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2023-2024学年重庆市缙云教育联盟高一上学期11月月考数学试题(含解析）
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这是一份2023-2024学年重庆市缙云教育联盟高一上学期11月月考数学试题(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数fx是定义在R上的奇函数，f2+x=fx−2，且x∈−2,0时，fx=lg2−3x+1，则f2021=( )
A. 4B. lg27C. 2D. −2
2.下列每组中的两个函数是同一函数的是( )
A. y=1与y=x0;B. y=3x3与y=x;
C. y=x与y= x2;D. y=x与y= x2．
3.已知集合M={x|x+1≥0}，N={x|−2A. (−∞,−1]B. (2,+∞)C. (−1,2]D. [−1,2)
4.函数fx是定义在R上的偶函数，且在0,+∞上是增函数，若f−2=0，则使fa>0成立的实数a的范围是
( )
A. −∞,−2B. 2,+∞
C. −2,2D. −∞,−2∪2,+∞
5.如果定义在−∞,0∪0,+∞上的奇函数fx在0,+∞内是减函数，又有f3=0，则x⋅fx<0的解集为
( )
A. {x|−33}B. {x|x<−3或0C. {x|−33}
6.已知二次函数fx满足f(2)=−1,f(1−x)=f(x)，且fx的最大值是8，则此二次函数的解析式为f(x)=( )
A. −4x2+4x+7B. 4x2+4x+7C. −4x2−4x+7D. −4x2+4x−7
7.已知函数fx=x1+axa∈R，设关于x的不等式f(x+a)( )
A. (−1,0)B. −1,1− 52C. 1− 52,0D. 0,1+ 52
8.已知实数λ>0，记函数构成的集合Aλ={m(x)|∀x1,x2∈R,|m(x2)−m(x1)|<λ|x2−x1|}.已知实数α、β>0，若g(x)∈Aα，ℎ(x)∈Aβ，则下列结论正确的是( )
A. g(x)⋅ℎ(x)∈Aα⋅βB. 若ℎ(x)≠0，则g(x)ℎ(x)∈Aαβ
C. g(x)−ℎ(x)∈Aα−βD. g(x)+ℎ(x)∈Aα+β
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题中正确的是( )
A. 对任意a,b∈R，a2+b2≥2ab、a+b≥2 ab均成立
B. 若a≠0，则a+4a≥2 a⋅4a=4
C. 若a,b∈R，则ab≤a+b22
D. 若a>0，b>0，且a+b=16，则ab≤64
10.已知集合A∩B有2个元素且集合A和集合B的元素个数之和为6，则集合A的子集个数可能是( )
A. 4B. 8C. 16D. 32
11.已知实数a，b满足b>a>0，则下列结论正确的是
( )
A. ba2
C. 2 b> b−a+ aD. a+b a2+b2< 2
12.已知集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集，则下面正确的是
( )
A. a2−b2≤4
B. a2+1b≥4
C. 若不等式x2+ax−b<0的解集为x1,x2，则x1x2>0
D. 若不等式x2+ax+b三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.函数fx=m2−m−1xm2+7m+11是幂函数，则m= ．
14.若不等式x−115.已知函数f(x)=(x2−2x−3)(x2+ax+b)是偶函数，则f(x)的值域是 ．
16.已知函数f(x)，g(x)定义域均为R，且f(x+1)=−12f(x)+ 32g(x)，g(x+1)=−12g(x)− 32f(x)，f(x)=f(5−x)，g(365)=− 3，则k=12023f(k)= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
(1)已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有可能情况；
(2)巳知非空集合M⊆{1,2,3,4,5}，且当a∈M时，有6−a∈M，试求所有M可能的结果．
18.(本小题12分)
设函数fx=2x−1−x+3．
(1)将函数fx写成分段函数的形式并画出其图像；
(2)写出函数fx的单调递增区间和值域．
19.(本小题12分)
解关于x的不等式mx2+(2m−1)x−2>0(m∈R).
20.(本小题12分)
已知函数fx=x2−2|x−a|．
(1)若函数y=fx为偶函数，求a的值；
(2)若a=12，求函数y=fx的单调递增区间．
21.(本小题12分)
若给定集合A，对∀a，b∈A，有a+b∈A且a−b∈A，则称集合A为“好集合”．
(1)判断A={−4,−2,0,2,4}，B={…,−6,−4,−2,0,2,4,6,…}是否为“好集合”？(只需结果，不需过程)
(2)证明：D={x|x=3k,k∈Z}为“好集合”；
(3)若集合M，N均为“好集合”，则M∪N是否一定为“好集合”；如果是，请加以证明，如果不是，请说明理由．
22.(本小题12分)
设函数y=ax2+x−ba∈R,b∈R．
(1)若b=1，且集合x|y=0中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；
(2)解关于x的不等式y(3)当a>0,b>1时，记不等式y>0的解集为P，集合Q={x|−2−t答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】先求出函数的周期，再利用函数的周期性和奇偶性计算求解．
解：因为f2+x=fx−2，
所以函数f(x)是周期为4的周期函数，
则f(2021)=f(505×4+1)=f(1)=−f(−1)=−lg2(3+1)=−lg24=−2，
故选：D．
2.【答案】B
【解析】【分析】判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域和对应关系是否一致，根据选项进行分析即可．
解：关于选项A:y=x0的定义域为xx≠0，y=1的定义域为R，两个函数定义域不同，故选项 A错误;
关于选项B:y=3x3的定义域为R，y=x的定义域为R，且y=3x3=x，故两个函数解析式相同，故选项 B正确;
关于选项C:y= x2的定义域为xx≥0，y=x的定义域为R，两个函数定义域不同，故选项 C错误;
关于选项D:y= x2=x，两个函数解析式不同，故选项 D错误．
故选：B
3.【答案】C
【解析】【分析】交集及其运算．
求解一元一次不等式化简M，然后利用交集运算得答案．
解：∵M={x|x+1≥0}=[−1,+∞)，N={x|−2则M∩N=[−1,+∞)∩(−2,2)=[−1，2)．
故选C．
4.【答案】D
【解析】【分析】本题考查利用函数奇偶性与单调性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题．
根据函数奇偶性与单调性作出函数示意图，根据图象化简不等式，解得结果．
解：因为函数fx是定义在R上的偶函数，且在0,+∞上是增函数，若f−2=0，
所以函数fx示意图如下，由图可得fa>0⇒a>2或a<−2
故选：D
5.【答案】D
【解析】【分析】由x⋅fx<0可得出x<0fx>0或x>0fx<0，然后利用单调性可得出不等式x⋅fx<0的解集．
解：因为x⋅fx<0，所以当x>0时，f(x)<0，
因为fx在0,+∞内是减函数，且有f3=0，所以x>3；
当x<0时，fx>0，
因为fx为奇函数，且fx在0,+∞内是减函数，从而可知fx在−∞,0内是减函数，又有f3=0，从而f−3=0，
所以x<−3．
因此，不等式x⋅fx<0 的解集为−∞,−3∪3,+∞．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】【分析】根据条件设二次函数为f(x)=ax−122+k(a≠0)，代入条件求解即可．
解：根据题意，由f(1−x)=f(x)得：f(x)图象的对称轴为直线x=12，
设二次函数为f(x)=ax−122+k(a≠0)，
因f(x)的最大值是8，所以a<0，当x=12时，f12=k=8，
即二次函数f(x)=ax−122+8(a≠0)，
由f(2)=−1得：f(2)=a2−122+8=−1，解得：a=−4，
则二次函数f(x)=−4x−122+8=−4x2+4x+7，
故选：A．
7.【答案】C
【解析】【分析】根据条件分a=0，a>0和a<0三种情况讨论，由[−12,12]⊆A，求出a的取值范围．
解：显然当a=0时，A=⌀，不满足条件；
当a>0时，易知f(0)=0，当x>0时，f(x)=x(1+a|x|)>0，于是f(0+a)>0=f(0)，
而由[−12,12]⊆A，可得0∈A，即f(0+a)0也不满足条件，
当a<0时，函数f(x)=x(1+ax)=ax2+x,x≥0−ax2+x,x<0,
因为关于x的不等式f(x+a)如图所示，要使在−12,12上，函数y=f(x+a)的图象在函数y=f(x)的图象的下方，
只要f−12+a化简可得a2−a−1<0，解得1− 52所以a的取值范围为1− 52,0．
综上，a的取值范围为1− 52,0．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查集合与元素的关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．
根据g(x)∈Aα，ℎ(x)∈Aβ，结合其定义以及不等式的性质即可结合选项逐一求解．
【解答】
解：因为g(x)∈Aα，ℎ(x)∈Aβ，设x2>x1，
则−α(x2−x1)−β(x2−x1)<ℎ(x2)−ℎ(x1)<β(x2−x1)，
即有−(α+β)(x2−x1)所以g(x)+ℎ(x)∈Aα+β，故D正确；
由于ℎ(x)∈Aβ，则−ℎ(x)∈Aβ，即−β(x2−x1)<−[ℎ(x2)−ℎ(x1)]<β(x2−x1)，
所以−(α+β)(x2−x1)所以g(x)−ℎ(x)∈Aα+β，故C错误；
根据−α(x2−x1)无法得到−αβ(x2−x1)由于|ℎ(x2)−ℎ(x1)|<β(x2−x1)，
所以1|ℎ(x2)−ℎ(x1)|>1β(x2−x1)，
又|g(x2)−g(x1)|<α(x2−x1)，故无法得到|g(x2)ℎ(x2)−g(x1)ℎ(x1)|<αβ(x2−x1)，故B错误．
故选：D．
9.【答案】CD
【解析】【分析】根据基本不等式判断．
解：只有当a>0，b>0时，a+b≥2 ab成立，故 A错；
只有当a>0时，a+4a≥2 a⋅4a=4，故 B错；
若a,b∈R，则a2+b2≥2ab，即a2+b2+2ab=a+b2≥4ab，所以ab≤a+b24≤a+b22，故 C正确；
若a>0，b>0，则ab≤a+b22=64，当且仅当a=b=8时等号成立，故 D正确．
故选：CD．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了集合元素的性质以及子集的定义，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题．
根据已知判断出集合A中的元素个数，进而可以求解．
【解答】
解：因为集合A∩B有2个元素且集合A和集合B的元素个数之和为6，
则集合A中的元素个数可能有2个，3个，4个，
所以集合A的子集个数可能有4个，8个，16个，
故选：ABC．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】由作差法可判断AC，根据基本不等式可判断BD．
解：对于A，ba−a+2b+2=bb+2−aa+2ab+2=a+b+2b−aab+2，由于b>a>0，所以b−a>0,a+b+2>0，故ba−a+2b+2=a+b+2b−aab+2>0，因此ba>a+2b+2，故 A错误，
对于B，当a+b=2时，由于b>a>0，所以1a+1ba+b=2+ba+ab>2+2 ba×ab=4，因此1a+1b>2，故 B正确，
对于C，由于b>a>0，所以 b> a>02 b− a2− b−a2=4b+a−4 ab−b−a=3b+2a−4 ab>2 6ab−4 ab>0，所以2 b> b−a+ a，故 C正确，
对于D，由于a>0,b>0,a≠b，∵a2+b2>a+b22,∴ a2+b2>a+b 2,∴a+b a2+b2故选：BCD
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查集合的子集、基本不等式、一元二次不等式和一元二次方程的关系，属于中档题．
根据二次函数零点个数，结合根与系数的关系和基本不等式的应用等逐一判断即可．
【解答】
解：由题知：函数f(x)=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点，
所以Δ=a2−4b=0，即a2=4b>0．
对A，a2−b2⩽4等价于b2−4b+4⩾0，
显然(b−2)2⩾0恒成立，所以A正确；
对B，a2+1b=4b+1b⩾2 4b×1b=4，
当且仅当4b=1b即b=12时等号成立，所以B正确；
对C，因为不等式x2+ax−b<0的解集为x1,x2，
所以x1x2=−b<0，所以C错误；
对于D，因为不等式x2+ax+b则方程x2+ax+b−c=0的两根为x1,x2，
所以 (x1+x2)2−4x1x2= a2−4(b−c)= 4c=2 c=4，
所以c=4，所以D正确．
故选ABD．
13.【答案】2或−1
【解析】【分析】
根据幂函数的定义，即可求解．
本题考查幂函数的定义，基础题．
【解答】
解：fx=m2−m−1xm2+7m+11是幂函数，
∴m2−m−1=1,m2−m−2=0，解得m=2，或m=−1．
故答案为：2或−1．
14.【答案】[3,+∞)
【解析】【分析】充分条件与必要条件
解：x−115.【答案】[−16,+∞)
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性以及函数的值域，属于中档题．
根据偶函数，求出a，b的值，得到f(x)的解析式，进而求得函数的值域．
【解答】
解：因为f(x)=(x2−2x−3)(x2+ax+b)=x4+(a−2)x3+(b−2a−3)x2−(2b+3a)x−3b是偶函数，
则a−2=02b+3a=0，解得a=2b=−3,
所以f(x)=x4−10x2+9=x2−52−16⩾−16，
故f(x)的值域是[−16,+∞)．
故答案为[−16,+∞)．
16.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查函数的周期性，为较难题．
【解答】解：由f(x+1)=−12f(x)+ 32g(x)，得g(x)=2 33f(x+1)+ 33f(x) ①，
∴g(x+1)=2 33f(x+2)+ 33f(x+1) ②．
将 ①， ②代入g(x+1)=−12g(x)− 32f(x)，并整理得：
f(x+2)=−f(x+1)−f(x)，
∴f(x+3)=−f(x+2)−f(x+1)=f(x)．
∴f(x)是以3为周期的周期函数．
由 ①可知，g(x)也是以3为周期的周期函数，∴g(2)=g(365)=− 3．
由 ①得2 33f(3)+ 33f(2)=g(2)=− 3，
又∵f(x)=f(5−x)，∴f(3)=f(2)，解得f(3)=f(2)=−1，
∴f(1)=f(4)=−f(3)−f(2)=2．
注意到f(x+2)+f(x+1)+f(x)=0，2023=3×674+1，
∴k=12023f(k)=f(1)=2．
17.【答案】解：(1)∵集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，
∴集合M所有可能情况为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
(2)∵非空集合M⊆{1,2,3,4,5}，且当a∈M时，有6−a∈M，
∴所有M可能的结果为：{1,5}，{2,4}，{3}，{1,5,3}，{2,4,3}，{1,5,2,4}，{1,5,2,4,3}．
【解析】本题主要考查了集合间的基本关系，考查了元素与集合的关系，是基础题．
(1)利用集合间的包含关系求解．
(2)利用集合间的包含关系以及元素与集合间的关系求解．
18.【答案】解：(1)
当x≤12时，fx=−2x−1−x+3=−3x+4，
当x>12时，fx=2x−1−x+3=x+2，
所以fx=−3x+4,x≤12x+2,x>12,
其图像如下所示：
(2)
因为f12=2×12−1−12+3=52，
由图像可得fx的单调递增区间为−∞,12，值域为−∞,52．
【解析】【分析】(1)分x≤12和x>12分情况去绝对值即可得到解析式，根据解析式画出图像即可；
(2)根据图像即可得fx的单调递增区间和值域．
19.【答案】解：当m=0时，不等式为−x−2>0，解得x<−2；
当m≠0时，不等式变形为(mx−1)(x+2)>0，
①若m<−12，则−2②若m=−12，(x+2)2<0，所以x∈⌀，
③若−12④若m>0，则x>1m或x<−2．
综上所述，当m<−12时，x∈−2,1m；
当m=−12时，x∈⌀；
当−12当m=0时，x∈(−∞,−2)；
当m>0时，x∈−∞,−2∪1m,+∞．
【解析】【分析】本小题主要考查含参数分类讨论一元二次不等式的解法，属于中档题．
当m=0时，变为一元一次不等式来求解；当m≠0时，对m进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法，求得不等式的解集．
20.【答案】解：(1)任取x∈R，则有f(−x)=fx恒成立，
即(−x)2−2|−x−a|=x2−2|x−a|恒成立，
即|x+a|=|x−a|恒成立，a=0．
(2)当a=12时，fx=x2−2|x−12|=x2−2x+1x⩾12x2+2x−1x<12，由函数的图象可知，函数的单调递增区间为：(−1,12]、[1,+∞)．
【解析】【分析】函数的奇偶性；函数的图象．
(1)根据f−x=fx恒成立，求得a的值；(2)化简函数fx的解析式，数形结合求得fx的单调增区间．
21.【答案】解：(1)
A={−4,−2,0,2,4}不是“好集合”，
B={…,−6,−4,−2,0,2,4,6,…}是“好集合”；
(2)
证明：对∀a，b∈D={x|x=3k,k∈Z}，
存在k1，k2∈Z，使a=3k1，b=3k2，
则a+b=3(k1+k2)，a−b=3(k1−k2)，
∵k1，k2∈Z，∴k1+k2，k1−k2∈Z，
∴a−b，a+b∈D，
故集合D为“好集合”；
(3)
若集合M，N均为“好集合”，则M∪N不一定为“好集合”，
例如M={x|x= 2k,k∈Z}，N={x|x= 3k,k∈Z}，
易知M、N为“好集合”，
则M∪N={x|x= 2k或 3k，k∈Z}，
则 2， 3∈M∪N，但 2+ 3∉M∪N；
故M∪N不是好集合．
【解析】【分析】(1)可判断A={−4,−2,0,2,4}不是“好集合”，B={…,−6,−4,−2,0,2,4,6,…}是“好集合”；
(2)对∀a，b∈D={x|x=3k,k∈Z}，存在k1，k2∈Z，使a=3k1，b=3k2，可得a+b=3(k1+k2)，a−b=3(k1−k2)，从而证明；
(3)若集合M，N均为“好集合”，则M∪N不一定为“好集合”，举例M={x|x= 2k,k∈Z}，N={x|x= 3k,k∈Z}即可．
22.【答案】解：(1)
由题设y=ax2+x−1a∈R，又x|y=0有且只有一个元素，
所以ax2+x−1=0有且仅有一个根，
当a=0时，x−1=0，即x=1，则x|y=0={1}，满足题设；
当a≠0时，Δ=1+4a=0，即a=−14，则x|y=0={2}，满足题设；
所以a的取值集合为{−14,0}．
(2)
由题设ax2+x−b当b<1时，解集为{x|b当b=1时，解集为⌀；
当b>1时，解集为{x|1(3)
由t>0，恒有t−2>−t−2，故Q≠⌀，
y=f(x)=ax2+x−b>0且a>0,b>1，故f(x)开口向上且f(0)=−b<0，故对应一元二次方程恒有两个不等实根，且在y轴两侧，
因为P∩Q≠⌀，即f(x)>0在(−2−t,−2+t)上有解，且∀t∈(0,+∞)，
又区间(−2−t,−2+t)关于x=−2对称，且区间长度2t∈(0,+∞)，
综上，只需保证f(−2)=4a−2−b=0，则4a−b=2，且b=4a−2>1，即a>34，
所以1a−1b=12(2a−2b)=12(4a−ba−4a−bb)=52−12(ba+4ab)≤52− ba⋅4ab=12，
当且仅当b=2a，即a=1>34,b=2>1时等号成立，
故1a−1b的最大值为12．
【解析】【分析】第三问，将问题转化为f(x)=ax2+x−b>0在(−2−t,−2+t)上有解，且∀t∈(0,+∞)，根据区间(−2−t,−2+t)的特点得到f(−2)=0．
(1)由题设ax2+x−1=0有且仅有一个根，讨论参数a，结合函数性质求参数值；
(2)由题设x2−(b+1)x+b<0，应用分类讨论求一元二次不等式的解集；
(3)由题意f(x)=ax2+x−b>0在(−2−t,−2+t)上有解，且∀t∈(0,+∞)，而区间(−2−t,−2+t)关于x=−2对称，且区间长度为2t∈(0,+∞)，进而只需保证f(−2)=0得到参数a,b的数量关系，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意取值条件．
1.已知函数fx是定义在R上的奇函数，f2+x=fx−2，且x∈−2,0时，fx=lg2−3x+1，则f2021=( )
A. 4B. lg27C. 2D. −2
2.下列每组中的两个函数是同一函数的是( )
A. y=1与y=x0;B. y=3x3与y=x;
C. y=x与y= x2;D. y=x与y= x2．
3.已知集合M={x|x+1≥0}，N={x|−2
4.函数fx是定义在R上的偶函数，且在0,+∞上是增函数，若f−2=0，则使fa>0成立的实数a的范围是
( )
A. −∞,−2B. 2,+∞
C. −2,2D. −∞,−2∪2,+∞
5.如果定义在−∞,0∪0,+∞上的奇函数fx在0,+∞内是减函数，又有f3=0，则x⋅fx<0的解集为
( )
A. {x|−3
6.已知二次函数fx满足f(2)=−1,f(1−x)=f(x)，且fx的最大值是8，则此二次函数的解析式为f(x)=( )
A. −4x2+4x+7B. 4x2+4x+7C. −4x2−4x+7D. −4x2+4x−7
7.已知函数fx=x1+axa∈R，设关于x的不等式f(x+a)
A. (−1,0)B. −1,1− 52C. 1− 52,0D. 0,1+ 52
8.已知实数λ>0，记函数构成的集合Aλ={m(x)|∀x1,x2∈R,|m(x2)−m(x1)|<λ|x2−x1|}.已知实数α、β>0，若g(x)∈Aα，ℎ(x)∈Aβ，则下列结论正确的是( )
A. g(x)⋅ℎ(x)∈Aα⋅βB. 若ℎ(x)≠0，则g(x)ℎ(x)∈Aαβ
C. g(x)−ℎ(x)∈Aα−βD. g(x)+ℎ(x)∈Aα+β
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题中正确的是( )
A. 对任意a,b∈R，a2+b2≥2ab、a+b≥2 ab均成立
B. 若a≠0，则a+4a≥2 a⋅4a=4
C. 若a,b∈R，则ab≤a+b22
D. 若a>0，b>0，且a+b=16，则ab≤64
10.已知集合A∩B有2个元素且集合A和集合B的元素个数之和为6，则集合A的子集个数可能是( )
A. 4B. 8C. 16D. 32
11.已知实数a，b满足b>a>0，则下列结论正确的是
( )
A. ba
C. 2 b> b−a+ aD. a+b a2+b2< 2
12.已知集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集，则下面正确的是
( )
A. a2−b2≤4
B. a2+1b≥4
C. 若不等式x2+ax−b<0的解集为x1,x2，则x1x2>0
D. 若不等式x2+ax+b
13.函数fx=m2−m−1xm2+7m+11是幂函数，则m= ．
14.若不等式x−1
16.已知函数f(x)，g(x)定义域均为R，且f(x+1)=−12f(x)+ 32g(x)，g(x+1)=−12g(x)− 32f(x)，f(x)=f(5−x)，g(365)=− 3，则k=12023f(k)= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
(1)已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有可能情况；
(2)巳知非空集合M⊆{1,2,3,4,5}，且当a∈M时，有6−a∈M，试求所有M可能的结果．
18.(本小题12分)
设函数fx=2x−1−x+3．
(1)将函数fx写成分段函数的形式并画出其图像；
(2)写出函数fx的单调递增区间和值域．
19.(本小题12分)
解关于x的不等式mx2+(2m−1)x−2>0(m∈R).
20.(本小题12分)
已知函数fx=x2−2|x−a|．
(1)若函数y=fx为偶函数，求a的值；
(2)若a=12，求函数y=fx的单调递增区间．
21.(本小题12分)
若给定集合A，对∀a，b∈A，有a+b∈A且a−b∈A，则称集合A为“好集合”．
(1)判断A={−4,−2,0,2,4}，B={…,−6,−4,−2,0,2,4,6,…}是否为“好集合”？(只需结果，不需过程)
(2)证明：D={x|x=3k,k∈Z}为“好集合”；
(3)若集合M，N均为“好集合”，则M∪N是否一定为“好集合”；如果是，请加以证明，如果不是，请说明理由．
22.(本小题12分)
设函数y=ax2+x−ba∈R,b∈R．
(1)若b=1，且集合x|y=0中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；
(2)解关于x的不等式y
1.【答案】D
【解析】【分析】先求出函数的周期，再利用函数的周期性和奇偶性计算求解．
解：因为f2+x=fx−2，
所以函数f(x)是周期为4的周期函数，
则f(2021)=f(505×4+1)=f(1)=−f(−1)=−lg2(3+1)=−lg24=−2，
故选：D．
2.【答案】B
【解析】【分析】判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域和对应关系是否一致，根据选项进行分析即可．
解：关于选项A:y=x0的定义域为xx≠0，y=1的定义域为R，两个函数定义域不同，故选项 A错误;
关于选项B:y=3x3的定义域为R，y=x的定义域为R，且y=3x3=x，故两个函数解析式相同，故选项 B正确;
关于选项C:y= x2的定义域为xx≥0，y=x的定义域为R，两个函数定义域不同，故选项 C错误;
关于选项D:y= x2=x，两个函数解析式不同，故选项 D错误．
故选：B
3.【答案】C
【解析】【分析】交集及其运算．
求解一元一次不等式化简M，然后利用交集运算得答案．
解：∵M={x|x+1≥0}=[−1,+∞)，N={x|−2
故选C．
4.【答案】D
【解析】【分析】本题考查利用函数奇偶性与单调性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题．
根据函数奇偶性与单调性作出函数示意图，根据图象化简不等式，解得结果．
解：因为函数fx是定义在R上的偶函数，且在0,+∞上是增函数，若f−2=0，
所以函数fx示意图如下，由图可得fa>0⇒a>2或a<−2
故选：D
5.【答案】D
【解析】【分析】由x⋅fx<0可得出x<0fx>0或x>0fx<0，然后利用单调性可得出不等式x⋅fx<0的解集．
解：因为x⋅fx<0，所以当x>0时，f(x)<0，
因为fx在0,+∞内是减函数，且有f3=0，所以x>3；
当x<0时，fx>0，
因为fx为奇函数，且fx在0,+∞内是减函数，从而可知fx在−∞,0内是减函数，又有f3=0，从而f−3=0，
所以x<−3．
因此，不等式x⋅fx<0 的解集为−∞,−3∪3,+∞．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】【分析】根据条件设二次函数为f(x)=ax−122+k(a≠0)，代入条件求解即可．
解：根据题意，由f(1−x)=f(x)得：f(x)图象的对称轴为直线x=12，
设二次函数为f(x)=ax−122+k(a≠0)，
因f(x)的最大值是8，所以a<0，当x=12时，f12=k=8，
即二次函数f(x)=ax−122+8(a≠0)，
由f(2)=−1得：f(2)=a2−122+8=−1，解得：a=−4，
则二次函数f(x)=−4x−122+8=−4x2+4x+7，
故选：A．
7.【答案】C
【解析】【分析】根据条件分a=0，a>0和a<0三种情况讨论，由[−12,12]⊆A，求出a的取值范围．
解：显然当a=0时，A=⌀，不满足条件；
当a>0时，易知f(0)=0，当x>0时，f(x)=x(1+a|x|)>0，于是f(0+a)>0=f(0)，
而由[−12,12]⊆A，可得0∈A，即f(0+a)
当a<0时，函数f(x)=x(1+ax)=ax2+x,x≥0−ax2+x,x<0,
因为关于x的不等式f(x+a)
只要f−12+a
综上，a的取值范围为1− 52,0．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查集合与元素的关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．
根据g(x)∈Aα，ℎ(x)∈Aβ，结合其定义以及不等式的性质即可结合选项逐一求解．
【解答】
解：因为g(x)∈Aα，ℎ(x)∈Aβ，设x2>x1，
则−α(x2−x1)
即有−(α+β)(x2−x1)
由于ℎ(x)∈Aβ，则−ℎ(x)∈Aβ，即−β(x2−x1)<−[ℎ(x2)−ℎ(x1)]<β(x2−x1)，
所以−(α+β)(x2−x1)
根据−α(x2−x1)
所以1|ℎ(x2)−ℎ(x1)|>1β(x2−x1)，
又|g(x2)−g(x1)|<α(x2−x1)，故无法得到|g(x2)ℎ(x2)−g(x1)ℎ(x1)|<αβ(x2−x1)，故B错误．
故选：D．
9.【答案】CD
【解析】【分析】根据基本不等式判断．
解：只有当a>0，b>0时，a+b≥2 ab成立，故 A错；
只有当a>0时，a+4a≥2 a⋅4a=4，故 B错；
若a,b∈R，则a2+b2≥2ab，即a2+b2+2ab=a+b2≥4ab，所以ab≤a+b24≤a+b22，故 C正确；
若a>0，b>0，则ab≤a+b22=64，当且仅当a=b=8时等号成立，故 D正确．
故选：CD．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了集合元素的性质以及子集的定义，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题．
根据已知判断出集合A中的元素个数，进而可以求解．
【解答】
解：因为集合A∩B有2个元素且集合A和集合B的元素个数之和为6，
则集合A中的元素个数可能有2个，3个，4个，
所以集合A的子集个数可能有4个，8个，16个，
故选：ABC．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】由作差法可判断AC，根据基本不等式可判断BD．
解：对于A，ba−a+2b+2=bb+2−aa+2ab+2=a+b+2b−aab+2，由于b>a>0，所以b−a>0,a+b+2>0，故ba−a+2b+2=a+b+2b−aab+2>0，因此ba>a+2b+2，故 A错误，
对于B，当a+b=2时，由于b>a>0，所以1a+1ba+b=2+ba+ab>2+2 ba×ab=4，因此1a+1b>2，故 B正确，
对于C，由于b>a>0，所以 b> a>02 b− a2− b−a2=4b+a−4 ab−b−a=3b+2a−4 ab>2 6ab−4 ab>0，所以2 b> b−a+ a，故 C正确，
对于D，由于a>0,b>0,a≠b，∵a2+b2>a+b22,∴ a2+b2>a+b 2,∴a+b a2+b2
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查集合的子集、基本不等式、一元二次不等式和一元二次方程的关系，属于中档题．
根据二次函数零点个数，结合根与系数的关系和基本不等式的应用等逐一判断即可．
【解答】
解：由题知：函数f(x)=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点，
所以Δ=a2−4b=0，即a2=4b>0．
对A，a2−b2⩽4等价于b2−4b+4⩾0，
显然(b−2)2⩾0恒成立，所以A正确；
对B，a2+1b=4b+1b⩾2 4b×1b=4，
当且仅当4b=1b即b=12时等号成立，所以B正确；
对C，因为不等式x2+ax−b<0的解集为x1,x2，
所以x1x2=−b<0，所以C错误；
对于D，因为不等式x2+ax+b
所以 (x1+x2)2−4x1x2= a2−4(b−c)= 4c=2 c=4，
所以c=4，所以D正确．
故选ABD．
13.【答案】2或−1
【解析】【分析】
根据幂函数的定义，即可求解．
本题考查幂函数的定义，基础题．
【解答】
解：fx=m2−m−1xm2+7m+11是幂函数，
∴m2−m−1=1,m2−m−2=0，解得m=2，或m=−1．
故答案为：2或−1．
14.【答案】[3,+∞)
【解析】【分析】充分条件与必要条件
解：x−1
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性以及函数的值域，属于中档题．
根据偶函数，求出a，b的值，得到f(x)的解析式，进而求得函数的值域．
【解答】
解：因为f(x)=(x2−2x−3)(x2+ax+b)=x4+(a−2)x3+(b−2a−3)x2−(2b+3a)x−3b是偶函数，
则a−2=02b+3a=0，解得a=2b=−3,
所以f(x)=x4−10x2+9=x2−52−16⩾−16，
故f(x)的值域是[−16,+∞)．
故答案为[−16,+∞)．
16.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查函数的周期性，为较难题．
【解答】解：由f(x+1)=−12f(x)+ 32g(x)，得g(x)=2 33f(x+1)+ 33f(x) ①，
∴g(x+1)=2 33f(x+2)+ 33f(x+1) ②．
将 ①， ②代入g(x+1)=−12g(x)− 32f(x)，并整理得：
f(x+2)=−f(x+1)−f(x)，
∴f(x+3)=−f(x+2)−f(x+1)=f(x)．
∴f(x)是以3为周期的周期函数．
由 ①可知，g(x)也是以3为周期的周期函数，∴g(2)=g(365)=− 3．
由 ①得2 33f(3)+ 33f(2)=g(2)=− 3，
又∵f(x)=f(5−x)，∴f(3)=f(2)，解得f(3)=f(2)=−1，
∴f(1)=f(4)=−f(3)−f(2)=2．
注意到f(x+2)+f(x+1)+f(x)=0，2023=3×674+1，
∴k=12023f(k)=f(1)=2．
17.【答案】解：(1)∵集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，
∴集合M所有可能情况为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
(2)∵非空集合M⊆{1,2,3,4,5}，且当a∈M时，有6−a∈M，
∴所有M可能的结果为：{1,5}，{2,4}，{3}，{1,5,3}，{2,4,3}，{1,5,2,4}，{1,5,2,4,3}．
【解析】本题主要考查了集合间的基本关系，考查了元素与集合的关系，是基础题．
(1)利用集合间的包含关系求解．
(2)利用集合间的包含关系以及元素与集合间的关系求解．
18.【答案】解：(1)
当x≤12时，fx=−2x−1−x+3=−3x+4，
当x>12时，fx=2x−1−x+3=x+2，
所以fx=−3x+4,x≤12x+2,x>12,
其图像如下所示：
(2)
因为f12=2×12−1−12+3=52，
由图像可得fx的单调递增区间为−∞,12，值域为−∞,52．
【解析】【分析】(1)分x≤12和x>12分情况去绝对值即可得到解析式，根据解析式画出图像即可；
(2)根据图像即可得fx的单调递增区间和值域．
19.【答案】解：当m=0时，不等式为−x−2>0，解得x<−2；
当m≠0时，不等式变形为(mx−1)(x+2)>0，
①若m<−12，则−2
③若−12
综上所述，当m<−12时，x∈−2,1m；
当m=−12时，x∈⌀；
当−12
当m>0时，x∈−∞,−2∪1m,+∞．
【解析】【分析】本小题主要考查含参数分类讨论一元二次不等式的解法，属于中档题．
当m=0时，变为一元一次不等式来求解；当m≠0时，对m进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法，求得不等式的解集．
20.【答案】解：(1)任取x∈R，则有f(−x)=fx恒成立，
即(−x)2−2|−x−a|=x2−2|x−a|恒成立，
即|x+a|=|x−a|恒成立，a=0．
(2)当a=12时，fx=x2−2|x−12|=x2−2x+1x⩾12x2+2x−1x<12，由函数的图象可知，函数的单调递增区间为：(−1,12]、[1,+∞)．
【解析】【分析】函数的奇偶性；函数的图象．
(1)根据f−x=fx恒成立，求得a的值；(2)化简函数fx的解析式，数形结合求得fx的单调增区间．
21.【答案】解：(1)
A={−4,−2,0,2,4}不是“好集合”，
B={…,−6,−4,−2,0,2,4,6,…}是“好集合”；
(2)
证明：对∀a，b∈D={x|x=3k,k∈Z}，
存在k1，k2∈Z，使a=3k1，b=3k2，
则a+b=3(k1+k2)，a−b=3(k1−k2)，
∵k1，k2∈Z，∴k1+k2，k1−k2∈Z，
∴a−b，a+b∈D，
故集合D为“好集合”；
(3)
若集合M，N均为“好集合”，则M∪N不一定为“好集合”，
例如M={x|x= 2k,k∈Z}，N={x|x= 3k,k∈Z}，
易知M、N为“好集合”，
则M∪N={x|x= 2k或 3k，k∈Z}，
则 2， 3∈M∪N，但 2+ 3∉M∪N；
故M∪N不是好集合．
【解析】【分析】(1)可判断A={−4,−2,0,2,4}不是“好集合”，B={…,−6,−4,−2,0,2,4,6,…}是“好集合”；
(2)对∀a，b∈D={x|x=3k,k∈Z}，存在k1，k2∈Z，使a=3k1，b=3k2，可得a+b=3(k1+k2)，a−b=3(k1−k2)，从而证明；
(3)若集合M，N均为“好集合”，则M∪N不一定为“好集合”，举例M={x|x= 2k,k∈Z}，N={x|x= 3k,k∈Z}即可．
22.【答案】解：(1)
由题设y=ax2+x−1a∈R，又x|y=0有且只有一个元素，
所以ax2+x−1=0有且仅有一个根，
当a=0时，x−1=0，即x=1，则x|y=0={1}，满足题设；
当a≠0时，Δ=1+4a=0，即a=−14，则x|y=0={2}，满足题设；
所以a的取值集合为{−14,0}．
(2)
由题设ax2+x−b
当b>1时，解集为{x|1
由t>0，恒有t−2>−t−2，故Q≠⌀，
y=f(x)=ax2+x−b>0且a>0,b>1，故f(x)开口向上且f(0)=−b<0，故对应一元二次方程恒有两个不等实根，且在y轴两侧，
因为P∩Q≠⌀，即f(x)>0在(−2−t,−2+t)上有解，且∀t∈(0,+∞)，
又区间(−2−t,−2+t)关于x=−2对称，且区间长度2t∈(0,+∞)，
综上，只需保证f(−2)=4a−2−b=0，则4a−b=2，且b=4a−2>1，即a>34，
所以1a−1b=12(2a−2b)=12(4a−ba−4a−bb)=52−12(ba+4ab)≤52− ba⋅4ab=12，
当且仅当b=2a，即a=1>34,b=2>1时等号成立，
故1a−1b的最大值为12．
【解析】【分析】第三问，将问题转化为f(x)=ax2+x−b>0在(−2−t,−2+t)上有解，且∀t∈(0,+∞)，根据区间(−2−t,−2+t)的特点得到f(−2)=0．
(1)由题设ax2+x−1=0有且仅有一个根，讨论参数a，结合函数性质求参数值；
(2)由题设x2−(b+1)x+b<0，应用分类讨论求一元二次不等式的解集；
(3)由题意f(x)=ax2+x−b>0在(−2−t,−2+t)上有解，且∀t∈(0,+∞)，而区间(−2−t,−2+t)关于x=−2对称，且区间长度为2t∈(0,+∞)，进而只需保证f(−2)=0得到参数a,b的数量关系，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意取值条件．
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