2023-2024学年河南省部分重点中学高一上学期11月联考数学试题(含解析）

这是一份2023-2024学年河南省部分重点中学高一上学期11月联考数学试题(含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合U=2,3,4,7,8，B=2,7，则∁UB=( )
A. 3,8B. 3,7,8C. 3,4,8D. 2,3,4,7,8
2.“x>1且y>2”是“x+y>3”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数y= 4−x2x2+3x−4的定义域为
( )
A. −2,2B. −2,0∪0,2C. 0,2D. −2,1∪1,2
4.下列各组函数中，为同一函数的是( )
A. fx=x2−1与gx= x−1⋅ x+1
B. fx=x+1与gt=3t3+1
C. fx=xx与gx=1,x≥0,−1,x<0.
D. fx=x2−4x+2与gx=x−2
5.“∃x∈−2,1，x2−2a>0”为假命题的一个充分不必要条件是
( )
A. a≤0B. a≥3C. a≤2D. a≥1
6.若函数fx=ax−1 ax2−2ax+1的定义域为R，则实数a的取值范围是
( )
A. 0,1B. 0,1C. 0,2D. 0,2
7.函数fx=−xx−b在区间2,3上单调递增，则实数b的取值范围是
( )
A. 2,3B. 3,4C. 4,5D. 5,6
8.设a=9818，b=89−19，c=78−17，则下列关系正确的是
( )
A. c二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.对于实数a，b，c，下列命题正确的是
( )
A. 若ab，c≠0，则ac2>bc2
C. 若1a>1b，a，b同号，则aab>b2
10.下列函数中，既是偶函数，又在区间0,+∞上单调递减的是
( )
A. y=−x2+4B. y=x−1C. y=13xD. y= x
11.如图，某小区拟建造一个矩形绿地，如果在AB中点M正北方向25米处立起一根旗杆E，在BC中点N正东方向40米处立起一根旗杆F，且E，B，F三点在同一直线上，那么该矩形绿地的周长可能为
( )
A. 40 10米B. 60 10米C. 80 10米D. 90 10米
12.用x表示不超过x的最大整数，例如4.6=4，−2.5=−3，则
( )
A. ∀x∈R，x−1=x−1
B. 当x≥1时，|x|+2|x|的最小值为2
C. 不等式x2+5x−14≤0解集是−7,3
D. 方程x2=4x+3的解集为 15, 19
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.函数y=a2x−4+4(a>0且a≠1)的图象恒过定点______．
14.已知集合A=xx3−2x2+mx=0恰有7个真子集，则m的取值范围是__．
15.若2x=3y=4z=a，且2x+1y−1z=12，则实数a=______．
16.已知函数fx，gx的定义域均为R，fx为奇函数，gx+1为偶函数，f−1=2，gx+2−fx=12，则i=12024gi=______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
(1)计算：5−45−180+0.6412×−1 2−4；
(2)计算：lg25+lg2⋅lg50+lg22−e2ln3；
(3)已知a12+a−12=2，求a3+a−3+2a+a−1−1的值．
18.(本小题12分)
已知集合M=x|−3(1)求N∪∁UM；
(2)若C=x|a≤x≤2a−1且C⊆∁UM，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知a∈R，命题p:∃x∈0,1，a−1x−1>0；命题q:∀x∈R，x2+ax+4>0．
(1)写出命题p的否定¬p，并求¬p为真时，实数a的取值范围；
(2)若命题p，q有且只有一个为真，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知二次函数fx=2x2+2ax+4−a．
(1)若不等式fx<0的解集为⌀，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的x∈−4,4，fx=2x2+2ax+4−a恒大于零，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义．为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x(单位：百辆)新能源汽车需另投入成本Cx(单位：万元)，且如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完．(注：利润=销售额−成本)
(1)求2023年的利润Px(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；
(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
22.(本小题12分)
已知函数fx=axx+1a≠0．
(1)当a>0时，判断fx的单调性；
(2)若fx在区间1,2上的最大值为43．
(i)求实数a的值；
(ii)若函数gx=x+bxb>0，是否存在正实数b，使得对区间15,1上任意三个实数r，s，t，都存在以gfr，gfs，gft为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】利用补集定义即可求得∁UB．
解：因为集合U=2,3,4,7,8，B=2,7，所以∁UB=3,4,8．
故选：C．
2.【答案】A
【解析】【分析】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型．
按照充分必要条件的判断方法判断，“x>1且y>2”能否推出“x+y>3”，以及“x+y>3”能否推出“x>1且y>2”，判断得到正确答案，
解：当x>1且y>2时，x+y>3成立，
反过来，当x+y>3时，例：x=4,y=0，不能推出x>1且y>2．
所以“x>1且y>2”是“x+y>3”的充分不必要条件．
故选：A
3.【答案】D
【解析】【分析】由二次根式下的取值范围和分母不等于零直接求出．
解：要使原函数有意义，则4−x2≥0x2+3x−4≠0解得−2≤x≤2，且x≠1，所以函数y= 4−x2x2+3x−4的定义域为−2,1∪1,2．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】利用两函数为同一函数的定义对各选项逐一判断即可解决．
解：对于A，fx的定义域为R；
由得x≥1，所以gx的定义域为1,+∞,
所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，A错；
对于B，fx的定义域为R，gt的定义域为R，gt=3t3+1=t+1，
所以两函数的定义域相同，对应关系也相同，
所以这两个函数是同一个函数，所以B正确；
对于C，fx的定义域为−∞,0∪0,+∞，gx的定义域为R，
所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以C错；
对于D，fx的定义域为R，gx的定义域为R，
但是两函数的解析式不相同，所以两函数不是同一个函数，所以D错．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】【分析】存在量词命题的否定是全称命题，由存在量词命题是假命题，则其否定是真命题，转化为恒成立问题求解，分离参数求解最值即可得充要条件．
解：“∃x∈−2,1，x2−2a>0”为假命题⇔“∀x∈[−2,1]，x2−2a≤0”为真命题，
所以∀x∈[−2,1],2a≥x2恒成立，
设f(x)=x2，由x∈−2,1，则f(x)max=f(−2)=4，
故“∀x∈[−2,1]，x2≤2a”为真命题⇔2a≥4⇔a≥2．
选项A，，
即a≤0是“∃x∈−2,1，x2−2a>0”为假命题的一个既不充分又不必要条件，
故A不正确；
选项B，因为a≥3⇒a≥2，但a≥2≠a≥3，
所以a≥3是“∀x∈−2,1，x2−2a≤0”为真命题的一个充分不必要条件，
故B正确，
选项C，a≥2是“∀x∈−2,1，x2−2a≤0”为真命题的一个充要条件，
故C不正确；
选项D，，
a≥1是“∀x∈−2,1，x2−2a≤0”为真命题的一个必要条件不充分条件，
故D不正确．
故选：B．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据函数定义域可知ax2−2ax+1>0对任意x∈R恒成立求解即可．
解：若函数fx=ax−1 ax2−2ax−1的定义域为R，
则ax2−2ax+1>0对任意x∈R恒成立．
当a=0时，不等式ax2−2ax+1>0化为1>0，恒成立；
当a≠0时，需，解得0综上所述，实数a的取值范围是0,1．
故选：B．
7.【答案】B
【解析】【分析】根据二次函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解．
解：函数
由于fx=−xx−b在区间2,3上单调递增，所以f2故22−b>33−b，平方可得5b2−38b+65<0，解得135当x≥b时，函数fx=−x2+bx，图象开口向下，图象关于x=b2对称，
由于b>b2，所以fx在b,+∞上单调递减；
当x所以fx在−∞,b2上单调递减，在b2,b上单调递增．
若fx=−xx−b在区间2,3上单调递增，则有解得3≤b≤4．
故选：B．
8.【答案】C
【解析】【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断大小即可得解．
解：b=89−19=9819，
因为函数y=98x在R上是增函数，所以9819<9818，即b又c=78−17=8717，而y=x17在(0,+∞)上单调递增，所以8717>9817>9818=a，
所以c>a，因此b故选：C．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】直接用不等式的性质和作差法比较不等式的关系即可．
解：若a若a>b，c≠0，则c2>0，ac2>bc2，故 B正确；
若1a>1b，则1a−1b=b−aab>0，又因为a，b同号，故ab>0，所以b−a>0，则a若a0，ab−b2=ba−b>0，a2>ab>b2故 D正确．
故选：BCD．
10.【答案】AC
【解析】【分析】根据基本初等函数的奇偶性及单调性判断即可得解．
解：函数y=−x2+4是偶函数，又在区间0,+∞上单调递减，故 A符合；
函数y=x−1为奇函数，故 B不符合；
函数y=13x是偶函数，又在区间0,+∞上y=13x单调递减，故 C符合；
函数y= x定义域为[0,+∞)，不关于原点对称，既不是奇函数，也不是偶函数，故 D不符合．
故选：AC．
11.【答案】CD
【解析】【分析】首先设MB=x，BN=y，根据▵EMB∽▵BNF，得到xy=1000，再利用基本不等式的性质得到矩形绿地的周长≥80 10，即可得到答案．
解：如图，
设MB=x，BN=y，由题意知▵EMB∽▵BNF，
即EMMB=BNNF,EM=25，NF=40，所以25x=y40，化简得xy=1000，
因此矩形绿地的周长=2(2x+2y)≥2×2 2x⋅2y=8×10 10=80 10，
当且仅当x=y=10 10时取等号．故矩形菜地的周长可能为80 10米，90 10米．
故选：CD．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】设出x的整数部分与小数部分，再由[x]的意义判断A；利用不等式性质计算判断B；解不等式，结合[x]的意义判断C；确定[x]的范围，进而确定其值，代入计算判断D．
解：对于A，设x的整数部分为a，小数部分为b，则[x]=[a+b]=a,[x−1]=[a−1+b]=a−1，
因此x−1=x−1， A正确；
对于B，当|x|≥1时，[|x|]≥1，若[|x|]=1，则[|x|]+2[|x|]=3，
若[|x|]=2，则[|x|]+2[|x|]=3，若[|x|]≥3，则[|x|]+2[|x|]>[|x|]=3，因此[|x|]+2[|x|]≥3， B错误；
对于C，由不等式x2+5x−14≤0，得−7≤x≤2，由x表示不超过x的最大整数，
知−7≤x<3，因此原不等式的解集为−7,3， C正确；
对于D，由x2=4x+3，知x2为整数且4x+3≥0，解得x≥−34，显然x≥0，于是x≥0，
因为x2≤x2由4x+31+ 3或[x]<1− 3(舍去)，因此3≤x≤4，即x=3或x=4，
当x=3时，x2=4×3+3=15，解得x= 15；当x=4时，x2=4×4+3=19，解得x= 19，
所以方程x2=4x+3的解集为 15, 19， D正确．
故选：ACD
13.【答案】2,5
【解析】【分析】根据题意结合指数函数的定点运算求解．
解：令2x−4=0，解得x=2，此时y=a4−4+4=5，
所以函数y=a2x−4+4的图象恒过定点2,5．
故答案为：2,5．
14.【答案】−∞,0∪0,1
【解析】【分析】利用题给条件列出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范围．
解：由集合A恰有7个真子集，可得集合A中有3个元素，
即x3−2x2+mx=xx2−2x+m=0有3个不同解，
所以x2−2x+m=0有2个不为0的不同实数解，
则Δ=4−4m>0m≠0，解得m<1且m≠0，
故答案为：−∞,0∪0,1．
15.【答案】9
【解析】【分析】先指对互化可得x=lg2a,y=lg3a,z=lg4a，再结合换底公式以及对数的运算性质求解．
解：因为2x=3y=4z=a，可知x=lg2a,y=lg3a,z=lg4a，
又因为2x+1y−1z=12，即2lg2a+1lg3a−1lg4a=12，
由换底公式得2lga2+lga3−lga4=12，则lga22×3÷4=12，
即lga3=12，解得a=9．
故答案为：9．
16.【答案】1012
【解析】【分析】首先根据已知条件得到gx+4=gx，从而得到函数gx的周期为4，再根据g1+g3=g2+g4=1，求解i=12024gi即可．
解：因为fx为奇函数，所以f−x=−fx．
因为gx+1为偶函数，所以g−x+1=gx+1，
所以gx+2=g−x,g−x+2=gx．
又因为gx+2−fx=12，所以gx+2=fx+12①，
所以g−x+2=f−x+12，所以gx=−fx+12②，
①+②得gx+2+gx=1，所以gx+4+gx+2=1，所以gx+4=gx，
所以函数gx的周期为4，
又因为g1+g3=g2+g4=1，
所以i=12024gi=506×g1+g2+g3+g4=506×2=1012．
故答案为：1012．
17.【答案】解：(1)原式=5−45−180+0.6412×−1 2−4
=−4−1+0.8×4=−1.8．
(2)原式=lg52+lg2⋅lg50+(lg2)2−eln9
=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2−9
=2lg5+lg2+lg2⋅lg5+(lg2)2−9
=2lg5+lg2+lg2(lg5+lg2)−9=2lg5+lg2−9=−7
(3)因为a12+a12=2，
则a+a−1=a12+a−122−2=2,a2+a−2=a+a−12−2=2，
所以a3+a−3+2a+a−1−1=a+a−1a2+a−2−1+2a+a−1−1=2×2−1+22−1=4．

【解析】【分析】(1)利用幂的运算性质即可求得该式的值；
(2)利用对数的运算性质即可求得该式的值；
(3)利用完全平方公式及立方和公式即可求得该式的值．
18.【答案】解：(1)
因为U=x|−6≤x≤5，M=x|−3又因为N=x|0(2)
由(1)可知：∁UM=−6,−3∪2,5,
当C=⌀时，C⊆∁UM成立，此时a>2a−1，解得a<1；
当C≠⌀时，因为C⊆∁UM，
所以a≤2a−12a−1≤−3a≥−6或a≤2a−12a−1≤5a>2，解得2故a的取值范围是−∞,1∪2,3．

【解析】【分析】(1)根据题意结合集合的并集和补集运算求解；
(2)根据包含关系，分C=⌀和C≠⌀两种情况分析求解．
19.【答案】解：(1)
由题意，¬p:∀x∈0,1,a−1x−1≤0．
若¬p为真，即a−1≤1x对∀x∈0,1恒成立，所以只需a−1≤1，解得a≤2，
即实数a的取值范围是−∞,2．
(2)
由(1)可得，¬p为真时，a≤2.所以，若命题p为真，则a>2；
若命题q为真，则对于∀x∈R,x2+ax+4>0恒成立，因此只需Δ<0，即a2−16<0，解得−4因为命题p，q有且只有一个为真，
若p真q假，则有或解得a≥4；
若p假q真，则有解得−4综上，p，q有且只有一个为真时，a的取值范围是−4,2∪4,+∞

【解析】【分析】(1)否定命题的判断和一元一次不等式恒成立问题，直接求即可；
(2)结合二次函数的值域判断命题的真假．
20.【答案】解：(1)
因为2x2+2ax+4−a<0的解集为⌀，
抛物线y=2x2+2ax+4−a的图像开口向上，
所以Δ=2a2−4×24−a=4a2+8a−32≤0，
解得−4≤a≤2，即实数a的取值范围是−4,2．
(2)
因为fx=2x2+2ax+4−a>0在−4≤x≤4上恒成立，
所以fxmin>0．
而函数fx=2x2+2ax+4−a的图象开口向上，对称轴方程是x=−a2．
当−a2<−4即a>8时，对称轴在区间−4,4左侧，
所以fxmin=2×−42+2a×−4+4−a=−9a+36，
由−9a+36>0解得a<4，又a>8，故此时a无解；
当−4≤−a2≤4，即−8≤a≤8时，对称轴在区间−4,4内部，
所以fxmin=2×−a22+2a×−a2+4−a=−a22+4−a，
由−a22+4−a>0，解得−4又−8≤a≤8，则−4当−a2>4即a<−8时，对称轴在区间−4,4右侧，
所以fxmin=2×42+2a×4+4−a=7a+36，
由7a+36>0，解得a>−367，又a<−8，故此时a无解．
综上，实数a的取值范围−4,2．

【解析】【分析】(1)利用一元二次不等式解法即可求得实数a的取值范围；
(2)按实数a分类讨论，分别求得fx在−4,4上的最小值，再构造关于实数a的不等式，解之即可求得实数a的取值范围．
21.【答案】解：(1)
∴当0当x≥40时，Px=500x−501x−10000x+4500−2500=2000−x+10000x．
故
(2)
由(1)得
当0∴Pxmax=P20=1500；
当x≥40时，Px=2000−x+10000x≤2000−2 x+10000x=2000−200=1800，
当且仅当x=10000x，即x=100时等号成立，故Pxmax=P100=1800．
∵1800>1500，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．

【解析】【分析】(1)根据给定的函数表达式结合利润的求法即可得到函数关系；
(2)分022.【答案】解：(1)
由题意得fx=axx+1=a−ax+1,x≠−1．
设∀x1,x2∈(−∞,−1)且x1因为x10，
当a>0时，fx1−fx2<0，即fx1所以fx=a−ax+1在−∞,−1上单调递增；
同理可得，fx=a−ax+1在−1,+∞上单调递增．
故fx在−∞,−1和−1,+∞上单调递增．
(2)
(i)fx在区间1,2上的最大值为43．
①当a<0时，同理(1)可知，函数fx=a−ax+1在区间1,2上单调递减，
∴fxmax=f1=a−a2=a2=43，解得a=83>2(舍去)；
②当a>0时，函数fx=a−ax+1在区间1,2上单调递增，
∴fxmax=f2=a−a3=2a3=43，解得a=2∈1,2．
综上所述，a=2．
(ii)由(i)知，fx=2−2x+1，且fx在区间15,1上单调递增．
∴f15≤fx≤f1，即13≤fx≤1，
∴fx在区间15,1上的值域为13,1．
讨论函数gx=x+bxb>0：
令0当x1,x2∈0, b时，x1−x21−bx1x2>0，所以gx1>gx2，gx为减函数；
当x1,x2∈ b,+∞时，x1−x21−bx1x2<0，所以gx1∴gx在0, b为减函数，在 b,+∞为增函数，
令m=fx，则m∈13,1，∴gfx=gm=m+bmb>0．
在区间15,1上任意三个实数r，s，t，都存在以gfr，gfs，gft为边长的三角形，等价于m∈13,1，2gmmin>gmmax．
①当0< b≤13，即0∴gmmin=3b+13,gmmax=b+1，
由2gmmin>gmmax，即6b+23>b+1，得b>115，∴115②当19∴gmmin=2 b,gmmax=b+1，由2gmmin>gmmax，即4 b>b+1，得b2−14b+1<0，解得7−4 3③当13∴gmmin=2 b,gmmax=3b+13，由2gmmin>gmmax，即4 b>3b+13，得9b2−14b+19<0，解得7−4 39④当b≥1时，gm=m+bm在13,1上单调递减，
∴gmmin=b+1,gmmax=3b+13，由2gmmin>gmmax，即2b+2>3b+13，解得b<53，∴1≤b<53．
综上所述，实数b的取值范围为b115
【解析】【分析】本题第二问的关键是结合对勾函数的图象与性质，通过对b的分类讨论从而得到不等式，解出即可．
(1)根据单调性的定义判断单调性；
(2)(i)根据题意，分别对a<0和a>0两种情况讨论单调性，即可得出结果；
(ii)由题意gx=x+bxb>0，可证得gx在0, b为减函数，在 b,+∞为增函数，设m=fx，m∈13,1，则gm=m+bmb>0，从而把问题转化为m∈13,1，2gmmin>gmmax时，求实数b的取值范围．结合gm=m+bmb>0的单调性，分0