2023-2024学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校八年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2的平方根是
( )
A. 4B. 2C. − 2D. ± 2
2.下列图形中不一定是轴对称图形的是
( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 正方形
3.下列四组线段a、b、c，能组成直角三角形的是
( )
A. a=4，b=5，c=6B. a=1.5，b=2，c=2.5
C. a=2，b=3，c=4D. a=1，b= 2，c=3
4.下列整数中，与 10最接近的是
( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.如图，点P在锐角∠AOB的内部，连接OP，OP=3，点P关于OA、OB所在直线的对称点分别是P1、P2，则P1、P2两点之间的距离可能是
( )
A. 8B. 7C. 6D. 5
6.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为
( )
A. 13mB. 12mC. 10mD. 8m
7.如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90∘，∠A=50∘，将其沿边AB上的中线CE折叠，使点A落在点A′处，则∠A′EB的度数为
( )
A. 10∘B. 15∘C. 20∘D. 40∘
二、填空题（本大题共11小题，共33.0分）
8.如图，若点P是正方形ABCD内一点，PA= 3，PB=1，PC= 5，则∠APB的度数为 ．
9.计算：318+ (−2)2=________．
10.比较大小： 13−1__3(填“>”、“<”或“=”)．
11.若等腰三角形一个内角的度数为50∘，则它的顶角的度数是__________．
12.若 (x−3)2=3−x，则x的取值范围是__ ．
13.如图，在四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB.下列结论：①BD垂直平分AC；②BD平分∠ADC；③AB//CD；④ΔABD≅ΔCBD.其中所有正确结论的序号是______．
14.如图，在ΔABC中，AB=20，AC=15，BC=7，则点A到BC的距离是______．
15.如图，在ΔABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，MN经过点O，且MN//BC，分别交AB、AC于点M、N.若BM=3cm，MN=5cm，则CN=_ _cm．
16.在ΔABC中，将∠B、∠C按如图所示方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A=82∘，则∠MGE=___ ∘．
17.如图，ΔABC中，∠ACB=90∘，分别以AC、BC为斜边作等腰直角三角形S1、S2，以AB为边作正方形S.若S1与S2的面积和为9，则正方形S的边长等于___．
18.如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm，一动点P(与B、C不重合)在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动____秒时，ΔACP是直角三角形．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8.0分)
计算：(1) 9+3−8−20220 (2) (−3)2−( 5)2− 2−2
20.(本小题8.0分)
(6分)求x的值：(1)8x3+125=0
(2)3(x−1)2−75=0
21.(本小题8.0分)
(6分)如图，将长为8cm的橡皮筋放置在桌面上，固定两端A和B，然后把中点C向上竖直拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了多少？
22.(本小题8.0分)
(6分)清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”.其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数．”
(1)按照这个法则，写出2组不同的勾股数________，_______(最大数不超过18)．
(2)用等式表示这三个勾股数的数量关系并证明．
23.(本小题8.0分)
(6分)在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论．
24.(本小题8.0分)
(8分)如图，在RtΔABC中，∠ABC=90∘，AB=6，BC=8，将ΔDCE沿DE翻折，使点C落在点A处．
(1)设BD=x，在RtΔABD中，根据勾股定理，可得关于x的方程_62+x2=(8−x)2_；
(2)分别求DC、DE的长．
25.(本小题8.0分)
(8分)已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．
(1)如图1，当点E为AB的中点时，求证：CB=2BD
(2)如图2，若AB=12，AE=2，求CD的长．
26.(本小题8.0分)
(8分)如图，在ΔABC中，∠C=90∘，按下列要求用直尺和圆规作图．(不写作法，保留作图痕迹)
(1)如图①，在边BC上求作一点P，使点P到点C的距离等于点P到边AB的距离；
(2)如图②，在边AB上求作一点Q，使点Q到点A的距离等于点Q到边BC的距离．
27.(本小题8.0分)
(10分)如图1，ΔABC中，CD⊥AB于D，且BD:AD:CD=2:3:4．
(1)试说明ΔABC是等腰三角形；
(2)已知SΔABC=40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段M向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止，设点M运动的时间为t(秒)．
①若ΔDMN的边与BC平行，求t的值；
②在点M、N运动的过程中，ΔAMN能否成为直角三角形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】如果一个数x2=a(a≥0)，那么x就是a的一个平方根．正数有两个平方根，并且互为相反数，利用平方根的定义解答．
【解答】解：∵(± 2)2=2，
∴2的平方根是± 2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2.【答案】A
【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不一定是轴对称图形，若直角三角形不是等腰直角三角形就不是轴对称图形；
B、C、D都是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，注意掌握轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
3.【答案】B
【解析】【分析】根据如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【解答】解：A、42+52≠62，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、1.52+22=2.52，能组成直角三角形，故此选项正确；
C、22+32=42，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、12+( 2)2≠32，不能组成直角三角形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
4.【答案】B
【解析】【分析】估算出 10的值即可解答．
【解答】解：∵9<10<16，
∴ 9< 10< 16，
∴3< 10<4，
∵3.52=12.25，
∴ 10最接近的整数是3，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】由轴对称的性质可得OP1=OP=3，OP=OP2=3，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，
∵点P关于OA、OB所在直线的对称点分别是P1、P2，
∴OP1=OP=3，OP=OP2=3，
∵OP1+OP2>P1P2，
0故选：D．
【点评】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系定理，解本题的关键是熟练掌握轴对称性和三角形三边关系定理．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据题意，设旗杆的高为xm，则绳子AC的长为(x+1)m，再由勾股定理，即可求解．
【解答】解：根据题意，画出图形，BC=5m，如图：
设旗杆的高为：xm，则绳子AC的长为(x+1)m，
在RtΔABC中，
由勾股定理得：BC2+AB2=AC2，
即52+x2=(x+1)2，
解得：x=12，
即旗杆的高为12m．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，能够正确根据题意画出图形，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EA=EB=EC，然后根据等腰三角形的性质，和翻折的性质可知∠A′EC=∠CEA=80∘.进而可以解决问题．
【解答】解：∵CE是AB上的中线，∠ACB=90∘，
∴EA=EB=EC，
∴∠ECA=∠A=50∘，
∴∠CEA=180∘−50∘−50∘=80∘．
由翻折的性质可知：∠A′EC=∠CEA=80∘．
∴∠A′EB=180∘−2×80∘=20∘．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质，直角三角形斜边上的中线，求得EA=EB=EC是解题的关键．
问题解决
8.【答案】135∘
【解析】【解答】将ΔABP绕点B按顺时针方向旋转90∘，使AB与BC重合
则∠PBP′=90∘，BP′=BP=1，P′C=PA= 3，∠BP′C=∠APB，
由勾股定理得：PP′2=12+12=2；
∵P′C2=3，PC2=5，
∴PC2=PP′2+P′C2，
∴∠PP′C=90∘，
又∵∠BP′P=45∘，
∴∠BP′C=135∘，
∴∠APB=∠BP ′C=135∘，
9.【答案】52
【解析】【解答】318+ (−2)2=12+2=52，故答案为52
10.【答案】<
【解析】【分析】估算出 13的值即可解答．
【解答】解：∵9<13<16，
∴ 9< 13< 16，
∴3< 13<4，
∴2< 13−1<3，
故答案为：<．
【点评】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握平方数是解题的关键．
11.【答案】50∘或80∘
【解析】【分析】可知有两种情况(顶角是50∘和底角是50∘时)，由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：如图所示，ΔABC中，AB=AC．
有两种情况：
①顶角∠A=50∘；
②当底角是50∘时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=50∘，
∵∠A+∠B+∠C=180∘，
∴∠A=180∘−50∘−50∘=80∘，
∴这个等腰三角形的顶角为50∘或80∘．
故答案为：50∘或80∘．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
12.【答案】x≤3
【解析】【分析】根据二次根式的性质列出关于x的不等式，求出x的值即可．
【解答】解：∵ (x−3)2=3−x，
∴3−x≥0，解得x≤3．
故答案为：x≤3．
【点评】本题考查的是二次根式的性质，熟知算术平方根具有非负性是解答此题的关键．
13.【答案】①②④
【解析】【分析】根据线段垂直平分线性质即可判断①，根据SSS推出∠ABD≅ΔCBD(SSS)，再判断②③④即可．
【解答】解：∵AD=CD，AB=CB，
∴D、B都在线段AC的垂直平分线上，即BD垂直平分AC，故①正确；
在ΔABD和ΔCBD中，AD=CDBD=BDAB=CB,∴∠ABD≅ΔCBD(SSS)，故④正确；
∴∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，
即BD平分∠ADC，故②正确；
∵∠ADC和∠ABC不一定相等，
∴∠ABD和∠CDB不一定相等，
即AB和CD不一定平行，故③错误；
即正确的结论序号是①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定定理和性质定理等知识点，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
14.【答案】12
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由勾股定理得出AB2−BD2=AD2=AC2−CD2，代入数据得出CD的长，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
在RtΔABD与RtΔACD中，由勾股定理得，
AB2−BD2=AD2=AC2−CD2，
即202−(7+CD)2=152−CD2，
∴CD=9，
∴AD= AC2−CD2=12，
即点A到BC的距离是12，
故答案为：12
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15.【答案】2
【解析】【分析】根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN//BC，结合等腰三角形的判定可证得MO=MC，NO=NB，于是得到MN=BM+CN，进而求出CN．
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，
∵MN//BC，
∴∠OBC=∠MOB，∠NOC=∠OCB，
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠OCN，
∴BM=MO，ON=CN，
∴MN=MO+ON，即MN=BM+CN，
∵BM=3cm，MN=5cm，
∴CN=MN−BM=5−3=2(cm)，
故答案为：2．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，根据角平分线的定义即平行线的性质证得MO=MC，NO=NB是解决问题的关键．
16.【答案】82
【解析】【分析】由折叠的性质可知：∠B=∠MGB，∠C=∠EGC，根据三角形的内角和为180∘，可求出∠B+∠C的度数，进而得到∠MGB+∠EGC的度数，问题得解．
【解答】解：∵线段MN、EF为折痕，
∴∠B=∠MGB，∠C=∠EGC，
∵∠A=82∘，
∴∠B+∠C=180∘−82∘=98∘，
∴∠MGB+∠EGC=∠B+∠C=98∘，
∴∠MGE=180∘−98=82∘，
故答案为：82．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到∠MGB+∠EGC的度数．
17.【答案】6
【解析】【分析】分别以AC，BC为边向ΔABC的外部作正方形，则AC2=4S1，BC2=4S2，由勾股定理可得S=4(S1+S2)，进而可求解AB的长．
【解答】解：分别以AC，BC为边向ΔABC的外部作正方形，
则AC2=4S1，BC2=4S2，
在RtΔABC中AC2+BC2=AB2，
∵AB2=S，
∴S=4S1+4S2=4(S1+S2)，
∵S1+S2=9，
∴S=4×9=36，
∴AB=6．
故答案为6．
【点评】本题主要考查勾股定理，分别以AC，BC为边向ΔABC的外部作正方形，利用勾股定理列算式时解题的关键．
18.【答案】1.75或4
【解析】【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得到BD=CD=12BC=4(cm)，由勾股定理得到AD= AC2−CD2= 52−42=3(cm)，分两种情况：①当点P运动t秒后有PA⊥AC时，如图1，根据勾股定理得到t=1.75s；②当AP⊥BC时，如图2，根据等腰三角形的性质得到t=4s．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=5cm，
∴BD=CD=12BC=4(cm)，
∴AD= AC2−CD2= 52−42=3(cm)，
分两种情况：
①当点P运动t秒后有PA⊥AC时，如图1，
则PB=t，PC=8−t，
∵AP2=PC2−AC2=PD2+AD2，
∴(8−t)2−52=(4−t)2+32，
解得：t=1.75s；
②当AP⊥BC时，如图2，
∵AB=AC，
∴PB=PC=12BC=4(cm)，
∴t=4s，
综上所述，当P运动1.75s或4s秒时，ΔACP是直角三角形，
故答案为：1.75或4．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用，此题难度适中，解题的关键是分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用．
19.【答案】(1) 9+3−8−20220=3−2−1=0
(2) (−3)2−( 5)2− 2−2=3−5−(2− 2)=−4+ 2

【解析】略
20.【答案】(1)8x3+125=0
8x3=−125
x3=−1258
x=−52
(2)3(x−1)2−75=0
(x−1)2=25
x−1=±5
x=−4或x=6

【解析】略
21.【答案】解：RtΔACD中，AC=12AB=4cm，CD=3cm；
根据勾股定理，得：AD= AC2+CD2=5(cm)；
∴AD+BD−AB=2AD−AB=10−8=2(cm)；
故橡皮筋被拉长了2cm．

【解析】【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD−AB即为橡皮筋拉长的距离．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)当k=4时，这一组勾股数是3，4，5；
当k=6时，这一组勾股数是6，8，10．
故答案为：3，4，5；6，8，10；
(2)当k大于2时，k2+[(12k)2−1]2=[(12k)2+1]2．
证明：∵左边=k2+[(12k)2−1]2=k2+[14k2−1]2
=k2+116k4+1−12k2
=116k4+12k2+1；
右边=[(12k)2+1]2=[14k2+1]2=116k4+12k2+1．
∴左边=右边，
∴等式成立．

【解析】【分析】(1)分别令k=4，k=6，再求出其余的数即可；
(2)分别用k表示出一组勾股数，再找出其数量关系即可．
【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数是解答此题的关键．
23.【答案】已知：在ΔABC中，点D是AB的中点，连接CD，且CD=12AB，
求证：ΔABC为直角三角形，
证明：由条件可知，AD=BD=CD，
则∠A=∠DCA，∠B=∠DCB，
又∵∠A+∠DCA+∠B+∠DCB=180∘，
∴∠DCA+∠DCB=90∘．

【解析】【分析】关键是根据三角形内角和解答即可．
【点评】此题考查直角三角形的性质，根据是根据三角形的内角和解答．
24.【答案】解：(1)∵将ΔDCE沿DE翻折，使点C落在点A处．
∴AD=CD，AE=EC，
设BD=x，则DC=AD=8−x，
∵AB2+BD2=AD2，
∴62+x2=(8−x)2，
故答案为：62+x2=(8−x)2；
(2)由(1)得62+x2=(8−x)2，
解得x=74，
∴BD=74，
∴DC=BC−BD=8−74=254．
∵AB=6，BC=8，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10，
∴CE=12AC=5，
∴DE= DC2−CE2= (254)2−52=154．

【解析】【分析】(1)由折叠的性质得出AD=CD，AE=EC，设BD=x，则DC=AD=8−x，在RtΔABD中，由勾股定理可求出答案；
(2)由勾股定理可求出答案．
【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∵ΔABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60∘，
∵点E为AB的中点，
∴∠ECD=12∠ACB=30∘，AE=BE，
∴∠D=30∘，
∵∠ABC=∠D+∠DEB，
∴∠DEB=∠ABC−∠D=30∘，
∴∠DEB=∠D，
∴DB=BE，
在RtΔBCE中，∠BCE=30∘，∴BC=2BE
∴CB=2BD
(2)过点E作EF//BC，交AC于点F，
则∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠ECD，
∵ΔABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60∘，
∴∠AEF=∠AFE=∠A=60∘，∠DBE=120∘，
∴ΔAEF为等边三角形，∠EFC=120∘，
∴AE=EF，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠D=∠FEC，
在ΔDBE和ΔEFC中，
∠DBE=∠EFC=120∘∠D=∠FECED=EC,
∴ΔDBE≅ΔEFC(AAS)，
∴DB=EF，
∴AE=DB=2；
∵AB=BC=12，
∴CD=BC+DB=14．

【解析】【点评】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
26.【答案】解：(1)如图①，点P为所作；
(2)如图②，点Q为所作．

【解析】【分析】(1)作∠BAC的角平分线交BC于点P；
(2)作∠BAC的角平分线交BC于点P，过点P作BC的垂线交AB于点Q．
【点评】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了点到直线的距离．
27.【答案】解：(1)设BD=2x，AD=3x，CD=4x，
则AB=5x，
在RtΔACD中，AC= AD2+CD2=5x，
∴AB=AC，
∴ΔABC是等腰三角形；
(2)SΔABC=12×5x×4x=40cm2，
而x>0，
∴x=2cm，
则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm．
①当MN//BC时，AM=AN，
即10−t=t，
∴t=5；
当DN//BC时，AD=AN，
得：t=6；
∴若ΔDMN的边与BC平行时，t值为5或6．
②由题意知AM=AD−DM=6−t，AN=t，
如图1，
当∠AMN=90∘时，ΔAMN∽ΔADC，
则AMAD=ANAC，即6−t6=t10，
解得：t=154；
如图2，
当∠ANM=90∘时，ΔAMN∽ΔACD，
则AMAC=ANAD，即6−t10=t6，
解得：t=94；
综上，t=94或154时，ΔAMN是直角三角形．

【解析】【分析】(1)设BD=2x，AD=3x，CD=4x，由勾股定理求得AC的长即可判断；
(2)由ΔABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN//BC时，AM=AN；当DN//BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；
②分∠AMN=90∘和∠ANM=90∘两种情况，根据相似三角形的判定与性质分别得出方程，解方程即可．
【点评】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握勾股定理、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．