还剩12页未读，
继续阅读
2023-2024学年四川省成都市金太阳11月高一上学期联考数学试卷（含解析）
展开
这是一份2023-2024学年四川省成都市金太阳11月高一上学期联考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A= {x｜-1A. {x｜x>-1 }B. {x｜-1C. {x｜1≤x<3 }D. R
2.已知A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，下列对应法则不可以作为从A到B的函数的是( )
A. f:x→y=2xB. f:x→y=x2
C. f:x→y=1xD. f:x→y=|x-4|
3.下列结论正确的是( )
A. 若a>b，则1a>1bB. 若a>b，则a2>b2
C. 若a>b，c≠0，则ac>bcD. 若a>b，c>0，则ac>bc
4.设x∈R，则“x(x-4)<0”是“x-1<1”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.函数f(x)=1x2+x+1的最大值为
( )
A. 53B. 43C. 1D. 23
6.若0( )
A. 12B. 6+4 3C. 9+ 6D. 252
7.近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元∕斤､b元∕斤(a≠b)，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙购买猪肉的平均单价分别记为m1元∕斤，m2元∕斤，则下列结论正确的是
( )
A. m1m2
C. m1=m2D. m1，m2的大小无法确定
8.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，且∀x1，x2∈[ 0,+∞)，当x1≠x2时，都有f(x1)-f(x1)x1-x2>0，若对于任意的x∈[12,1 ]，不等式f(ax+ 1)≤f(x-2)恒成立，则实数a的取值范围是
( )
A. [-5,1 ]B. [-5,0 ]C. [-2,0 ]D. [-2,1 ]
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列各组中M，P表示相同集合的是
( )
A. M= {x∣x= 2n,n∈Z }，P= {x∣x= 2(n+ 1),n∈Z }
B. M= {y∣y=x2+ 1,x∈R }，P= {x∣x=t2+ 1,t∈R }
C. M= {x∣35-x∈Z，x∈N }，P= {x∣x= 2k,1≤k≤4,k∈N }
D. M= {y∣y=x2-1,x∈R }，P= {(x,y)∣y=x2-1，x∈R }
10.关于函数f(x)=2x+1x-1，正确的说法是
( )
A. f(x)与x轴仅有一个交点B. f(x)的值域为{y∣y≠2 }
C. f(x)在(1,+∞)单调递增D. f(x)的图象关于点(1,2)中心对称
11.若a>0，b>0，且a+b= 2，则下列不等式恒成立的是
( )
A. ab≤1B. 1a+1b≤2C. a2+b2≥2D. a+ b≤2
12.设函数f(x) = min {∣x-2∣,x2,∣x+ 2∣}，其中min {x,y,z}表示x，y，z中的最小者．下列说法正确的有
( )
A. 函数f(x)为偶函数
B. 当x∈(1,+∞)时，f(x-2)≤f(x)
C. 当x∈[-4,4 ]时，∣f(x-2)∣≥f(x)
D. 当x∈R时，f(f(x))≤f(x)
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.幂函数y=x23在(0,+∞)上的单调性是_________.(填“单调递增”或“单调递减”)
14.已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x2-1，则f(-2)=________．
15.已知集合A= {x｜-1≤x≤4 }，集合B= {x｜2m16.已知函数fx=3x+1,x≤1x2-1,x>1，若n>m，且f=f(m)，设t=n-m，则t的最大值为___________________( )
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合M= {x｜1(1)求M∩N和M∪(∁ RN)；
(2)设A= {x｜a≤x≤a+ 3 }，若A∪(∁ RN)= R，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=-2xx+1,x∈(0,+∞)．
(1)判断函数f(x)的单调性，并利用定义证明；
(2)若f2m-1>f1-m，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知实数x>0，y>0，且2xy=x+y+a(x2+y2)，a∈R．
(1)当a= 0时，求2x+ 4y的最小值，并指出取最小值时x，y的值；
(2)当a=12时，求x+y的取值范围．
20.(本小题12分)
目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助．该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E=kv2t，其中v为传感器在静水中行进的速度(单位：km∕h)，t为行进的时间(单位：h)，k为常数，如果待测量的河道的水流速度为3 km∕h.设该传感器在水中逆流行进10 km消耗的能量为E．
(1)求E关于v的函数关系式；
(2)当v为多少时传感器消耗的能量E最小？并求出E的最小值．
21.(本小题12分)
已知命题p：x满足ax-2≤0,ax+1>0, 命题q：x满足x2-x-2<0．
(1)若存在x∈(12,3)，p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
对于函数f(x)，若f(x0)=x0，则称x0为f(x)的“不动点”，若f[f(x0)]=x0，则称x0为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f(x)=x}，B={x|f[f(x)]=x}，那么，
(1)求函数g(x)=3x-8的“稳定点”；
(2)求证：A⊆B；
(3)若f(x)=ax2-1(a,x∈R)，且，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的并集运算，属于基础题．
根据题意，由集合并集的定义，直接计算即可得答案．
【解答】
解：因为集合A= {x｜-1由集合的并集的定义得A∪B=x|x>-1．
故选A
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的定义，属于基础题．
求出每个选项中对应法则中y的取值范围，结合函数的定义逐项判断，可得出合适的选项．
【解答】
解：对于A选项，当1≤x≤2时，y=2x∈[2,4]，且[2,4]⊆B，且对于任意x都有唯一的y值与之对应，
则选项A中的对应法则可以作为从A到B的函数;
对于B选项，当1≤x≤2时，y=x2∈[1,4]，且B=[1,4]，则选项B中的对应法则可以作为从A到B的函数；
对于C选项，当1≤x≤2时，y=1x∈[12,1]，且[12,1]⊈B，则选项C中的对应法则不能作为从A到B的函数；
对于D选项，当1≤x≤2时，-3≤x-4≤-2，则y=|x-4|∈[2,3]，且[2,3]⊆B，且对于任意x都有唯一的y值与之对应，则选项D中的对应法则可以作为从A到B的函数．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了命题真假的判断，以及不等式性质的应用，属于基础题．
取特殊值可判断ACD，利用不等式的性质判断B．
【解答】
解：对A，取 a=0,b=-1 ，显然 1a>1b 不成立，故A错误；
对B， a=0,b=-1 时，显然 02<(-1)2 ，故B错误
对C，取 c=-1 时，由 a>b 可得 ac对D，由不等式性质知 a>b ， c>0 ，则 ac>bc 正确，故D正确
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分、必要、充要条件的判断，以及解绝对值不等式，一元二次不等式，是基础题．
先求解两个不等式，根据充分性、必要性的定义判断即可
【解答】
解：由题意，由x(x-4)<0,得0由|x-1|<1，得0故“x(x-4)<0”推不出“|x-1|<1”，充分性不成立；
但“|x-1|<1”可以推出“x(x-4)<0”，必要性成立，
则“x(x-4)<0”是“|x-1|<1”的必要不充分条件．
故选B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
利用配方法求出x2+x+1≥34，从而可求得f(x)的最大值．
本题主要考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
【解答】
因为x2+x+1=(x+12)2+34≥34，
所以0<1x2+x+1≤43，
所以函数f(x)=1x2+x+1的最大值为43．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
由32·2x+(1-3x)=1可得，32x+21-3x=32·2x+1-3x32x+21-3x=132+6x1-3x+31-3x2x，根据基本不等式，即可得解，注意等号成立条件．
【解答】
解：∵0∴32x+21-3x=32·2x+1-3x32x+21-3x=132+6x1-3x+31-3x2x⩾132+2 6x1-3x·31-3x2x=252，
当且仅当6x1-3x=31-3x2x，结合0所以y=32x+21-3x的最小值是252，
故选D．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题注意考查基本不等式，属于基础题．
利用基本不等式求最值即可．
【解答】
解：根据题意可得m1=20+2020a+20b=2aba+b≤2ab2 ab= ab，当且仅当a=b等号成立，
m2=6a+6b12=a+b2≥ ab，当且仅当a=b等号成立，
由题意可得a≠b，所以m1< ab，m2> ab，则m2>m1．
故选A．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性及单调性，同时考查不等式恒成立问题，属于较难题．
由已知得f(x)为偶函数，且在[0,+∞)单调递增，将问题转化为|ax+1|≤|x-2|在[12,1]上恒成立，然后去掉绝对值，分离参数求解即可．
【解答】解： 因为函数f(x)满足f(-x)=f(x)，
所以f(x)为偶函数，
又当x1，x2∈[0,+∞)时都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0，
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增，
所以不等式f(ax+1)≤f(x-2)，即f(|ax+1|)≤f(|x-2|)，
所以|ax+1|≤|x-2|在[12,1]上恒成立，
又当x∈12,1时，|x-2|=2-x，
所以|ax+1|≤2-x在[12,1]上恒成立，
即x-2≤ax+1≤2-x 在[12,1]上恒成立，
所以1-3x≤a≤1x-1在[12,1]上恒成立．
又当x∈12,1时，y=1-3x单调递增，(1-3x)max=-2，
当x∈12,1时，y=1x-1单调递减，(1x-1)min=0．
所以-2≤a≤0．
则实数a的取值范围是-2,0．
故选C．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查集合相等的概念，属于基础题．
根据集合相等的定义以及集合的表示法，即可逐项确定正误．
【解答】
解：选项A：集合M与集合P都表示全体偶数的集合，故集合M和集合P表示相同的集合；
选项B：集合M与集合P都表示同一个集合{x|x≥1}，故M和集合P表示相同的集合；
选项C：M= {x∣35-x∈Z，x∈N }=2,4,6,8，P= {x∣x= 2k,1≤k≤4,k∈N }=2,4,6,8，故M和集合P表示相同的集合；
选项D：集合M可化简为{y|y≥-1}，是一个数集，集合P表示曲线y=x2-1上的点构成的点集，故集合M和集合P表示不同的集合．
故选ABC．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查命题真假性的判断，考查函数图象的性质，数形结合思想，属于基础题．
将函数f(x)分离系数可得f(x)=2+3x-1，画出图象数形结合，逐一分析即可
【解答】
解：f(x)=2x+1x-1=2(x-1)+3x-1=2+3x-1，作出函数f(x)图象如图：
由图象可知，
函数只有一个零点，定义域为{x|x≠1}，
在(1,+∞)上单调递减，值域为{y∣y≠2 }，
图象关于(1,2)对称，故C错误，
故选：ABD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了不等式比较大小，是基础题．
利用不等式的性质及基本不等式对各个选项逐一验证即可．
【解答】
解：对于A，ab≤a+b24=1，当且仅当a=b=1时取等号，故A正确；
对于B，1a+1b=12a+b1a+1b=122+ba+ab≥122+2 ba·ab=2，
当且仅当a=b=1时取等号，B错误；
对于C，因为a2+b2≥a+b22=2，a=b=1时等号成立，所以a2+b2≥2成立，故C正确；
对于D，因为( a+ b)2=a+b+2 ab=2+2 ab≤2+a+b=4，
当且仅当a=b=1时等号成立，故 a+ b≤2，故D正确；
故选ACD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的图象作法，函数的奇偶性，分段讨论的思想，属于较难题．
首先根据已知写出函数解析式，进而判断出函数的奇偶性，最后根据分段函数的性质分别判断每一个选项．
【解答】
解：根据已知得，fx=x+2,x⩽-1x2,-1作出函数图象如下：
易判断函数为偶函数，故A正确；
B.对B选项，当x>1时，f(x) = |x-2|，f(x-2)可以看做是f'(x)向右平移两个单位，经过平移
知f(x-2)≤f(x)恒成立，故选项 B正确;
对C选项，根据函数图像向右平移2个单位的图像不完全在原来函数图像上方知选项C错误．
D.当-4当x≤-4时，ffx-fx=x+2-2-x+2 =x+4-x+2=-2<0；
当-3当-2同理，x>1时，可得ffx-fx≤0，
综上述，ffx≤fx在R上恒成立，故D正确；
故选ABD．
13.【答案】单调递增
【解析】【分析】
本题考查了幂函数的性质，属于基础题．
由幂函数的性质可判断得幂函数y=x23的单调性即可．
【解答】
解：因为23>0，故幂函数y=x23在(0,+∞)上的单调性是单调递增．
14.【答案】-3
【解析】【分析】
本题考查函数值的计算，考查函数的奇偶性，比较基础．
直接利用奇函数的定义，即可得出结论．
【解答】
解：由题意，f(2)=22-1=3，
∵f(x)是奇函数，
∴f(-2)=-f(2)=-3．
故答案为-3．
15.【答案】(-∞,-2]∪[1,+∞)
【解析】【分析】
本题考查含参数的交集运算问题，属于基础题．
由题意得A∩B=⌀，于是由B=⌀，再分B=⌀和B≠⌀两种情况列出相应的不等式组即可得到答案．
【详解】
因为∀x∈B，x∉A为真命题，所以A∩B=⌀，
又因为集合A={x|-1≤x≤4}，集合B={x|2m所以当B=⌀时，2m≥m+1，即m≥1，此时满足A∩B=⌀;
当B≠⌀时，2m所以m的取值范围为(-∞,-2]∪[1,+∞).
故答案为：(-∞,-2]∪[1,+∞).
16.【答案】1712
【解析】【分析】
本题考查分段函数的运用，考查二次函数的运用：求单调性和最值，考查化简运算能力，属于中档题．
根据条件，求出m和n的范围以及两者之间的关系，再把所求转化为关于n的二次函数，利用二次函数的性质求解结论．
【解答】解：函数f(x)=3x+1,x≤1x2-1,x>1，若n>m，且f(n)=f(m)，
令f(x)=4，
解得x=1或x= 5，
即有m≤1， 5≥n>1，
可得3m+1=n2-1，可得m=13(n2-2)，
则t=n-m=n-13(n2-2)=-13n2+n+23，1对称轴为n=32，
∴当n=32时，t取最大值1712．
故答案为：1712．
17.【答案】解：(1)由题意，可得∁RN={x|x≤3或x≥5}，
所以M∩N=x|3(2)因为A={x|a≤x≤a+3}，若A∪(∁RN)=R，
所以a≤3,a+3≥5,解得2≤a≤3，所以a的取值范围是[2,3]．
【解析】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于基础题．
(1)根据补集、交集，并集的知识求得正确答案．
(2)根据 A∪∁RN=R 列不等式，由此求得 a 的取值范围．
18.【答案】解：(1)f(x)在(0,+∞)上递减，理由如下：
任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1f(x2)-f(x1)=-2x2x2+1+2x1x1+1
=2x1(x2+1)-2x2(x1+1)(x2+1)(x1+1)
=2(x1-x2)(x2+1)(x1+1)，
因为x1,x2∈(0,+∞)，且x1所以x1-x2<0，(x2+1)(x1+1)>0，
所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x2)所以f(x)在(0,+∞)上递减；
(2)由(1)可知f(x)在(0,+∞)上递减，
所以由f2m-1>f1-m，得
2m-1>01-m>02m-1<1-m，解得12所以实数m的取值范围为12,23．
【解析】本题考查判断或证明函数的单调性、利用函数的单调性解不等式，属于基础题．
(1)利用函数单调性的定义证明即可；
(2)由函数的单调性结合定义域可得关于m的不等式组，解不等式组可得实数m的取值范围．
19.【答案】解：(1)当a=0时，2xy=x+y，∴1x+1y=2，
∴2x+4y=12(2x+4y)(1x+1y)=(x+2y)(1x+1y)=3+2yx+xy⩾3+2 2
当且仅当2yx=xy且1x+1y=2，即y=2+ 24，x= 2+12时取等号，
此时x+4y的最小值为3+2 2；
(2)当a=12时，2xy=x+y+12(x2+y2)=x+y+12(x+y)2-xy，
∴3xy=x+y+12(x+y)2⩽3(x+y2)2，解得x+y⩾4，
当且仅当x=y，且2xy=x+y+12(x2+y2)，即x=y=2时取等号，
所以x+y的取值范围是[4,+∞).
【解析】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算能力，属于中档题．
(1)利用基本不等式可得2x+4y=12(2x+4y)(1x+1y)=(x+2y)(1x+1y)=3+2yx+xy⩾3+2 2
(2)2xy=x+y+12(x2+y2)=x+y+12(x+y)2-xy，然后利用基本不等式求出最小值，进而求出结果．
20.【答案】解：(1)由题意，该传感器在水中逆流行进10km所用的时间t=10v-3(v>3)，
则所消耗的能量E=kv2⋅10v-3(v>3)．
(2)有E=kv2⋅10v-3=10k⋅v2v-3=10k⋅[(v-3)+3]2v-3=10k[(v-3)+9v-3+6]≥10k(6+6)=120k，
当且仅当v-3=9v-3，即v=6km/h时等号成立，此时E=kv2⋅10v-3取得最小值120k．
【解析】本体考查函数模型的应用，属于基础题．
(1)根据题意先表示出t的表达式，然后即可求出E关于v的函数关系式;
(2)利用基本不等式即可求出最值．
21.【答案】解：(1)当x∈(12,3)时，由ax-2≤0,ax+1>0得-1而-2<-1x<-13，23<2x<4，∴-2故实数a的取值范围是(-2,4)．
(2)设集合A={x|ax-2≤0,ax+1>0,={x|-1若p是q的必要不充分条件，则B⫋A.
当a=0时，A=R，满足B⫋A.
当a>0时，A={x|-1a当a<0时，A={x|2a≤x<-1a}，∴2a≤-1且-1a≥2，解得-12≤a<0．
综上所述，实数a的取值范围是[-12,1]．
【解析】本题主要考查了充分条件，必要条件．
(1)由已知分析可得-1x(2)由已知可得B⫋A，对a分类讨论即可．
22.【答案】解：(1)由g[g(x)]=x，有3(3x-8)-8=x，解得x=4，
所以函数g(x)=3x-8的“稳定点”为x=4，
(2)证明：若A=⌀，则A⊆B，显然成立；
若A≠⌀，设t∈A，有f(t)=t，则有f[f(t)]=f(t)=t，
所以t∈B，故A⊆B
(3)因为A≠⌀，所以方程ax2-1=x有实根，即ax2-x-1=0有实根，
所以a=0或 a≠0 Δ=1+4a≥0，解得a≥-14，
又由f[f(x)]=x得：a(ax2-1)2-1=x，
即a3x4-2a2x2-x+a-1=0(*)，
由(1)知A⊆B，
故方程(*)左边含有因式ax2-x-1，
所以(ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)=0，又A=B，
所以方程a2x2+ax-a+1=0要么无实根，要么根是方程ax2-x-1=0的解，
①当方程a2x2+ax-a+1=0无实根时，
则 a=0或，即a<34；
②当方程a2x2+ax-a+1=0的根是方程ax2-x-1=0的解时，
则a2x2=ax+a，代入方程a2x2+ax-a+1=0得2ax+1=0，
故x=-12a，将x=-12a代入方程ax2-x-1=0得14a+12a-1=0，
所以a=34．
综上，a的取值范围是-14,34．
【解析】本题考查函数的新定义以及根据集合关系求参数问题，属于中档题．
(1)根据复合函数可得f[f(x)]=x，进而求出“稳定点”；
(2)对A进行讨论进而通过f[f(t)]=f(t)=t 证明即可；
(3)根据方程根的讨论进而求出参数范围．
1.若集合A= {x｜-1
2.已知A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，下列对应法则不可以作为从A到B的函数的是( )
A. f:x→y=2xB. f:x→y=x2
C. f:x→y=1xD. f:x→y=|x-4|
3.下列结论正确的是( )
A. 若a>b，则1a>1bB. 若a>b，则a2>b2
C. 若a>b，c≠0，则ac>bcD. 若a>b，c>0，则ac>bc
4.设x∈R，则“x(x-4)<0”是“x-1<1”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.函数f(x)=1x2+x+1的最大值为
( )
A. 53B. 43C. 1D. 23
6.若0
A. 12B. 6+4 3C. 9+ 6D. 252
7.近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元∕斤､b元∕斤(a≠b)，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙购买猪肉的平均单价分别记为m1元∕斤，m2元∕斤，则下列结论正确的是
( )
A. m1
C. m1=m2D. m1，m2的大小无法确定
8.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，且∀x1，x2∈[ 0,+∞)，当x1≠x2时，都有f(x1)-f(x1)x1-x2>0，若对于任意的x∈[12,1 ]，不等式f(ax+ 1)≤f(x-2)恒成立，则实数a的取值范围是
( )
A. [-5,1 ]B. [-5,0 ]C. [-2,0 ]D. [-2,1 ]
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列各组中M，P表示相同集合的是
( )
A. M= {x∣x= 2n,n∈Z }，P= {x∣x= 2(n+ 1),n∈Z }
B. M= {y∣y=x2+ 1,x∈R }，P= {x∣x=t2+ 1,t∈R }
C. M= {x∣35-x∈Z，x∈N }，P= {x∣x= 2k,1≤k≤4,k∈N }
D. M= {y∣y=x2-1,x∈R }，P= {(x,y)∣y=x2-1，x∈R }
10.关于函数f(x)=2x+1x-1，正确的说法是
( )
A. f(x)与x轴仅有一个交点B. f(x)的值域为{y∣y≠2 }
C. f(x)在(1,+∞)单调递增D. f(x)的图象关于点(1,2)中心对称
11.若a>0，b>0，且a+b= 2，则下列不等式恒成立的是
( )
A. ab≤1B. 1a+1b≤2C. a2+b2≥2D. a+ b≤2
12.设函数f(x) = min {∣x-2∣,x2,∣x+ 2∣}，其中min {x,y,z}表示x，y，z中的最小者．下列说法正确的有
( )
A. 函数f(x)为偶函数
B. 当x∈(1,+∞)时，f(x-2)≤f(x)
C. 当x∈[-4,4 ]时，∣f(x-2)∣≥f(x)
D. 当x∈R时，f(f(x))≤f(x)
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.幂函数y=x23在(0,+∞)上的单调性是_________.(填“单调递增”或“单调递减”)
14.已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x2-1，则f(-2)=________．
15.已知集合A= {x｜-1≤x≤4 }，集合B= {x｜2m
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合M= {x｜1
(2)设A= {x｜a≤x≤a+ 3 }，若A∪(∁ RN)= R，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=-2xx+1,x∈(0,+∞)．
(1)判断函数f(x)的单调性，并利用定义证明；
(2)若f2m-1>f1-m，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知实数x>0，y>0，且2xy=x+y+a(x2+y2)，a∈R．
(1)当a= 0时，求2x+ 4y的最小值，并指出取最小值时x，y的值；
(2)当a=12时，求x+y的取值范围．
20.(本小题12分)
目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助．该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E=kv2t，其中v为传感器在静水中行进的速度(单位：km∕h)，t为行进的时间(单位：h)，k为常数，如果待测量的河道的水流速度为3 km∕h.设该传感器在水中逆流行进10 km消耗的能量为E．
(1)求E关于v的函数关系式；
(2)当v为多少时传感器消耗的能量E最小？并求出E的最小值．
21.(本小题12分)
已知命题p：x满足ax-2≤0,ax+1>0, 命题q：x满足x2-x-2<0．
(1)若存在x∈(12,3)，p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
对于函数f(x)，若f(x0)=x0，则称x0为f(x)的“不动点”，若f[f(x0)]=x0，则称x0为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f(x)=x}，B={x|f[f(x)]=x}，那么，
(1)求函数g(x)=3x-8的“稳定点”；
(2)求证：A⊆B；
(3)若f(x)=ax2-1(a,x∈R)，且，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的并集运算，属于基础题．
根据题意，由集合并集的定义，直接计算即可得答案．
【解答】
解：因为集合A= {x｜-1
故选A
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的定义，属于基础题．
求出每个选项中对应法则中y的取值范围，结合函数的定义逐项判断，可得出合适的选项．
【解答】
解：对于A选项，当1≤x≤2时，y=2x∈[2,4]，且[2,4]⊆B，且对于任意x都有唯一的y值与之对应，
则选项A中的对应法则可以作为从A到B的函数;
对于B选项，当1≤x≤2时，y=x2∈[1,4]，且B=[1,4]，则选项B中的对应法则可以作为从A到B的函数；
对于C选项，当1≤x≤2时，y=1x∈[12,1]，且[12,1]⊈B，则选项C中的对应法则不能作为从A到B的函数；
对于D选项，当1≤x≤2时，-3≤x-4≤-2，则y=|x-4|∈[2,3]，且[2,3]⊆B，且对于任意x都有唯一的y值与之对应，则选项D中的对应法则可以作为从A到B的函数．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了命题真假的判断，以及不等式性质的应用，属于基础题．
取特殊值可判断ACD，利用不等式的性质判断B．
【解答】
解：对A，取 a=0,b=-1 ，显然 1a>1b 不成立，故A错误；
对B， a=0,b=-1 时，显然 02<(-1)2 ，故B错误
对C，取 c=-1 时，由 a>b 可得 ac
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分、必要、充要条件的判断，以及解绝对值不等式，一元二次不等式，是基础题．
先求解两个不等式，根据充分性、必要性的定义判断即可
【解答】
解：由题意，由x(x-4)<0,得0
但“|x-1|<1”可以推出“x(x-4)<0”，必要性成立，
则“x(x-4)<0”是“|x-1|<1”的必要不充分条件．
故选B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
利用配方法求出x2+x+1≥34，从而可求得f(x)的最大值．
本题主要考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
【解答】
因为x2+x+1=(x+12)2+34≥34，
所以0<1x2+x+1≤43，
所以函数f(x)=1x2+x+1的最大值为43．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
由32·2x+(1-3x)=1可得，32x+21-3x=32·2x+1-3x32x+21-3x=132+6x1-3x+31-3x2x，根据基本不等式，即可得解，注意等号成立条件．
【解答】
解：∵0
当且仅当6x1-3x=31-3x2x，结合0
故选D．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题注意考查基本不等式，属于基础题．
利用基本不等式求最值即可．
【解答】
解：根据题意可得m1=20+2020a+20b=2aba+b≤2ab2 ab= ab，当且仅当a=b等号成立，
m2=6a+6b12=a+b2≥ ab，当且仅当a=b等号成立，
由题意可得a≠b，所以m1< ab，m2> ab，则m2>m1．
故选A．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性及单调性，同时考查不等式恒成立问题，属于较难题．
由已知得f(x)为偶函数，且在[0,+∞)单调递增，将问题转化为|ax+1|≤|x-2|在[12,1]上恒成立，然后去掉绝对值，分离参数求解即可．
【解答】解： 因为函数f(x)满足f(-x)=f(x)，
所以f(x)为偶函数，
又当x1，x2∈[0,+∞)时都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0，
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增，
所以不等式f(ax+1)≤f(x-2)，即f(|ax+1|)≤f(|x-2|)，
所以|ax+1|≤|x-2|在[12,1]上恒成立，
又当x∈12,1时，|x-2|=2-x，
所以|ax+1|≤2-x在[12,1]上恒成立，
即x-2≤ax+1≤2-x 在[12,1]上恒成立，
所以1-3x≤a≤1x-1在[12,1]上恒成立．
又当x∈12,1时，y=1-3x单调递增，(1-3x)max=-2，
当x∈12,1时，y=1x-1单调递减，(1x-1)min=0．
所以-2≤a≤0．
则实数a的取值范围是-2,0．
故选C．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查集合相等的概念，属于基础题．
根据集合相等的定义以及集合的表示法，即可逐项确定正误．
【解答】
解：选项A：集合M与集合P都表示全体偶数的集合，故集合M和集合P表示相同的集合；
选项B：集合M与集合P都表示同一个集合{x|x≥1}，故M和集合P表示相同的集合；
选项C：M= {x∣35-x∈Z，x∈N }=2,4,6,8，P= {x∣x= 2k,1≤k≤4,k∈N }=2,4,6,8，故M和集合P表示相同的集合；
选项D：集合M可化简为{y|y≥-1}，是一个数集，集合P表示曲线y=x2-1上的点构成的点集，故集合M和集合P表示不同的集合．
故选ABC．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查命题真假性的判断，考查函数图象的性质，数形结合思想，属于基础题．
将函数f(x)分离系数可得f(x)=2+3x-1，画出图象数形结合，逐一分析即可
【解答】
解：f(x)=2x+1x-1=2(x-1)+3x-1=2+3x-1，作出函数f(x)图象如图：
由图象可知，
函数只有一个零点，定义域为{x|x≠1}，
在(1,+∞)上单调递减，值域为{y∣y≠2 }，
图象关于(1,2)对称，故C错误，
故选：ABD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了不等式比较大小，是基础题．
利用不等式的性质及基本不等式对各个选项逐一验证即可．
【解答】
解：对于A，ab≤a+b24=1，当且仅当a=b=1时取等号，故A正确；
对于B，1a+1b=12a+b1a+1b=122+ba+ab≥122+2 ba·ab=2，
当且仅当a=b=1时取等号，B错误；
对于C，因为a2+b2≥a+b22=2，a=b=1时等号成立，所以a2+b2≥2成立，故C正确；
对于D，因为( a+ b)2=a+b+2 ab=2+2 ab≤2+a+b=4，
当且仅当a=b=1时等号成立，故 a+ b≤2，故D正确；
故选ACD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的图象作法，函数的奇偶性，分段讨论的思想，属于较难题．
首先根据已知写出函数解析式，进而判断出函数的奇偶性，最后根据分段函数的性质分别判断每一个选项．
【解答】
解：根据已知得，fx=x+2,x⩽-1x2,-1
易判断函数为偶函数，故A正确；
B.对B选项，当x>1时，f(x) = |x-2|，f(x-2)可以看做是f'(x)向右平移两个单位，经过平移
知f(x-2)≤f(x)恒成立，故选项 B正确;
对C选项，根据函数图像向右平移2个单位的图像不完全在原来函数图像上方知选项C错误．
D.当-4
当-3
综上述，ffx≤fx在R上恒成立，故D正确；
故选ABD．
13.【答案】单调递增
【解析】【分析】
本题考查了幂函数的性质，属于基础题．
由幂函数的性质可判断得幂函数y=x23的单调性即可．
【解答】
解：因为23>0，故幂函数y=x23在(0,+∞)上的单调性是单调递增．
14.【答案】-3
【解析】【分析】
本题考查函数值的计算，考查函数的奇偶性，比较基础．
直接利用奇函数的定义，即可得出结论．
【解答】
解：由题意，f(2)=22-1=3，
∵f(x)是奇函数，
∴f(-2)=-f(2)=-3．
故答案为-3．
15.【答案】(-∞,-2]∪[1,+∞)
【解析】【分析】
本题考查含参数的交集运算问题，属于基础题．
由题意得A∩B=⌀，于是由B=⌀，再分B=⌀和B≠⌀两种情况列出相应的不等式组即可得到答案．
【详解】
因为∀x∈B，x∉A为真命题，所以A∩B=⌀，
又因为集合A={x|-1≤x≤4}，集合B={x|2m
当B≠⌀时，2m
故答案为：(-∞,-2]∪[1,+∞).
16.【答案】1712
【解析】【分析】
本题考查分段函数的运用，考查二次函数的运用：求单调性和最值，考查化简运算能力，属于中档题．
根据条件，求出m和n的范围以及两者之间的关系，再把所求转化为关于n的二次函数，利用二次函数的性质求解结论．
【解答】解：函数f(x)=3x+1,x≤1x2-1,x>1，若n>m，且f(n)=f(m)，
令f(x)=4，
解得x=1或x= 5，
即有m≤1， 5≥n>1，
可得3m+1=n2-1，可得m=13(n2-2)，
则t=n-m=n-13(n2-2)=-13n2+n+23，1
∴当n=32时，t取最大值1712．
故答案为：1712．
17.【答案】解：(1)由题意，可得∁RN={x|x≤3或x≥5}，
所以M∩N=x|3
所以a≤3,a+3≥5,解得2≤a≤3，所以a的取值范围是[2,3]．
【解析】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于基础题．
(1)根据补集、交集，并集的知识求得正确答案．
(2)根据 A∪∁RN=R 列不等式，由此求得 a 的取值范围．
18.【答案】解：(1)f(x)在(0,+∞)上递减，理由如下：
任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1
=2x1(x2+1)-2x2(x1+1)(x2+1)(x1+1)
=2(x1-x2)(x2+1)(x1+1)，
因为x1,x2∈(0,+∞)，且x1
所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x2)
(2)由(1)可知f(x)在(0,+∞)上递减，
所以由f2m-1>f1-m，得
2m-1>01-m>02m-1<1-m，解得12
【解析】本题考查判断或证明函数的单调性、利用函数的单调性解不等式，属于基础题．
(1)利用函数单调性的定义证明即可；
(2)由函数的单调性结合定义域可得关于m的不等式组，解不等式组可得实数m的取值范围．
19.【答案】解：(1)当a=0时，2xy=x+y，∴1x+1y=2，
∴2x+4y=12(2x+4y)(1x+1y)=(x+2y)(1x+1y)=3+2yx+xy⩾3+2 2
当且仅当2yx=xy且1x+1y=2，即y=2+ 24，x= 2+12时取等号，
此时x+4y的最小值为3+2 2；
(2)当a=12时，2xy=x+y+12(x2+y2)=x+y+12(x+y)2-xy，
∴3xy=x+y+12(x+y)2⩽3(x+y2)2，解得x+y⩾4，
当且仅当x=y，且2xy=x+y+12(x2+y2)，即x=y=2时取等号，
所以x+y的取值范围是[4,+∞).
【解析】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算能力，属于中档题．
(1)利用基本不等式可得2x+4y=12(2x+4y)(1x+1y)=(x+2y)(1x+1y)=3+2yx+xy⩾3+2 2
(2)2xy=x+y+12(x2+y2)=x+y+12(x+y)2-xy，然后利用基本不等式求出最小值，进而求出结果．
20.【答案】解：(1)由题意，该传感器在水中逆流行进10km所用的时间t=10v-3(v>3)，
则所消耗的能量E=kv2⋅10v-3(v>3)．
(2)有E=kv2⋅10v-3=10k⋅v2v-3=10k⋅[(v-3)+3]2v-3=10k[(v-3)+9v-3+6]≥10k(6+6)=120k，
当且仅当v-3=9v-3，即v=6km/h时等号成立，此时E=kv2⋅10v-3取得最小值120k．
【解析】本体考查函数模型的应用，属于基础题．
(1)根据题意先表示出t的表达式，然后即可求出E关于v的函数关系式;
(2)利用基本不等式即可求出最值．
21.【答案】解：(1)当x∈(12,3)时，由ax-2≤0,ax+1>0得-1
(2)设集合A={x|ax-2≤0,ax+1>0,={x|-1
当a=0时，A=R，满足B⫋A.
当a>0时，A={x|-1a
综上所述，实数a的取值范围是[-12,1]．
【解析】本题主要考查了充分条件，必要条件．
(1)由已知分析可得-1x
22.【答案】解：(1)由g[g(x)]=x，有3(3x-8)-8=x，解得x=4，
所以函数g(x)=3x-8的“稳定点”为x=4，
(2)证明：若A=⌀，则A⊆B，显然成立；
若A≠⌀，设t∈A，有f(t)=t，则有f[f(t)]=f(t)=t，
所以t∈B，故A⊆B
(3)因为A≠⌀，所以方程ax2-1=x有实根，即ax2-x-1=0有实根，
所以a=0或 a≠0 Δ=1+4a≥0，解得a≥-14，
又由f[f(x)]=x得：a(ax2-1)2-1=x，
即a3x4-2a2x2-x+a-1=0(*)，
由(1)知A⊆B，
故方程(*)左边含有因式ax2-x-1，
所以(ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)=0，又A=B，
所以方程a2x2+ax-a+1=0要么无实根，要么根是方程ax2-x-1=0的解，
①当方程a2x2+ax-a+1=0无实根时，
则 a=0或，即a<34；
②当方程a2x2+ax-a+1=0的根是方程ax2-x-1=0的解时，
则a2x2=ax+a，代入方程a2x2+ax-a+1=0得2ax+1=0，
故x=-12a，将x=-12a代入方程ax2-x-1=0得14a+12a-1=0，
所以a=34．
综上，a的取值范围是-14,34．
【解析】本题考查函数的新定义以及根据集合关系求参数问题，属于中档题．
(1)根据复合函数可得f[f(x)]=x，进而求出“稳定点”；
(2)对A进行讨论进而通过f[f(t)]=f(t)=t 证明即可；
(3)根据方程根的讨论进而求出参数范围．
相关试卷
2023-2024学年四川省成都市石室中学高一（下）开学数学试卷（文科）（含解析）： 这是一份2023-2024学年四川省成都市石室中学高一（下）开学数学试卷（文科）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年四川省成都市石室中学高一（下）入学数学试卷（理科）（含解析）： 这是一份2023-2024学年四川省成都市石室中学高一（下）入学数学试卷（理科）（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
