f(x)= x，可得g(x)=x−2a x+12a−32，利用换元法结合二次函数的性质可得答案．
22.【答案】解：(1)证明：设x2>x1≥0，
则f(x2)−f(x1)=(x23−3x2)−(x13−3x1)=(x23−x13)−3(x2−x1)
=(x2−x1)⋅(x22+x2x1+x12)−3(x2−x1)=(x2−x1)(x22+x2x1+x12−3)，
①当0≤x10，0可得x22+x2x1+x12−3<0，可得f(x2)故函数f(x)在区间[0,1]上单调递减;
②当x2>x1>1时，有x2−x1>0，x22>1，x2x1>1，x12>1，
可得x22+x2x1+x12>3，可得f(x2)>f(x1)，函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，
由上知，函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增;
(2)由f(x)的定义域为R，
且f(−x)=[(−x)2−3]|−x|=(x2−3)|x|=f(x)，可得函数f(x)为偶函数，
又由函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增，
可得函数f(x)的减区间为(−∞,−1)，(0,1)，增区间为[−1,0]，[1,+∞)，
可得函数f(x)的图象的趋势大致如下：
由f(0)=0，f(−1)=f(1)=−2，
若直线y=k2−4与函数f(x)的图象有且仅有4个交点，
只需−2故若直线y=k2−4与函数f(x)的图象有且仅有4个交点，
实数k的取值范围为(−2,− 2)∪( 2,2);
(3)由[−m,m]，有m>−m，可得m>0，
又由函数g(x)为偶函数，
故函数f(x)在区间[−m,m]上的值域等于在区间[0,m]上的值域，
令f(x)=0，可得x=0或x=± 3，
可得函数f(x)的图象与x轴的交点分别为(− 3,0)，(0,0)，( 3,0)，
则 ①当0函数f(x)在区间[−m,m]上的值域为[m3−3m,0]；
②当1函数f(x)在区间[−m,m]上的值域为[−2,0];
③当m> 3时，f(x)min=f(1)=−2，f(x)max=f(m)=m3−3m，
函数f(x)在区间[−m,m]上的值域为[−2,m3−3m]．
【解析】本题考查判断或证明函数的单调性、判断或证明函数的奇偶性、函数单调性、奇偶性的综合应用、画具体函数图象、求函数的值域，属于较难题．