北师大版九年级数学上册 专题2.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】（举一反三）（学生版）

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TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc4072" 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】 PAGEREF _Tc4072 \h 1
\l "_Tc29428" 【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】 PAGEREF _Tc29428 \h 3
\l "_Tc3501" 【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】 PAGEREF _Tc3501 \h 4
\l "_Tc7704" 【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】 PAGEREF _Tc7704 \h 6
\l "_Tc1663" 【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】 PAGEREF _Tc1663 \h 9
\l "_Tc3588" 【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】 PAGEREF _Tc3588 \h 11
\l "_Tc19513" 【题型7 根与系数关系中的新定义问题】 PAGEREF _Tc19513 \h 14
\l "_Tc3708" 【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 PAGEREF _Tc3708 \h 19
【知识点 一元二次方程的根与系数的关系】
如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】
【例1】（2023•江安县模拟）若α、β是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的两根，则的值是 ．
【分析】根据根与系数的关系可得α+β，αβ，再根据完全平方公式以及分式的加法法则即可求出代数式的值．
【解答】解：∵α+β，αβ，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，
∴，
故答案为：．
【变式1-1】（2023秋•密山市校级期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，
∴x1+x2＝7；x1x2＝5．
则（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝5﹣7+1＝﹣1．
故选：B．
【变式1-2】（2023•汉川市模拟）已知实数a、b满足|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则的值是（ ）
A．B．C．2D．
【分析】根据非负数的性质得出a＝2，b＝3，根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1•x2＝3，将变形为，整体代入即可求得．
【解答】解：∵实数a、b满足|b+3|＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝a＝2，x1•x2＝b＝﹣3，
∴，
故选：A．
【变式1-3】（2023春•琅琊区校级月考）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的两个根，则α﹣β的值为（ ）
A．﹣9B．9C．﹣9或9D．﹣5或5
【分析】利用根与系数的关系可得出α+β＝5，α•β＝﹣14，将其代入（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4α•β中可求出（α﹣β）2的值，开方后即可求出α﹣β的值．
【解答】解：∵α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的两个根，
∴α+β＝5，α•β＝﹣14，
∴（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4α•β＝52﹣4×（﹣14）＝81，
∴α﹣β＝±9．
故选：C．
【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】
【例2】（2023•乳山市模拟）若x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，则3x12﹣3x1+x22＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，将3x12﹣3x1+x22变形后求值即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，
∴x1+x2，x1x2，2x12﹣3x1+1＝0，
∴3x12﹣3x1+x22
＝2x12﹣3x1+x12+x22
＝﹣1
＝﹣11
，
故选：A．
【变式2-1】（2023•牟平区一模）已知一元二次方程x2﹣2023x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则x121的值为（ ）
A．﹣1B．0C．﹣2023D．﹣2023
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到x12+1＝2023x1，则x121变形为2023，再根据根与系数的关系得到x1x2＝1，然后利用整体的方法计算即可．
【解答】解：∵x＝x1为方程x2﹣2023x+1＝0的根，
∴x12﹣2023x1+1＝0，
∴x12+1＝2023x1，
∴x121＝2023x12023，
∵方程x2﹣2023x+1＝0的两个根分别为x1，x2，
∴x1x2＝1，
∴x121＝20230．
故选：B．
【变式2-2】（2023•东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣6m﹣n+2023的值是（ ）
A．2016B．2018C．2023D．2023
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣5m﹣1＝0，则m2﹣5m＝1，根据根与系数的关系得出m+n＝5，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的根，
∴m2﹣5m﹣1＝0，
∴m2﹣5m＝1，
∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝5，
∴m2﹣6m﹣n+2023＝m2﹣5m﹣m﹣n+2023＝1﹣5+2023＝2018．
故选：B．
【变式2-3】（2023春•海门市期末）若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2023的值为 ．
【分析】由m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根可得：m2＝2m+1，n2＝2n+1，m+n＝2，代入所求式子即可得到答案．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，m+n＝2，
∴m2＝2m+1，n2＝2n+1，
∴2m2+4n2﹣4n+2023
＝2（2m+1）+4（2n+1）﹣4n+2023
＝4m+2+8n+4﹣4n+2023
＝4（m+n）+2028
＝4×2+2028
＝2036，
故答案为：2036．
【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】
【例3】（2023•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2023x1+x22的值是（ ）
A．4045B．4044C．2023D．1
【分析】把x＝x1代入方程表示出x12﹣2023＝x1，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的关系求出所求即可．
【解答】解：把x＝x1代入方程得：x12﹣x1﹣2023＝0，即x12﹣2023＝x1，
∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2023，
则原式＝x1（x12﹣2023）+x22
＝x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝1+4044
＝4045．
故选：A．
【变式3-1】（2023•硚口区模拟）已知a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，则代数式﹣a3+5a的值是（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2﹣a＝5，ab＝﹣5，变形后可得出a2﹣5＝a，a，将其代入﹣a3+5aa（a2﹣5）中可得出原式＝﹣a2+a，再结合a2﹣a＝5，即可求出原式＝﹣5．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，
∴a2﹣a＝5，ab＝﹣5，
∴a2﹣5＝a，a，
∴﹣a3+5aa（a2﹣5）a2+a＝﹣（a2﹣a）＝﹣5．
故选：B．
【变式3-2】（2023•松山区模拟）若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+17的值为（ ）
A．﹣2B．6C．﹣4D．4
【分析】根据m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，可以得到m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，然后变形得到m3和4n2，再代入所求式子，计算即可．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，
∴m2＝3﹣m，n2＝3﹣n，
∴m3＝3m﹣m2＝3m﹣3+m＝4m﹣3，4n2＝12﹣4n，
∴m3﹣4n2+17
＝4m﹣3﹣12+4n+17
＝4（m+n）+2
＝4×（﹣1）+2
＝﹣4+2
＝﹣2，
故选：A．
【变式3-3】（2023春•汉阳区校级月考）已知m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则代数式2m3+5n24的值是（ ）
A．57B．58C．59D．60
【分析】将代数式的次数化为一次，然后将m，n的值代入求解即可．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，
∴m2﹣4m+2＝0，n2﹣4n+2＝0，m+n＝4
∴m2＝4m﹣2，n2＝4n﹣2，
∴n＝4，即4﹣n，m3＝4m2﹣2m＝14m﹣8，
∴原式＝2（14m﹣8）+5（4n﹣2）﹣8（4﹣n）+4
＝28（m+n）﹣54
＝58．
故选：B．
【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】
【例4】（2023秋•毕节市期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（ ）
A．﹣3或1B．﹣1或3C．﹣1D．3
【分析】根据根与系数关系得出：x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2，代入中，求出m的值，再进行检验即可．
【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，
∴x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2，
∴1，
解得：m＝3或m＝﹣1，
把m＝3代入方程得：x2﹣9x+9＝0，Δ＝（﹣9）2﹣4×1×9＞0，此时方程有解；
把m＝﹣1代入方程得：x2﹣x+1＝0，Δ＝1﹣4×1×1＜0，此时方程无解，即m＝﹣1舍去．
故选：D．
【变式4-1】（2023秋•黔西南州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．且x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，则a的值为（ ）
A．﹣6B．﹣1C．1或﹣6D．6或﹣1
【分析】先根据判别式的意义得到a＜3，再根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，利用x12+x22﹣x1x2＝16得到4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解关于a的方程，然后利用a的范围确定满足条件的a的值．
【解答】解：根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得a＜3，
根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，
即4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
整理得a2﹣5a﹣6＝0，
解得a1＝﹣1，a2＝6，
而a＜3，
∴a的值为﹣1．
故选：B．
【变式4-2】（2023春•仓山区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx+3k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝3，求k的值．
【分析】（1）通过计算根的判别式的值得到Δ＝4k2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）设方程的两实数解为a、b，根据根与系数的关系得a+b＝4k，ab＝3k2，再利用|a﹣b|＝3得到（a+b）2﹣4ab＝9，则16k2﹣4×3k2＝9，然后解方程，从而得到满足条件的k的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣4k）2﹣4×3k2＝4k2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的两实数解为a、b，
根据根与系数的关系得x1+x2＝4k，x1x2＝3k2，
∵|x1﹣x2|＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
∴16k2﹣4×3k2＝9，
即k2，
解得k1，k2．
故k的值为或．
【变式4-3】（2023•内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且x12+2x2﹣1，则k的值为 ．
【分析】根据x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，可得x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，把x12+2x2﹣1变形再整体代入可得4﹣k，解出k的值，并检验即可得k＝2．
【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵x12+2x2﹣1，
∴2（x1+x2）﹣k，
∴4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】
【例5】（2023•鄞州区模拟）已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，则的值为（ ）
A．23B．﹣23C．﹣2D．﹣13
【分析】根据（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，把a、b可看成是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根，然后根据根与系数的关系进行求解．
【解答】解：∵a、b是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根，
整理此方程，得x2+5x+1＝0，
∵Δ＝25﹣4＞0，
∴a+b＝﹣5，ab＝1．
故a、b均为负数．
因此．
故选：B．
【变式5-1】（2023秋•鄞州区校级期末）已知实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，且的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】方法1：2β2﹣5β﹣2＝0，可得2（）2+52＝0，那么α、是方程2x2+5x﹣2＝0的两实根，由根与系数关系得α，α•1，再把变形（α）+α•，然后利用整体代入的方法计算；
方法2：代数式先提取前两项中的，再提取即可．
【解答】解：方法1：∵2β2﹣5β﹣2＝0，
∴β≠0，
方程两边同时除以﹣β2，可得2（）2+52＝0，
又2α2+5α﹣2＝0，
∴α、是方程2x2+5x﹣2＝0的两实根，
∴α，α•1，
∴
1+α•α
（α）+α•1
（）+（﹣1）+1
．
方法2：
（α）α
α
（α）
（）
．
故选：A．
【变式5-2】（2023•周村区二模）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（ ）
A．4B．1C．﹣2D．﹣1
【分析】先把已知条件变形得到a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，则可把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab＝mn﹣2，从而得到ab﹣mn的值．
【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，
∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，
而a、b、m、n为互不相等的实数，
∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，
∴ab＝mn﹣2，
∴ab﹣mn＝﹣2．
故选：C．
【变式5-3】（2023春•杭州期中）若xy+x≠1，且5x2+300x+9＝0，9y2+318y+314＝0，则的值是 ．
【分析】方程9y2+318y+314＝0可变形为9（y+1）2+300（y+1）+5＝0，把9（y+1）2+300（y+1）+5＝0两边都除以（y+1）2得5×（）2+3009＝0，结合xy+x≠1可得出x，是方程5x2+300x+9＝0的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系可得答案．
【解答】解：∵9y2+318y+314＝0，
∴9（y+1）2+300（y+1）+5＝0．
把9（y+1）2+300（y+1）+5＝0两边都除以（y+1）2，得5×（）2+3009＝0．
∵xy+x≠1，
∴x，
∴x，是方程5x2+300x+9＝0的两个不相等的实数根，
∴．
故答案为：．
【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】
【例6】（2023•新华区校级一模）已知关于x的一元二次方程（p+1）x2+2qx+（p+1）＝0（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论：
①1和一1都是方程x2+qx+p＝0的根
②0可能是方程x2+qx+p＝0的根
③﹣1可能是方程x2+qx+p＝0的根
④1一定不是方程x2+qx+p＝0的根
其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．①④
【分析】根据根的判别式可得Δ＝（2q）2﹣4（p+1）2＝0，进一步可得q＝±（p+1），可知x＝1或x＝﹣1可能是但不能同时是方程x2+qx+p＝0的根；当x＝0时，可得p和q的值且符合题意，即可进行判断．
【解答】解：根据题意，可得Δ＝（2q）2﹣4（p+1）2＝0，且p+1≠0，
∴q＝±（p+1），
当q＝p+1时，q﹣p﹣1＝0，
此时x＝﹣1是方程x2+qx+p＝0的根，
当q＝﹣（p+1）时，q+p+1＝0，
此时x＝1是方程x2+qx+p＝0的根，
∵p+1≠0，
∴p+1≠﹣（p+1），
∴x＝1和x＝﹣1不能同时是方程x2+qx+p＝0的根，
故①④不符合题意，③选项符合题意；
当x＝0时，p＝0，
∴q＝±1，
∴当p＝0，q＝±1时，x＝0是方程x2+qx+p＝0的根，
故②符合题意，
故选：C．
【变式6-1】（2023春•余杭区月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0，且ac≠0，a≠c．下列说法正确的是（ ）
A．若方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0没有实数根
B．若方程ax2+bx+c＝0的两根符号相同，则方程cx2+bx+a＝0的两根符号也相同
C．若5是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则5也是方程cx2+bx+a＝0的一个根
D．若方程ax2+bx+c＝0和方程cx2+bx+a＝0有一个相同的根，则这个根必是x＝1
【分析】利用根的判别式与根与系数的关系判断即可．
【解答】解：A、若方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
则有b2﹣4ac＝0，可得方程cx2+bx+a＝0也有两个相等的实数根，不符合题意；
B、若方程ax2+bx+c＝0的两根符号相同，即0，
则方程cx2+bx+a＝0的两根符号也相同，符合题意；
C、把x＝5代入方程得：25a+5b+c＝0，
而25c+5b+a不一定为0，即x＝5不一定是方程cx2+bx+a＝0的一个根，不符合题意；
D、若方程ax2+bx+c＝0和方程cx2+bx+a＝0有一个相同的根，
则有ax2+bx+c＝cx2+bx+a，即（a﹣c）x2＝a﹣c，
由a≠c，得到x2＝1，即x＝±1，不符合题意．
故选：B．
【变式6-2】（2023春•仓山区校级期末）已知两个关于x的一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c．下列结论错误的是（ ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是x＝1
【分析】A、一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝0，对于方程cx2+bx+a＝0，Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程N也有两个相等的实数根；
B、利用ac＜0和根的判别式进行判断即可；
C、把x＝5代入ax2+bx+c＝0得：25a+5b+c＝0，等式的两边同除以25得到cb+a＝0，于是得到是方程N的一个根，无法得到5是方程N的一个根；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根可能是x＝±1．
【解答】解：A、∵方程M有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
∵方程N的Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴方程N也有两个相等的实数根，故不符合题意；
B、∵方程M的两根符号相同，
∴0，且b2﹣4ac＞0，
∴0，且b2﹣4ac＞0，
∴方程N也有一个正根和一个负根，故不符合题意；
C、∵把x＝5代入ax2+bx+c＝0得：25a+5b+c＝0，
∴cb+a＝0，
∴是方程N的一个根，故不符合题意；
D、∵方程M和方程N有一个相同的根，
∴ax2+bx+c＝cx2+bx+a，
∴（a﹣c）x2＝a﹣c，
∵a≠c，
∴x2＝1，
∴x＝±1，
即这个根可能是x＝±1；故符合题意．
故选：D．
【变式6-3】（2023春•瑶海区校级期末）关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p是正数，q是负数B．（p﹣2）2+（q﹣2）2＜8
C．q是正数，p是负数D．（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8
【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判断B与D．
【解答】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，
∴x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，
故选项A与C说法均错误，不符合题意；
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，
∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，
∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），
故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
【题型7 根与系数关系中的新定义问题】
【例7】（2023秋•武侯区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．
【分析】①解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；
②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；
③根据方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；
④根据韦达定理和x1＝3x2，得出3x22（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用关于2的等距方程的定义进行判断．
【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
∴x1＝0，x2＝4，
则|x1﹣2|＝|x2﹣2|，①正确；
②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，则x1＝﹣1，x2，
∵5m＝﹣n，
∴x2＝5，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，满足2的等距方程；
当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，故②错误；
③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），
由韦达定理得：x1+x2，
∵方程是2的等距方程，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，
∴x1＝x2或x1+x2＝4，
当x1＝x2时，x1＝x2，不能判断a与b之间的关系，
当x1+x2＝4时，即4，
∴b＝﹣4a，
故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；
④对于方程px2﹣x0有两根满足x1＝3x2，
由韦达定理得：x1x2，x1+x2，
∴x1x2（x1+x2），
∴3x22（3x2+x2）＝3x2，
∴x2＝1或x2＝0（舍去），
∴x1＝3x2＝3，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
即px2﹣x0是关于2的等距方程，故④正确，
故正确的有①④，
故答案为①④．
【变式7-1】（2023秋•金牛区期末）将两个关于x的一元二次方程整理成a（x+h）2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与方程（x+1）2﹣2＝0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b﹣2c＝ 4 ，ax1+x1x2+ax2的最大值是 ．
【分析】根据新的定义可知b＝2a，c＝a﹣2，即可得到b﹣2c＝2a﹣2（a﹣2）＝4，由根与系数的关系x1+x2＝﹣2，x1x2，代入变形后的代数式得到ax1+x1x2+ax2＝a（x1+x2）+x1x2＝﹣2a2（a）+1，设at（t＞0），得a2﹣t•a+1＝0，根据题意解得t≥2，即a2，即可得到ax1+x1x2+ax2＝﹣2（a）+1≤﹣3．
【解答】解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）可变形为a（x+1）2﹣2＝0，
∴a（x+1）2﹣2＝ax2+bx+c，
∴ax2+2ax+a﹣2＝ax2+bx+c，
∴b＝2a，c＝a﹣2，
∴b﹣2c＝2a﹣2（a﹣2）＝4，
∵x1+x2＝﹣2，x1x2
∴ax1+x1x2+ax2＝a（x1+x2）+x1x2＝﹣2a2（a）+1，
∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根为x1、x2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2a）2﹣4a（a﹣2）＝8a≥0，且a≠0，
∴a＞0，
设at（t＞0），得a2﹣t•a+1＝0，
∵方程a2﹣t•a+1＝0有正数解，
∴Δ＝t2﹣4≥0，解得t≥2，即a2，
∴ax1+x1x2+ax2＝﹣2（a）+1≤﹣3，
∴ax1+x1x2+ax2的最大值是﹣3．
故答案为：4，﹣3．
【变式7-2】（2023秋•章贡区期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请说明方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；
（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m，n具有怎样的关系？
（3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，则a，b，c的等量关系是 ．（直接写出结果）
【分析】（1）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝1，然后根据“倍根方程”可判断方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；
（2）利用因式分解法解方程得x1＝2，x2，再利用“倍根方程”的定义得到2×2或2，从而得到m、n的关系式；
（3）设方程的两根分别为t，2t，根据根与系数的关系得t+2t，t•2t，然后消去t得到a、b、c的关系．
【解答】解：（1）（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝2，x2＝1，
∴方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；
（2）∵（x﹣2）（mx+n）＝0，
∴x1＝2，x2，
当2×2时，n＝﹣4m，即4m+n＝0；
当2时，n＝﹣m，即m+n＝0；
综上所述，m、n的关系式为4m+n＝0或m+n＝0．
（3）∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，
∴设方程的两根分别为t，2t，
根据根与系数的关系得t+2t，t•2t，
∴t，
∴2（）2，
∴2b2＝9ac．
故答案为：2b2＝9ac．
【变式7-3】（2023春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
【分析】（1）据“差根方程”定义判断即可；
（2）根据x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，从而得到a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到1，整理即可得到b2＝a2+4a．
【解答】解：（1）①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|6，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2，x1•x2，
∴|x1﹣x2|1，
∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；
（2）x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，
∴x1+x2，x1•x2，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|1，即1，
∴b2＝a2+4a．
【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】
【例8】（2023秋•锦江区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围；
【分析】（1）首先计算△，再根据非负数的性质可判断出Δ≥0，进而得到结论；
（2）当两根一个大于5一个小于5时，得到方程有两个不相等的实数根其两根与5的差的积小于零，列出不等式解之即可；
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝（m﹣4）2≥0，
∴不论m取何实数，该方程总有两个实数根；
（2）设两个实数根为x1，x2，
则x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣4，
∵方程的一个根大于5，另一个根小于5，
∴（x1﹣5）（x2﹣5）＝x1x2﹣5（x1+x2）+25＜0，
∴2m﹣4﹣5m+25＜0，
解得：m＞7，
∴方程的一个根大于5，另一个根小于5，m的取值范围是m＞7；
【变式8-1】（2023春•临平区月考）已知一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0．
（1）试判断方程根的情况．
（2）若m＜0时方程的两根x1，x2满足x1•x2＞1，且n＝1，求m的取值范围．
【分析】（1）通过一元二次方程根的判别式求解．
（2）由一元二次方程根与系数的关系求出x1•x21，进而求解．
【解答】解：（1）∵一元二次方程mx2+nx−（m+n）＝0，
∴m≠0，Δ＝n2−4m×[−（m+n）]＝（n+2m）2≥0，
∴该方程有两个实数根．
（2）将n＝1代入方程mx2+nx−（m+n）＝0，得mx2+x−（m+1）＝0，
∵方程的两根x1，x2满足x1•x2＞1，
∴x1•x21，
当m＜0时，可得m＜0，
即m的取值范围是m＜0．
【变式8-2】（2023秋•新都区校级月考）实数k取何值时，关于x的一元二次方程x2+（3k﹣1）x+3k﹣2＝0
（1）有两个负根？
（2）两根异号，且负根绝对值较大？
（3）一根大于5，一根小于5？
【分析】（1）根据一元二次方程有两个实根，则判别式△≥0，并且两根的和小于0，且两根的积大于0，根据一元二次方程的根与系数的关系即可得到关于k的不等式组，即可求得k的范围；
（2）根据一元二次方程有两个不相等的实根，则判别式Δ＞0，并且负根的绝对值较大，则两根的和小于0，且两根的积小于0，根据一元二次方程的根与系数的关系即可得到关于k的不等式组，即可求得k的范围；
（3）设方程的两个根分别是x1、x2，根据题意，得（x1﹣5）（x2﹣5）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系即可求得k的取值范围，再根据Δ＞0确定k的范围．
【解答】解：（1）设方程的两个负根为x1、x2，则：
Δ＝（3k﹣1）2﹣4（3k﹣2）＝9（k﹣1）2≥0 ①，
x1+x2＝1﹣3k＜0，x1x2＝3k﹣2＞0 ②，
解①得：k为任意实数，
解②得：k，
所以k的取值范围是k；
（2）设方程的两个根为x1、x2，则：
Δ＝（3k﹣1）2﹣4（3k﹣2）＝9（k﹣1）2＞0 ①，
x1+x2＝1﹣3k＜0，x1x2＝3k﹣2＜0 ②，
解①得：k≠1，
解②得：k，
所以k的取值范围是k；
（3）设方程的两个根为x1、x2，则：
Δ＝（3k﹣1）2﹣4（3k﹣2）＝9（k﹣1）2＞0 ①，
（x1﹣5）（x2﹣5）＜0 ②，
解①得：k≠1，
由②得：x1x2﹣5（x1+x2）+25＜0，
又x1+x2＝1﹣3k，x1x2＝3k﹣2，
代入整理，得18k+18＜0，
解得k＜﹣1．
则k＜﹣1．
【变式8-3】（2023春•越秀区校级月考）设关于x的方程x2﹣5x﹣m2+1＝0的两个实数根分别为α、β．
（1）证明：无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当|α|+|β|≤6时，试确定实数m的取值范围．
【分析】（1）根据根的判别式即可求解；
（2）根据x的方程x2﹣5x﹣m2+1＝0的实根为α、β，由根与系数的关系列出不等式即可解出m的取值范围．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣5）2﹣4（﹣m2+1）＝4m2+21＞0，
∴无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵α+β＝5，αβ＝1﹣m2，|α|+|β|≤6，
∴α2+β2+2|αβ|≤36，
即（α+β）2﹣2αβ+2|αβ|≤36．
∴25﹣2（1﹣m2）+2|1﹣m2|≤36，
当1﹣m2≥0时，25≤36成立，
∴﹣1≤m≤1①．
当1﹣m2＜0时，
得25﹣4（1﹣m2）≤36，
∴−m②．
由①、②得−m．