2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题
1．下列各式化简错误的是( D )
A．cs 80°cs 20°＋sin 80°sin 20°＝cs 60°
B．cs 75°＝cs 45°cs(－30°)＋sin 45°·sin(－30°)
C．sin(α＋45°)sin α＋cs(α＋45°)cs α＝cs 45°
D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α
解析：根据两角差的余弦公式可知A，B，C均正确，而cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)cs α＋eq \f(1,2)sin α，故D错误．
2．化简－sin(x＋y)sin(x－y)－cs(x＋y)•cs(x－y)的结果为( D )
A．sin 2xB．cs 2x
C．－cs 2xD．－cs 2y
解析：原式＝－cs[(x＋y)－(x－y)]＝－cs 2y，故选D．
3．cs 555°的值为( B )
A．eq \f(\r(6)＋\r(2),4)B．－eq \f(\r(6)＋\r(2),4)
C．eq \f(\r(6)－\r(2),4)D．eq \f(\r(2)－\r(6),4)
解析：cs 555°＝cs(720°－165°)＝cs 165°＝cs(180°－15°)＝－cs 15°＝－cs(45°－30°)＝－eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
4．若α∈[0，π]，sineq \f(α,3)sineq \f(4α,3)＋cseq \f(α,3)cseq \f(4α,3)＝0，则α的值是( D )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3)D．eq \f(π,2)
解析：因为cseq \f(4α,3)cseq \f(α,3)＋sineq \f(4α,3)sineq \f(α,3)＝0，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4α,3)－\f(α,3)))＝0，所以cs α＝0.又α∈[0，π]，所以α＝eq \f(π,2)，故选D．
5.eq \f(2cs 10°－sin 20°,sin 70°)的值是( C )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(3),2)
C．eq \r(3)D．eq \r(2)
解析：原式＝eq \f(2cs(30°－20°)－sin 20°,sin 70°)＝
eq \f(2cs 30°•cs 20°＋2sin 30°•sin 20°－sin 20°,sin 70°)＝
eq \f(\r(3)cs 20°,sin 70°)＝eq \f(\r(3)sin 70°,sin 70°)＝eq \r(3).故选C．
二、多项选择题
6．满足cs αcs β＝eq \f(\r(3),2)－sin αsin β的一组α，β的值是( AB )
A．α＝eq \f(11π,12)，β＝eq \f(3π,4)B．α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,3)
C．α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,6)D．α＝eq \f(π,3)，β＝eq \f(π,4)
解析：由题设，得cs αcs β＋sin α·sin β＝cs(α－β)＝eq \f(\r(3),2)，将各选项α，β值代入，只有A，B项中cs(α－β)＝cseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2).
7．若eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cs x＝cs(x＋φ)，则φ的一个可能值是( AC )
A．－eq \f(π,6)B．－eq \f(π,3)
C．eq \f(11π,6)D．eq \f(π,3)
解析：对比公式特征知，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝cs(x＋φ)，所以φ＝－eq \f(π,6)＋2kπ，故φ＝－eq \f(π,6)，eq \f(11π,6)都合适．
三、 填空题
8．计算：sin 7°cs 23°＋sin 83°cs 67°＝eq \f(1,2).
解析：原式＝cs 83°cs 23°＋sin 83°•sin 23°＝cs(83°－23°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).
9．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，且eq \f(π,4)<α解析：因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，且eq \f(π,4)<α10．若cs(α－β)＝eq \f(\r(5),5)，cs 2α＝eq \f(\r(10),10)，且α，β均为锐角，α<β，则α＋β＝eq \f(3π,4).
解析：因为0<αcs 2αcs(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(3\r(10),10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq \f(\r(2),2)，又0<α＋β<π，故α＋β＝eq \f(3π,4).
四、解答题
11．已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(12,13)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值．
解：因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，
所以α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，所以cs(α＋β)＝eq \r(1－sin2(α＋β))＝eq \f(4,5).
又β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(5,13).
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1((α＋β)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)•sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(12,13)＝－eq \f(56,65).
12．已知sin(π－α)＝eq \f(4\r(3),7)，cs(α－β)＝eq \f(13,14)，0<β<α解：∵sin(π－α)＝sin α＝eq \f(4\r(3),7)，0<α∴cs β＝cs[α－(α－β)]＝
cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)＝eq \f(1,7)×eq \f(13,14)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(13＋36,98)＝eq \f(1,2).又∵0<β13．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cs α＋cs β＋cs γ＝0，则cs(α－β)的值是( C )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(1,2)D．－eq \f(\r(3),2)
解析：由sin α＋sin β＝－sin γ，cs α＋cs β＝－cs γ，得sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝sin2γ①，cs2α＋cs2β＋2cs αcs β＝cs2γ②，由①＋②，得2＋2(cs αcs β＋sin α·sin β)＝1，∴cs(α－β)＝－eq \f(1,2).
14．已知α，β均为锐角，且cs α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，则α－β＝－eq \f(π,4).
解析：因为α，β均为锐角，所以sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(3\r(10),10)，所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin α·sin β＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).又sin α15．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形．若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为9∶25，则cs(α－β)的值为( D )
A．eq \f(5,9)B．eq \f(4,9)
C．eq \f(9,16)D．eq \f(16,25)
解析：设大正方形的边长为1.因为小正方形与大正方形面积之比为9∶25，所以小正方形的边长为eq \f(3,5).所以cs α－sin α＝eq \f(3,5)①，sin β－cs β＝eq \f(3,5)②，因为α＋β＝eq \f(π,2)，所以cs α＝sin β，sin α＝cs β.由①×②，得eq \f(9,25)＝cs αsin β＋sin αcs β－cs αcs β－sin αsin β＝sin2β＋cs2β－cs(α－β)＝1－cs(α－β)，解得cs(α－β)＝eq \f(16,25).