2023-2024学年广东省深圳中学高一上学期期中考试数学试题(含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳中学高一上学期期中考试数学试题(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合P={x∈Nx≥3或x≤0}，Q=2,4，则(∁NP)∪Q=( )
A. 1B. 2C. 1,2D. 1,2,4
2.命题“∃x∈1,+∞,x3∈1,+∞”的否定是
( )
A. ∀x∈1,+∞，都有x3∉1,+∞B. ∀x∉1,+∞，都有x3∉1,+∞
C. ∀x∈1,+∞，都有x3∈1,+∞D. ∀x∉1,+∞，都有x3∈1,+∞
3.函数f(x)= x+12x的定义域是
( )
A. (−∞,−1)∪(−1,0)B. [−1,+∞)
C. [−1,0)D. [−1,0)∪(0,+∞)
4.fx=x−1+x−2的值域是
A. 0,+∞B. 1,+∞)C. 2,+∞D. 2,+∞)
5.已知幂函数的图象经过点P(8,4)，则该幂函数在第一象限的大致图象是
( )
A. B.
C. D.
6.函数f(x)=81lnx−13x−3−80的零点位于区间
( )
A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)
7.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为x−2( )
A. −1,12B. −12,1C. 12,1D. −2,1
8.已知f(x)和g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且g(x)−f(x)=ex，则f(1)g(1)=( )
A. e2+1e2−1B. e2−1e2+1C. 1−e21+e2D. 1+e21−e2
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有( )
A. f(x)=x+1与g(x)=x2−1x−1B. f(t)=t−1与g(x)=x−1
C. f(x)=lnex与g(x)=3x3D. f(x)=elnx与g(x)= x2
10.下列说法正确的是( )
A. 函数y=x+1x的最小值为2
B. 若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“a+b≠0”的充要条件
C. 若a，b，m为正实数，a>b，则a+mb+mD. “1a>1b”是“a11.下列命题正确的是( )
A. 函数y=lg12(x2−2x−3)在区间(1,+∞)上单调递减
B. 函数y=ex−1ex+1在R上单调递增
C. 函数y=lgx在区间(−∞,0)上单调递减
D. 函数y=13x与y=−lg3x的图像关于直线y=x对称
12.德国数学家狄里克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数D(x)，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0.下列关于狄里克雷函数D(x)的性质表述正确的是
( )
A. D(x)的解析式为Dx=1,x∈Q,0,x∈∁RQ.
B. D(x)的值域为0,1
C. D(x)的图像关于直线x=1对称
D. D(D(x))=1
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.计算 (−23)2+3−827+64−13+160.75+52⋅(4−15)−2=________．
14.已知a，b是方程2(lnx)2−3lnx+1=0的两个实数根，则lgab+lgba=________．
15.已知x>0,y>0且x+2y=xy，则x+2y的最小值是__________．
16.记T=(1−2x)(1−2y)，其中x2+y2=1，则T的取值范围是________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A=(x,y)|y=x−1，B=(x,y)|y=mx2+ax+m．
(1)若a=−1，m=0，求A∩B；
(2)若a=2 2+1，且A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
设不等式2x−5x−4≤1的解集为A，关于x的不等式x2−(a+2)x+2a≤0的解集为B．
(1)求集合A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请将函数f(x)的图象补充完整，并求出f(x)(x∈R)的解析式；
(2)求f(x)在区间a,0上的最大值．
20.(本小题12分)
为了减少能源损耗，某建筑物在屋顶和外墙建造了隔热层，该建筑物每年节省的能源费用ℎ(万元)与隔热层厚度x(cm)满足关系式：ℎx=32−32x+k0≤x≤20.当隔热层厚度为1cm时，每年节省费用为16万元，但是隔热层自身需要消耗能源，每年隔热层自身消耗的能源费用g(万元)与隔热层厚度x(cm)满足关系：gx=2x．
(1)求k的值；
(2)在建造厚度为x(cm)的隔热层后，每年建筑物真正节省的能源费用为fx=ℎx−gx，求每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值．
21.(本小题12分)
已知f(x)=2−x−3a2x+1，
(1)若定义在R上的函数g(x)=lnf(x)是奇函数，求a的值；
(2)若函数ℎ(x)=f(x)+a在(−1,+∞)上有两个零点，求a的取值范围．
22.(本小题12分)
定义在R上的函数fx满足如下条件：
①f(x+y)=f(x)+f(y)−4；
②f(2)=6；
③当x>0时，f(x)>4．
(1)求f(0)，判断函数fx的单调性，并证明你的结论；
(2)当x∈0,+∞时，不等式fln3−aex+1+f2−2x−ln3a≤10恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据补集的定义和运算可得∁NP=1,2，结合并集的定义和运算即可求解．
解：由题意知，∁NP=1,2，Q=2,4，
所以∁NP∪Q=1,2,4，
故选：D．
2.【答案】A
【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解．
解：根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题命题“∃x∈1,+∞,x3∈1,+∞”的否定是“∀x∈1,+∞，都有x3∉1,+∞．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】【分析】根据根式与分式的定义域求解即可．
解：fx= x+12x的定义域满足x+1≥02x≠0，解得x∈[−1,0)∪(0,+∞)．
故选：D
4.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了绝对值知识，对x的范围进行分类，可将含绝对值的函数转化成初等函数类型来解决
对x的范围分类，把fx的表达式去绝对值分段来表示，转化成各段函数值域的并集求解．
解：fx=x−1+x−2=3−2x,x≤11,1所以fx=x−1+x−2的值域为1,+∞,
故选B．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质即可得出答案．
解：设fx=xa，则8a=4⇔23a=22，所以3a=2，所以a=23，
所以fx=x23=3x2，因为0<23<1，
因为函数fx在0,+∞上递增，且增加的速度越来越缓慢，
故该幂函数在第一象限的大致图象是B选项．
故选：B．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据函数的单调性及函数零点的存在性定理选择正确选项即可．
解：因为函数y=81lnx与y=−13x−3−80在0,+∞上均为增函数，
所以fx在0,+∞上为增函数．
因为f2=81ln2−83<0，f3=81ln3−81>0，
所以函数fx的零点位于区间2,3内．
故选：B
7.【答案】A
【解析】【分析】根据不等式解集，求得参数a,b，再求不含参数的一元二次不等式即可．
解：根据题意方程ax2+bx+2=0的两根为−2,1，则−2+1=−ba,−2=2a，解得a=−1,b=−1，
故2x2−bx+a<0，即2x2+x−1<0，2x−1x+1<0，解得x∈−1,12．
即不等式2x2−bx+a<0的解集为−1,12．
故选：A．
8.【答案】C
【解析】【分析】根据奇函数与偶函数的性质即可代入x=1和x=−1求解．
解：因为fx为奇函数，gx为偶函数，所以由g−1−f−1=e−1有g1+f1=e−1，
又g1−f1=e，所以2g1=e−1+e，2f1=e−1−e，
所以f1g1=e−1−ee−1+e=1−e21+e2．
故选：C
9.【答案】BC
【解析】【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果．
解：对于A，fx定义域为R，gx定义域为x|x≠1，定义域不相同，不是同一函数， A错误；
对于B，函数fx与gx的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数，故正确；
对于C，函数fx=xx∈R，函数gx=xx∈R，两函数的定义域与对应关系都一致，所以是同一函数，故正确；
对于D，fx=xx>0，gx=x，所以对应关系不相同，定义域也不同，不是同一函数， D错误．
故选：BC
10.【答案】BC
【解析】解：根据基本不等式满足的前提条件即可判定A，根据绝对值和平方的性质可判定B，根据不等式的性质可判断CD．
【分析】对于A，当x取负值时显然不成立，故 A错误，
对于B，若a,b∈R，由a2+b2≠0，可知a，b不同时为0，
由a+b≠0，可知a，b不同时为0，
所以“a2+b2≠0”是“a+b≠0”的充要条件，故 B正确；
对于C，a+mb+m−ab=ba+m−ab+mbb+m=mb−abb+m<0，所以a+mb+m对于D，①若1a>1b，则当a>0，b>0时，则0当a<0，b<0时，则a当a，b异号时，a>0>b．
②若a1b，
当a，b异号时，a<0所以“1a>1b”是“a故选：BC
11.【答案】BCD
【解析】【分析】A项，由复合函数的定义域可知错误；B项分离常数转化为fx=1−2ex+1，逐层分析单调性可得；C项由偶函数对称性可知；D项，两函数互为反函数可知图象关于直线y=x对称．
解：对于A，由x2−2x−3>0，解得x<−1，或x>3，
故函数定义域为(−∞,−1)∪(3,+∞)，
由复合函数的单调性可知该函数的减区间为3,+∞，故 A错；
对于B，fx=1−2ex+1，
由于y=ex+1在x∈R单调递增，且ex+1>0，
所以y=1ex+1在R上单调递减，y=−2ex+1在R上单调递增，
因此fx在R上单调递增， B正确；
对于C，当x>0时，y=lgx(即y=lgx)在区间0,+∞上单调递增，
又因为y=lgx为偶函数，其图象关于y轴对称，
所以在区间−∞,0上单调递减， C正确；
对于D，由于函数y=13x与y=lg13x(即y=−lg3x)互为反函数．
所以两函数图象关于y=x对称， D正确．
故选：BCD．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】根据题意，由狄里克雷函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果．
解：对于A，用分段函数的形式表示狄里克雷函数，故A正确．
对于B，由解析式得Dx的值域为0,1，故 B错误；
过于C，若x为有理数，则2−x为有理数，则Dx=D2−x=1；若x为无理数，则2−x为无理数．则Dx=D2−x=0；所以Dx的图像关于直线x=1对称，即 C正确；
对于D，当x为有理数，可得Dx=1，则DDx=1，当x为无理数，可得Dx=0，则DDx=1，所以DDx=1，所以 D正确．
故选：ACD
13.【答案】414
【解析】【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解．
解：根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：
(−23)2+3−827+64−13+160.75+52⋅(4−15)−2=23+[(−23)3]13+(26)−13+(24)34+215⋅245
=23−23+14+8+2=1014=414．
故答案为：414．
14.【答案】52
【解析】【分析】方法一：利用韦达定理结合换底公式求解；方法二：解方程可得a=e，b= e，代入运算求解即可．
解：方法一：因为a，b是方程2lnx2−3lnx+1=0的两个实数根，
由韦达定理得lna⋅lnb=12，lna+lnb=32，
则lgab+lgba=lnblna+lnalnb=lna2+lnb2lna⋅lnb=lna+lnb2−2lna⋅lnblna⋅lnb=lna+lnb2lna⋅lnb−2=52，
即lgab+lgba=52；
方法二：因为2t2−3t+1=0的根为t=1或t=12，
不妨设lna=1，lnb=12，则a=e，b= e，
所以lgab+lgba=lge e+lg ee=12+2=52．
故答案为：52．
15.【答案】8
【解析】【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果．
解：因为x+2y=xy，所以2x+1y=1，
所以x+2y=x+2y2x+1y=2+xy+4yx+2≥4+2 xy⋅4yx=8，当且仅当xy=4yx，即x=4,y=2时取等号．
所以x+2y的最小值为8．
故答案为：8．
16.【答案】−32,3+2 2
【解析】【分析】根据基本不等式，结合换元法，将问题转化为T=2t−122−32，− 2≤t≤ 2上的范围，由二次函数的性质即可求解．
解：T=1−2x+y+4xy，设x+y=t，则xy=t2−12，
所以T=1−2t+4⋅t2−12=2t2−2t−1．
因为xy≤x+y22，所以t2−12≤t24.所以− 2≤t≤ 2．
又T=2t−122−32，所以当t=12时，T有最小值−32，当t=− 2时，T有最大值3+2 2．
故答案为：−32,3+2 2
17.【答案】解：(1)
若a=1，m=0，则B=x,y|y=x．
由y=x−1y=−x，得x=12y=−12．
所以A∩B=12,−12．
(2)
由x−y=1y=mx2+2 2+1x+m消去y，得mx2+2 2x+m+1=0①.
因为A∩B≠∅，所以方程①有解．
当m=0时，方程①可化为2 2x=−1，
解得x=− 24，所以y=− 24−1，
所以m=0符合要求．
当m≠0时，要使方程①有解，必须Δ=2 22−4mm+1≥0，
即m2+m−2≤0，解得−2≤m≤1，
所以−2≤m≤1，且m≠0．
综上所述，m的取值范围是−2,1．

【解析】【分析】(1)联立两方程，求出交点坐标，得到交集；
(2)联立后得到mx2+2 2x+m+1=0，分m=0与m≠0两种情况，，结合根的判别式得到不等式，求出答案．
18.【答案】(1)
解：由不等式2x−5x−4≤1，可得2x−5x−4−1=x−1x−4≤0，
即x−1x−4≤0，且x≠4，所以1≤x<4，所以A=1,4．
(2)
解：因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以集合B是A的真子集，
由不等式x2−a+2x+2a≤0，可得x−2x−a≤0，
当a<2时，不等式的解集为a≤x≤2，即B=a,2，因为B⫋A，则1≤a<2；
当a=2时，不等式为(x−2)2≤0，解得x=2，即B=2；B⫋A成立；
当a>2时，不等式的解集为2≤x≤a，即B=2,a，因为B⫋A，则2综上所述1≤a<4，即a的取值范围是1,4．

【解析】【分析】(1)根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解；
(2)根据题意，转化为B⫋A，再结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得集合B，进而求得a取值范围．
19.【答案】解：(1)
作出函数fx的图象，如图所示，
当x>0时，−x<0，则f−x=(−x)2+2−x=x2−2x，
因为fx为奇函数，
所以fx=−f−x=−x2+2x，
所以fx=x2+2x,x≤0−x2+2x,x>0．
(2)
易如f−2=f0=0，
当a<−2时，fx在x=a处有最大值fa=a2+2a；
当−2≤a<0时，fx在x=0处有最大值f0=0．

【解析】【分析】(1)根据函数的奇函数的对称性，即可根据对称作出函数图象，进而可利用奇函数的定义求解解析式，
(2)根据二次函数的性质，结合函数图象即可求解．
20.【答案】解：(1)
由题知ℎ1=16，所以32−321+k=16，
解得k=1；
(2)
由(1)知，ℎx=32−32x+10≤x≤20，
所以fx=32−32x+1−2x0≤x≤20，
所以fx=32−32x+1−2x+1+2=34−32x+1+2x+1，
因为32x+1+2x+1≥2 64=16，当且仅当32x+1=2x+1，即x=3时取等号，
所以fx≤34−16=18，
所以每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值为18万元．

【解析】【分析】(1)根据ℎ1=16求解出k 的值即可；
(2)根据条件先表示出fx，然后利用基本不等式求解出最大值，注意取等条件．
21.【答案】(1)
解：因为gx是奇函数，所以g−x+gx=ln2x−3a2−x+1+ln2−x−3a2x+1=0，
可得2x−3a2−x+1⋅2−x−3a2x+1=1，即3a+12x+2−x=9a2−1恒成立，
因为2x+2−x≠0，所以3a+1=0且9a2−1=0，所以a=−13．
(2)
解：由ℎ(x)=f(x)+a=2−x−3a2x+1+a，令ℎx=0，可得2−x−3a2x+1+a=0，
所以2−x−3a+a2x+1=0，
两边同乘以2x并整理，得a2x2−2a⋅2x+1=0．
令2x=t，因为x>−1，所以t>12，
于是方程可化为at2−2at+1=0，(∗)
问题转化为关于t的方程(∗)在12,+∞上有两个不相等的根，显然a≠0，
方法一：设pt=at2−2at+1，抛物线的对称轴为t=1，p0=1．
若a<0，由p0>0知，pt必有一个零点为负数，不合题意；
若a>0，要使pt在12,+∞上有两个零点，由于对数轴t=1>12，
故只需p12>0Δ=4a2−4a>0，即1−34a>04a(a−1)>0，解得1综上可得，实数a的取值范围是1,43．
方法二：方程(∗)可化为at−12=a−1，
若a=0，则0=−1，矛盾，故a≠0，故t−12=a−1a，
所以a−1a>0，即a<0或a>1，①
此时，t−1=± a−1a，即t=1± a−1a，其中1+ a−1a∈12,+∞，
则1− a−1a>12，即 a−1a<12，即a−1a<14，可得3a−4a<0，解得0由①②得a的取值范围是1,43．

【解析】【分析】(1)根据题意，结合g−x+gx=0，得出方程，进而求得实数a的值；
(2)令ℎx=0，得到2−x−3a+a2x+1=0，得到a2x2−2a⋅2x+1=0，令2x=t，转化方程可化为at2−2at+1=012,+∞上有两个不相等的根，
方法一：设pt=at2−2at+1，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解；
方法二：把方程化为t−12=a−1a，求得t=1± a−1a，结合1+ a−1a∈12,+∞，即可求解．
22.【答案】(1)
解：令x=2，y=0，可得f0=4．
函数fx在R上为增函数，
证明如下：
设x1令x+y=x1，x=x2，则y=x2−x1，可得fx2−fx1=fx2−x1−4，
因为x2−x1>0，所以fx2−x1>4，所以fx2−x1−4>0，
所以fx2−fx1>0，即fx2>fx1，
所以函数fx在R上为增函数．
(2)
解：由条件有fx+fy=fx+y+4，
则不等式可化为fln3−aex+1+2−2x−ln3a+4≤10，
即fln3−aex+1+2−2x−ln3a≤6，
又由f2=6，所以fln3−aex+1+2−2x−ln3a≤f2，
因为函数fx在R上为增函数，可得ln3−aex+1+2−2x−ln3a≤2
即ln3−aex+1−2x−ln3a≤0(∗)对于任意x∈0,+∞成立，
根据对数函数的性质，可得3−aex+1>0，3a>0对于任意x∈0,+∞成立，
则a<3+1exa>0，因为x≥0，则ex≥1，所以0<1ex≤1，
可得3<1ex+3≤4，所以0又由(∗)式可化为ln3−aex+1≤2x+ln3a=ln3ae2x，
即对于任意x∈0,+∞,3−aex+1≤3ae2x成立，即3ae2x+a−3ex−1≥0成立，
即对于任意x∈0,+∞,3ex+1aex−1≥0成立，
因为3ex+1>0，所以aex−1≥0对于任意x∈0,+∞成立，
即a≥1exmax对于任意x∈0,+∞成立，所以a≥1②.
由①②，可得1≤a≤3，所以实数a的取值范围为1,3．
【解析】【分析】(1)令x=2,y=0，求得f0=4，再根据函数单调性的定义和判定方法，证得函数fx在R上为增函数；
(2)根据题意，转化为不等式ln3−aex+1−2x−ln3a≤0(∗)对于任意x∈0,+∞成立，由对数函数的性质，求得0